Indica el coeficiente, parte literal y grado de estos monomios.

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1 Polinomios EJERCICIOS 001 Indica el coeficiente, parte literal y grado de estos monomios. a) y z 4 b) 5b c c) 15 y d) y 5 a) Coeficiente: Parte literal: y z 4 Grado: b) Coeficiente: 5 Parte literal: b c Grado: + 5 c) Coeficiente: 1 Parte literal: 15 y Grado: d) Coeficiente: Parte literal: y 5 Grado: Determina si los monomios son semejantes o no. a) 1 5 y z y 5z 5 y c) y y y b) 6 y 4 y 6 4 y d) 7 y a) Son semejantes. c) Son semejantes. b) No son semejantes. d) Son semejantes. 00 Escribe el monomio opuesto de estos monomios. 1 a) y z b) 4a b c) 5 9 d) 9 11 a) 1 y z b) 4a b c) 5 9 d) Escribe, si se puede, un monomio: a) De coeficiente y parte literal y 6. b) De coeficiente y semejante a. c) De grado 7 y semejante a 4 y. d) De parte literal y 4 y opuesto a 4 y. a) y 6 b) c) No es posible. No puede ser de grado 7 y a la vez. d) No es posible. No puede ser de grado 7 y 4 a la vez. 005 Realiza las operaciones. a) d) ( 8 y) ( 4y ) b) y y + 6 y y e) (15y) : ( ) c) ( 5ab) (6abc) f) (yz) : ( y) a) 9 d) y b) 6 y e) 5y c) 0a b c f) z 76

2 SOLUCIONARIO 006 Simplifica las siguientes epresiones. a) b) 5 ( + ) + + c) 11 7 y + 4y y + y 5 a) + ( ) + ( ) + 11 b) ( 1) + ( 1 + ) + (5 + ) c) (11 9) 7 y + (4 + 1)y 5 7 y + 5y Calcula: y ( 7y) + (16 y z : 4y z). y + 1 y + 4 y 4 y 008 Determina el grado, las variables y el término independiente de estos polinomios. a) P(, y) 5 y b) Q(, y) y c) R(, y) 9 7 y + y 1 4 d) S(, y, z) 7 yz y z + 8yz a) Grado: 5. Variables:, y. Término independiente: 1. b) Grado: Variables:, y. Término independiente: 9. c) Grado: 1. Variables:, y. Término independiente: 4. d) Grado: Variables:, y, z. Término independiente: Reduce este polinomio y calcula su opuesto. R() R() 5 5 5, y su opuesto es: R() Escribe un polinomio de dos variables, de grado 7, que tenga un término de grado, que sea reducido y no tenga término independiente. Por ejemplo: 5 5 y y. 011 Calcula el valor numérico del polinomio en cada caso. a) P() , para 0. b) P(, y) 4 y y + 7y, para 1, y. a) P(0) b) P(1, )

3 Polinomios Dados los polinomios: P(, y) y + y 7 + y Q(, y) y + 4y halla los valores numéricos: P(0, 0) P(1, 1) Q(0, 1) Q(0, ) P(0, 0) P(1, 1) Q(0, 1) 0 ( 1) + 4 ( 1) 0 4 Q(0, ) Reduce los siguientes polinomios y calcula su valor numérico para. a) P() b) Q() a) P() P() b) P() 4 4 P() Un número es raíz de un polinomio cuando el valor numérico del polinomio para dicho número es cero. Determina si los números 4 y 4 son raíces de este polinomio. P() Sabrías hallar otra raíz del polinomio? P( 4) ( 4) 5 ( 4) no es raíz. P(4) es raíz. Este polinomio tiene otra raíz: 1. Halla la suma, resta y producto de cada par de polinomios. a) R() 4 + 1; S() + 1 b) R() + 1; S() + 1 c) R() ; S() d) R() ; S() + e) R() ; S() f) R() 7 + ; S() a) R() + S() ( 4 + 1) + ( + 1) R() S() ( 4 + 1) ( + 1) 4 R() S() ( 4 + 1) ( + 1) b) R() + S() ( + 1) + ( + 1) + R() S() ( + 1) ( + 1) + R() S() ( + 1) ( + 1) + 1 c) R() + S() ( ) + ( + 6 1) R() S() ( ) ( + 6 1) R() S() ( ) ( + 6 1)

