Matemática. Desafío GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA. Cálculo de medidas de tendencia central y posición GUICEN040MT22-A16V1

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1 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Programa Entrenamiento Matemática Cálculo de medidas de tendencia central y posición Desafío La siguiente tabla representa la distribución de frecuencias al lanzar un dado una cierta cantidad de veces. Si f es la función que calcula el promedio de la muestra en función de x (con x un número entero positivo), entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) f es una función de comportamiento lineal. f es una función creciente. f(8) = 4 A) B) C) D) E) Solo I Solo III Solo I y II Solo II y III I, II y III x Mis observaciones GUICEN040MT22-A16V1 Resolución Resultado 1

2 Programa Entrenamiento - Matemática Marco teórico Defi niciones preliminares Población estadística: conjunto de referencia sobre el cual se asumen las conclusiones del estudio. Estadística: estudio de datos. Incluye la recopilación, organización, análisis e interpretación de ellos. Muestra estadística: subconjunto de la población del cual se obtienen los datos. Datos no agrupados: se representan por su valor preciso. Datos agrupados: están representados dentro de intervalos o clases. Variable estadística: propiedad de la población que se observa en el estudio estadístico. Variable cualitativa o nominal es aquella que representa cualidades, nombres, características, etc. Variable cuantitativa discreta es aquella que solo toma ciertos valores reales (generalmente enteros positivos). Variable cuantitativa continua es aquella que puede tomar cualquier valor real dentro de un cierto intervalo. 2

3 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Representación de datos Gráfico circular A 3 30% A 1 45% A 2 25% Tipo Si los datos son agrupados, la primera columna corresponde a los intervalos o clases. Tabla de distribución de frecuencias acumulada relativa relativa acumulada A /40 = 45% 45% Gráfico de barras A = 28 10/40 = 25% 45% + 25% = 70% A = 40 12/40 = 30% 70% + 30% = 100% (o frecuencia absoluta): cantidad de datos de un cierto tipo. relativa: razón entre la frecuencia absoluta y el total de datos. A 1 A 2 A 3 En datos agrupados se llama "histograma". El total de datos es igual a la suma de todas las frecuencias. acumulada: suma de frecuencias hasta un cierto tipo de dato. Puede ser absoluta o relativa. 3

4 Programa Entrenamiento - Matemática Medidas de tendencia central Valor A 1 f 1 x = A 1 f 1 + A 2 f 2 + A 3 f A n f n f 1 + f 2 + f f n A 2 f 2 Media aritmética o promedio: es la suma de todos los datos, dividida por la cantidad de datos. Parámetros que permiten resumir información de la muestra en un solo valor. Moda: es el dato que más se repite, es decir, que tiene la mayor frecuencia. A 3 f 3 A n f n Mediana: es el dato que ocupa la posición central en un conjunto de datos ordenados. En datos agrupados, el intervalo donde se encuentra la mediana es el que contiene al dato que ocupa dicha posición. En caso de datos agrupados, se puede obtener la media a partir de la marca de clase, que es el promedio de los extremos de cada intervalo. Si el número de datos es impar, está en la posición ( n ). Si el número de datos es par, es el promedio entre los datos que están en las posiciones n 2 y ( n ). Una muestra puede tener más de una moda (bimodal, trimodal, multimodal, etc.) Si todas las variables tienen la misma frecuencia, entonces la muestra no tiene moda. En datos agrupados, el intervalo con la mayor frecuencia se llama intervalo modal. 4

5 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Medidas de posición no central (cuantiles) Se utiliza la tabla de distribución de frecuencias relativa acumulada. Los datos deben estar ordenados de menor a mayor. Cuantil: valor bajo el cual se encuentra un cierto porcentaje de los datos. Percentil: la muestra se divide en 100 partes, cada una corresponde al 1% de los datos. Decil: la muestra se divide en 10 partes, cada una corresponde al 10% de los datos. Cuartil: la muestra se divide en 4 partes, cada una corresponde al 25% de los datos. Por ejemplo, el percentil 35 corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 35% de los datos. Por ejemplo, el decil 6 corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 60% de los datos. Por ejemplo, el cuartil 3 corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 75% de los datos. Diagrama de cajas La mediana de una muestra corresponde al percentil 50, al decil 5 y al cuartil 2. Dato menor Dato mayor Cuartil 1 Cuartil 3 Cuartil 2 o mediana Rango intercuartil = cuartil 3 cuartil 1 5

