ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA

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1 UNIDAD 5 ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA Introducción a la unidad En la unidad 4 corrspondint a Prubas d Hipótsis, s studiaron prubas tanto para las mdias poblacionals como para las proporcions poblacionals. En algunos casos l tamaño d la mustra ra mayor qu 30, mintras qu n otras la mustra ra pquña. Sin mbargo, todas stas situacions d prubas prsntaron una caractrística común: ncsitaban d cirtos supustos rspcto a la población. Por jmplo, las prubas t y las prubas F rqurían l supusto d qu la población stuvis distribuida normalmnt. Dbido a qu tals prubas dpndn d postulados sobr la población y sus parámtros, s dnominan prubas paramétricas. En la práctica, surgn muchas situacions n las cuals simplmnt no s posibl hacr d orma sgura ningún supusto sobr l valor d un parámtro o sobr la orma d la distribución poblacional, por lo qu la mayoría d las prubas dscritas n los capítulos antriors no son aplicabls. Más bin s dbn utilizar otras prubas qu no dpndan d un solo tipo d distribución o d valors d parámtros spcíicos; stas prubas s dnominan prubas no paramétricas (o librs d distribución). Objtivo particular d la unidad Analizar los undamntos d la stadística no paramétrica, su importancia, dsarrollo y volución, así como su aplicación n las áras conómicoadministrativas. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 1

2 Lo qu sé Elig la rspusta corrcta a la siguint prgunta: 1. La órmula dl stadístico z s: a) z k i1 o x z b) n c) k ( o ) z i1 Tmas d la unidad V 1. Caractrísticas d las prubas no paramétricas. Prubas d bondad d ajust 3. Tablas d contingncia 4. Pruba d los signos d Wilcoxon 5. Pruba d rachas 6. Otras prubas Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

3 Rsumn d la unidad En sta unidad studiamos d los métodos stadísticos conocidos como prubas no parámtricas. Todos sabmos qu los procdimintos paramétricos opran bajo algunos supustos con rspcto a la distribución d la población d la cual s obtin la mustra para trabajar. Las prubas no paramétricas no ncsitan d éstos supustos para su opración, y sto las convirt n procdimintos stadísticos d gran aplicación, admás stas prubas no paramétricas s pudn aplicar a datos nominals y ordinals. La pruba d los signos s uno d stos procdimintos no paramétricos qu prmit idntiicar posibls dirncias ntr dos poblacions cuando s cunta únicamnt con datos nominals. Aplicando cuando la mustra s pquña la distribución d probabilidad binomial para dtrminar los valors críticos d la pruba d los signos. Y cuando la mustra s grand s pud usar la distribución normal como aproximación. La pruba d los signos d Wilcoxon s una pruba no paramétrica qu analiza datos parados d mustras cuando s dispon d datos con scala d intrvalo o d razón para cada una d las parjas ormadas; s claro qu no rquir d supustos acrca d la distribución d probabilidad d la población d la qu s obtinn las mustras y n términos gnrals, la pruba d Wilcoxon manja la hipótsis d qu las dos poblacions son idénticas. La pruba d Mann-Whitny-Wilcoxon compruba si hay una dirncia ntr dos poblacions, para lo cual s basa n dos mustras alatorias indpndints. La pruba d Kruskal-Wallis amplia la d Mann-Whitny-Wilcoxon al caso d trs poblacions o más. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 3

4 Tma 1. Caractrísticas d las prubas no paramétricas Objtivo dl tma Distinguir las caractrísticas d la prubas no paramétricas y su utilidad n las áras conómico administrativas. Dsarrollo Las prubas no paramétricas son útils sobr todo cuando no s conoc la distribución dl cual provinn los datos y, por tanto, no s conoc la distribución dl stadístico para hacr una stimación por intrvalos d conianza o una pruba d hipótsis. Estas prubas son útils por jmplo cuando l tipo d datos s nominal u ordinal. Gnralmnt son más ácils d ralizar y comprndr ya qu no rquirn cálculos laboriosos ni l ordnaminto o clasiicación ormal d datos o mdicions más xactas d parámtros poblacionals. ACTIVIDAD 1 Con los autors Brnson, Lvin y Mason, has un cuadro comparativo d las caractrística qu hacn útils las prubas no paramétricas n las áras conómico administrativas. CARACTERISTICAS BERENSON LEVIN MASON Dscarga l siguint cuadro para compltarlo, una vz qu lo tngas listo prsiona l botón Examinar. Localiza l archivo, ya slccionado, prsiona Subir st archivo para guardarlo n la plataorma. 4 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

5 Bibliograía básica Autor Capítulo Páginas Sitios lctrónicos Sitio Dscripción Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 5

6 Tma. Prubas d bondad d ajust Objtivos dl tma Aplicar las prubas d bondad d ajust n las áras conómico administrativas. Dsarrollo Prubas d bondad d ajust. Mdidas sobr qué tan crca s ajustan los datos mustrals obsrvados a una orma d distribución particular plantada como hipótsis. Con rcuncia, las dcisions n los ngocios rquirn qu s prub alguna hipótsis sobr la distribución poblacional dsconocida. Por jmplo, s pud plantar la hipótsis qu la distribución poblacional s uniorm y qu todos los valors posibls tinn la misma probabilidad d ocurrir. Las hipótsis qu s probarían son las siguints: H0: La distribución poblacional s uniorm. H1: La distribución poblacional no s uniorm. La pruba d bondad d ajust s utiliza ntoncs para dtrminar si la distribución d los valors n la población s ajusta a una orma n particular plantada como hipótsis n st caso, una distribución uniorm. D la misma manra qu con todas las prubas stadísticas d sta naturalza, los datos mustrals s toman d la población y éstos constituyn la bas d los hallazgos. Si xist gran dirncia ntr lo qu ralmnt s obsrva n la mustra y lo qu s spraría obsrvar si la hipótsis nula ura corrcta, s mnos probabl qu la hipótsis nula sa vrdadra. Es dcir, la hipótsis nula db rchazars cuando 6 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

