Tema 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación

Transcripción

1 Tema 5: Incumplmento de las Hpótess sobre el Térmno de Perturbacón

2 TEMA 5: INCMPLIMIENTO DE LAS HIPÓTESIS SOBRE EL TÉRMINO DE PERTRBACIÓN 5.) Introduccón 5.) El Modelo de Regresón Lneal Generalzado 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados 5.4) El Contraste de Normaldad de Jarque-Bera

3 5.) Introduccón - Incumplmento de las Hpótess del Modelo de Regresón Lneal Clásco (MRLC): El Modelo de Regresón Lneal Generalzado (MRLG). - La Matrz de Varanzas-Covaranzas en un MRLG. - Tpos de Modelos en el MRLG: Modelo Heterocedástco Modelo con Autocorrelacón Modelo con Problemas de Heterocedastcdad y Autocorrelacón 3

4 5.) Introduccón Hpótess del Modelo de Regresón Lneal Clásco: La Matrz de Regresores X es NO ESTOCÁSTICA Hpótess NO hay OMISIÓN DE VARIABLES RELEVANTES n INCLSIÓN DE VARIABLES SPERFLAS. NO exste MLTICOLINEALIDAD PERFECTA. Rang( X ) K + 4

5 5.) Introduccón Hpótess del Modelo de Regresón Lneal Clásco: Hpótess LA PERTRBACIÓN DEL MODELO SE COMPORTA COMO NA VARIABLE ALEATORIA RIDO BLANCO (perturbacón esférca). E( ) 0; E( ) σ ; u Homocedastcdad E( s ) 0; s Incorrelacón Matrz de Varanzas- Covaranzas de [ ' ] σ I V ( ) E Matrz Escalar 5

6 5.) Introduccón Hpótess del Modelo de Regresón Lneal Clásco: La Forma Funconal del Modelo es Lneal Hpótess 3 Y β0 + β X βk XK + o Y X β + Hpótess 4 Se asume Normaldad de las Perturbacones d N (0, σ o d N( ϑ, σ I) ) 6

7 5.) Introduccón El MRLG será aquel Modelo que verfque TODAS las Hpótess del Modelo de Regresón Lneal Clásco excepto la Hpótess. Modelo de Regresón Lneal Clásco Modelo de Regresón Lneal Generalzado VarableAleatora Rudo Blanco VarableAleatora No Rudo Blanco E( ) 0; E( ) 0; E( ) σ ; u E σ ( ) ; o algún E( s ) 0; s E ( ) 0; o algún s s [ ' ] σ I V ( ) E V ( ) Matrz No Escalar Matrz Escalar 7

8 5.) Introduccón La Matrz de Varanzas-Covaranzas de las Perturbacones en un MRLG será V ( ) [ ] ' σ Ω E Matrz No Sngular Ω I Ω S MRLG MRLC Matrz Semdefnda Postva 8

9 5.) Introduccón Tpos de MRLG: Modelo con Problemas de Heterocedastcdad: E σ σ ( ) ; o algún Modelo con Problemas de Autocorrelacón: E ( ) 0; o algún s s 3 Modelo con Problemas de Heterocedastcdad y Autocorrelacón: E σ σ ( ) ; o algún y E ( ) 0; o algún s s 9

10 5.) El Modelo de Regresón Lneal Generalzado - Especfcacón del Modelo: Incumplmento Hpótess MRLC - Consecuencas de Aplcar MCO a un MRLG Son Estmadores Insesgados? Son Estmadores Óptmos? Podemos aplcar Inferenca Estadístca Tradconal? ES ADECADA LA ESTIMACIÓN MCO? 0

11 5.) El Modelo de Regresón Lneal Generalzado Modelo con No-Esférca Y β0 + β X βk XK + INCMPLIMIENTO E( ) σ ; E( s ) 0; s Supuesto de Homocedastcdad Supuesto de Incorrelacón POR TANTO E σ σ ( ) ; o algún HETEROCEDASTICIDAD E ( ) 0; o algún s s ATOCORRELACIÓN

12 5.) El Modelo de Regresón Lneal Generalzado MRLG (Modelo con Perturbacones No-Esférca) Y β0 + β X βk XK + E ( ) σ σ ; o algún E s ( ) 0; o algún s MCO βˆmco PREGNTA: MCO es el mejor procedmento para estmar los parámetros del Modelo?

13 5.) El Modelo de Regresón Lneal Generalzado Consecuencas de Aplcar MCO en un MRLG: El EMCO es INSESGADO E( β ) ˆMCO β El EMCO NO es ÓPTIMO. Además, se verfca que V ( ˆ β MCO ) ( X ' X ) X ' Ω X ( X ' X ) σ ( X ' ) σ X S e' e n K SCE n K 3 es un estmador SESGADO de σ E ( ) S > σ 3

14 5.) El Modelo de Regresón Lneal Generalzado Consecuencas de Aplcar MCO en un MRLG: 4 5 S ( X ' X ) La Expresón no es adecuada para estmar la Matrz de Varanzas-Covaranzas V (βˆ) Los Estadístcos empleados para realzar Contrastes de Hpótess y construr Intervalos de Confanza no podrán ser empleados. MRLG - Lneal MCO βˆmco - Insesgado - Consstente EMCO NO ADECADA - NO ÓPTIMO Mínmos Cuadrados Generalzados 4

15 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados - Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados (EMCG). Procedmento - Propedades de los Estmadores Mínmo Cuadrátcos Generalzados: Lneales Insesgados Consstentes Óptmos - Problemas - Solucón: Transformar el Modelo - La Predccón con MCG 5