6 Programa Entrenamiento - Matemática Ejercicios PSU 1. Las edades de los 24 participantes de un taller de arte se representan en la tabla adjunta. Según los datos, cuál es el valor numérico de z? Edad (años) A) 8 B) 9 C) 15 D) 18 E) Faltan datos para determinarlo. acumulada 8 x y 9 6 z 10 y w 2. En un estudio estadístico se consulta a un grupo de estudiantes acerca del área de formación que les interesa, agrupándose los resultados en la tabla. Si se representa dicho estudio en un gráfi co circular, el ángulo del centro que le corresponde a la opción Artístico mide A) 20º B) 25º C) 40º D) 72º E) 90º Área Científico 25 Humanista 35 Artístico La tabla adjunta muestra la edad en años de los residentes de un condominio. Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) verdadera(s)? I) a = 25 II) b = 25 III) El total de residentes es 74. B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III Edad Marca de clase acumulada a b

7 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 4. El gráfi co de la fi gura muestra las cantidades en kilos de fruta que una familia ingirió durante una semana, donde no se conoce la cantidad consumida el día jueves. Si se sabe que en los siete días comieron 2,1 kilos de fruta en promedio, cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) FALSA(S)? Kilos 3 2,5 2 1,5 1 L M M J V S D Días I) El día jueves ingirieron 2,7 kilos de fruta. II) El día que menos fruta ingirieron fue el día martes. III) El promedio de kilos consumidos el sábado y domingo coincide con los kilos consumidos el jueves. I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 7

8 Programa Entrenamiento - Matemática 5. El gráfi co de la fi gura muestra el resultado de una encuesta realizada a un grupo de personas sobre su preferencia con respecto a una fruta. Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) FALSA(S)? Pera Manzana Naranja Plátano Uva Kiwi Fruta I) El 12,12% de los encuestados prefi ere la uva. II) Las variables del estudio estadístico corresponden a datos nominales. III) La fruta con el mayor porcentaje de preferencia es la naranja. B) Solo II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. 8

9 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 6. En el siguiente gráfi co se representa la distribución de los puntajes ponderados obtenidos en la PSU por los alumnos de un curso, para postular a una cierta universidad. Según las exigencias de esa casa de estudios, para postular a Leyes el alumno debe haber obtenido sobre 550 puntos ponderados, para Ingeniería sobre 650 puntos y para Medicina sobre 750 puntos, sin límite en la cantidad de postulaciones. De acuerdo a la información entregada, cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) verdadera(s)? [ ] puntos 10% [ ] puntos [ ] puntos 30% 20% 40% [ ] puntos I) Solo el 30% de los alumnos puede postular a Ingeniería en esa universidad. II) Solo el 80% de los alumnos puede postular a Leyes o a Medicina en esa universidad. III) Solo el 4% de los alumnos puede postular a Leyes y a Medicina simultáneamente en esa universidad. B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 9

10 Programa Entrenamiento - Matemática 7. El siguiente gráfi co presenta los puntajes obtenidos por un grupo de alumnos que rindió una prueba en la universidad, agrupados en intervalos. Con respecto al gráfi co, es correcto afi rmar que Cantidad de alumnos [1-25] [26-50] [51-75] [76-100] Puntaje I) el 40% de los alumnos obtuvo un puntaje de 26 a 50 puntos. II) 90 alumnos rindieron la prueba. III) hay más alumnos que obtuvieron sobre 50 puntos que alumnos que obtuvieron bajo 51 puntos. Es (son) verdadera(s) A) solo I y II. B) solo I y III. C) solo II y III. D) I, II y III. E) ninguna de ellas. 10

11 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 8. En la fi gura se muestra la tabla de distribución de frecuencias de una muestra. Si n es un número entero positivo, cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) La moda de la muestra es 10. II) La mediana de la muestra es 20. III) El promedio de la muestra es 10n. B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas. Dato 10 3n 20 2n 30 n 9. Un curso se divide en tres grupos, con la misma cantidad de alumnos cada uno, para preparar la PSU. La siguiente tabla muestra los promedios obtenidos por cada grupo en los ensayos rendidos. Considerando que todos los alumnos del curso rindieron los dos ensayos, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? Ensayo 1 Ensayo 2 Grupo Grupo Grupo I) El promedio entre los puntajes de todos los ensayos rendidos por el grupo 2 es 555. II) El promedio entre los puntajes de todos los alumnos del curso en el ensayo 2 es 570. III) El promedio del curso considerando todos los puntajes de los ensayos rendidos es 585. B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 11