7 las obsrvacions obtnidas n la mustra tinn dirncias signiicativas dl patrón qu s spra qu ocurra n la distribución plantada como hipótsis. Por jmplo, si s hac rodar un dado buno, s razonabl plantar como hipótsis un patrón d rsultados tal qu cada rsultado (númros dl 1 al 6) ocurra aproximadamnt un sxto d las vcs. Sin mbargo, si un porcntaj signiicativamnt grand o pquño d númro pars ocurr, pud concluirs qu l dado no stá balancado adcuadamnt y qu la hipótsis s alsa. Es dcir, si la dirncia ntr los patrons d vntos qu n ralidad s obsrvaron y l patrón d vntos qu s spra qu ocurra si la hipótsis nula s corrcta, pruba sr dmasiado grand como para atribuirlo a un rror d mustro db concluirs ntoncs qu la población prsnta una distribución distinta d la spciicada n la hipótsis nula. Para contrastar la hipótsis rlativa a una distribución poblacional, s db analizar la dirncia ntr las xpctativas con bas n la distribución plantada como hipótsis y los datos rals qu aparcn n la mustra. Para lo antrior, s utiliza la distribución (Chi-cuadrada) como pruba stadística d bondad d ajust y s utiliza alguna d las siguints órmulas: k ( o ) i1 o k i1 o n En dond: o Es l stadístico d pruba. Es la rcuncia d los vntos obsrvados n los datos mustrals Es la rcuncia d los vntos sprados si la hipótsis nula s corrcta k Es l númro d catgorías o class. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 7

8 n Es l númro d datos. La pruba tin K-m-1 grados d librtad, n dond m s l númro d parámtros por stimar. Por jmplo si s dsconoc la mdia o varianza d la población y s tinn qu stimar cada uno rprsnta un grado mnos d librtad. En la órmula podmos obsrvar qu l numrador mid la dirncia ntr las rcuncias d los vntos obsrvados y las rcuncias d los vntos sprados. Tipo d prubas no paramétricas Paso 1. Establcr la hipótsis nula ( H o ) y la hipótsis altrnativa ( H 1 ). La H o indica qu no hay dirncias signiicativas ntr las rcuncias obsrvadas y las rcuncias spradas. Cualquir dirncia pud atribuirs al mustro o a la casualidad. La H i indica por lo tanto qu si hay dirncias signiicativas ntr una distribución sprada y la stimada para la población. Paso. Elgir un nivl d signiicación. Paso 3. Elgir y calcular l stadístico d pruba Paso 4. Establcr la rgla d dcisión. Paso 5. Calcular l valor d Chi-cuadrada crítica ( c ) y tomar la dcisión. 8 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

9 Tipos d prubas d bondad d ajust 1. Pruba para un ajust uniorm S prtnd probar qu la distribución d datos s uniorm. Ejmplo d aplicación; un nuvo dirctor d mrcadotcnia tin la rsponsabilidad d controlar l nivl d xistncias para 4 tipos (A, B, C, D) d automóvils vndidos por su mprsa d distribución. L han inormado qu la dmanda d cada tipo d automóvils s la misma. Para probar sta hipótsis s slcciona una mustra alatoria d 100 automóvils vndidos n los últimos mss. S rquir un nivl d signiicación dl 10%. S cunta con la siguint inormación: Solución: Tipo Automóvil Vntas Obsrvadas A 3 B 1 C 19 D 8 1. H o = La dmanda s uniorm para los 4 tipos d automóvils H 1 = La dmanda no s uniorm para los 4 tipos d automóvils. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 9

10 3. S lgirá l stadístico d pruba: k ( o ) i1 y s compruba con: k i1 o n Tabla d rcuncias obsrvadas y spradas Tipo Automóvil Vntas Obsrvadas Vntas Espradas ( o ) o A B C D Suma Por lo tanto: comprobamos: k ( o ) 4.40 ; utilizando la otra órmula, i1 k o n i1 4. Rgla d dcisión: Si s qu c no s rchaza la H o. En caso contrario rchazar la H o. 5. En la tabla d la distribución :, si s tinn gl=k-m-1 = 4-1=3 y l nivl d signiicación s d 0.10, s obsrva: 10 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

11 c,0.10, Por lo tanto como < 6.51, la hipótsis nula d qu la dmanda s uniorm, no s rchaza. Las dirncias no son lo suicintmnt grands para rutar la hipótsis nula; las dirncias no son signiicativas y pudn atribuirs simplmnt a un rror d mustro. Vamos otro jmplo, una tinda vnd 6 tipos d tarjtas d onomástico y s quir sabr si todas s vndn n las mismas cantidads. Si n l siguint día s vndiron 10 tarjtas, s spraría qu s vndiran 0 d cada una. Sin mbargo, l númro d tarjtas qu s vndiron d cada tipo uron: A 13; B 33; C 14; D 14; E 36; F 17. Con sta inormación, probar qu no hay dirncias signiicativas n l númro d vntas d las tarjtas n studio a un nivl d signiicación dl 5%. Solución: 1. H o = Las tarjtas s vndn n la misma cantidad. H 1= Las tarjtas no s vndn n la misma cantidad Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 11

12 3. S lgirá l stadístico d pruba: k ( o ) i1 y s compruba con: k i1 o n Tipo Tarjta Vntas Obsrvadas Vntas Espradas ( o ) o A B C D E F Suma Tabla d rcuncias obsrvadas y spradas Por lo tanto: k i1 ( ) o ; utilizando la otra órmula, comprobamos: k o n i1 4. Rgla d dcisión: Si s qu c no s rchaza la H o. En caso contrario rchazar la H o. 1 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

