TEMARIO DE MATEMÁTICAS [ ] III. TIPOS DE MUESTREO. TAMAÑO DE LA MUESTRA

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1 TEMARIO DE MATEMÁTICAS [07-8] TEMA 58: POBLACIÓ Y MUESTRA. CODICIOES DE REPRESETATIVIDAD DE UA MUESTRA. TIPOS DE MUESTREO. TAMAÑO DE UA MUESTRA. I. POBLACIÓ Y MUESTRA II. REPRESETACIÓ DE UA MUESTRA III. TIPOS DE MUESTREO. TAMAÑO DE LA MUESTRA III.. MUESTREO PROBABILÍSTICO III..A. MUESTREO CO PROBABILIDADES IGUALES III..B. MUESTREO CO PROBABILIDADES DESIGUALES III..C. MUESTREO ESTRATIFICABLE III..D. MUESTREO POR COGLOMERADOS III..E. MUESTREO SISTEMÁTICO III..F. OTROS MUESTREOS III.. MUESTREO ITECIOAL U OPIATIVO III.3. MUESTREO SI ORMA IV. BIBLIOGRAFÍA

2 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua TEMA 58: POBLACIÓ Y MUESTRA. CODICIOES DE REPRESETATIVIDAD DE UA MUESTRA. TIPOS DE MUESTREO. TAMAÑO DE UA MUESTRA. Uo de los objetvos de la Estadístca es hacer ferecas, es decr, extraer coclusoes acerca de cojutos defdos por ua propedad a partr de u subcojuto determado de los msmos. Uo de los problemas que se platea, y que estudaremos e este tema, es cómo elegr el subcojuto de forma que los datos que a partr de él se obtega puede ser extrapolados a toda la poblacó. Es evdete que cuatas más observacoes realcemos, mejor formacó tedremos de la dstrbucó del cojuto del cual se extrae los datos, pero geeralmete o es mposble o es costoso hacer extraccoes expermetales de todos los dvduos del grupo. Por ello, se debe buscar u método para determar cuátas observacoes precsamos para poder coocer lo que deseamos co u error máxmo fjado prevamete. Este es el objetvo cetral de la Teoría del Muestreo. I. POBLACIÓ Y MUESTRA Los prmeros coceptos fudametales a cosderar e la teoría de muestras so los de poblacó y Se deoma poblacó o uverso a cualquer coleccó fta o fta de dvduos o elemetos sobre los que se quere realzar u estudo. Los elemetos de ua poblacó o tee por qué ser persoas; puede ser árboles, raas, lbros E ua poblacó se puede medr ua o varas característcas y clasfcar sus udades de acuerdo co ellas. A partr de estos resultados podemos hallar valores como la meda, varaza, etc., a los que deomaremos parámetros o característcas poblacoales. Se da el ombre de ceso a la eumeracó y aotacó de certas característcas de todos los elemetos de la poblacó.

3 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 3 A la poblacó que se teta vestgar se le deoma poblacó objetvo y estará compuesta por todos los dvduos de la poblacó. S embargo, e el mudo real exste omsoes, duplcacoes, udades extrañas. Por otra parte quzás o pueda obteerse formacó de alguas udades por dferetes motvos, como que o está accesbles e ese mometo o que se ega a colaborar. Todo ello hace que el cojuto que realmete es objeto de la vestgacó sea dferete de la poblacó objetvo y será deomada poblacó vestgada. E muchos casos puede que o sea posble o coveete obteer formacó de todos los dvduos de la poblacó, por lo que el estudo se reduce a ua parte de la msma. Se deoma muestra a ua parte de la poblacó que se obtee co el f de vestgar las propedades de la poblacó. Es deseable que la muestra represete lo mejor posble a los elemetos de la poblacó, e el setdo de que proporcoe buea formacó sobre ella. Para elegr las udades que va a costtur la muestra es ecesaro dspoer de u cojuto real de udades que se ajuste lo mejor posble al cojuto deal que costtuye la poblacó objetvo. Al lstado de udades que compoe la poblacó a partr del cual se seleccoa la muestra lo llamaremos marco. Llamamos muestreo al cojuto de reglas o al procedmeto medate el cual se obtee ua o más muestras de la poblacó. II. REPRESETACIÓ DE UA MUESTRA Cuado se extrae ua muestra, los datos obtedos a partr de ella os permte ferr uos valores aproxmados de la poblacó e su totaldad. A estos valores aproxmados se les deoma estmadores, los cuales vedrá afectados por uos errores que llamaremos errores de muestreo. Cuato meor sea el error de muestreo mayor será la precsó del estmador correspodete. Este tpo de errores sempre va asocados a las muestras, es decr, sempre cometeremos error de muestreo sea cual sea el método de eleccó de ua Ua muestra será tato más represetatva cuato más pequeño sea el error de muestreo, etededo por muestra represetatva aquella que os srve para juzgar co bastate certeza la característca que os teresa de la poblacó total.