12 Programa Entrenamiento - Matemática 10. La tabla adjunta muestra el tiempo que demoran los alumnos de un curso en viajar desde sus casas al colegio. A partir de la marca de clase, cuánto tiempo en promedio tardan los alumnos en realizar este trayecto? A) 15 minutos B) 17 minutos C) 19 minutos D) 20 minutos E) 21 minutos Tiempo (minutos) [0, 10[ 5 [10, 20[ 12 [20, 30[ 6 [30, 40] La tabla adjunta muestra el puntaje obtenido por los participantes en un concurso de tiro al blanco, agrupados en intervalos. Cuál de las siguientes afi rmaciones es verdadera? Puntos acumulada [21, 28] 8 [29, 36] 11 [37, 44] 19 [45, 52] 30 [53, 60] 40 A) La cuarta parte de los puntajes son mayores o iguales que 45 puntos. B) El intervalo con menor cantidad de datos es [21, 28]. C) La mediana se encuentra en el intervalo [45, 52]. D) No existen dos intervalos que tengan la misma cantidad de datos. E) El intervalo modal es [53, 60]. 12. Se realiza un estudio estadístico acerca de la producción de las parcelas de una región, agrupándolas en intervalos dependiendo de las toneladas de hortalizas que producen por temporada. Con respecto a los resultados representados en la tabla adjunta, cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) verdadera(s)? Cosecha [ton] Nº de parcelas [1-10] 5 [11-20] 6 [21-30] 11 [31-40] 20 [41-50] 17 I) El intervalo modal es [31-40]. II) El intervalo donde se encuentra la mediana es [21-30]. III) En el 22% de las parcelas se cosechó 30 toneladas o menos. B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 12

13 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 13. En el siguiente gráfico de barras se representan las edades de un grupo de personas, con a y b números enteros positivos y a 1. Cuál(es) de los siguientes parámetros de la muestra depende(n) solamente del valor de a? I) La moda. II) La frecuencia de la moda. III) El promedio. B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III 3b 2b b a 1 a a + 1 Edad (años) 14. El gráfi co de la fi gura muestra el resultado obtenido por un grupo de estudiantes universitarios en una prueba. Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) verdadera(s)? I) La mediana se encuentra en el intervalo 4 5. II) El intervalo modal es de 18 a 20 años. III) El total de estudiantes que rindió la prueba es 65. B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III Nota 13

14 Programa Entrenamiento - Matemática 15. El gráfi co de la fi gura muestra el resultado obtenido por un grupo de estudiantes universitarios en una prueba de Estadística. Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) verdadera(s)? ,5 4 5,5 7 Nota I) La frecuencia del intervalo modal es 50. II) La mediana se encuentra en el intervalo 2,5 4. III) 30 alumnos obtuvieron nota superior a 4. B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 16. El siguiente gráfi co circular muestra el resultado de un estudio acerca de las edades de las personas que conformaban un grupo juvenil de teatro. Entonces, en el grupo de teatro I) hay más personas de 18 a 23 años que personas de 24 a 29 años. II) III) 1 3 de las personas tienen de 24 a 26 años. el intervalo modal es de 18 a 20 años. Es (son) verdadera(s) 27 a 29 años A) solo II. B) solo III. C) solo I y II. D) solo I y III. E) I, II y III. 24 a 26 años 30% 10% 40% 18 a 20 años 20% 21 a 23 años 14

15 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 17. La tabla adjunta muestra los resultados de una encuesta realizada a estudiantes universitarios, respecto al número de horas que duermen en promedio cada día. El decil 4 de los datos es A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Nº de horas Un profesor de matemática realiza un estudio sobre el número de estudiantes que tiene cada curso del colegio donde trabaja, y para eso construye la tabla adjunta. Respecto a los datos, cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) verdadera(s)? I) El colegio tiene en total 30 cursos. II) El quintil 3 de los datos es 44. III) El decil 3 de los datos es 42. B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Nº de estudiantes En una muestra de datos cuantitativos discretos ordenados de menor a mayor, el percentil m corresponde siempre al valor A) sobre el cual se encuentra el m% de los datos. B) en la posición m. C) bajo el cual se encuentran m datos. D) bajo el cual se encuentra el m% de los datos. E) sobre el cual se encuentran m datos. 15