13 5. En la tabla d la distribución :, si s tinn gl=k-m-1 = y l nivl d signiicación s d 0.10, s obsrva: Por lo tanto como c,0.05, > , s ncuntra n la zona d rchazo. Las dirncias son lo suicintmnt grands para considrarlas signiicativas. S concluy qu s improbabl qu todas las tarjtas s vndan n l mismo númro.. Pruba d ajust a un patrón spcíico Existn muchos casos n los cuals las rcuncias s pruban contra un patrón dtrminado n las qu las rcuncias spradas no son todas iguals. Las rcuncias spradas s calculan orma: npi ; n dond n= Tamaño d la mustra con datos porcntuals d la siguint p i = Probabilidad d cada catgoría como s spciica n la hipótsis nula. Ejmplo d aplicación; un dirctor d un banco trata d sguir una política d xtndr un 35% d sus créditos a mprsas industrials; un 0% a mprsas comrcials; un 18% a mprsas d srvicios; un 5% a mprsas maquiladoras; y un 5% a mprsas xtranjras. Para dmostrar qu la política s stá siguindo, s slccionaron 113 créditos qu s aprobaron rcintmnt. S ncontró qu 8 créditos s otorgaron a mprsas industrials; a comrcials; 5 a mprsas d srvicios; 30 a maquiladoras; y 8 a mprsas xtranjras. Probar sta hipótsis a un nivl d signiicación dl 0%. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 13

14 Solución: 1. H o = S mantuvo l patrón dsado H 1= No s mantuvo l patrón dsado. 3. S lgirá l stadístico d pruba: k ( o ) i1 y s compruba con: k i1 o n 14 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

15 Tabla d rcuncias obsrvadas y spradas: Tipo d Emprsa Frcuncias Obsrvadas Frcuncias Espradas ( o ) o Industrial Comrcial D srvicios Maquiladoras Extranjras Suma Por lo tanto: k i1 ( ) o 6.50 ; utilizando la otra órmula, comprobamos: k o n i1 4. Rgla d dcisión: Si rchazar la H o. s qu c no s rchaza la H o. En caso contrario 5. En la tabla d la distribución :, si s tinn gl=k-m-1 = y l nivl d signiicación s d 0.10, s obsrva: c,0.05, Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 15

16 Por lo tanto como > , s ncuntra n la zona d rchazo. Las dirncias son lo suicintmnt grands para considrarlas signiicativas. S concluy qu s improbabl qu todas las tarjtas s vndan n l mismo númro. Otro jmplo sría l d trs mondas uron lanzadas 80 vcs y s rgistró l númro d vcs qu saliron águilas : x Sindo x l lado águila y l númro d vcs qu salió águila. Con sta inormación, ponr a pruba la hipótsis nula d qu x s binomial con n=3 y p= 0.5. Usar un nivl d signiicación dl 5%. Solución: 1. H o = x sigu una distribución binomial H 1= x no sigu una distribución binomial. 3. S lgirá l stadístico d pruba: k ( o ) i1 y s compruba con: k i1 o n S calculan las probabilidads d éxito binomials para 0, 1,, y 3. P x C p q Fórmula: n x n x 3! P 0! 3 0! x Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

17 3! P 1! 3 1! ! P! 3! ! P 3! 3 3! Tabla d rcuncias obsrvadas y spradas: x o ( o ) o Suma Solución: Paso 1. H o = Los datos sigun una distribución normal H 1 = Los datos no sigun una distribución normal Paso Paso 3. S lgirá l stadístico d pruba: k ( o ) probabilidads d éxito d una distribución normal para cada vnto. i1 S calculan las Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 17

18 Fórmula: z x P A P z1 Para l vnto A: z P z En la tabla d distribución normal s ncuntra: Px Por lo tanto : P B P z1 P z Para l vnto B: z P z En la tabla d distribución normal s ncuntra: P x Por lo tanto: PC P z Para l vnto C: z P z En la tabla d distribución normal s ncuntra: P x Por lo tanto : Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

19 Tabla d rcuncias obsrvadas y spradas: Evnto o P x ( o ) A B C D E F Suma Por lo tanto: k i1 ( ) o ; Paso 4. Rgla d dcisión: Si s qu c no s rchaza la H o. En caso contrario rchazar la H o. Paso 5. En la tabla d la distribución nivl d signiicación s d 0.05, s obsrva: :, si s tinn gl=k-m-1 = 6-0-1=5 c,0.05, y l Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 19

20 Por lo tanto como < , s ncuntra n la zona d acptación. En conscuncia s concluy qu los datos d la población sigun una distribución normal. S prsnta un siguint jmplo; los abricants d una marca d computadoras rportan n su publicidad qu su vida mdia útil s d 6 años con una dsviación stándar d 1.4 años. En una mustra d 90 computadoras vndidas hac 10 años s ncontraron los siguints timpos d vida útil: Evnto Timpo d vida (años) Frcuncia A Hasta 4 07 B D 4 a 5 14 C D 5 a 6 5 D D 6 a 7 E D 7 a 8 16 F 8 o más 06 Con sta inormación, pud concluir l abricant, con un nivl d signiicación dl 5% qu la vida útil d las computadoras tin una distribución normal? Solución: 1. H o = La vida útil d las computadoras sigu una distribución normal. H 1 = La vida útil d las computadoras no sigu una distribución normal 0 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

21 S lgirá l stadístico d pruba: k ( o ) probabilidads d éxito d una distribución normal para cada vnto. Fórmula: z x P A P z1 Para l vnto A: i1. S calculan las z P z En la tabla d distribución normal s ncuntra: P x Por lo tanto : 1 Para l vnto B: P B P z P z z P z En la tabla d distribución normal s ncuntra: Por lo tanto: P PC P z Para l vnto C: z P z En la tabla d distribución normal s ncuntra: P x Por lo tanto: Por lo tanto: comprobamos: k ( o ) 0.53; utilizando la otra órmula, i1 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 1

22 k o n i1 4. Rgla d dcisión: Si s qu c no s rchaza la H o. En caso contrario rchazar la H o. 5. En la tabla d la distribución :, si s tinn gl=k-m-1 = 4-0-1=3 y l nivl d signiicación s d 0.0, s obsrva: c,0.05, Por lo tanto como > 7.815, s ncuntra n la zona d rchazo. En conscuncia s concluy qu x no sigu una distribución binomial con n=3 y p= Prubas d normalidad S rquir probar qu una sri d lmntos d una población sigu una distribución normal por mdio d una mustra. Ejrcicio d aplicación; n class d buco, los tanqus d invrsión s llnan a una prsión promdio d 600 libras por pulgada cúbica (psi). S prmit una dsviación stándar d 10 psi. Las spciicacions d sguridad prmitn una distribución normal n los nivls d llnado. Probar la hipótsis a un nivl d signiicación dl 5% si n una mustra s midn 1,000 tanqus con los siguints rsultados: Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

