Descripción de la deformación y de las fuerzas en un medio continuo

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1 Descrpcón de la deformacón y de las fuerzas en un medo contnuo Mecánca del Contnuo 15 de marzo de Temas tratados con anterordad: Descrpcón cualtatva de un medo contnuo Hpótess del contnuo Elementos materales 1

2 2. Deformacón en un medo contnuo 2.1. Desplazamento Cuando el medo se deforma, cada elemento materal puntual se desplaza desde su poscón ncal x a una nueva poscón x. Se defne el campo vectoral desplazamento como u = x x P (x ) u P (x ) x x 0 Fgura 1: Desplazamento de un punto materal 2

3 2.2. Elemento materal lneal: Deformacón Este elemento es de dmensón nfntesmal y sus extremos tenen coordenadas x (punto P) y x + dx (punto Q). Sus extremos se desplazan a las poscones x (P ) y x + dx (Q ), respectvamente. El desplazamento de P es u y el de Q es u + du. P (x + u ) u dx Q u + du Q(x + dx ) (x + dx + u + du ) P (x ) dx Fgura 2: Desplazamento de una línea materal De la fgura se ve que: dx = u + dx + u + du = dx + du Asumendo que el campo de desplazamento u (x j ) es una funcón contnua, du = u u j dx j, que es correcta a prmer orden debdo a la pequeñez de dx. Llamaremos a u / u j tensor de las dervadas de los desplazamentos. 3

4 Para analzar el tensor, lo separamos en su parte smétrca y antsmétrca, u u j = e,j + ξ,j donde e,j = 1 ( u + u ) j 2 x j x ξ,j = 1 ( u u ) j 2 x j x 1. Parte smétrca e,j : a) Consderemos sólo los elementos dagonales (por ejemplo, en el sstema de ejes prncpales). Tenemos que: con sn sumar. Luego, Es decr, du = dx dx = u x dx = e, dx, e, = dx dx dx, ǫ 1 = dx 1 dx 1 dx 1 = e 1,1, ǫ 2 = dx 2 dx 2 dx 2 = e 2,2, ǫ 3 = dx 3 dx 3 dx 3 = e 3,3. Vemos, entonces, que los e, están relaconados con la varacón relatva de longtud de los segmentos materales (elongacón o contraccón). 4

5 S se consdera el paralelepípedo de volumen V = dx 1 dx 2 dx 3 formado por las componentes del elemento materal, el volumen después de la deformacón V vene dado por: V = dx 1dx 2dx 3 = (1 + e 1,1 )dx 1 (1 + e 2,2 )dx 2 (1 + e 3,3 )dx 3. Como las deformacones son pequeñas, e,j << 1, entonces a prmer orden tenemos que: V = V (1 + e 1,1 + e 2,2 + e 3,3 ), de donde, o sea que, V V V = e 1,1 + e 2,2 + e 3,3 = Tr(e,j ) V V = u x3 dx 3 dx dx 1 dx 2 x 2 x 1 Fgura 3: Paralelepípedo materal formado por las componentes de dx. Nótese que s e 1,1 = e 2,2 = e 3,3, el elemento materal dx no rota, y el volumen no se deforma. Entonces, un cubo se deformará en un cubo y una esfera en otra esfera. Sólo camba el volumen del elemento materal volumétrco, y se tenen sólo compresones o expansones sn cambo de forma. 5

6 y + dy β x + u y u x θ α δu ydx δ x u y y x x + u x x + dx Fgura 4: Desplazamento y varacón angular de dos elementos materales ncalmente perpendculares. b) Consderemos ahora los elementos no dagonales, e,j con j. Sn pérddad de generaldad, podemos tomar dos elementos materales lneales perpendculares entre sí. Asumendo pequeñas deformacones, los ángulos α y β venen dados por: α β tanα = u y x > 0, tanβ = u x y > 0. Después de la deformacón el ángulo entre ambos elementos materales es: π/2 (α + β). Entonces, la varacón θ del ángulo entre los elementos es: ( ux θ = (α + β) = y + u ) y = 2e x,y, x de donde deducmos que los elementos no-dagonales están asocados con las varacones de los ángulos entre dos segmentos materales ncalmente perpendculares. S e,j > 0 los ángulos se cerran, y vceversa. 6

7 De esta manera, es convenente descrbr el tensor de deformacón como: e,j = 1 3 e k,kδ,j + (e,j 13 ) e k,kδ,j es decr, e,j = 1 3 e k,k e 1,1 1e 3 k,k e 1,2 e 1,3 e 2,1 e 2,2 1e 3 k,k e 2,3 e 3,1 e 3,2 e 3,3 1 e 3 k,k. Tal como vmos anterormente, el prmer térmno de esta expresón corresponde a una compresón o expansón sn cambo de forma. Luego, el segundo térmno da cuenta de los cambos de forma sn cambos de volumen. En efecto, la traza del segundo térmno es déntcamente nula. 7

