Lección 1.1. Repaso de Funciones. 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 33

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1 Lección 1.1 Repaso de Funciones 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 33

2 Objetivos Al finalizar esta lección podrás: Calcular el valor f(x) de una función Reconocer la gráfica de una función. Identificar el dominio y el campo de valores de funciones polinómicas y funciones con raíz cuadrada, valor absoluto exponencial, logarítmica, trigonométricas y por partes. Trazar la gráfica de un función con la ayuda del programa GRAPH 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 2 de 33

3 Qué es una función? Una relación entre elementos de dos conjuntos tal cada uno del primero se le asocia un elemento único del segundo. 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de 33

4 Cómo se representa una función? Sea x={1,2,3}, y = {1, 4} 1. Tabla de valores f(1)=1, f(2)=4, f(3)=1 3. f ={(1,1), (2,4), (3,1)} 4. Gráfica 5. Expresión algebraica. 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 33

5 Evaluar una función Para la función a) determine el valor f (3) b) determine el valor de f c) aproxime el valor a dos lugares decimales Solución: a) b) f (x) 2x 2 5 ( 1 2) f (3) 2(3) f ( 1 2) 2(1 2) 2 5 2(1 2)(1 2) 5 2(3 2 2) f ( 1 2) c) f ( 1 2) En la TI30XIIS: 11 [ + ] 4 [2 nd ] [ x 2 ] 2 [ ) ] [ = ] 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 33

6 Gráfica de una función Trace la gráfica de la función f (x) 2x 2 5 Solución: Se asume como el conjunto mayor de números reales que pueda sustituir la variable (Dominio). Para graficar use programas computadorizados (graficadores) 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 33

7 Graficador: GRAPH Permite del menú Function: Graficar funciones (Insert Function) Conjunto de puntos (Insert point series) Aproximar un conjunto de puntos por una gráfica (Insert trendline) Relaciones (Insert relation) Bajar de: 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 33

8 Graficar una función Seleccione Insert Function del menú de Function En el recuadro Function equation entre: -3x^2+5 Observe que se usa el símbolo ^ para identificar exponentes Haga clic en Ok 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 33

9 Seleccione Insert Point Series del menú de Function Entre las coordenadas de los puntos según se ilustran a la derecha: Haga clic en Ok Graficar puntos 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 33

10 Aproximar puntos por una función Después que tiene unos puntos en pantalla, seleccione Insert trendline del menú de Function Seleccione gráfica que mejor se aproxima y haga clic en Ok 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 10 de 33

11 Interpretación de la gráfica De la gráfica de la función f siguiente, a) Determine f(4). b) Determine x, si que f(x) = 3 c) Determine el dominio, recorrido e interceptos. d) Determine dónde crece y decrece f(4) = 0 f(2) = 3 x = 2 Rango = [-3,3] (0, -3) y 4 0 Intercepto en y = -4 Interceptos en x (2, 3) (4, 0) (10, 0) (1, 0) x (7,-3) Crece en [0,2] y [7,10] Decrece entre [2,7] Dominio = [0,10] 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11 de 33

12 Ejercicio #1 1. Si f = {(-2, 1), (1, -5), (3, 2)} determine: f(1) = - 5 Dominio de f 2. Si g x = 2 5 g(10) g(3) 3 g( 5) x 6 determine: 3. De la gráfica de f, determine f(2) f(0) f(-1) = {- 2, 1, 3} = = 4 6 = - 2 = = = 24 = = = = 0 = -1 = y x 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 12 de 33

13 Modelaje a través de funciones Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Expresa el área del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados. Solución: Sea x, y la medida de los lados del rectángulo. A su área. Entonces A = xy Si el perímetro es 20, entonces 2x + 2y = 20 2y = 20 2x y = 10 x Por tanto, A = x(10 x) A(x) = x(10 x) 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 13 de 33

14 La Función Lineal La función lineal es la función de la forma: f(x) = mx + b La gráfica de una función lineal es la recta con pendiente m, intercepto en y en (0,b). Tres tipos de funciones lineales: Pendiente 0: Función constante Pendiente positiva Función creciente Pendiente negativa: Función decreciente 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 14 de 33

15 Pendiente (Slope) (x 1,y 1 ) Sea y dos puntos en una recta tal que x 1 x 2. Entonces, la pendiente (m) de la recta que pasar por estos puntos está definida como: (x 2,y 2 ) m y 2 y 1 x 2 x 1 Si x1 x 2 entonces la recta es una línea vertical y la pendiente no está definida. Ejemplo: Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (4,5): m y x 2 2 y x 1 1 (5) (4) (3) (1) /06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 15 de 33

16 Algunos datos para recordar Si m es la pendiente de una recta que pasa por el punto (x 1, y 1 ). Entonces, su ecuación se puede expresar como: (pendiente-punto) y y 1 = m(x x 1 ) Ejemplo: Si una recta tiene pendiente -3 y pasa por el punto (-1, 2) entonces su ecuación es: y 2 = (-3)(x (-1)) y 2 = -3(x + 1) y 2 = -3x 3 y = -3x - 1 Nota: Esta última forma de expresar la ecuación de una recta se llama pendiente-intercepto ya que su intercepto en y será (0,-1). 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 16 de 33