4 SOLUCIONARIO d) R() + S() ( ) + ( + ) R() S() ( ) ( + ) R() S() ( ) ( + ) e) R() + S() (7 + + ) + ( 4 + 8) R() S() (7 + + ) ( 4 + 8) R() S() (7 + + ) ( 4 + 8) f) R() + S() ( 7 + ) + ( ) R() S() ( 7 + ) ( ) R() S() ( 7 + ) ( ) Calcula A() + B() y A() B() con los polinomios: A() B() A() + B() ( ) + ( ) A() B() ( ) ( ) Calcula el producto de los dos polinomios del ejercicio anterior, utilizando la propiedad distributiva. A() B() ( ) ( ) 4 ( ) 5 ( ) + + ( ) 7 ( ) ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) Calcula. a) ( + ) : b) ( 5 5) : ( ) c) ( + 4 ) : ( + 1) d) ( ) : ( 5) e) ( ) : (4 + + ) f) ( 8 1) : ( ) g) ( 1) : h) ( 1) : ( + 1) i) ( 5 + 6) : ( ) 79

5 Polinomios a) + b) c) d) e) f) g) h)

6 SOLUCIONARIO i) Haz las siguientes divisiones y comprueba que están bien realizadas. a) ( ) : ( ) b) ( ) : ( ) a) ( ) ( 4) + (7 10) ( 4 + 8) + (7 10) b) ( ) ( ) + (8 + 1) ( ) + (8 + 1) Calcula el resto de esta división de polinomios. Dividendo P() Divisor Q() + 1 Cociente C() R() P() Q() C() ( ) ( + 1) ( ) ( 5 + ) 5 01 Saca factor común en los siguientes polinomios. a) 8 4 d) 1ab + 4b 6b 4 b) 18 y 1 y e) 4a 4 14a b + 8ab c) 0a b 15ab + 5a b f) 0a 4 b c + 6a b 18a b a) 4 ( 1) d) b ( 6ab + b ) b) 6 y ( y) e) a (17a 7a b + 14b ) c) 5ab (6a b + ab) f) a b (10a bc ab) 81

7 Polinomios 0 Saca factor común en estos polinomios. a) b) (y y) + y (4y y) c) a) ( 1) b) y[ (y 1) + y (4 )] c) Calcula a para que el factor común de a y y 6 a y sea y. Observando el tercer término, si a > el factor común de los tres términos tendría elevado a, lo cual no es posible; y si a < el factor común de los tres términos tendría elevado a un número menor que. Por tanto, la única solución es a. 04 Desarrolla los siguientes cuadrados. a) ( + 7) e) ( 4) b) (a + 1) f) (a b) c) (6 + ) g) (5 ) d) (a + b) h) (b 5b ) a) e) b) 4a + 4a + 1 f) 9a 6ab + b c) g) d) 9a 4 + 1a b + 4b h) 4b 4 0b 5 + 5b 6 05 Desarrolla. a) ( a ) b) ( + ) c) ( + ) d) (6ab y) a) a + a 4 c) b) d) 6a b 4 4ab y 4y 06 Epresa como cuadrado de una suma o una diferencia, según convenga. a) c) + 4y + 4y b) 4 1y + 9y d) a) ( + ) c) ( + y) b) ( y) d) ( + 1) 07 Calcula los siguientes productos. a) ( + 7) ( 7) b) (7 + 4y) (7 4y) a) 49 b) 49 16y 8