23 Tabla d rcuncias obsrvadas y spradas: Evnto o P x ( o ) A B C D E F Suma Por lo tanto: k i1 4. Rgla d dcisión: Si contrario rchazar la H o. ( ) o 5. En la tabla d la distribución signiicación s d 0.05, s obsrva: Por lo tanto como ; s qu c no s rchaza la H o. En caso :, si s tinn gl=k-m-1 = 6-0-1=5 c,0.05, y l nivl d < , s ncuntra n la zona d acptación. En conscuncia s concluy qu los datos d la población sigun una distribución normal. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 3

24 ACTIVIDAD 1 1. La crisis mundial actual ha provocado no solo dspidos masivos, también ha provocado qu las vntas d autos disminuya drásticamnt; considr una agncia automotriz qu dsa controlar las xistncias d sus trs vrsions dl auto compacto mnos solicitado. Si considramos qu las vntas d las trs vrsions s la misma, ayud a dcidir las hipótsis cntral, si al tomar una mustra alatoria d 50 autos. ompactos vndidos últimamnt, los datos obtnidos s mustran n la siguint tabla. Vntas Vrsions dl obsrvadas n una automóvil mustra d 50 compacto autos M 1 K 19 L 10 Raliza sta actividad n un procsador d txtos, guárdala n tu computadora y, una vz concluida, prsiona l botón Examinar, localiza l archivo, slcciónalo y haz clic n Subir st archivo para guardarlo n la plataorma.. Una mprsa d numáticos stá probando un nuvo modlo, qu rquir sr llnado a una prsión promdio d 35 libras con una dsviación stándar d 3 libras. Si las spciicacions d sguridad rquirn una distribución normal n la prsión d las llantas. Prub la hipótsis para un nivl d signiicancia d 3% si una mustra d 500 llantas orció los siguints rsultados. 4 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

25 Prsión d la llanta rcuncia Mnor d 35 libras 70 D 36 a 40 libras 30 D 41 a 45 libras 85 D 46 a 50 libras 5 Raliza sta actividad n un procsador d txtos, guárdala n tu computadora y, una vz concluida, prsiona l botón Examinar, localiza l archivo, slcciónalo y haz clic n Subir st archivo para guardarlo n la plataorma. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 5

26 Bibliograía básica Autor Capítulo Páginas Sitios lctrónicos Sitio Dscripción 6 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

27 Autovaluación Slcciona si las siguints asvracions son vrdadras (V) o alsas (F). Una vz qu concluyas, obtndrás tu caliicación d manra automática. 1. Las prubas d bondad d ajust son mdidas sobr qué tan crca s ajustan los datos mustrals obsrvados a una orma d distribución particular plantada como hipótsis. Vrdadra Falsa. Las prubas d bondad d ajust son muy importants pus n los ngocios rcuntmnt s rquir probar alguna hipótsis sobr una distribución poblacional dsconocida. 3. En una pruba para un ajust uniorm s rquir probar qu una sri d lmntos d una población sigu una distribución normal por mdio d una mustra. 4. En las prubas d normalidad s prtnd probar qu la distribución d datos s uniorm 5. En stadística no paramétrica, una mustra s grand cuando su tamaño s mayor d 0. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 7

28 Tma 3. Tablas d contingncia Objtivos dl tma Idntiicar si dos variabls stán rlacionadas o no, utilizando como hrraminta las tablas d contingncia. Dsarrollo En aplicacions stadísticas s rcunt intrsars n calcular si variabls d clasiicación, cuantitativas o cualitativas, son indpndints o si stán rlacionadas. Las hipótsis son: H o : Las variabls d clasiicación son indpndints. H 1 : Las variabls d clasiicación son dpndints. Estos modlos s basan también n la pruba JI-cuadrada por lo qu s procd a comparar las rcuncias spradas con las obsrvadas para dtrminar qu tan grand db sr l aljaminto prmitido para qu la hipótsis d indpndncia puda rchazars. Si l valor dl stadístico d pruba JI-cuadrada s mayor qu l valor critico, no s pud suponr qu las variabls d clasiicación san indpndints. La órmula dl stadístico d pruba s la siguint: rc 1 n dond: r s l N d rnglons d una tabla d contingncia. C s l N d columnas d una tabla d contingncia. o 8 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

29 Los grados d librtad srán: gl ( r 1)( c 1) Ejmplo; un dirctor d invstigación d productos db dtrminar si xist alguna rlación ntr la clasiicación d ctividad qu los consumidors asignan a un nuvo inscticida y l sitio (urbano o rural) n los cuals s utilizan. D los 10 consumidors d la ncusta, 90 vivn n zonas urbanas y 30 n rurals. El nivl d signiicación s dl 1%. En la siguint tabla d contingncia s mustran las clasiicacions. Atributo A : Clasiicación Atributo B : Urbano Ubicación Rural Por ncima dl promdio 4 13 En l promdio Por dbajo dl promdio Probar sta hipótsis con un nivl d signiicación s dl 1%. Solución Paso 1. H o = La clasiicación y la ubicación son indpndints. H 1 = La clasiicación y la ubicación no son indpndints. Paso Paso 3. S lgirá l stadístico d pruba: rc 1 o Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 9

30 Tabla d contingncia Atributo A : Clasiicación Atributo B : Urbano Ubicación Rural Total Por ncima dl promdio En l promdio Por dbajo dl promdio Total S calculan las rcuncias spradas rlacionando las variabls. En un squma matricial s utiliza su nomnclatura: Calculo d: t t 41 t t t 13 1 t 4 3 t 1 t 3 41 t 10 t4 43 t 43 t t33 31 t 33 3 t4 t t43 t Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

