ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- V V V V F F F V F F F V

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1 Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Tablas de Verdad: p q p q p p V V V V F V F F F V F V F F F F p q p q V V V V F V F V V F F F p q p q V V V V F F F V V F F V p q p q V V V V F F F V F F F V Algunas equivalencias: 1. p p 2. (p q) r (p r) (q r) 3. (p q) r (p r) (q r) 4. (p q) q p q 5. (p q) p q 6. (p q) p q 7. p q q p 8. p q p q 9. (p q) p q Algunos argumentos o razonamientos lógicos válidos 1. (p q) p (Simplificación) 2. p, q (p q) 3. (p p) p (Simplificación Disyuntiva) 4. p (p q) cualquiera sea q. (Adición) 5. p, (p q) q (Modus Ponens) 6. q, (p q) p (Modus Tolens) 7. p, (p q) q (Modus Tollendo Ponens) 8. (p q), (q r) p r (Silogismo Hipotético) 9. (p q), (p r), (q s) r s (Silogismo Disyuntivo) 10. (p q), (p r), (q r) r 1

2 Negación de proposiciones con cuantificadores ( x)p(x) ( x) p(x) ( x)p(x) ( x) p(x) Como interpretar o leer algunos ejemplos Sean x e y variables que toman valores en el conjunto de los números reales. ( x)( y) x y Dice que dados dos números reales cualesquiera x e y, el primero es menor o igual que el segundo. Esta proposición es Falsa. ( x)( y) x y Dice que dado un número real cualquiera x siempre es posible encontrar un número real y tal que x es menor o igual que y. Observar que el número y puede variar con x. Esta proposición es Verdadera. ( x)( y) x y Dice que existe un número real que es menor o igual que cualquier otro número real. Esta proposición es Falsa. ( x)( y) x y Dice que existe un par de números reales tal que el primero es menor que el segundo. Esta proposición es Verdadera. Observar que si x e y son variables que toman valores en el conjunto de los números naturales entonces las cuatro proposiciones anteriores son Verdaderas. Algo sobre demostraciones: Cuando se nos pide demostrar algún resultado lo primero que debemos preguntarnos es Demostrar en base a que premisas?, es decir, qué puedo usar en el desarrollo de la demostración como algo ya sabido? Esto dependerá del contexto en el que esté trabajando. Es lo primero que tengo que poner en claro antes de comenzar la demostración. En líneas generales lo que se puede usar son los axiomas (resultados que se dan por válidos sin necesidad de demostración) de la teoría general en la que se está trabajando y los resultados de Teoremas, Lemas, o Proposiciones previamente demostrados en el mismo contexto en el que trabajo. Al realizar los ejercicios de las prácticas es importante que los alumnos consulten y supervicen con los docentes si tienen bien en claro cuales son las premisas que pueden usar en una demostración. El siguiente es un esquema que describe algunos tipos de demostraciones. Cuando haga o lea alguna demostración puede ser de ayuda ver a cual de estos tipo corresponde. A las proposiciones las llamamos con letras minúsculas: p, q, s,... Estas pueden ser proposiciones simples o compuestas. 1. Demostrar p. 2

3 En forma directa: Se trata de obtener a p como conclusión de un razonamiento lógico usando como premisas axiomas, resultados de teoremas ya demostrados, resultados parciales que se obtengan a lo largo de la misma demostración. Por contradicción o por el absurdo: Se trata de obtener alguna proposición FALSA como conclusión de un razonamiento lógico usando como premisa p (la negación de p); (ADEMAS DE axiomas, resultados de teoremas ya demostrados y resultados parciales que se obtengan a lo largo de la misma demostración). 2. Demostrar q p En forma directa: Se trata como en el caso anterior de obtener a p como conclusión de un razonamiento lógico, con la diferencia que en este caso se puede (y en general se debe) usar como premisa a q; (ADEMAS DE axiomas, resultados de teoremas ya demostrados y resultados parciales que se obtengan a lo largo de la misma demostración). Por contradicción: Igual que antes, se trata de obtener alguna proposición FALSA como conclusión de un razonamiento lógico usando como premisa (p q), lo que es equivalente a usar como premisas a q y a p; (ADEMAS DE axiomas, resultados de teoremas ya demostrados y resultados parciales que se obtengan a lo largo de la misma demostración). 3. Demostrar q p Se trata de demostrar como en el caso anterior q p y luego demostrar, también como en el caso anterior, p q 4. Demostrar que para todo x A vale p(x). En general este tipo de demostración puede comenzar diciendo: Sea a un elemento cualquiera de A. Luego se demuestra p(a) como en caso 1 (En forma directa o por contradicción). Finalmente se termina diciendo: Como a es un elemento cualquiera de A, hemos demostrado que p(x) vale para todo elemento x A. Hay otros tipos de demostraciones, estos son solo algunos ejemplos. También se debe tener en cuenta que tanto las premisas como el resultado que tenemos que demostrar pueden ser reemplazados por cualquier forma equivalente, sea porque resulta más facil de escribir o leer, porque lo puedo relacionar mejor con otros resultados conocidos, etc. Por ejemplo: conocemos la equivalencia ((p q) r) ((p r) (q r)) entonces si tenemos como premisa o como resultado a demostrar que x es par o primo,y x no divide a 40 será lo mismo usar que x es par y no divide a cuarenta, o x es primo y no divide a 40. Otro ejemplo: Sabemos la equivalencia (p q) ( q p) Entonces para demostrar que A B = (A = B = ). podemos en su lugar demostrar 3

