(B) Segundo parcial (1) Dibuje una gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes:

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E1600 (A) Primer parcial (1) Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 5 m/seg, entonces su altura después de t segundos es: s(t) 5t +5t (a) Determine el dominio de la función (b) Para qué valores de t la pelota se encuentra a más de 0 m del suelo? () Sean f() +yg() 18 Determinar (a) Dominio y raíces de f() ydeg() (b) (g f)() y su dominio () Sean { si 1; f() 4 si > 1; g() f( +1) 4, determinar las gráficas de ambas funciones, el dominio y el rango de la función g(). (4) El costo de un viaje en tai es de $4.80 por el primer kilómetro (o parte del primer kilómetro) y 0 centavos por cada 100 metros subsiguientes. Eprese el costo de un viaje como función de la distancia recorrida (en kilómetros), para 0 <<; además, grafique esa función. (B) Segundo parcial (1) Dibuje una gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes: lím f() ; lím f() 1; f(0) 1; lím f() ; lím f() ; lím f(). + + f() 4; lím () La ley de Newton de la gravitación afirma que la magnitud F de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre otro de masa M es F GmM, r donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre los cuerpos. (a) Si los cuerpos se están moviendo, encuentre df y eplique su significado dr (b) Suponga que se sabe que la Tierra atrae un objeto con una fuerza que disminuye a razón de N/km, cuando r km. Con qué rapidez cambia esa fuerza cuando r km? canek.azc.uam.m: / /

2 GLOBAL E1600 () Calcule los valores de a, b que hacen de la siguiente función una función continua a si < 1; f() b si 1; +1 si 1 <<. 4 (4) lím (5) Para la función f() Determine: (a) Dominio, raíces y paridad (b) Clasificación de discontinuidades (c) Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales (d) Esbozo gráfico (C) Tercer parcial (1) Para la función f() 1 + 1, determine: (a) Dominio, raíces y paridad (b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento (c) Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo y puntos de infleión (d) Intervalos de continuidad y la clasificación de discontinuidades (e) Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales (f) Máimos y mínimos relativos y absolutos (g) Esbozo gráfico y rango () Cuando un tanque esférico de radio a contiene líquido con una profundidad h, el volumen de este líquido está dado por V 1 πh (a h). Suponga ahora que un tanque esférico de 5 m de radio se está llenando de agua a razón de 0 l/s. Calcule la razón de cambio del nivel de agua cuando h 1.5 m. () Se va a construir un tanque metálico de almacenamiento con volumen de 100 l en forma de un cilindro circular recto rematado por dos hemisferios (medias esferas). Tomando en cuenta que el volumen de la esfera es 4 πr y que la superficie es 4πr, encontrar las dimensiones del tanque que minimicen la cantidad de metal. (4) Muestre que las rectas tangentes a la elipse y + y en los puntos (1, 1)&( 1, 1) son paralelas.

3 GLOBAL E1600 Respuestas (A) Primer parcial (1) Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 5 m/s, entonces, su altura después de t segundos es: s(t) 5t +5t. (a) Determine el dominio de la función La función altura o posición con respecto al suelo es: s(t) 5t +5t. El dominio de esta función es D s { t 0 } { s(t) 0 t 0 5t +5t 0 } { t 0 5t( t +5) 0 } { t 0 t +5 0 } { t 0 } { } { } 5 t t 0 t 5 t 0 t 5 [0, 5]. 0 5 (b) Para qué valores de t la pelota se encuentra a más de 0 m del suelo? Se cumple si: s(t) > 0 5t +5t>0 5t +5t 0 > 0 5(t 5t +6)> 0 t 5t +6< 0 (t )(t ) < 0. Desigualdad que se cumple cuando t < 0yt > 0 o bien t > 0yt < 0; t<yt> o bien t>yt<; t<yt> o bien <t<. Ya que no hay t R tales que t< & t>, entonces la desigualdad se cumple sólo cuando <t<. Por lo tanto, la desigualdad s(t) > 0 se cumple cuando, y sólo cuando, <t<. () Sean determinar: (a) Dominio y raíces de f() ydeg() Para la función f() +: f() +yg() 18 Dominio: D f { { } } + 0, [, + ).