31 Tabla d rcuncias d clasiicación Atributo A : Clasiicación Atributo B : Urbano Ubicación Rural o o Por ncima dl promdio En l promdio Por dbajo dl promdio Por lo tanto utilizando la órmula dl stadístico d pruba: rc o Paso 4. Rgla d dcisión: Si s qu c no s rchaza la H o. En caso contrario rchazar la H o. Paso 5. En la tabla d la distribución :, si s tinn gl ( r 1)( c 1) y l nivl d signiicación s d 0.01, s obsrva: c,0.01, 9.10 Por lo tanto como < 9.10, la hipótsis nula s acptada y s concluy qu tanto la clasiicación como la ubicación son actors indpndints. Un siguint jmplo, s l dirctor d Markting d un diario mtropolitano d gran circulación, studia la rlación ntr l tipo d actividad y la scción dl Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 31

32 priódico qu s d su prrncia. D una mustra d lctors s obtuvo la siguint inormación: Tabla d rcuncias d clasiicación Lctors Noticias Nacionals Socials Dports Prosionistas Estudiants Otros Podmos concluir con un nivl d signiicación dl 10% qu si hay rlación ntr l tipo d actividad y la scción dl priódico d su prrncia? Solución: Paso 1. prrncia. H o = No hay rlación ntr l tipo d actividad y la scción d su H 1 = Si hay rlación ntr l tipo d actividad y la scción d su prrncia. Paso Paso 3. S lgirá l stadístico d pruba: rc 1 o 3 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

33 Tabla d contingncia Lctors Noticias Nacionals Socials Dports Total Prosionista s Estudiants Otros Total ,04 S calculan las rcuncias spradas rlacionando las variabls. En un squma matricial s utiliza su nomnclatura: Calculo d: t13 11 t41 t43 t3 1 t41 t t13 1 t4 t t t t t33 31 t33 t t33 3 t4 t43 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 33

34 S ralizan cálculos similars para la scción d dports. Lctors Noticias nacionals Socials Dports o o o Prosionistas Estudiants Otros Por lo tanto utilizando la órmula dl stadístico d pruba: rc o Paso 4. Rgla d dcisión: Si s qu c no s rchaza la H o. En caso contrario rchazar la H o. Paso 5. En la tabla d la distribución gl ( r 1)( c 1) obsrva: c,0.10, , si s tinn y l nivl d signiicación s d 0.10, s Por lo tanto como > 7.779, s rchaza la hipótsis nula por lo qu s pud airmar qu si hay una rlación ntr la actividad d los lctors y la scción dl priódico d su prrncia. 34 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

35 ACTIVIDAD 1 1. Una agncia d markting qu trabaja para l sctor automotriz, studia la rlación ntr la clas social d los jóvns y su prrncia por trs marcas spcíicas d automóvils. D una mustra alatoria obtuvo los siguints datos. Usuario Volvo Toyota Chvrolt Jóvns hijos d padrs ricos Jóvns qu trabajan (proltariados) Otros Concluy si para un nivl d signiicancia dl 5% hay rlación ntr la clas social y la marca automotriz d prrncia. Raliza sta actividad n un procsador d txtos, guárdala n tu computadora y, una vz concluida, prsiona l botón Examinar, localiza l archivo, slcciónalo y haz clic n Subir st archivo para guardarlo n la plataorma. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 35

36 ACTIVIDAD Discut n l Foro Tablas d contingncia, las vntajas d podr dtrminar mdiant una tabla d contingncia la dpndncia o indpndncia d dos variabls d tipo cualitativo. Pulsa l botón Colocar un nuvo tma d discusión aquí; pon n l apartado Asunto l título d tu aportación, rdacta tu comntario n l ára d txto y haz clic n Enviar al oro. 36 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

37 Autovaluación Slcciona si las siguints asvracions son vrdadras (V) o alsas (F). Una vz qu concluyas, obtndrás tu caliicación d manra automática. 1. Las prubas d bondad d ajust son mdidas sobr qué tan crca s ajustan los datos mustrals obsrvados a una orma d distribución particular plantada como hipótsis. Vrdadra Falsa. Las prubas d bondad d ajust son muy importants pus n los ngocios rcuntmnt s rquir probar alguna hipótsis sobr una distribución poblacional dsconocida. 3. En una pruba para un ajust uniorm s rquir probar qu una sri d lmntos d una población sigu una distribución normal por mdio d una mustra. 4. En las prubas d normalidad s prtnd probar qu la distribución d datos s uniorm Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 37

38 Bibliograía básica Autor Capítulo Páginas Sitios lctrónicos Sitio Dscripción 38 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

39 Tma 4. Pruba d los signos d Wilcoxon Objtivos dl tma Aplicar la pruba d los signos d Wilcoxon como una altrnativa no paramétrica para comparar datos obtnidos mdiant una mustra parada. Dsarrollo S utiliza como una altrnativa no paramétrica cuando s trata d comparar los datos d poblacions o d una misma población mdiant una mustra aparada n la qu cada unidad xprimntal gnra obsrvacions paradas o ajustadas, una d la población 1 y una d la población. Las dirncias ntr las obsrvacions paradas prmitn tnr una buna prspctiva rspcto d la dirncia ntr las poblacions. La mtodología dl análisis paramétrico d una mustra parada rquir d datos d intrvalo y d la suposición d qu la población d las dirncias ntr los pars d obsrvacions tnga una distribución normal. Con st supusto s pud usar la distribución t para probar la hipótsis nula s dcir qu no hay dirncias ntr las mdias poblacionals. Si no s así s db utilizar la pruba d rango con signo d Wilcoxon. La pruba d los rangos con signo usa los rangos d los valors absolutos d las dirncias paradas, asignando l rango 1 a la dirncia con valor absoluto mínimo, l rango a la siguint dirncia con mnor valor absoluto y así s procd sucsivamnt. S dbn dscartar los rangos con dirncias d cro y n caso d valors absolutos rptidos, a cada uno d llos s ls otorga l valor promdio d los rangos ocupados por los valors rptidos. A cada uno d los rangos positivos o ngativos, s ls asocia l signo corrspondint. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 39