4 (A = B = ) A B = lo cual es esquivalente a probar (A B ) A B Hacer esto se llama demostrar por el contrarecíproco. Otro ejemplo: Sabemos la equivalencia (p q) p q Entonces, si tenemos Es falso que x divide a 8 o a 24. Podemos reemplazarlo por x no divide a 8, y x no divide a 24. Otra cosa que se debe recalcar, es la diferencia que hay entre que una demostración esté bien, que un razonamiento sea válido y que la conclusión de un razonamiento sea verdadera. Consulte todo lo que sea necesario con los docentes para distinguir bien entre estas situaciones. Aquí solo se dan algunos ejemplos Ejemplos: Los números naturales son pares. 3 es un número natural. 3 es par. En este caso el razonamiento es correcto, la conclusión es falsa. Una de las premisas que use es falsa. Esto no es una demostración de que 3 es par. Los números naturales son impares. 3 es un número natural. 3 es impar. Otra vez, el razonamiento es correcto. La conclusión es verdadera. Pero esta no es una demostración de que 3 es impar, pues una de las premisas es falsa. Algunos números naturales son impares. 3 es un número natural 3 es impar. En este caso las dos premisas son verdaderas, pero lo que está mal es el razonamiento. Este no es un razonamiento válido pues la primer premisa dice ALGUNOS números naturales. Por lo tanto esto no es una demostración de 3 es un nùmero impar. Concluyendo, para que una demostración esté bien, como se dijo al principio, se debe obtener la conclusión mediante un razonamiento válido y usando premisas que se han probado o se conocen verdaderas. Conjuntos Definición por comprensión A = {x : x es un número natural menor que diez } Definición por extensión A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Sean A, B y C conjuntos cualesquiera, y U el conjunto universal. Valen las siguientes propiedades: 4

5 1. Igualdad: A = B ( x)(x A x B). a) A = A Propiedad reflexiva de la igualdad b) A = B B = A Propiedad simétrica de la igualdad c) (A = B B = C) A = C Propiedad transitiva de la igualdad 2. Inclusión: A B ( x)(x A x B). a) A U b) A A Propiedad reflexiva de la inclusión c) A B B A A = B Propiedad antisimétrica de la inclusión d) (A B B C) A C Propiedad transitiva de la inclusión Debemos probar que A C, sabiendo que A B B C; para esto consideraremos un elemento cualquiera a de A y veremos que a C. a A a B, pues por hipótesis A B a B a C, pues por hipótesis B C Resulta que ( x)(x A x C), es decir A C. Observación: para indicar que A es un subconjunto de B usamos el símbolo o el símbolo, indistintamente. Para indicar que A es un subconjunto propio de B (i.e. A B y A B) usamos el símbolo. 3. Unión: A B = {x : x A x B}. a) A A = A, A = A, A U = U b) A B = B A La unión es conmutativa c) (A B) C = A (B C) La unión es asociativa veremos que un elemento cualquiera e pertenece a (A B) C si y solo si pertenece a A (B C) e (A B) C (e A B) (e C), por definición de ((e A) (e B)) (e C), por definición de (e A) ((e B) (e C)), por la asociatividad de e A (e B C), por definición de e A (B C), por definición de Resulta que ( x)(x (A B) C x A (B C)), es decir (A B) C = A (B C) d) A A B e) A B = A B A ) Primero demostraremos que A B = A sabiendo que B A. i) Sea e un elemento cualquiera de A B. e A B e A e B, por definición de e A e A, pues por hipotesis B A e A por simplificación disyuntiva. 5

6 Resulta que A B A. ii) Ya se demostró en el item anterior que A A B cualesquiera sean los conjuntos A y B. De i) y ii) resulta que A B = A, como queríamos probar. ) Segundo demostraremos que B A sabiendo que A B = A. Sea e un elemento cualquiera de B. e B e A e B por adición e A B por definición de e A pues por hipótesis A B = A Resulta B A como queríamos probar. 4. Intersección: A B = {x : x A x B}. a) A A = A, A =, A U = A. b) A B = B A La intersección es conmutativa. c) (A B) C = A (B C) La intersección es asociativa. d) A B A. e) A B = A A B. f ) A (B C) = (A B) (A C) La intersección es distributiva respecto a la unión. g) A (B C) = (A B) (A C) La unión es distributiva respecto a la intersección. Si A B =, los conjuntos A y B se dicen disjuntos. 5. Diferencia: A B = {x : x A x B}. a) A A =, A = A, A U =, A =, U A = A c b) Puede ocurrir que A B B A La diferencia no es conmutativa c) Puede ocurrir que (A B) C A (B C) La diferencia no es asociativa d) (A B) C = (A C) B e) A B A f ) A B = A A B = g) A (B C) = (A B) (A C) La intersección es distributiva respecto de la diferencia. 6. Complemento: A c = {x : x A}. a) (A c ) c = A, c = U, U c = b) A c A = U, A c A = c) (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Leyes de De Morgan x (A B) c x (A B), por definición de complemento (x (A B)) por definición de ((x A) (x B)), por definición de ( (x A)) ( (x B)), por negación de (x A) (x B), por definición de (x A c ) (x B c ), por definición de complemento x A c B c, por definición 6