8 SOLUCIONARIO 08 Estudia si estas epresiones se pueden epresar como suma por diferencia. a) 1 b) 4 9 c) 16 a) ( + 1) ( 1) b) ( + ) ( ) c) (4 ) (4 + ) 09 Epresa en forma de producto. a) c) 100 4z 6 b) 9a 0ab + 5b a) ( 1) b) (a 5b) c) (10 + z ) (10 z ) 00 Observa el ejemplo y calcula mentalmente ( ) ( ) a) b) c) a) 91 b) 9 c) Simplifica las fracciones algebraicas. 5 y 6 y 4 y a) b) c) d) y y y 4y 5 y a) b) c) d) y y Simplifica: a) b) ( ) a) b) 9 6 ( + ) ( ) ( ) + 0 Calcula a para que 4 + 4a + a a + a ( + ) a ACTIVIDADES 04 Indica si las siguientes epresiones son o no monomios. 1 a) + yz c) 5 5 y e) + y 4 y b) d) yz f) ab + a 11 a) No monomio. c) Monomio. e) No monomio. b) Monomio. d) Monomio. f) No monomio. 8

9 Polinomios 05 Di si los monomios son semejantes. a) z, y, 6y c) 4c 9 d, c 7 d, cd 4 b) ab, a b, 7b d) 8y, 7y En a) son semejantes: y, 6y; z no es semejante a los anteriores. No hay ningún monomio semejante en los apartados b), c) y d). 06 Realiza estas sumas de monomios. a) z + z + 6z c) 9c 9 + c 9 + c 9 b) a b + 9a b + 7a b d) 8y + 7y + 4y + y a) 10z b) 7a b c) 11c 9 d) 81y 07 Efectúa las siguientes restas de monomios. a) z 6z c) 18y 7y y y b) 9a b a b d) a) z c) 5y b) 7a b d) 9 08 Realiza las operaciones e indica el grado del monomio resultante. a) b) 5y y + 7y y + 1y c) abc abc + 6abc + 9abc 4abc d) 5z z + 15z 11z + 8z z e) (yz) ( yz ) f) ( abc) (a b c ) ( bc) g) 7 (y) ( y 5 ) (y) h) (6ac ) ( a c ) ( ac) ( 4a c ) i) (1 y ) : (7y ) j) (9abc) : (bc) k) (16 4 y 5 a b 6 ) : (8 y a b 5 ) l) (5m n g 4 ) : (mng) a) 5 Grado. g) 4 4 y 7 Grado 11. b) 5y Grado 4. h) 144a 7 c 9 Grado 16. c) 1abc Grado. i) y Grado. d) 11z Grado. j) a Grado 1. e) 4 y z 4 Grado 9. k) y ab Grado 6. f) 6a b 4 c 4 Grado 11. l) 5 mng Grado 6. 84

10 SOLUCIONARIO Haz las siguientes operaciones. a) z + 6z + yz 8z c) 9c 9 c 9 c c 9 b) 9a b a b + 8a b a b d) 8y + 7y y + y y a) z + yz b) 14a b c) 17c 9 d) 16y Realiza estas multiplicaciones. a) y y ( 6y) c) 8y 7y b) ab a b 7b ab d) 15 9 ( 9 ) a) 18 y b) 7a 4 b c) 4y d) Efectúa las siguientes divisiones de monomios. a) 9y : y c) 15 8 : 5 8 e) 15 9 : 9 b) 9ab : ab d) 8y : y f) 7 : 8 4 a) b) 9 c) d) 4 e) 5 f) 4 Calcula y simplifica el resultado todo lo que puedas. a) 5( ) + 8 () () b) ( y) + 7y y + ( 4) ( 5y) c) ( ) + ( ) + ( ) ( ) d) (y y + 7y) (ab) e) ( + 6 ) ( 5z) a) d) (6y) (ab) 1yab b) y + 7y y + 0y 4y e) ( ) ( 5z) 10 z c) 4 Razona si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. a) b) - c) 4 7 d) 5 5 e) ( ) 4 f) - - a) Verdadera: b) Falsa, pues no podemos restar potencias con la misma base y distinto eponente. c) Verdadera: d) Falsa, ya que una potencia consiste en multiplicar un determinado número de veces la base, y no sumarla. e) Verdadera: ( ) 4. f) Falsa: 1. 85