40 La suma d los rangos positivos s indica por T, la suma d los rangos ngativos s dnota por T y l máximo valor ntr stos valors s scrib solamnt T y s utiliza gnralmnt como stadístico d pruba. Si l númro d dirncias s igual o mayor d 15 ntoncs la distribución mustral d T s aproximadamnt normal por lo qu s utilizará la variabl paramtrizada z. Si s mnor s dbrán utilizar tablas spcials qu proporcionan los valors críticos para la pruba d rangos con signo. n n 1 S La suma d los rangos s: y dbrá sr igual a T Las órmulas d la mdia y dsviación stándar d la distribución mustral T son las siguints: Mdia: Dsviación stándar: y l stadístico d pruba s: n n1 T 4 T 1 n 1 n n T T z T 4 T Ejmplo d aplicación; s dsa sabr si un programa d capacitación n cómputo n una mprsa spcializada, mjoró las habilidads d los mplados n dicha matria. Por llo s obsrva l nivl d habilidads ants dl programa y dspués dl programa n una mustra d mplados, obtniéndos los siguints rsultados y probar la hipótsis a un nivl d signiicación dl 1%. 40 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

41 Númro Puntaj Dirnci a Dirnci as absolutas Rang o Rangos con signos Empla Ants Dspués ordnada b-a do (a) (b) s corrctos S obtinn las dirncias d los puntajs ants y dspués, sus dirncias, las dirncias absolutas ordnadas, sus rangos y los rangos con signos corrctos. La suma d rangos positivos s: T 5.5 La suma d rangos ngativos s: T 7.5 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 41

42 Comprobación: Por lo tanto T 5.5 La hipótsis por probar son: Unidad V. Estadística no paramétrica 1 1 n n S T T 53.0 Ho: No hay dirncia signiicativa dbido al trataminto. Ha: Hay dirncia signiicativa por l trataminto La columna d rangos con signos corrctos s dtrminó mdiant l promdio d rangos, si la dirncia absoluta s rpit y los rangos son signos corrctos s prsrva l signo d la dirncia qu l dio orign. Por jmplo, para l rango 4 y 5 s promdio (4+5)/=4.5 y como l rango 4 corrspond a una dirncia 5 positiva ntoncs s l asigna 4.5 positivo, lo mismo para l rango 5. En l caso d los rangos 7 y 8 (corrspondints a una dirncia d 8), l promdio s 7.5 y como la dirncia d 8 corrspond a un valor ngativo y otro positivo, ntoncs s l asigna un rango con signo corrcto d -7.5 y 7.5. Estadístico d pruba: La mdia s: La dsviación stándar: T T z T n n 1 3 T T n n n Por lo tanto: T T z T Nivl d signiicación: 0.01 Como 4 z z c por lo qu zc.33 ca n la zona d rchazo, s pud concluir qu l programa d capacitación d computo n sta mprsa si mjoró las habilidads dl prsonal. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

43 ACTIVIDAD 1 1. Una manuacturra automotriz dsa conocr la prrncia d los clints por los colors ocr o índigo dl modlo d lujo, pus sólo uno saldrá al mrcado. S invitó a los 0 mjors vnddors para qu opinaran y s ncontró qu doc pririron l color ocr, sit l índigo y uno indciso. En un nivl dl 10% probar si: H0: Cualquir color gustará por igual a los clints H1: Hay prrncia por alguno d los colors d los clints Para nviar tu actividad, pulsa Editar mi nvío y s mostrará un ditor d txto n l qu dbrás rdactar tu inormación. Cuando trmins, guarda tu tara hacindo clic n Guardar cambios.. Para l anivrsario d la mprsa s organizó una convnción y s dio a scogr ntr l mnú tradicional o uno spcial. La mustra u d 81 clints d los cuals 4 pririron l spcial. Utilizando la pruba dl signo y un nivl d 0.0, prub si a los clints ls gustó más l mnú spcial qu l tradicional: H0: Ambos mnús gustaron por igual (p=0.50) H1: Gustó más l mnú spcial (p>0.50) Para nviar tu actividad, pulsa Editar mi nvío y s mostrará un ditor d txto n l qu dbrás rdactar tu inormación. Cuando trmins, guarda tu tara hacindo clic n Guardar cambios. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 43

44 Bibliograía básica Autor Capítulo Páginas Sitios lctrónicos Sitio Dscripción 44 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

45 Autovaluación Elig la rspusta corrcta a las siguints prguntas, una vz qu concluyas, obtndrás d manra automática tu caliicación. 1. La pruba d los signos d Wilcoxon: a) S utiliza para avriguar l signo d una pruba no paramétrica. b) S utiliza como una altrnativa no paramétrica para comparar datos obtnidos mdiant una mustra parada. c) S utiliza para probar la varianza d dos poblacions utilizando la distribución F.. En una pruba d signo: a) S manjan sólo valors absolutos b) S ignora la magnitud d la dirncia c) Es important la disprsión d los datos Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 45

46 3. En un grupo piloto d 14 comptidors dl quipo olímpico mxicano s ctuó una pruba d conianza n sí mismo ants d cursar un sminario. La autoconianza s clasiicó como ngativa, baja, alta y muy alta. Usando un nivl d signiicación dl 5% y analizando la tabla diga si l sminario ayuda a mjorar la autoconianza: H 0 : p=0.50 H 1 : p>0.50 Nombr Ants dl curso Dspués dl curso Elizabth Luisa Mario Rné Cristina Eloísa Arturo Luis Xóchitl Mónica Jaim Soldad Estrlla Francisco Ngativa Baja Baja Ngativa Baja Ngativa Baja Baja Ngativa Ngativa Baja Muy alta Baja Baja Alta Muy alta Alta Baja Alta Baja Alta Muy alta Baja Ngativa Alta Baja Alta Alta a) S rchaza H0 pus hubo 1 signos + b) S rchaza H 0 pus hubo 10 signos + c) S rchaza H 0 pus hubo 11 signos + 46 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