16 Programa Entrenamiento - Matemática 20. Con respecto a la tabla de distribución de frecuencias adjunta, es correcto afirmar que I) el percentil 30 es 4. II) el decil 4 es 2. III) el cuartil 1 es 1. Es (son) verdadera(s) A) solo II. B) solo III. C) solo I y II. D) solo I y III. E) ninguna de ellas. Dato En un curso se consultó a los estudiantes sobre el número de mascotas que tienen, resumiendo los datos obtenidos en el gráfi co de la fi gura. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El cuartil 1 es igual al quintil 1. II) El percentil 60 es igual a la mediana. III) El decil 8 es 4. B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III Número de mascotas 22. La tabla adjunta muestra la distancia que deben recorrer los trabajadores de una empresa para llegar a su lugar de trabajo. Cuál de las siguientes afi rmaciones es verdadera? A) El decil 8 se encuentra en el intervalo [4, 6[. B) El percentil 15 se encuentra en el intervalo [8, 10[. C) El quintil 1 se encuentra en el intervalo [0, 2[. D) El cuartil 3 se encuentra en el intervalo [8, 10[. E) El cuartil 2 se encuentra en el intervalo [4, 6[. Distancia (km) [0, 2[ 3 [2, 4[ 2 [4, 6[ 4 [6, 8[ 4 [8, 10[ 6 [10, 12] 5 16

17 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 23. En la fi gura se muestra el diagrama de caja de un conjunto de datos. Cuál de las siguientes afi rmaciones es FALSA? A) El valor mayor de la muestra es 17. B) El rango intercuartil de la muestra es 6. C) k es igual a 12. D) El cuartil 1 es 9. E) El percentil 75 es k En la fi gura se muestra un diagrama de caja que representa las notas de un curso en las pruebas de Lenguaje y Matemática. Si el alumno aprueba con nota 4,0, se puede inferir que I) en la prueba de Matemática hubo más alumnos reprobados que en la prueba de Lenguaje. II) al menos un 75% del curso aprobó la prueba de Matemática. III) la nota más alta del curso se obtuvo en la prueba de Lenguaje. Es (son) verdadera(s) A) solo III. B) solo I y II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) I, II y III. 6,8 6,5 5,9 5,5 5,2 4,6 4,1 3,3 2,8 Matemática Lenguaje 25. En la fi gura se muestra un gráfi co de distribución porcentual de una variable estadística X. El cuartil 3 de los datos es Porcentaje (%) A) 1 B) 2 a C) 3 D) 4 18 E) x 17

18 Programa Entrenamiento - Matemática 26. En el gráfi co de la fi gura se registraron los puntajes de un ensayo PSU obtenidos por todos los estudiantes de cuarto medio de cierto liceo. En qué intervalo se encuentra el decil 7? A) [625, 700[ B) [700, 775[ C) [475, 550[ D) [550, 625[ E) [775, 850] Número de estudiantes Puntajes 27. El gráfi co de la figura muestra la distribución del número de personas que viven en un edifi cio de tres pisos. Se puede determinar el número de personas que viven en el piso 3 si: (1) En el piso 1 viven 10 personas. (2) En el piso 2 vive el 45% de las personas. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. Piso 3 Piso 1 25% Piso 2 18 personas 28. En la tabla adjunta, a y x son números enteros positivos. Se puede determinar el valor numérico de la mediana si: (1) a = 5 (2) x = 7 Dato a 8 a a + 2 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. x a

19 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 29. En el gráfi co adjunto, n, p, m y r son números enteros positivos tales que p < m < r. Se puede determinar el valor numérico de la moda de la muestra si: n + 7 n + 5 n p m r (1) n = 4 (2) m = 10 Dato A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 30. En el diagrama de caja de la figura, se puede determinar el valor de a si: (1) El rango intercuartil de la muestra es 11. (2) El percentil 75 de la muestra es 19. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. a b 19

20 Programa Entrenamiento - Matemática ü Tabla de corrección Ítem Alternativa Habilidad 1 ASE 2 Aplicación 3 Comprensión 4 Aplicación 5 Comprensión 6 Comprensión 7 Aplicación 8 ASE 9 Aplicación 10 Aplicación 11 ASE 12 Aplicación 13 ASE 14 Aplicación 15 Aplicación 16 Aplicación 17 Aplicación 18 Aplicación 19 Comprensión 20 Aplicación 21 Aplicación 22 ASE 23 Comprensión 24 ASE 25 Aplicación 26 Aplicación 27 ASE 28 ASE 29 ASE 30 ASE Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial. 20