4 4 GLOBAL E1600 Raíces: f() Para la función g() 18 : Dominio: D g { 0 } R {0 }. Raíces: g() &. (b) (g f)() y su dominio Calculamos: (g f)() g[f()] g( +) ( +) 18 + ( +) El dominio de esta función es: D g f { } D f & f() D g { [ ), + & } + 0 { [ ) }, + & + 0 { +> 0 } { > } ( ), +. () Sean { si 1; f() 4 si > 1; g() f( +1) 4, determinar las gráficas de ambas funciones, el dominio y el rango de la función g(). Considerando que 4 { 4 si 4 0 ( 4) si 4 < 0 reescribimos la función f como si 1; f() +4 si 1 << 4 ; 4 si 4. 4 si 4 ; +4 si< 4,

5 Para tener la gráfica de f() debemos ver que GLOBAL E y y (y 0) 1( ), es decir, que y es una parábola con eje horizontal la cual se abre hacia la izquierda desde su vértice V (, 0). Un bosquejo de la gráfica de f(): f() C( 1, 7) 7 E(, 5) A( 6, ) B( 1, ) 6 1 D( 4, 0) Obtenemos la gráfica de la función g() f( +1) 4 mediante etapas, y partiendo de la gráfica de f(). y f( + 1) se obtiene desplazando a y f() una unidad hacia la izquierda. y f( + 1) se obtiene multiplicando por las ordenadas de y f( + 1). Finalmente, y f( +1) 4 se obtiene de y f( + 1), trasladándola 4 unidades hacia abajo. Veamos las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, después de cada etapa y f() y f( +1) y f( +1) y f( +1) 4 A( 6, ) A 1 ( 7, ) A ( 7, 9) A ( 7, 5) B( 1, ) B 1 (, ) B (, 6) B (, ) C( 1, 7) C 1 (, 7) C (, 1) C (, 17) ( ) ( ) ( ) ( ) D, 0 D 1, 0 D, 0 D, 4 E(, 5) E 1 (, 5) E (, 15) E (, 11) Ahora la gráfica de la función g():

6 6 GLOBAL E1600 g() C ( 1, 17) E (, 11) A ( 7, 5) B (, ) D ( 1, 4) El dominio de g es R y el rango de g es el intervalo ( 4, + ). (4) El costo de un viaje en tai es de $4.80 por el primer kilómetro (o parte del primer kilómetro) y 0 centavos por cada 100 metros subsiguientes. Eprese el costo de un viaje como función de la distancia recorrida (en kilómetros), para 0 <<; además, grafique esa función. Considerando que 100 m 0.1 km y que 0 centavos $0.0, se construye la primera tabla, la cual se epresa de otra manera (como en la segunda tabla). Recorrido en km Costo en pesos 0 << < < < < < < < < < Recorrido en km Costo en pesos 0 << (0.1) <1 + (0.1) (0.0) 1 + (0.1) <1 + (0.1) (0.0) 1 + (0.1) <1 + 4(0.1) (0.0) 1 + 4(0.1) <1 + 5(0.1) (0.0) 1 + 5(0.1) <1 + 6(0.1) (0.0) 1 + 6(0.1) <1 + 7(0.1) (0.0) 1 + 7(0.1) <1 + 8(0.1) (0.0) 1 + 8(0.1) <1 + 9(0.1) (0.0) 1 + 9(0.1) <1 + 10(0.1) (0.0)

7 GLOBAL E Observamos en estas tablas que Recorrido en km Costo en pesos 1 +n(0.1) < 1 +(n + 1)(0.1) n(0.0) n es un natural Es decir, el costo C en pesos como función del recorrido en kilómetros es C() n(0.0) si 1 + n(0.1) <1+(n + 1)(0.1). La gráfica de esta función es la siguiente: C() (B) Segundo parcial (1) Dibuje una gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes: lím f() ; lím f() 1; f(0) 1; lím f() ; lím f() ; lím f(). + + f() 4; La gráfica es: lím f() y 4 4 y 1 1 () La ley de Newton de la gravitación afirma que la magnitud F de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre otro de masa M es F GmM r, donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre los cuerpos.

