TALLER SOBRE TRIANGULOS Y CONGRUENCIA

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1 TALLER SOBRE TRIANGULOS Y CONGRUENCIA EJERCICIOS PROPUESTO SOBRE TRIÁNGULOS. Resuelva justificando todos los pasos:. Si b =0 cm.; c =0 cm.; d =?. Si 70;? 3. Si f =3cm.; d =0 cm. a =? 4. Si ACB 40? 5. Si d =c; b =? 6. Si? 7. Si f 40 cm.; d?. Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son: a) 67 y 47 b) y 35 c) a y a 3. Determina el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, x y 3x. 4. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. Cuánto miden los ángulos interiores de la base? 5. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mide 5º; si el ángulo ABC es tres veces mayor que el ángulo ACB. Cuánto mide el ángulo ACB? 6. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. Cuánto miden estos ángulos? 7. En un triángulo isósceles, un ángulo basal tiene 8,5º más que el ángulo del vértice. Calcula los ángulos interiores del triángulo. 8. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. Cuánto miden estos ángulos?

2 9. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB tiene 5º más que el ángulo CBA y éste º más que el ángulo ACB. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo. 0. En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el ángulo exterior del vértice es 43ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.. En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 7º más que el tercero. Calcula la medida de los ángulos interiores del triángulo.. El ángulo ABC de un triángulo ABC cualquiera mide 56º. Si los ángulos CAB y ACB están en la razón 3:, cuál es el valor del ángulo ACB? 3. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 0º más que el otro. Cuánto miden los ángulos agudos? 4. En un triángulo cualquiera, un ángulo interior tiene 0º más que otro, pero 35º menos que el tercero. Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo? 5. En un triángulo cualquiera los ángulos exteriores están en razón de :3:4. Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo? 6. En un triángulo uno de los ángulos es el 50% de uno de los otros dos y el 33 /3 % del tercero. Determina la medida del ángulo menor de este triángulo. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS EJEMPLO Si BD AC, =; demostremos que ABD CBD Demostración: ABD=DBC=90º (definición de perpendicularidad). BD = BD (lado común); = (dado) ABD CBD (A-L-A) EJEMPLO Sea DA AB; CB AB; y =. Demostremos que ABD ABC Demostración: DAB=CBA=90º (definición de ); AB = AB (lado común) = (dado) ABD ABC (A-L-A)

3 EJEMPLO 3 Si AC = AD y =. Demostremos que C = D AC = AD = AB = AB ABC ABD (dado) (dado) (Lado común) (L-A-L) C = D (e.c s. s) EJEMPLO 4: Digamos qué triángulos son congruentes, indicando el criterio.

4 I 30º 40º 80º (Suma de ángulos interiores en un triángulo) es el otro ángulo 80º 30º 40º 0º ( A L A) I III 40º 5 0º II V III VI IV VII II VII ( L A L) 8 ( A L A) 40º ( L A L) 5 ( L L L) º 8 8 0º 5 5 I III VI (Ley transitiva) II V VII IV Si I VI A 0º 0º c 5 5 b 5 5 B 30º 30º Si II VII 30º 0º 80º (Suma de ángulos interiores en un triángulo) 40º A 0º 0º VI VII B 30º 30º (L-A-L) I II III VII (Ley transitiva)

5 EJEMPLO 5 Hipótesis: MQ PQ PR NR Tesis: MNP es isósceles PQ PR (Hipótesis) isósceles ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 3 (Suplementos de ángulos iguales) MQ RN (Hipótesis); 3 (L-A-L) M N (Elementos correspondientes en triángulos congruentes (e.c. s. s. )); MNP isósceles. EJEMPLO 6 Hipótesis: AB AC ; A es trisecado Tesis: AD AE ˆ ˆ (por trisecación) AB AC (Hipótesis) 3 Isósceles ˆ ˆ ˆ ˆ (suplementos de ángulos iguales). (A-L-A) AD AE (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

6 EJEMPLO 7 De acuerdo con la figura, donde AE y CD son alturas del triángulo BAC, y AD CE. Demostremos que AF CF 90º (Definición de altura). AD EC (dado) ˆ ˆ (opuestos por vértice) (A-A-L) AF CF (Elementos correspondientes en triángulos congruentes EJEMPLO 8 En la figura AC BC y DC EC. Demostremos que AE DB DC EC (dado) C C (ángulo común) AC CB (dado) (L-A-L) AE BD (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

7 EJEMPLO 9 En la figura, AC BC y CDE CED. Demostremos que AE DB ˆ (dado) isósceles ˆ DC CE C ˆ C ˆ (ángulo común) AC BC (dado) AEC CDB (L-A-L) AE DB(Elementos correspondientes en triángulos congruentes). EJEMPLO 0 Hipótesis: AE biseca a BD ; Tesis: E A DE BD ; AB BD

8 90º (definición de perpendicularidad) DC BC ( AE biseca a BD ) ˆ ˆ (opuestos por el vértice) (A-L-A) Aˆ Eˆ (Elementos correspondientes en triángulos congruentes). EJEMPLO Hipótesis: PQ bisectriz; PQ MN Tesis: M N ˆ ˆ ( PQ bisectriz) (perpendicularidad) PQ PQ (lado común) (A-L-A) M N (Elementos correspondientes en triángulos congruentes). EJEMPLO Hipótesis: = ; CE biseca BF Tesis: C = E

9 ˆ ˆ (Hipótesis) ˆ ˆ (suplementos de ángulos iguales) ˆ ˆ (opuestos por el vértice) BD DF (CE biseca a BF ) (A-L-A) C ˆ E ˆ (Elementos correspondientes en triángulos congruentes). "El sabio no actúa para acumular, cuanto más entrega a los demás Tanto mas posee para sí. Cuanto más dones ofrecen a los demás, Tanto mas consigue para sí"

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