7 7. Diferencia simétrica: A B = {x : (x A x B) (x B x A)}. a) A A =, A = A, A U = A c b) A B = B A La diferencia simétrica es conmutativa c) (A B) C = A (B C) La diferencia simétrica es asociativa d) A B A B x A B (x A x B) (x B x A) definición de (x A) (x B) por simplificación x A B por definición de e) A B = (A B) (A B) Primera inclusión: x A B (x A x B) (x B x A), definición de (x A) (x B), por simplificación (x A x B), por la negación de (x A B), por definición de x A B Hemos probado x A B x A B (I). Por el item anterior sabemos x A B x A B (II). De (I) y (II) resulta x A B x (A B) x A B (A B) (A B) por definición de diferencia Con esto probamos que A B (A B) (A B). Segunda inclusión: x (A B) (A B) x (A B) x (A B) (x A x B) (x A x B) (x A x B) (x A x B) ((x A x B) (x A)) ((x A x B) x B) ((x A x A) (x B x A)) ((x A x B) (x B x B)) Observar x A x A es una contradicción (siempre falso), por lo tanto, (x A x A) (x B x A) es equivalente con (x B x A) (III) Análogamente (x A x B) (x B x B) es equivalente con (x A x B) (IV ) Reemplazando (III) y (IV) en (II) resulta x (A B) (A B) (x B x A) (x A x B) x A B por definición de f ) A B = A B = ) Primero probaremos que si B = entonces A B = A. (II) 7

8 Por el item anterior A B = (A B) (A B) = (A ) (A ) = A = A. )Ahora probaremos que si A B = A B =. Lo probaremos por el contrarecíproco, es decir: probaremos B A B A Si B entonces existe b B. b B b B (b A b A) esto es siempre verdadero (b B b A) (b B b A) distributiva(v I) Ahora b B b A b A B b A B A B A b está en un conj. y no en el otro(v II) b B b A b B A b A B A B A b está en un conj. y no en el otro(v III) Continuando en (VI), usando (VII) y (VIII) b B A B A A B A A B A por simplificación g) A (B C) = (A B) (A C) La intersección es distributiva respecto de la diferencia simétrica. 8. Conjunto de Partes: P(A) = {B : B A}. a) A P(A), P(A), P( ) b) A B P(A) P(B) c) P(A B) P(A) P(B) C P(A) P(B) C P(A) C P(B), definición de C A C B, definición de partes C A B C A B, pues A A B y B A B y transitividad de C A B, por simplificación. C P(A B) por definición de partes. d) P(A B) = P(A) P(B) (A B B A) ) Primero demostraremos A B B A sabiendo que P(A B) = P(A) P(B). Como p q es equivalente a p q, basta demostrar A B B A sabiendo P(A B) = P(A) P(B). En definitiva vamos a probar B A sabiendo A B y P(A B) = P(A) P(B). Aquí vamos, A B ( a)(a A a B), (V III). Ahora, sea x B un elemento cualquiera, 8

9 x B {x, a} A B por (V III) {x, a} P(A B), por definición de partes {x, a} P(A) P(B), por hipótesis P(A B) = P(A) P(B) {x, a} P(A) {x, a} P(B), por definición de {x, a} A {x, a} B, por definición de partes {x, a} A, pues {x, a} B por (V III) x A,. Resulta B A como queríamos probar. ) A continuación demostraremos P(A B) = P(A) P(B), sabiendo que A B B A. P(A B) P(A) P(B) ya fue demostrado en 8. c); veamos P(A B) P(A) P(B): A B B A A B = B A B = A, por propiedades de la unión P(A B) = P(B) P(A B) = P(A) P(A B) P(B) P(A) por la siguiente propiedad Sean C, D, E conjuntos cualesquiera, vale que (C = D C = E) C D E. x C x D x E pues por hipótesis C = D C = E x D E por definición de unión. e) P(A B) = P(A) P(B) Unión e Intersección generalizada: Sea I un conjunto no vacío que llamaremos conjunto de subíndices y (A i ) i I conjuntos con subíndices en I. Se define: A i = {x : existe i I tal que x A i } i I A i = {x : para todo i I se satisface que x A i } i I una familia de Partición Dado un conjunto A no vacío, una partición de A es una familia (A i ) i I de subconjuntos de A que satisfacen 1. A i para todo i I. 2. A i A j = para todo i y j elementos distintos de I. 3. A = i I A i 9

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