47 4. El sindicato d taxistas airma qu la mdiana dl rcorrido smstral d cada unidad s d 40,000 km. Sin mbargo, sto s rbatido por algunos dirignts qu airman qu la mdiana s mayor; por lo tanto, s tomó una mustra alatoria d 05 taxis y s ncontró qu 170 rcorrn una mayor distancia; 5 rcorrn 40,000 km. y los rstants mnos d 40,000 km. Utilizando la pruba dl signo y un nivl d 0.05, prub si: H 0 : La mdiana smstral s igual a 40,000 km. H 1 : La mdiana smstral s mayor d 40,000 km a) S acpta H 0 pus la Zc s b) S rchaza H 0 pus la Zc s c) S rchaza H 0 pus la Zc s Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 47

48 5. En los bots psquros s dsa probar la ctividad d una nuva técnica. Así qu al tomar una pruba con 11 bots los rsultados uron los siguints: No. Normal Nuva Aplicando la pruba d Wilcoxon d rangos con signo y un nivl d signiicación dl 5% probar si la nuva técnica incrmnta o no la psca: H 0 : Los volúmns d psca no cambian con la nuva técnica H 1 : Los volúmns d psca mjoran con la nuva técnica a) S acpta H 0 pus la T calculada s 18.1 b) S acpta H 1 pus la T calculada s 6.5 c) S acpta H 0 pus la T calculada s.7 48 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

49 Tma 5. Pruba d rachas Objtivos dl tma Comprobar la alatoridad d una mustra utilizando la pruba d rachas. Dsarrollo Es una pruba qu s utiliza para comprobar la alatoridad d mustras. Es muy important dmostrar la alatoridad d las mustras n los studios stadísticos. Si no s así s cra una gran dsconianza n los procsos d mustro. En una pruba d rachas, s asigna a todas las obsrvacions d la mustra uno o dos símbolos. Una racha s dsigna como una scuncia d uno o más símbolos similars y también s xprsa como una sri continua d uno o más símbolos. Si l númro d rachas s mnor d 0, s utilizan tablas spcíicas n dond s mustran valors críticos mínimos y máximos por lo qu si l númro d rachas (r) s mnor o xcd d sos valors críticos, s indica una ausncia d alatoridad. Si s tinn catgorías y los datos mustrals no can n alguna d llas, s pud utilizar la mdiana como valor d rrncia. Una important aplicación d la pruba d rachas s n l método d mínimos cuadrados n l análisis d rgrsión. Una propidad básica n stos modlos d rgrsión s qu los rrors son alatorios. Las hipótsis para probar son: Ho : Exist alatoridad n las mustras. 1 : H No xist alatoridad n las mustras. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 49

50 Si l númro d datos n catgorías n 1 y n son mayors a 0, la distribución d mustro para r s aproxima a una distribución normal. Las órmulas son: Mdia d la distribución mustral dl númro d rachas: n1n r n n 1 1 n1n n1n n1 n r n1 n n1 n 1 Dsviación stándar: r r z Estadístico d pruba: r Ejmplo d aplicación; n una campaña a 100 posibls compradors d un producto spcializado, s ralizaron 5 vntas, 48 no vntas y 40 rachas. A un nivl d signiicación dl 1% probar la hipótsis qu la mustra s alatoria. Las hipótsis son: Ho : La mustra s alatoria. H : 1 La mustra no s alatoria. Estadístico d pruba: r r z r 50 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

51 La mdia s: r n n n n La dsviación stándar: n1n n1n n1 n n n n n r Por lo tanto: r r z r Nivl d signiicación: 0.01 por lo qu zc.58 ya qu s una pruba d colas. Como z zc ca n la zona d acptación s pud concluir qu no hay vidncia suicint para rchazar la hipótsis nula, por lo qu s pud indicar qu la mustra s alatoria. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 51

52 ACTIVIDAD 1 Consulta n tu bibliograía y n sitios d Intrnt, acrca d las prubas d rachas y labora un rsumn compltando la inormación qu s xpuso n l tma. Rcurda citar tus unts. Raliza sta actividad n un procsador d txtos, guárdala n tu computadora y, una vz concluida, prsiona l botón Examinar, localiza l archivo, slcciónalo y haz clic n Subir st archivo para guardarlo n la plataorma. Bibliograía básica Autor Capítulo Páginas Sitios lctrónicos Sitio Dscripción 5 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

53 Autovaluación Rspond si son vrdadras (V) o alsas (F) las siguints asvracions. Una vz qu concluyas, obtndrás tu caliicación d manra automática. 1. La pruba d las rachas s utiliza para comprobar la alatoridad d una mustra. Vrdadra Falsa. En una pruba d rachas s asigna a todas las obsrvacions d la mustra una unción matmática rprsntativa d la mustra. 3. Una racha s dsigna como una scuncia d uno o más símbolos similars o como una sri continua d uno o más símbolos. 4. En l análisis d rgrsión linal no s posibl aplicar la pruba d rachas. 5. En la pruba d rachas, la hipótsis nula simpr dic qu xist alatoridad n la mustra. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 53

54 Tma 6. Otras prubas Objtivos dl tma Utilizar la Pruba U d Mann-Whitny para la toma d dcisions. Dsarrollo Pruba U d Mann-Whitny Esta pruba s útil cuando s slccionan dos conjuntos alatorios indpndints y su scala s d tipo ordinal al mnos. La pruba consist n dtrminar si las dos mustras prsntan los mismos promdios poblacionals o no (pruba d mdias). Para sta pruba s considrará qu l stadístico d pruba s comportará como una distribución d Mann-Whitny y n ocasions s prir n lugar d la t d Studnt dbido a qu la varianza d las dos poblacions son indpndints o los datos son d tipo ordinal. Las hipótsis son las siguints: Ho : H : 1 Las mdias o mdianas son iguals. Las mdias o mdianas no son iguals. utilizan los stadísticos U1 y U rspctivamnt. para la primra y la sgunda mustra Fórmulas: n ( n 1) n ( n 1) U n n Rangos y U n n Rangos Mdia d la distribución mustral U : n n u 1 54 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