16 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados ( X X ) ' Ω X ' Ω Y ˆ MCG β Mínmos Cuadrados Generalzados Matrz de Varanzas-Covaranzas V ( ˆ) β σ ( ' ) X Ω X n estmador nsesgado del parámetro desconocdo es ~ e Y ~ S MCG ~ ' e Ω n K En donde es el RESIDO MÍNIMO CADRÁTICO GENERALIZADO. X βˆ MCG ~ e σ 6

17 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados De dónde se obtenen los Mínmos Cuadrados Generalzados? mn { ˆ β } MCG SCE MCG e~ ' Ω ~ e SOLCIÓN: ( X X ) ' Ω X ' Ω Y ˆ MCG β (DEMOSTRACIÓN) S Ω I ˆ β ˆ MCG β MCO 7

18 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados Propedades de los Estmadores Mínmos Cuadrados Generalzados El EMCG es LINEAL (Demostracón) El EMCG es INSESGADO (Demostracón) 3 El EMCG es CONSISTENTE (Demostracón) 4 La Matrz de Varanzas-Covaranzas de es V βˆmcg ( ˆ ) ( ' ) β X Ω X MCG σ 5 El EMCG es ÓPTIMO: En el contexto de un MRLG, el estmador lneal e nsesgado de menor varanza será el que se obtene medante el método de MCG. 8

19 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados Modelo de Regresón Lneal Generalzado Y X β + E E ( ) σ σ ; o algún ( ) 0; o algún s s ( X X ) ' Ω X ' Ω Y ˆ MCG β ELIO: Estmador Lneal, Insesgado y Óptmo. Con qué Problemas nos encontramos a la hora de calcular? βˆmcg Tenemos que Estmar Ω Tenemos que Invertr Ωˆ Ωˆ Ωˆ SOLCIÓN: Transformar el MRLG en un MRLC y aplcar MCO 9

20 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados MODELO Y X β + APLICAR MCO MRLC? MRLG? EMCO: Lneal, Insesgado, Consstente, Óptmo. EMCO: Lneal, Insesgado, Consstente, NO ÓPTIMO ˆ SOLCIÓN MCG: βmcg ( X ' Ω X ) X ' Ω Y PROBLEMA: Ω? ˆ EMCG: Lneal, Insesgado, Consstente, ÓPTIMO MCOMCG SOLCIÓN Transformar el MRLG en un MRLC y aplcar MCO * * Y X β + * 0

21 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados Ω Transformar un MRLG en un MRLC Teorema: S es una matrz defnda postva, entonces exste una matrz P nxn de transformacón no sngular que cumple que P Ω P' I Corolaro: P' P Ω (Demostracón)

22 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados Transformar un MRLG en un MRLC Modelo de Regresón Generalzado Y X β + E( ) 0 E( ') σ Ω Se premultplca el modelo por P E( * ) 0 P Y P X β + P Y X * * * PY P X P * * Y X β + * MRLC * * E( ') σ I

23 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados Transformar un MRLG en un MRLC * * Y X β + * El Modelo Transformado verfca las Hpótess del MRLC sobre el Térmno de Perturbacón E( * ) 0 * * E( ') σ I (demostracón) (demostracón) APLICAR MCO * ˆMCO β ˆ β * ˆ MCO βmcg (demostracón) S * ~ MCO S MCG ( * ) 3 Vˆ ˆ β ˆ( ˆ β ) MCO V MCG (demostracón) (demostracón) 3

24 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados La Predccón en un MRLG Yˆ n+ h X ' n+ h βˆ MCO PROBLEMA En un MRLG la estmacón MCO NO ES ÓPTIMA ˆ Y n + h NO ES N PREDICTOR ÓPTIMO 4

25 5.3) Estmacón por Mínmos Cuadrados Generalzados La Predccón en un MRLG CÁL ES EL PREDICTOR ÓPTIMO EN N MRLG? Y ' X ˆ + h n+ h βmcg + W ' ˆn V ~ e ( ) W E n + h e~ Vector que contene las covaranzas de las perturbacones en cada momento muestral y la perturbacón en (n+h) es el resduo de la estmacón MCG V ( ') σ Ω E es la Matrz de Varanzas-Covaranzas de 5

26 5.4) El Contraste de Normaldad de Jarque-Bera - Objetvo - Importanca de Verfcar la Normaldad de - Funconamento Contraste de Hpótess Test de Jarque-Bera (JB) Conceptos Smetría Apuntalamento Regla de Decsón 6

27 5.4) El Contraste de Normaldad de Jarque-Bera OBJETIVO Verfcar s la Perturbacón del Modelo de regresón () sgue una Dstrbucón Normal. IMPORTANCIA S sgue una dstrbucón Normal βˆ Sgue dstrbucón Normal una INFERENCIA ESTADÍSTICA Contraste de Hpótess Intervalos de Confanza 7

28 8 5.4) El Contraste de Normaldad de Jarque-Bera TEMA 5: Incumplmento de las Hpótess sobre FNCIONAMIENTO Contraste de Hpótess Dstrbucón Normal NO sgue una : Dstrbucón Normal sgue una : 0 H H Test Estadístco ( ) 4 3 ˆ 6 ˆ χ + d c a N JB 3 3 ˆ N N e e N a 4 ˆ N N e e N c Coefcente Asmetría Coefcente Curtoss

29 5.4) El Contraste de Normaldad de Jarque-Bera REGLA DE DECISIÓN RECHAZAR LA HIPÓTESIS NLA DE NORMALIDAD DE LAS PERTRBACIONES DEL MODELO SI JB > χ, α Regón Aceptacón ( α ) χ, α α 9