4 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 4 Vamos a tratar, pues, de saber más cosas del error de muestreo, vedo qué propedades debe teer u bue estmador y cuál es el error de muestreo debdo a dcho estmador. S ˆθ es u estmador de u parámetro descoocdo θ de la poblacó, ua propedad deseable de ˆθ es que sea sesgado, es decr, que ( ˆ) E θ =θ. E caso de que ˆθ sea sesgado medremos su precsó medate la varaza (cuato más pequeña, más precso será ˆθ ). S ˆθ o es sesgado, su precsó se mde co el error cuadrátco medo: ( θ ˆ) = ( θ θ ˆ ) ECM E (a meor error mayor precsó), que cocde co la varaza e el caso de ser sesgado. E geeral, y partedo de la expresó ateror, se deduce que ( θ ˆ) = ( θ ˆ) + ECM V B dode V( θ ˆ) es la varaza de ˆθ y B E( ˆ) = θ θ es el llamado sesgo. Etoces, como hemos vsto, es la varaza de u estmador la que mde el error de muestreo. També se puede medr medate la desvacó típca, σ, ya ˆθ que es la raíz cuadrada de la varaza. varacó: A veces també se cosdera el error de muestreo relatvo o coefcete de e.m.r = E σ θ ˆ ( θˆ ) Puede parecer que los errores de muestreo mpoe ua sera lmtacó a la utlzacó de muestras, pero esta mpresó es justfcada, pues exste métodos que mmza estos errores y procedmetos que permte establecer el error de muestreo que estamos dspuestos a tolerar, y seleccoar la muestra de tal forma que las coclusoes que hagamos sobre los valores de la poblacó o vega afectados por errores de muestreo superores a los establecdos.

5 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 5 Además de los errores de muestreo exste otros errores ajeos al muestreo, como puede ser: - Errores de medda, que so la dfereca etre el valor observado y el valor real - Errores de procesameto, que so debdos a errores e la etrada, edcó y aálss de datos. - Errores de falta de respuesta, que se produce cuado para certos elemetos de la muestra o se obtee la formacó deseada. III. TIPOS DE MUESTREO. TAMAÑO DE LA MUESTRA III.. MUESTREO PROBABILÍSTICO Es aquel e el que se puede calcularse de atemao la probabldad de seleccoar ua de las muestras posbles de la poblacó. La seleccó de la muestra se cosdera como u expermeto aleatoro y por eso habla de muestras aleatoras e el setdo de muestras probablístcas. Se dce que el muestreo es probablístco superor cuado coocemos la probabldad de extraccó de certa parte de la poblacó pero o de u elemeto detro de ella. Por otra parte está el muestreo probablístco feror que es aquel e que se cooce la probabldad de seleccó detro de ua parte de la poblacó, pero o la probabldad de seleccó de dcha parte. Para que el muestreo sea probablístco debe ser feror y superor. Vamos a estudar varos tpos de muestreo probablístco. III..A. MUESTREO CO PROBABILIDADES IGUALES Es el muestreo base para los muestreos probablístcas; los coceptos fudametales y las fórmulas mportates derva de él. Por otra parte, srve como refereca cuado se teta evaluar la caldad de u método cualquera. La úca hpótess de la que se parte cosste e supoer la exsteca de u marco perfecto, es decr s omsoes duplcacoes. Podemos dstgur dos tpos de muestreo co probabldades guales: - S reemplazo o muestreo aleatoro smple (m.a.s) - Co reemplazo