55 Dsviación stándar. Estadístico d pruba: U Ui u z n n n n u Vamos un jmplo; n una mprsa s stá ctuando una pruba d aptitud mcánica n la lína d producción y s dsa sabr si la aptitud mcánica d los hombrs s la misma qu la d las mujrs o son distintas (pruba d dos colas). Para llo s xtra una mustra d nuv hombrs y cinco mujrs y s ls caliicó n puntos l nivl d aptitud; st último varia n un rango d 600 a 1600 puntos y a cada puntuación s l asigna un rango dl 1 al 14 (rango 1=mayor puntuación y rango 14=mnor puntuación), obtniéndos los siguints rsultados: Puntuacions y rangos d hombrs y mujrs n la pruba d aptituds mcánicas HOMBRES MUJERES Puntuación Rango Puntuación Rango * * TOTAL 34 TOTAL 71 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 55

56 Nota: * El caso d mpat s rsolvió asignando l promdio d los rangos qu l corrspondrían y qu srían l rango 10 y rango 11. Ralizar una pruba d hipótsis a un nivl d signiicación dl 10%. Cálculo d U 1 y U : n ( n 1) n ( n 1) U n n Rangos y U n n Rangos qu n st caso s igual a: 9(10) 5(6) U1 (9)(5) 7119 y U (9)(5) 34 6 Mdia d la distribución: u n1n Dsviación stándar. Estadístico d pruba: z U n1n n1 n u 1 u 7.50 z U Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

57 Nivl d signiicación: 0.10 por lo qu z 1.96 c ya qu s una pruba d colas. Como z y z z 1 c ca n la zona d acptación s pud concluir qu no hay vidncia suicint para rchazar la hipótsis nula, por lo qu s pud indicar qu la aptitud d los hombrs s muy similar a las d las mujrs. Es important para los alumnos proundizar n l manjo d stas prubas no paramétricas y studiar otras más qu tinn múltipls aplicacions n la administración y conomía. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 57

58 ACTIVIDAD 1 1. En la Olimpiada d Matmáticas compitiron 0 ingniros contra 15 actuarios, las caliicacions uron las siguints: ingniros: 35, 11, 8, 1, 4, 18, 15, 36, 13, 8, 31, 3, 5, 9, 7, 9, 37,, 1, 0, 19, 16, 39, 33 y 7; actuarios: 1, 34, 3, 5,, 3, 40, 17, 30, 4, 14, 10, 38, 6 y 6. Us la pruba d Mann-Whitny con un nivl d signiicación d 0.05 y dmustr si hay alguna dirncia n su aptitud hacia las matmáticas d alguno d los grupos. Raliza sta actividad n un procsador d txtos, guárdala n tu computadora y, una vz concluida, prsiona l botón Examinar, localiza l archivo, slcciónalo y haz clic n Subir st archivo para guardarlo n la plataorma.. En dos quipos d vnddors d purta n purta s analizaron los rsultados d su ntrnaminto. Las puntuacions dl quipo A son: 186, 1, 97, 141, 160, 1, 180 y 11; las dl grupo B son: 147, 99, 167, 16, 180, 197 y 18. Como la población d puntuacions no s distribuy normalmnt, us la pruba d Mann-Whitny con un nivl d signiicación d 5% y comprub si xist alguna dirncia ntr ambos grupos Raliza sta actividad n un procsador d txtos, guárdala n tu computadora y, una vz concluida, prsiona l botón Examinar, localiza l archivo, slcciónalo y haz clic n Subir st archivo para guardarlo n la plataorma. 58 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

59 Autovaluación Rspond si son vrdadras (V) o alsas (F) las siguints asvracions. Una vz qu concluyas, obtndrás tu caliicación d manra automática. 1. La pruba U d Mann-Whitny s aplica únicamnt a datos cuantitativos.. La pruba U d Mann-Whitny consist n dtrminar si las dos mustras analizadas prsntan los mismos promdios poblacionals o no. Vrdadra Falsa 3. La pruba U d Mann-Whitny s útil cuando s slccionan dos conjuntos alatorios indpndints y su scala s d tipo ordinal al mnos. 4. En la pruba U d Mann-Whitny s considra simpr qu l stadístico d pruba s comportará como una distribución d Mann-Whitny. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 59

60 LO QUE APRENDÍ DE LA UNIDAD En la actualidad xistn dirnts cntros ducativos qu ntr sus actividads prparan a los alumnos qu dsan prsntar l xamn dl CENEVAL. A continuación s numran 3 d stos cntros y las caliicacions obtnidas por sus alumnos n dicho xamn. Utilic la pruba d Kruskal-Wallis con un nivl d signiicancia d 0.05 con l in d comprobar si hay dirncias signiicativas n sus habilidads d nsñanza d tals cntros ducativos. Cntro ducativo No Cntro ducativo No Cntro ducativo No Raliza sta actividad n un procsador d txtos, guárdala n tu computadora y, una vz concluida, prsiona l botón Examinar, localiza l archivo, slcciónalo y haz clic n Subir st archivo para guardarlo n la plataorma. 60 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia

61 Glosario d la unidad Métodos no paramétricos Métodos stadísticos qu rquirn muy pocos o ningún supusto acrca d las distribucions d probabilidad d la población, y acrca dl nivl d mdición. Estos métodos s pudn aplicar cuando s dispon d datos nominals u ordinals. Métodos sin distribución Es otro nombr qu s da a los métodos stadísticos no paramétricos, qu indica la carncia d supustos sobr la distribución d probabilidad d la población. Pruba d signo Pruba stadística no paramétrica qu prmit idntiicar dirncias ntr dos poblacions basándos n l análisis d datos nominals. Pruba d rango con signo d Wilcoxon Pruba stadística no paramétrica con la cual s idntiican dirncias ntr dos poblacions, basada n l análisis d dos mustras paradas o ajustadas. Pruba d Mann-Whitny-Wilcoxon Pruba stadística no paramétrica con la cual s idntiican dirncias ntr dos poblacions basada n l análisis d dos mustras indpndints. Pruba d Kruskal-Wallis Pruba no paramétrica qu prmit idntiicar dirncias ntr trs o más poblacions. Coicint d corrlación d rango d Sparman Es una mdida d la corrlación basada n datos ordnados para dos variabls. Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia 61

62 MESOGRAFÍA Bibliograía básica 6 Licnciaturas n Administración y Contaduría a Distancia