8 8 GLOBAL E1600 (a) Si los cuerpos se están moviendo, encuentre df, la razón de cambio instantánea de la fuerza F cuando dr cambia la distancia r entre los cuerpos. Calculamos: GmM df dr lím (r + h) GmM [ ] r r (r + h) GmM lím h 0 h h 0 hr (r + h) [ ] [ ] rh h r h GmM lím GmM lím h 0 hr (r + h) h 0 r (r + h) [ ] r GmM GmM. r 4 r (b) Suponga que se sabe que la Tierra atrae a un objeto con una fuerza que disminuye a razón de N/km, cuando r km. Con qué rapidez cambia esa fuerza cuando r km? Por un lado tenemos df dr, r0 000 y por otro df dr GmM r0 000 (0 000) ; luego entonces, GmM (0 000) GmM (0 000) ; por lo que df dr r (0 000) (10 000) 16 N/km. () Calcule los valores de a, b que hacen de la siguiente función una función continua a si < 1; f() b si 1; +1 si 1 <<. La función racional f() a es continua en todo su dominio D f R {0}, lo que implica su continuidad en el intervalo (, 1). La función polinomial f() + 1 es continua en todo R, lo que implica su continuidad en el intervalo ( 1, ). Lo anterior nos lleva a cuidar la continuidad de f en 1, para lo cual debemos eigir que lím f() 1 f( 1).

9 lím f() eiste si y solo si 1 lím f() 1 lím 1 + f() lím GLOBAL E ( a ) lím 1 1 ( +1) a ( 1) ( 1) +1 a a 4. Luego entonces, con a 4 sucede que lím f(). 1 Ahora bien, por definición de la función f, sabemos que f( 1) b y debe suceder que f( 1) lím f(). 1 Esto se logra cuando b f( 1) lím f() ; es decir, si b. 1 Por lo tanto, f es una función continua en el intervalo (, ) cuando a 4 y cuando b. Esto es, cuando si < 1; f() si 1; +1 si 1 <<. 4 (4) lím Calculamos: lím lím + lím + ( ) 4 4 ( 1 1 ) ( 1 1 ) lím ( 1 1 ) lím Luego entonces, lím (5) Para la función f() 1 + 1, determine: (a) Dominio, raíces y paridad Dominio. Por ser f una función racional, su dominio es D f R { 0 } R {0}.

10 10 GLOBAL E1600 Raíces: Paridad: f() f() f( ) 1 ( ) + 1 ( ) 1 1 & ( 1 f() + 1 ) 1 1. Luego entonces, f( ) f() pues 1 1 ya que 1 1 0, lo cual es absurdo; y análogamente 1 1 ; y así también f( ) f(). Por lo tanto, f no es par ni tampoco es impar. (b) Intervalos de continuidad y la clasificación de discontinuidades Por ser una función racional, f es continua en todo su dominio D f R {0}. Esto es, f es continua en el conjunto (, 0) (0, + ). Entonces f tiene una discontinuidad en 0. Como lím( +1)1& lím +1 0, entonces lím. Es decir, la discontinuidad es esencial; puede decirse también que la discontinuidad es infinita. (c) Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales Precisamos lím f() determinando los límites laterales: 0 +1 lím f() lím ( ) Puesto que 0, entonces <0&( +1) 1 > 0. Como < 0&( +1)> 0, entonces +1 < 0, por lo que +1. Por lo tanto lím f(). 0 Por otro lado: +1 lím f() lím ( ) Puesto que 0 +, entonces >0y( +1) 1 > 0. Como > 0 y como ( +1)> 0, entonces +1 > 0, lo que Por lo tanto: lím f() De lo anterior se desprende que la recta 0 es una asíntota vertical y que además es la única. Ahora bien, lím + f() ( 1 lím ) 0& lím f() 0.