6 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 6 El m.a.s es el más secllo y el más utlzado. o ecesta de gú coocmeto a pror de la poblacó. La muestra se obtee udad a udad, s reposcó de éstas a la poblacó después de cada seleccó, y co la msma probabldad. Supogamos que tego ua poblacó P de tamaño, cuyos elemetos so { } P=,,,. E ella estudamos ua varable X que toma el valor x e. Fjado el tamaño muestral, cosdero todas las posbles muestras de tamaño, y llamaré a ese cojuto S (es el espaco muestral). Represetaré co letras mayúsculas las característcas o parámetros de la poblacó y co músculas las de la Así tego: = tamaño poblacoal = tamaño muestral x = X = = meda poblacó x = x = = meda muestral ( x X) ( x x) = = = S cuasvaraza pobl. = = ( x X) ( x x) = σ = = varaza pobl. = s cuasvaraza muestral = = = s varaza muestral Lo que vamos a hacer será hallar estmadores del total poblacoal (X), de la meda poblacoal ( X ) y de la proporcó de la poblacó que está e u grupo determado (P). Veremos s estos estmadores so bueos calculado sus varazas y hallaremos el tamaño muestral óptmo e cada caso. Ates de ada, veamos qué forma tomará u estmador sesgado de u parámetro cualquera θ, que será de la forma θ= a x. = U estmador de θ vedrá dado por θ= ˆ b x = b x = = I dode I (s) S perteece a la muestra s 0 S o está e la muestra s = co s S

7 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 7 S mpoemos que sea sesgado, etoces E( θ ˆ) =θ : ( ˆ θ ) = I = ( I) = ( ) E E b x b xe * = = S represeto por seleccoado e la muestra, etoces Etoces ( ) ( ) ( ) I = + =Π E P s 0 P s ( ) * = b xπ =θ= a x = = Π a la probabldad de que el elemeto a Π = =. Π de dode b a b sea Por tato θ= ˆ a x es estmador sesgado de θ. = Π Es fácl comprobar que tato s dos muestras co las msmas udades e dstto orde cocde, como s dos muestras co las msmas udades e dstto orde so dferetes, se cumple que que Π =. També e ambos casos se comprueba que s y ( ) ( ) j Π deota la probabldad de sea seleccoadas cojutamete e la muestra, etoces Π j =. (Este valor se usará más tarde). j X, X y P: Ya estamos e codcoes de hallar los estmadores sesgados de X = x =, es decr, a =. Por tato, = / = X ˆ = x = x = X X = x, es decr, a = =. Por tato, = / = ˆX = x = x = x P= A dode = A S a la clase = 0 S a la clase Etoces, ˆP = A = A = p = / =

8 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 8 (p= proporcó de la muestra) Estos estmadores so leales e sesgados; s además tee míma varaza, etoces los valores de la varable está muy próxmos al parámetro descoocdo, y será por tato bueos estmadores. Estudemos pues, la varaza de los estmadores. Para la meda Sabemos que X ˆ = x= x = xi = = ˆ ( ) I I var X = Var x = var x = = = = ( I) ( I ji var x + cov x,x j) = = j = + = = j x var( I) xx j cov ( I, Ij) (*) E ( I ) =Π, como ya vmos E( I ) = P( a la muestra) + 0 P( a la muestra) =Π Var( I) = E( I ) ( E ( I )) =Π Π =Π( Π) Cov ( I, Ij) = E ( I, Ij) E( I) E( Ij) =Πj ΠΠ j s,j a la muestra IIj = E( IIj) =Πj 0 e otro caso * = x Π Π + x x Π ΠΠ = (*) = j ( ) ( ) j( j j) Π ( Π ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Π ΠΠ = = j j

9 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 9 ( ) Sacado, e ambos membros, factor comú ( ) * = x x x = * ( ) = j ( ) ( ) j ( ) Desarrollamos σ : ( x X) x x x = = = = X σ = = = = x x + xx j = = j = = x x x j = = j ( ) = x xx j = j co Etoces, os queda que * = σ = S = = f ( ) S S ( ) ( ) ( ) f =. Al factor -f se le llama correccó para poblacoes ftas. Coclusó: Var X e.m. X c.v. X Para el total: ˆ ( ) = ( f) ˆ ( ) x S =σ = f S ˆ σx S / X ( ) = = f X ( ˆ ˆ ) ( ) ( ) S Xˆ = x Var X = Var x = Var X = ( f) El error de muestreo es e.m. ( Xˆ ) Para la proporcó = f S

