SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS
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- Diego Belmonte Lagos
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1 Fundmentos de Químic Teóric SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS Se l ecución de Schrödinger del oscildor rmónico: d + kx = E ( m dx L solución de est ecución, o lo que es lo mismo, l obtención de l función de ond correspondiente, se logr medinte el método de seprción de vribles. Pr ello es preciso crer dos términos nuevos: E m λ = = ω x ω k donde ω = m Sustituendo ls nuevs vribles, l ecución de Schrödinger ( qued como: d = λ ( que es l correspondiente l estdo cu energí se represent por λ. Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 3.
2 Fundmentos de Químic Teóric Sen ls ecuciones: d d d = + d d d + = + los nuevos operdores: d + d + con los que ls ecuciones (3 (4 se pueden escribir: d + = ( + (3 (4 d + = ( Como el término de l izquierd es equivlente l de l ecución de Schrödinger (, entonces, por simple sustitución qued que l mism puede ser escrit en culquier de ls forms: + + ( λ = ( λ + ( λ = ( λ ( λ ( λ (5 (6 donde (λ es l función de ond del estdo de energí λ. Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 3.
3 Fundmentos de Químic Teóric Esto quiere decir que l plicción del operdor - l imgen + (λ tiene el vlor propio de l energí del estdo inferior (λ+ contrrimente l plicción del operdor + sobre l imgen - (λ tiene como vlor propio l energí del estdo superior (λ-. L conmuttividd de estos operdores puede conocerse restndo (6 de (5: + + ( λ ( λ ( = lo que es válido pr culquier función de ond, por lo que el conmutdor es, obvimente: [, ] = = (7 Qued clro que + - no tienen ls misms funciones propis. Aplicndo - en mbos ldos de l ecución (6, qued: + ( λ ( λ = ( λ (8 teniendo en cuent que (7 se puede expresr como: + + = se sustitue en el primer término de (8 se reorden, quedndo: + ( λ ( λ ( = ( λ 3 ( Como l ecución de Schrödinger (6 en términos del estdo con l energí λ- se podrí escribir tmbién como: + ( λ ( λ = ( λ 3 (9 se not que - (λ es equivlente o, por lo menos, proporcionl (λ-. Por lo tnto, l función de ond que describe el estdo cu energí es λ- puede ser generd por el operdor d ( + l ser plicdo l función del estdo cu energí es λ. Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 3.
4 Fundmentos de Químic Teóric A prtir de lo nterior se dice que el operdor d + es de reducción de estdos o de niquilción. Recíprocmente, de dice que el operdor + d es de generción de estdos o de creción. En el cso prticulr del oscildor rmónico no se puede repetir l operción de niquilción indefinidmente sobre ls funciones de ond de sus diversos estdos porque el mismo no puede tener energís negtivs. Esto implic l existenci de un vlor mínimo positivo de λ llmdo λ min de form que: ( λ min = ( Si se plic + mbos ldos de (, qued tmbién: + ( λmin = usndo l ecución de Schrödinger (6, qued hce que: ( λ min + ( λmin ( λmin = ( λ = como no puede ser cero, entonces: λ min = Como se vio en (9, ls funciones de ond corresponden estdos cus energís en términos de λ vrín con diferencis de (como λ - 4, λ - 6, etc., por lo que según ls restricciones que hemos ido encontrndo nteriormente se puede concluir que: λ =,3,5,... que se puede proponer un número cuántico vibrcionl υ, tl que: Entonces: λ = υ + pr υ =,,,... ( λmin = υ= = Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 3.
5 Fundmentos de Químic Teóric Si se sustitue el vlor de λ en términos del número cuántico υ en su definición con respecto l energí qued que: E ω = (υ + = ( υ + ω lo que implic que:. Aunque los estdos están cuntizdos ls diferencis de energí entre ellos son equivlentes entre si, dependen de l frecuenci ω del oscildor pues siempre = ω Eυ + Eυ. Como l constnte de fuerz determin el vlor de ω k cundo l mism es pequeñ o tiende cero, los estdos se seprn cd vez menos se v perdiendo l cuntizción, psndo un continuo, o lo que es lo mismo, un sistem no cuntizdo. Usndo el operdor de creción + puede generrse culquier estdo correspondiente los números cuánticos υ. Así, si pr generr el primer estdo excitdo de υ = : + = N sucesivmente: + υ = N ( donde N υ es l constnte de normlizción. υ υ Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 3.
6 Fundmentos de Químic Teóric Pr finlmente resolver l ecución de Schrödinger encontrr l form funcionl de tenemos que recordr que no existe ningún estdo de menor energí por lo que no se puede niquilr con -, entonces: d = + = d = cu solución es l función gussin: = Ne Si se plic sucesivmente el operdor de creción +, entonces: = N e = N( 4 e lo que d lugr un regulridd de polinomios denomind como polinomios de Hermite, ddos por H =, H =, H = 4 -, H 3 = 8 3 -, etc. Así l solución generl del oscildor rmónico es un gussin que depende de l ms de l prtícul oscilndo, l frecuenci l mplitud según: donde υ = Nυ Hυ ( m = ω e N υ = pr υ =,,,... απ υ υ! x Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 3.
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