8 2. Consderemos fnalmente el térmno antsmétrco, ξ,j : Para ello, tomemos como antes dos elementos materales mutuamente perpendculares, pero veamos cómo es la deformacón cuando no se modfca el ángulo entre sí. y + dy β x + u y u x α y x u y x + u x x + dx Fgura 5: Desplazamento sn varacón angular de dos elementos materales ncalmente perpendculares. De la geometría de la fgura vemos que: α β tanα = u y x > 0, tanβ = u x y > 0. Dado que esta deformacón corresponde a e,j = 0, tenemos que u x y = u y x, es decr α = β, y el ángulo entre los elementos sgue sendo perpendcular después de la deformacón. 8

9 Por otro lado, vemos que: ξ x,y = 1 2 ( ux y u ) y = 1 x 2 ˆx ŷ ẑ x y z u x u y u z z = 1 2 ( u) z = 1 2 Ω z, (1) donde hemos defndo: Ω = u. Las componentes de Ω corresponden a los ángulos de rotacón rígda. En general, ξ,j = Ω z Ω y Ω z 0 Ω x Ω y Ω x 0 donde ǫ,j,k es el tensor de Lev-Cvta. Luego, el dferencal de desplazamento es (con e,j = 0): o, en notacón vectoral: = 1 2 ǫ,j,kω k, (2) du = u x j dx j = ξ,j dx j = 1 2 ǫ,j,kω k dx j, (3) du = 1 Ω dx (4) 2 Veamos que esta rotacón deja nvarante al módulo de dx. En efecto, dx = dx + du = dx + 1 Ω dx. (5) 2 de donde, dx 2 = (dx + 12 ) Ω dx (dx + 12 ) Ω dx = dx 2 (6) 9

10 Resumendo todo lo expuesto, podemos enuncar lo sguente: El estado de deformacón de un medo contnuo puede consderarse como la superposcón de: una expansón o compresón sótropa, una deformacón pura (sn cambo de volumen), y una rotacón pura. Este resultado se conoce con el nombre de Teorema de Helmholtz. 10

11 3. Fuerzas en un medo contnuo Conserando un volumen materal V en un medo contnuo, pueden dstngurse dos tpos de fuerzas: de volumen y de superfce Fuerzas de volumen: No dependen de la nteraccón del fludo con el volumen consderado, y por lo tando exstrían s V estuvera rodeado por el vacío. Ejemplos: fuerza de gravedad, fuerzas fctcas o nercales, fuerza de Lorentz, etc. Se las defne a través del campo de fuerzas por undad de masa, G. Así, la fuerza sobre V es: F = MG = G ρdv, donde M es la masa encerrada en el volumen V Fuerzas de superfce: Dependen de la nteraccón entre el fludo en V con el fludo adyacente, y por lo tanto se ejercen a través de la superfce S que encerra a V. Estas fuerzas pueden tener dos orígenes: 1. el transporte de cantdad de movmento por mgracón de moléculas a través de S (en gases y líqudos), 2. las fuerzas ntermoleculares que las moléculas de un lado de S ejercen sobre las del otro lado (en líqudos y sóldos). 11

12 Es convenente asocar las fuerzas de superfce a elementos de superfce planos, ds = dsˆn. Más aún, se suelen expresar las fuerzas de superfce en térmnos de los esfuerzos (fuerzas por undad de longtud), defndos por: df(ˆn,r, t) = Σ(ˆn,r, t)ds (2) ^ n Σ (1) Fgura 6: Elemento de superfce nfntesmal con normal ˆn orentada y el esfuerzo Σ que ejerce el medo (2) sobre el medo (1). Por el prncpo de Accón y Reaccón, la fuerza ejercda por (1) sobre (2) debe ser gual y contrara a la ejercda por (2) sobre (1): Σ( ˆn,r, t) = Σ(ˆn,r, t) 12