11 Polinomios Indica el grado, el término independiente y el polinomio opuesto de los polinomios. a) P() + 7 d) S() 8 b) Q() e) T() c) R() + 1 f) U( ) a) Grado Término independiente: Opuesto: b) Grado Término independiente: 6 Opuesto: 6 c) Grado 1 Término independiente: 1 Opuesto: 1 d) Grado 0 Término independiente: 8 Opuesto: 8 e) Grado 4 Término independiente: 0 Opuesto: f) Grado Término independiente: 1 Opuesto: Razona si es cierto o falso. a) Un polinomio es la suma de dos monomios. b) El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. c) Los coeficientes de un polinomio son siempre números naturales. d) Todo polinomio tiene un término donde aparece. a) Falso. Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios. b) Verdadero. c) Falso. Los coeficientes son cualquier tipo de número. d) Falso. La variable no tiene por qué ser, y no es necesario que tenga un término de grado. 046 Reduce los siguientes polinomios. a) P() + b) Q() c) R() d) S() e) T() f) U( ) 6 7 a) P() 4 b) Q() c) R() + 1 d) S() + 64 e) T() f) U()

12 SOLUCIONARIO 047 Calcula el valor numérico de cada polinomio para los valores de la variable. a) A() + 1, para 1 1 b) B() 4 +, para c) C() 4 5 +, para 1 d) D() , para 1 e) E() + + +, para f) F() , para 0 g) G() 14, para a) A(1) b) B() c) C( 1) d) D(1) e) E( ) f) F(0) g) G( ) Halla los valores numéricos para el polinomio: P(, y) y + y y + 5 6y + 9 a) P(0, 0) c) P( 1, 1) e) P(1, ) b) P(1, 1) d) P(1, 1) f) P(, 1) a) P(0, 0) b) P(1, 1) c) P( 1, 1) ( 1) 1 + ( 1) 1 ( 1) ( 1) d) P(1, 1) 1 ( 1) + 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) e) P(1, ) f) P(, 1) HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA EL COEFICIENTE DE UN POLINOMIO CONOCIENDO UNO DE SUS VALORES NUMÉRICOS? Calcula el valor de k en el polinomio P() + k, si P() 5. PRIMERO. Se sustituye, en el polinomio, la variable por su valor. P() + k + k P() F + k 5 P() 5 SEGUNDO. Se despeja k en la ecuación resultante. + k 5 k 5 87

13 Polinomios 050 Calcula el valor de k en cada polinomio, sabiendo que P(1) 6. a) P() k d) P() k 6 k + k + k b) P() k 4 + k + 4 e) P() k c) P() k + k k a) k k 1 d) k k + k + k 6 k b) k + k k 1 e) k 6 c) 9 + k + k k 6 k 051 Dados los polinomios: P() R() + 1 Q() S() + calcula. a) P() + Q() c) P() S() e) P() + R() g) Q() R() b) Q() + P() d) Q() P() f) R() + S() h) R() P() a) ( ) + ( ) b) ( ) + ( ) c) ( ) ( + ) d) ( ) ( ) e) ( ) + ( + 1) f) ( + 1) + ( + ) g) ( ) ( + 1) h) ( + 1) ( ) Suma y resta los siguientes polinomios. a) P() 7 + 4; Q() + 5 b) P() + 1; Q() + c) P() + 1; Q() d) P() ; Q() e) P() y y ; Q() y y 1 1 f) P() y y ; Q() y y 1 1 g) P() ; Q() h) P() 5 ; Q()

14 SOLUCIONARIO a) Suma: Resta: 9 1 b) Suma: Resta: + 1 c) Suma: Resta: 5 d) Suma: 4 Resta: e) Suma: y y Resta: 1 y y f) Suma: 4y y Resta: y g) Suma: 4 Resta: h) Suma: 5 Resta: 5 05 Dados los polinomios: P() R() + 1 Q() S() + calcula. a) P() + Q() + R() + S() c) [P() + Q()] [R() + Q()] b) P() R() + S() Q() d) [P() Q()] [R() Q()] a) ( ) + ( ) + + ( + 1) + ( + ) b) ( ) ( + 1) + ( + ) ( ) c) [( ) + ( )] + + [( + 1) + ( )] ( ) ( ) d) [( ) ( )] + + [( + 1) ( )] [ ] [ ] Halla cuál es el polinomio Q() que hay que sumar a P() + 1 para obtener como resultado R(). a) R() 1 d) R() 7 b) R() 6 e) R() c) R() f) R() Q() R() P() a) Q() d) Q() b) Q() 5 e) Q() + 1 c) Q() 4 + f) Q()