10 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 0 ( ˆ σ ) ( ) Pˆ = p Var P = = * P Σ A = co A B(,P) Luego P( P) (*) σ = = PQ P Q = ( ˆ) e.m. P PQ = El problema es que hemos obtedo que las varazas de los estmadores depede de la cuasvaraza poblacoal, e geeral descoocda. Por tato, tedremos que estmarla. Se puede demostrar (de maera o muy fácl) que la cuasvaraza muestral es u estmador sesgado de la cuasvaraza poblacoal. Cosderado lo ateror como váldo, e todas las fórmulas aterores se susttuye S por s, y obteemos: s = ( f) ( ) ˆ Var X ( ) ˆ Var X Var ( Pˆ ) = ( f) s s PQ ˆ ˆ PQ ˆ ˆ = = = Por lo geeral o se puede obteer el tamaño exacto de ua muerta pero sí ua aproxmacó. La decsó sobre el tamaño de ua muestra es mportate ya que s tomamos ua muestra muy grade puede mplcar u desperdco de recursos, y s la cogemos pequeña dsmuye la utlzad de los resultados. La teoría de muestreo proporcoa u plateameto geeral que solucoa este problema. Para ello fjamos u error máxmo admsble ( e ˆ) de cofaza p k K θ = σ, y fjo també u vel

11 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua S lo que quero es estmar la meda, el tamaño muestra óptmo será: S S e = K σ = K ( f) e K ( f) ˆx = S S K S e = K K = K S e + K S = K S + e optmo S quero estmar totales, el tamaño muestral óptmo será: S S e = K σ = K ( f) e K ( f) ˆx = K S = e K S + e opt S quero estmar proporcoes ( ) PQ PQ e= Kσ = K e = K p PQ e = K K PQ K PQ K PQ opt = = e K PQ K PQ e + + e Como vemos está e fucó de S que es descoocda. Lo que tedremos que hacer será estmar ua ecuesta ploto. S por datos de otros expermetos aterores o medate El muestreo co reemplazo se da cuado elegmos la muestra udad a udad, co reposcó de éstas a la poblacó después de cada seleccó. El desarrollo que hemos hecho para el m.a.s se puede hacer aquí de forma aáloga. Idquemos, por ejemplo, que los estmadores so los msmos e ambos

12 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua tpos de muestreo y que las varazas so cluso más secllas. Resaltamos que los estmadores de las varazas e el m.a.s era sesgados, s embargo e el muestreo co reemplazo o tee por qué serlo. III..B. MUESTREO CO PROBABILIDADES DESIGUALES Las extraccoes co probabldades guales está basadas e la dea de que s o se cooce ada a pror de las varables estudadas, o s o se puede utlzar la formacó que de ellas se posee, lo mejor es atrbur u peso gual a las udades de la poblacó. Co frecueca o se da e la práctca estas característcas. Es ormal que el orgazador de la ecuesta utlce datos o hpótess aterores a la realzacó de ésta. Estos datos le lleva a dar más mportaca a certas udades frete a otras, por lo que la probabldad de seleccó de cada udad sea dstta y varará segú la mportaca que ésta tega. III..C. MUESTREO ESTRATIFICABLE Tee como objetvo mejorar las estmacoes agrupado a los elemetos más parecdos etre sí. Se dvde la poblacó e varas subpoblacoes o estratos, geeralmete co elemetos que tee característcas comues. estratos: La seleccó de la muestra se hace tomado elemetos de cada uo de los E = Estrato -ésmo E E E = (Tamaño poblacó) = (Tamaño muestra) 3 El reparto del tamaño de la muestra etre los dferetes estratos se llama afjacó y puede ser de tres tpos: Uforme: que cosste e repartr por gual la muestra e los dferetes estratos. Proporcoal: que cosste e dstrbur la muestra proporcoalmete al tamaño de cada estrato