11 GLOBAL E Luego entonces, la recta y 0 es una asíntota horizontal y además es la única pues lím f() lím +1 ( ) lím lím ( ) (d) Rango y gráfica El rango de f es todo R. La gráfica de la función f() es: f() 1 1 (C) Tercer parcial (1) Para la función f() 1 + 1, determine: (a) Dominio, raíces y paridad Dominio: Por ser f una función racional, su dominio es Raíces: Paridad: D f R { 0 } R {0}. f() f() f( ) 1 ( ) + 1 ( ) 1 1 & ( 1 f() + 1 ) 1 1. Luego entonces, f( ) f() &f( ) f(). Por lo tanto, la función f() no es par ni tampoco es impar. (b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento Derivamos: f() + f () 4 ( + )

12 1 GLOBAL E1600 Aquí es importante observar que, para cada 0, se tiene que 4 > 0. Por esto sucede que f + + () > 0 > 0 < 0 +< 0 < 4 4 ; f + + () < 0 < 0 > 0 +> 0 > 4 4. Por lo tanto, f es estrictamente creciente en el intervalo los intervalos ( ), 0 y(0, + ). (, ) ; es estrictamente decreciente en (c) Intervalos de concavidad hacia arriba, de concavidad hacia abajo y puntos de infleión Segunda derivada: f () 4 f () Primero vemos que f 6 +1 () Considerando este número y ecluyendo a 0, generamos los intervalos (, ), (, 0) &(0, + ), en los cuales veremos el signo de f (). Intervalo Valor prueba f () f es cóncava hacia << > 0 arriba 81 <<0 1 6 < 0 abajo 0 <<+ > 0 arriba 4 Luego entonces, f es cóncava hacia arriba en los intervalos (, ) y en (0, + ). Y es cóncava hacia abajo en el intervalo (, 0). Eisten cambios de concavidad en yen 0, pero la función no es continua en 0. Entonces, sólo hay un punto de infleión en. (d) Intervalos de continuidad y la clasificación de discontinuidades Por ser una función racional, f es continua en todo su dominio D f R {0}. Esto es, f es continua en el conjunto (, 0) (0, + ). La función f tiene una discontinuidad en 0. Como lím( +1)1& lím +1 0, entonces lím ( ) 1. Es decir, la discontinuidad es esencial; puede decirse también que la discontinuidad es infinita. (e) Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales Precisamos lím f() determinando los límites laterales: 0 +1 lím f() lím ( ) Puesto que 0, entonces <0&( +1) 1 > 0.

13 GLOBAL E Como < 0&( +1)> 0, entonces +1 < 0, por lo que +1 Por lo tanto. lím f(). 0 Por otro lado, +1 lím f() lím ( ) Puesto que 0 +, entonces >0&( +1) 1 > 0. Como > 0&( +1)> 0, entonces +1 > 0, por lo que +1 Por lo tanto: +. lím f() De lo anterior se desprende que la recta 0 es una asíntota vertical y que además es la única. Ahora bien, ( 1 lím f() lím ) 0& lím f() 0. Luego entonces, la recta y 0 es una asíntota horizontal y además es la única. (f) Máimos y mínimos relativos y absolutos Vemos que: f + () , lo cual implica que f tiene un punto crítico en. Por el inciso b) se sabe que f es creciente para < y decreciente para >. Luego entonces, por el criterio de la primera derivada, f tiene en un punto máimo local estricto. La función f no tiene máimo ni mínimo absoluto, ya que lím f() & lím 0 f() (g) Rango y esbozo gráfico Precisamos las coordenadas del punto ( de infleión y del máimo local estricto. Punto de infleión I[,f( )] I, 1 ). 8 Máimo local M [ (,f )] ( M, 4 ). La gráfica de f() es: 7