15 Polinomios 055 Dados los polinomios: P() Q() R() + 1 calcula. a) P() Q() b) Q() R() c) P() R() d) R() R() a) ( ) ( 5 + 1) b) ( 5 + 1) ( + 1) c) ( ) ( + 1) d) ( + 1) ( + 1) Dados los polinomios: P() R() + 1 Q() S() + calcula. a) [P() Q()] S() c) [P() + Q() + R()] S() b) [R() Q()] S() d) [P() + Q() R()] S() a) [( ) ( )] ( + ) ( ) ( + ) b) [( + 1) ( )] ( + ) ( ) ( + ) c) [( ) + ( ) + + ( + 1)] ( + ) ( ) ( + ) d) [( ) + ( ) ( + 1)] ( + ) ( ) ( + ) Realiza las siguientes operaciones. 1 a) b) c) ( + 1) + 5 d) ( + 1)

16 SOLUCIONARIO 1 a) ( ) 4 b) c) d) Divide. a) ( ) : ( 1) b) ( ) : ( + 1) c) ( ) : ( + ) d) ( ) : ( + + 1) e) ( ) : ( ) a) b)

17 Polinomios c) d) e) Desarrolla. a) ( + ) d) (7 + 4 ) g) ( ) ( 4 5 ) b) ( ) e) ( + 7) ( 7) 1 h) c) ( ) f) ( + ) ( ) a) e) 4 49 b) f) c) g) d) h) Desarrolla estos cuadrados. a) ( + 5) c) ( y 8) e) ( y) b) (y 7) d) (y 6) f) ( + y) a) d) y 1 y + 6 b) 4y 8y + 49 e) + y + y c) y + 16y + 64 f) + y + 4 y 9

18 SOLUCIONARIO 061 Completa las siguientes igualdades. a) ( + ) c) (9 + 7) (9 7) b) (5 ) 5 + d) ( + ) a) ( + ) () b) (5 ) () c) (9 + 7) (9 7) 9 (7) d) ( ) + + ( + ) 06 HAZLO ASÍ Realiza la siguiente operación. ( ) ( + ) PRIMERO. Se desarrolla el polinomio aplicando los resultados de las igualdades notables. ( ) ( + ) ( ) ( ) SEGUNDO. Se quitan los paréntesis, teniendo en cuenta los signos. ( ) ( ) TERCERO. Se reduce el polinomio Por tanto: ( ) ( + ) Desarrolla y simplifica las siguientes epresiones. a) 5 + ( + 1) 4 ( 1) b) ( 1) ( + + 1) c) (5 + 5) (5 5) d) ( ) ( + ) ( ) e) ( + 6) ( 6) ( 5) ( + 5) f) ( + 1) ( 1) + ( + 1) ( + ) a) 5 + ( + 1) 4 ( 1) b) ( 1) ( + + 1) c) (5 + 5) (5 5) [(5) ] [(5) ] d) ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( ) [() ] e) ( + 6) ( 6) ( 5) ( + 5) f) ( + 1) ( 1) + ( + 1) ( + ) () (() + 1)

19 Polinomios 064 Epresa estos polinomios como el cuadrado de una suma o diferencia. a) c) b) d) a) + + ( + ) b) (4 ) c) ( + 8) d) ( + 1) 065 Epresa el área de cada figura mediante un polinomio. Simplifica su epresión. a) c) b) d) a) ( + 4) ( ) ( + 5) b) 1 15 c) ( + 5) ( + ) ( 1) ( + 4) d) Escribe los polinomios como producto de dos factores. a) 16 d) b) 4 6 e) 16 4y + 9y c) 4 5 f) a) ( + 4) ( 4) d) ( ) b) ( + 6) ( 6) e) (4 y) c) ( + 5) ( 5) f) (4 + ) 067 Fíjate en el ejemplo resuelto y completa. [( + ) + ] [( + ) ] ( + ) 9 a) [( y) + 4] [( y) 4] b) [(a + b) + c] [(a + b) c] a) ( y) 16 b) (a + b) c 94