13 Para comenzar a aclarar la relacón entre las fuerzas de superfce y su resultante sobre un elemento materal, es útl estudar la resultante de las fuerzas de superfce sobre un elemento de caras planas. ^ n A ds B, r B dr A, r A ^ Σ(n,r,t)= df /ds B B ^ Σ(n,r,t)= df /ds A Fgura 7: Elemento de superfce nfntesmal de caras planas. La fuerza sobre el elemento debdo a la nteraccón con el medo por debajo vene dada por: df A = Σ(ˆn,r A, t)ds, mentras que la fuerza debdo al medo por encma del elemento es: df B Luego, la resultante es: = Σ(ˆn,r B, t)ds = Σ(ˆn,r A + dr, t)ds = Σ(ˆn,r A, t)ds + dr ds [(ˆn )Σ(ˆn,r, t)] ra = df A + dr ds [(ˆn )Σ(ˆn,r, t)] ra df = df A + df B = dr ds [(ˆn )Σ(ˆn,r, t)] ra O sea que los esfuerzos ejercdos sobre ambas caras dferen sólo de térmnos del orden de dr y es proporconal a las dervdadas de Σ en la dreccón normal a las caras. Esto es consecuenca del Prncpo de Accón y Reaccón y de la contnudad asumda para Σ y no depende de la naturaleza físca de las fuerzas. Además, nótese que el cocente df/dm, con dm = ρdrds la masa del elemento, es ndependente de dr, un hecho fundamental para la valdez de la Hpótess del Contnuo. 13

14 El tensor de los esfuerzos El ejemplo precedente muestra que la Hpótess del Contnuo mplca que las componentes de los esfuerzos están sometdas a certas restrccones. A fn de nvestgar estas restrccones, consderamos un elemento materal más general, pero lmtado por caras planas: el tetraedro de Cauchy. z δ A n Σ(n) δ A y δ A x y δ A z x Fgura 8: Tetraedro de Cauchy. En efecto, mostraremos que el esfuerzo Σ(ˆn) asocado a un elemento de superfce está relaconado con sus componentes en los planos coordenados de forma tal que la resultante sobre un volumen materal posea aceleracón fnta o nula en el límte de volúmenes nfntésmos. La resultante de las fuerzas de superfce sobre el tetraedro puede escrbrse como: δr = Σ (ˆn)δA + Σ( ˆx) δa x + Σ( ŷ) δa y + Σ( ẑ) δa z = δa [Σ(ˆn) Σ(ˆx)ˆx ˆn Σ(ŷ)ŷ ˆn Σ(ẑ)ẑ ˆn], donde hemos usado: δa x = δaˆx ˆn, δa y = δaŷ ˆn, δa z = δaẑ ˆn. 14

15 Dado que la masa del tetraedro es δm = ρδv = 1 3 δaδh, donde δh es la dstanca entre la cara δa y el vértce opuesto, la aceleracón del elemento vene dada por: a = δr δm = 3 [Σ(ˆn) Σ(ˆx)ˆx ˆn Σ(ŷ)ŷ ˆn Σ(ẑ)ẑ ˆn]. δh Para δh 0, a debe mantenerse ben defnda en vrtud de la Hpótess del Contnuo. Luego, la expresón entre corchetes debe ser nula en este límte, de modo que debe satsfacerse: Σ(ˆn) = Σ(ˆx)ˆx ˆn + Σ(ŷ)ŷ ˆn + Σ(ẑ)ẑ ˆn. En térmnos de las componentes cartesanas, tenemos: Σ x (ˆn) = Σ x (ˆx)n x + Σ x (ŷ)n y + Σ x (ẑ)n z Σ y (ˆn) = Σ y (ˆx)n x + Σ y (ŷ)n y + Σ y (ẑ)n z Σ z (ˆn) = Σ z (ˆx)n x + Σ z (ŷ)n y + Σ z (ẑ)n z (7) S defnmos, σ,j = Σ (ĵ), podemos resumr las ecuacones anterores en: Σ (ˆn) = σ,j n j, j = x, y, z Ahora estamos en condcones de obtener un resultado muy general sobre la resultante de las fuerzas de superfce sobre un volumen fnto. Por defncón, ésta es (en componentes) R = Σ (ˆn) ds = σ,j n j ds S(V ) S(V ) Aplcando el teorema de Green, R = V σ,j x j dv, 15

16 de modo que la resultante de las fuerzas de superfce por undad de volumen es: δr δv = σ,j x j En notacón vectoral, δr δv = σ Vemos, entonces, cómo el tema cerra: la necesdad que las magntudes mecáncas macroscópcas cumplan con la Hpótess del Contnuo conduce a que la resultante de las fuerzas de superfce sobre un elemento de volumen deba ser proporconal al volumen encerrado, y no al área de la superfce que lo lmta. Esta exgenca, sumada al carácter ntrínseco de la relacón que debe exstr entre la fuerza ejercda a través de un elemento plano de superfce y la normal a ésta (tetraedro de Cauchy), mplca que la entdad matemátca adecuada para representar las fuerzas de superfce es el flujo de un tensor de rango dos: el tensor de los esfuerzos, σ,j Smetría del tensor de los esfuerzos... 16

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