14 14 GLOBAL E1600 f() 1 1 El rango de f() es todo R. () Cuando un tanque esférico de radio a contiene líquido con una profundidad h, el volumen de este líquido está dado por V 1 πh (a h). Suponga ahora que un tanque esférico de 5 m de radio se está llenando de agua a razón de 0 l/s. Calcule la razón de cambio del nivel de agua cuando h 1.5 m. Consideramos que en la fórmula V 1 πh (a h) πh a 1 πh tanto la profundidad h como el volumen V están en función del tiempo t. Cuando a 5 m 50 dm, se tiene que V 50πh π h. Derivando respecto a t se obtiene dv dt 100πhdh dt πhdh dt donde dv dh es la rapidez de cambio del volumen y dt dt Cuando dv dt 0 πh(100 h)dh dt, l/s 0 dm /s & h 1.5 m 1.5 dm, se tiene que 0 es la rapidez de cambio de la profundidad. π(1.5)( )dh dt π(1.5)(87.5)dh dt π dh dt 0 dh dt dm/s. (109.75)π Por lo tanto, la rapidez de cambio de la profundidad es dh dm/s. dt

15 GLOBAL E () Se va a construir un tanque metálico de almacenamiento con volumen de 100 l en forma de un cilindro circular recto rematado por dos hemisferios (medias esferas). Tomando en cuenta que el volumen de la esfera es 4 πr y que la superficie es 4πr, encontrar las dimensiones del tanque que minimicen la cantidad de metal. Usamos la figura siguiente que es la de una sección vertical del tanque: l r Considerando un cilindro circular recto de radio r y largo l, medidos ambos en decímetros (dm), el volumen de este tanque es V πr l + 4 πr ; y debe ser V 10 l 10 dm ; por lo cual se debe cumplir que πr l + 4 πr 10. Minimizar la cantidad de metal es equivalente a minimizar el área superficial del tanque. El área del tanque es A πrl +4πr. Se tiene entonces: Una ecuación, πr l + 4 πr 10. Una función, A πrl +4πr. De la ecuación se despeja a una de las variables (la que convenga) para luego sustituirla en la función. Conviene despejar l: πr l πr 10 l πr. πr Sustituyendo en A se obtiene 10 4 A πrl +4πr πr πr πr +4πr r (10 4 πr ) +4πr 0 r 8 πr +4πr A(r) 0 r + 4 πr,

16 16 GLOBAL E1600 que es la función a minimizar: A (r) 0 r + 8 πr A (r) 0 0 r + 8 πr πr 0 r r 60 8π 15 π r π Luego entonces, la función A(r) tiene un punto crítico en r : A (r) 40 r + 8 π>0. Se tiene un mínimo local estricto. Por lo tanto, las dimensiones del tanque que minimizan el área son: r 1.65 & ( ) πr 10 4π πr π l π(1.65) Es decir, el tanque debe ser una esfera de radio r dm π(1.65) 0. (4) Muestre que las rectas tangentes a la elipse en los puntos (1, 1)&( 1, 1) son paralelas. y + y Suponemos que en la ecuación y + y se tiene implícitamente definida a la variable y como función de la variable. Derivamos implícitamente con respecto a en toda la ecuación y se obtiene: d d d d (y)+ d d y d d ( dy ) d + y +y dy d 0 dy dy y +y d d 0 Valuando la derivada dy d dy d dy (y ) y d dy d y y. en el punto A(1, 1) se obtiene A 1 (1) ( 1) m A, que es la pendiente de la recta tangente T A a la curva en el punto A.

17 GLOBAL E Valuando la derivada dy en el punto B( 1, 1), se obtiene d dy 1 ( 1) d (1) ( 1) m B, B que es la pendiente de la recta tangente T B a la curva en el punto B. Ya que m A m B, entonces las rectas tangentes T A y T B son paralelas.