13 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 3 Óptma: que hace que el reparto sea proporcoal al úmero de elemetos de cada estrato y a la desvacó típca del msmo. Así se tee e cueta la falta de homogeedad de la subpoblacó. Este tpo de muestreo tee la vetaja de que puede sacarse coclusoes e cada estrato. III..D. MUESTREO POR COGLOMERADOS Cosste e dvdr la poblacó e partes (coglomerados) buscado que los elemetos de cada coglomerado sea lo más heterogéeos posble, para que cada uo represete de algua maera a la poblacó. Se hace u lstado de todos los coglomerados y se seleccoa al azar u úmero determado de esta lsta. III..E. MUESTREO SISTEMÁTICO E este muestreo se eumera los elemetos de la poblacó. Se toma tamaño poblacó K = =, y se elge aleatoramete u elemeto de etre los K tamaño muestra prmeros. A cotuacó se toma los sguetes de K e K. Cuado el orge o es aleatoro so que se toma los elemetos cetrales de cada grupo de K cosecutvos, el muestreo se deoma rígdo o estrctamete sstemátco y deja de ser probablístco. F. OTROS MUESTREOS Muestreo doble o bfásco: Costa de dos fases. E la prmera se toma ua muestra grade de forma rápda, seclla y poco costosa, e la que se estudará algú aspecto fudametal para la seguda fase. E la seguda fase se seleccoa ua muestra de etre los seleccoados e la muestra ateror por algú otro método. S se utlza más de dos fases se llama muestreo múltple. Muestreo repetdo: Cosste e la obtecó de muestras de ua msma poblacó dámca a tervalos regulares de tempo, para estudar la evolucó de la poblacó. Muestreo secuecal: suele utlzarse e el campo dustral e modelos de speccó para aceptar o rechazar lotes de productos, etre otras cosas. o se fja

14 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 4 de atemao el úmero de udades que forma la muestra, so que se va examado cada ua y a cotuacó se decde s segur el muestreo o coformarse co la formacó ya obteda para decdr s el lote se acepta o rechaza. III.. MUESTREO ITECIOAL U OPIATIVO E este tpo de muestreo es la persoa que seleccoa las muestras la que procura que ésta sea represetatva. La represetatvdad depede, por tato, de su tecó u opó, y la evaluacó de ésta es totalmete subjetva. La composcó de la muestra puede estar bastate fluecada por las preferecas del dvduo que las obtee. Este muestreo carece, por tato, de ua base teórca cosstete. S embargo, su uso es bastate frecuete, por ejemplo e el deomado muestreo por cuotas. Veamos e qué cosste: Supogamos que el dseño de la ecuesta ha segudo los prcpos del muestreo probablístco hasta llegar al mometo de seleccoar las persoas que ha de ser etrevstadas. Esta etapa fal cosste, e el muestreo por cuotas, e asgar a cada etrevstador u úmero de etrevstas a persoas e u determado grupo de edad, sexo, vel ecoómco, zoa de resdeca, etc. Sujeto a estas restrccoes, se deja e lbertad al etrevstador para que elja a las persoas que cumple dchos requstos. El marge de lbertad dado al etrevstador puede troducr sesgos e el proceso de seleccó que o podrá ser detectados. El descoocmeto de las probabldades de seleccó hace que o pueda estmarse los errores de muestreo. III.3. MUESTREO SI ORMA Aquí se toma la muestra de cualquer maera, por comoddad o a caprcho. S la poblacó es homogéea, la muestra obteda puede ser represetatva. E ocasoes la uformdad puede ser susttuda por ua buea mezcla de elemetos ates de tomar muestras (por ejemplo, barajar las cartas, o grar el bombo de las bolas).

15 Tema 58: Poblacó y Codcoes de represetatvdad de ua Tpos de muestreo. Tamaño de ua 5 IV. BIBLIOGRAFÍA Cesar Pérez López. Muestreo estadístco: coceptos y problemas resueltos. Pearso Educacó, 005. Vrtudes Alba Ferádez; ura Ruz Fuetes. Muestreo Estadístco, Septem Edcoes, 004. Rodríguez Osua, J. (993). Métodos de muestreo. Madrd, CIS