17 Interpretación gráfica de la pendiente La pendiente se puede ver como la razón de cambio vertical ( y2 y1) sobre la razón de cambio horizontal ( x x ). y 2 1 Q = ( x, y ) 2 2 P = ( x, y ) 1 1 x y y 2 1 m y 2 y 1 x 2 x 1 = Razón de cambio vertical por cambio horizontal 2 x1 = Razón de cambio de la variable dependiente por cambio de la variable independiente. x 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 17 de 33

18 Ejemplo 1 Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,-2) (3,2) Solución: Determine pendiente: Sustituya la pendiente y cualquiera de los puntos en la ecuación y = mx + b. Luego, resuelva por b. y = mx + b (2) = (1)(3) + b -1 = b La ecuación es: y = x - 1 m y 2 y 1 x 2 x 1 2 (2) 3 (1) /06/ /06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 18 de 33

19 Ejemplo 2 1 Bosqueje la gráfica de: f ( x) x 3 sin usar un 2 graficador. Luego, determine el intercepto en x. Solución: Pendiente = -1/2 Intercepto en y = (0, 3) Cuál es el intercepto en x? = Para cuál valor de x, f(x) = 0? Si f(x) = 0, entonces: 0 = -x/2 + 3 x = 6 Intercepto en x = (6, 0) 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 19 de 33

20 Interpretación de la pendiente como razón de cambio En una relación lineal y = mx + b, la pendiente m representa la razón de cambio promedio de y con respecto al cambio en en x. expresa que y cambiará m unidades por cada unidad adicional de x. Si y es la población de una especie en una región cada x meses. Entonces, la pendiente indica cuántas especies cambiará por cada mes adicional que pase. Si y el nivel de elasticidad de un material y x la temperatura en grados en el cual está expuesto. Entonces, la pendiente indica cuántas unidades del nivel de elasticidad cambiará por cada grado adicional de temperatura. Si y es el costo de producir x artículos. Entonces, la pendiente indica cuánto cambiará el costo por producir un artículo adicional. 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 20 de 33

21 Funciones potencias f(x) = x n Gráficas de f(x) = x n, n = n = 1, 2, 3, Dominio = (-infinito, infinito) 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 21 de 33

22 Funciones potencias f(x) = x -n Dominio = {x x distinto de 0} Gráficas de f(x) = x -n n = 1, 3, impar tienen un parecido. Gráficas de f(x) = x n n = 2, 4, par tienen un parecido. 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 22 de 33

23 Funciones potencias f(x) = x 1/n Gráficas de f(x) = x para n = 1/2, 1/3, 3/2, 2/3. En GRAPH entre exponentes fraccionarios dentro de un paréntesis. Ejemplo: f(x) =x^(3/2) Para la raíz cuadrada puede entrarlo como: f(x) =x^(1/2) f(x) = sqrt(x) 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 23 de 33

24 Funciones Polinómicas Funciones de la forma: f ( x) P( x) Donde P(x) es un polinomio. Los extremos de las gráficas de las funciones polinómicas se parecen de acuerdo a la paridad de su grado y el signo del coeficiente que determina su grado. 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 24 de 33

25 Funciones Racionales Funciones compuesta del cociente de dos polinomios. Esto es, de la forma: f ( x) P( x) Q( x) 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 25 de 33

26 Funciones Trigonométricas Funciones compuesta del valor trigonométrico de un ángulo. La convención es que la medida del ángulo siempre está en radianes, al menos que se indique lo contrario. Aproxime a cinco lugares decimales: sin 5.3 = tan = sec 1 cos 5 = /06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 26 de 33

27 Valores e identidades trigonométricas Sea t un número real y P = (a, b) un punto en el círculo unitario asociado a t. Entonces: Valores especiales: 2 (0,1) (1,0) 3 (0, 1) 2 2 (1,0) Identidades del cociente 1 1, 6 ( 1 3 ( 2 sin tan cos 3 1, ) 2 2, 3 ) 2 (coseno) (seno ) sin t b b (tangente) tan t a 4 cos cot sin 2 cos t a 2 Identidades recíprocas csc 1 sec = 1 cot 1 sin cos tan Identidades Pitagóricas sin cos 1 tan 1 sec 1 cot 2 2 csc 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 27 de 33

28 Funciones Exponenciales: f(x) = a x 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 28 de 33

29 Funciones Logarítmicas: f(x) = log a x y log a x si y sólo si x a y En GRAPH entre log(x) para la función con base 10 y use el formato logb(x, a) para la función con base a y entre ln(x) para la función con base e 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 29 de 33

30 x 1 si x 2 Si f ( x) determine f(-1), f(2), f(3) y - 2x 10 si x 2 sus interceptos, si los tiene. Solución: f(-1) = (-1) + 1 = 0 f(2) = (2) + 1 = 3 f(3) = -2(3) + 10 = 4 Ejemplo 3 Si x = 0, entonces f(0) = (0) + 1 = 1 Intercepto en y es (0,1) Si f(x) = 0, entonces 0 = x +1 0 = -2x + 10 x = -1 x = 5 Interceptos en x son (-1, 0), (5, 0) 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 30 de 33

31 Uso de graficadores Ajuste escala de los ejes: f ( x) x 3 7x /06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 31 de 33

32 Uso de graficadores En ocasiones hay que ajustar la magnificación de la pantalla para funciones periódicas. f ( x) x 3 7x 2 28 f ( x) sin100x 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 32 de 33

33 Referencias del Web 1.1 The Math Page Functions Functions versus Relations Videos: Hallar el dominio de una función Evaluación de una función Parte 1, Parte 2 Funciones con dominio dividido 29/06/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 33 de 33