20 SOLUCIONARIO 068 Etrae factor común en estas epresiones. a) 4 c) y 6yz 5yzt b) ( + 1) + ( + 1) d) 4 6 a) ( 4) c) y(1 6z 5zt) b) ( + 1) (1 + ) 4( + 1) d) ( 4 6 ) 069 Simplifica estas epresiones aplicando las igualdades notables y etrayendo factor común. a) e) ( + 4) ( ) b) f) ( 5) ( + 5) c) + g) ( 7) ( 7) d) h) ( + 5) ( 5) a) 7( + 1) 7( 1) b) 16( ) 16( + ) c) ( + 1) ( 1) d) ( ) ( 1) e) ( + ) ( ) ( 4) f) ( 5) ( + 5) ( 5) g) ( + 7) ( 7) ( 49) 49 h) ( 5) ( + 5) HAZLO ASÍ CÓMO SE SIMPLIFICAN FRACCIONES ALGEBRAICAS? 4 ( y y ) ( + 1) Simplifica. y ( 1) PRIMERO. Se descomponen el numerador y el denominador en tantos factores como sea posible. 4 ( y y ) ( + 1) y ( 1) F y ( y 1) ( + 1) y ( 1 ) F Se saca factor común a y : y 4 y y (y 1) Cuadrado de una diferencia: + 1 ( 1) y ( y 1) ( 1) y ( 1) SEGUNDO. Se dividen el numerador y el denominador entre los factores comunes a ambos. y ( y 1) ( 1) yy ( 1)( 1) y ( 1) 95

21 Polinomios 071 Simplifica las fracciones algebraicas. a) y ( 4 + 4) c) ( + 1) ( ) b) ( 4) ( 9)( y 16) d) ( ) y ( 6)( y + 4) a) ( 1) ( ) ( ++ ) b) ( + ) ( ) ( ) ( + ) c) d) y ( ) y ( ) ( ) ( + ) ( ) ( y + 4) ( y 4) y ( ) ( y + 4) ( + ) ( y 4) y ( y + 4) 07 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. a) ( 16) ( ) d) ( + 4) 9 4 b) ( 16 + ) ( 6 + 8) e) ( 16) c) f) 9 ( 1) a) ( 4) ( + 4) ( + 4) ( 4) b) c) d) e) f) ( 4) ( 4) ( 4) ( + 4) ( + 4) 18( 1) 18( 1) ( + 1) 9 ( 1) 9 ( 1) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) 4 ( + 4) 4 ( + 4) ( + 4) ( 4) ( 4) ( + 4) ( 4) ( + 4) ( 4) ( + 1)( 4) ( + 1) 07 Si P() tiene grado 5 y Q() tiene grado, determina, cuando sea posible, los grados de los polinomios: a) P() + Q() c) P() Q() b) P() Q() d) El cociente y el resto de P() : Q(). Haz lo mismo si P() y Q() tienen grado 5. 96

22 SOLUCIONARIO a) Grado 5. b) Grado 5. c) Grado d) Cociente Grado 5. Resto Grado menor que. Si P() yq() tienen grado 5: a) No se puede saber, porque puede ocurrir que algunos de los términos se anulen en la suma, si los coeficientes son opuestos. b) No se puede saber, porque quizá alguno de los términos se anulen en la resta, si los coeficientes son opuestos. c) Grado d) Cociente Grado Resto Grado menor que Las sumas siguientes son cuadrados perfectos A la vista de estos resultados, sabrías determinar a qué cuadrado es igual la siguiente epresión? + ( + 1) + ( + 1) Comprueba que tu igualdad es correcta. + ( + 1) + ( + 1) [ ( +1) + 1] Para demostrar esta fórmula, partimos del segundo miembro: [( + 1) + 1] [( + 1)] + ( + 1) + 1 ( +1) + ( + 1) + 1 ( + 1) ( + 1) ( + 1) + ( + 1) 075 Comprueba con algunos ejemplos que el producto de tres números enteros consecutivos sumado con el número del medio, es siempre un cubo perfecto. Demuéstralo para cualesquiera tres números enteros consecutivos: 1, y + 1. Ejemplos: ( 1) ( + 1) + ( ) + 97