EL MUELLE. LAS FUERZAS ELÁSTICAS

Transcripción

1 EL MUELLE. LAS FUERZAS ELÁSTICAS En una pista horizontal copletaente lisa, se encuentra un uelle de 30 c de longitud y de constante elástica 100 N/. Se coprie 0 c y se sitúa una asa de 500 g frente a él. Al soltarse el uelle y separase del iso, la asa recorre 90 c por una superficie horizontal y rugosa. Se pide: a) Fuerzas que actúan sobre la asa cuando está junto al uelle y cuando se separa de él. b) Velocidad con la que sale lanzada y características de la superficie rugosa. c) Qué ocurriría si la superficie fuera copletaente lisa?. Explícalo. d) Si la asa está ligada al uelle, describir el oviiento resultante de la isa. Suponer la superficie horizontal copletaente lisa. g=9 8 /s Las fuerzas que actúan sobre la asa cuando está junto al uelle siendo epujada por él son: el peso P, debido a la interacción con la Tierra, la reacción del plano N debida a la interacción con el suelo horizontal y, la fuerza recuperadora del uelle F que la epuja hacia delante. Cuando se separa del uelle hasta pararse, sobre la asa actúan P, N, y una fuerza de rozaiento con el suelo ( ya que nos dicen que es rugoso) y que será en sentido contrario al del oviiento. Esta fuerza le counica una aceleración que hace que la asa acabe parándose. N P F F r

2 b) Para averiguar la velocidad con la que sale lanzada la asa al separarse del uelle, heos de pensar que la fuerza resultante sobre la isa en ese intervalo de tiepo, es la fuerza de recuperación elástica del uelle, y coo sabeos, no es constante sino que depende de la deforación del iso. A edida que vaya recuperando su longitud, la fuerza irá disinuyendo. Recordeos que esta fuerza es proporcional a la deforación y de signo contrario, siendo la constante de proporcionalidad, la llaada constante elástica del uelle K. F = Kx Siendo x la deforación del uelle. Coo no es una fuerza constante, sino que depende de la posición de la asa, nos interesa hacer un razonaiento energético y no cineático. Esto ocurrirá siepre que F =f(posición). En el razonaiento energético, consideraos coo sistea la asa y el uelle. Las fuerzas entre ellos serán interiores, y el peso P y N serán exteriores. Coo las fuerzas exteriores no realizan trabajo, la energía del sistea debe peranecer constante. La energía del sistea puede ser energía potencial elástica del uelle al estar deforado y, energía cinética de la asa. E pe Ec = cons tan te por tanto Kx + 0 = 0 + v Siendo x la deforación inicial y v la velocidad final de la asa cuando x=0. De donde: Kx v = en nuestro caso v = = 83 / s 0 5 1) E pe ) E c

3 Una vez se separa del uelle con la velocidad instantánea de 83 /s se desliza por una superficie rugosa, por lo que sobre ella aparece una fuerza de rozaiento en sentido contrario al del oviiento debida a una interacción con dicho suelo rugoso. Coo esta fuerza de rozaiento por deslizaiento es constante, counicará a la asa una aceleración constante, por lo que podeos utilizar razonaientos cineáticos pues conoceos las ecuaciones del oviiento rectilíneo y uniforeente acelerado. Tabién podríaos utilizar razonaientos energéticos, pero en este caso utilizareos los cineáticos. La fuerza de rozaiento recordeos que es: Siendo µ el coeficiente de rozaiento y N=P = g F r = µ N = µ P = µ g Según esto, la aceleración de la asa, en el sentido contrario al del oviiento será: a = µg Y las ecuaciones del oviiento serán: 1 v = v 0 + at y e = v 0 t + at que con nuestros valores serán 1 v = 83 + at y e = 83t + at coo en el instante final v=0 y e= 0 9, teneos: 1 0 = 83 + at at = t 83t t = 0 64 s y a = -4 4 /s = de donde: será Conocida la aceleración, el coeficiente de rozaiento con el plano 4 4 = µ.9 8 de donde µ = 0 45 Si el plano fuese ás rugoso ( con un coeficiente de rozaiento ayor) el recorrido de la asa, hasta pararse, hubiese sido enor.

4 F r c) Si la superficie fuese copletaente lisa, sin rozaiento, ( F r =0), sobre la asa no actuaría ninguna fuerza resultante, su aceleración sería nula y antendría su velocidad. No se pararía nunca, el recorrido sería infinito si el plano horizontal fuese suficienteente largo. d)si la asa está ligada al uelle sobre una superficie perfectaente lisa y se coprie el uelle dejando el sistea en libertad, la situación es uy diferente. La priera parte es coo en el caso anterior: el uelle epuja la asa con una fuerza que depende de su deforación, hasta que adquiere su longitud noral. A partir de ahí, la asa dotada de velocidad estira el uelle y este frena la asa con una fuerza que coo heos dicho depende de la deforación del iso. Esto ocurre hasta anular la velocidad de la asa y estando el uelle lo as estirado posible. A partir de aquí el uelle tira de la asa que cabia el sentido de su velocidad y la auenta hasta que el uelle vuelve a alcanzar su longitud propia cuando la velocidad de la asa es áxia. Por ultio la asa dotada de velocidad copriirá el uelle hasta la posición inicial. El proceso se repite indefinidaente. Coo heos dicho, debe tratarse de un oviiento periódico ( que se repite a intervalos constantes de tiepo). Bajo el punto de vista energético el sistea uelle-asa antiene su energía ( ya que las fuerzas exteriores no realizan trabajo) transforándose la energía potencial del uelle deforado en cinética de la asa y viceversa, de anera que su sua peranezca constante. E pe + E casa = cons tan te

5 Pero vaos a tratar de hacer un estudio cineático del proceso. La fuerza elástica recuperadora del uelle ( la que el uelle ejerce sobre la asa) viene dada por: F = Kx siendo x la deforación del uelle en sistea de coordenadas siguiente: Eje y x x=a Eje x Coo el oviiento sólo es a lo largo del eje x, la aceleración sólo tendrá coponente x ( coo la fuerza) y podreos escribir: d x. a = kx = kx d x = k x Coo veos en la anterior expresión, la función x= f(t) debe ser tal que, su segunda derivada sea igual a la función original ultiplicada por una constante. Este tipo de funciones, son o la función seno o la función coseno de un ángulo, cuya aplitud sea función lineal del tiepo. Podreos escribir que: x = Acos wt Heos elegido la función coseno porque cuando t=0 la asa se encuentra separada al áxio de la posición de equilibrio, posición que llaareos aplitud A del oviiento. Para averiguar el valor de la constante w, derivaos la anterior expresión hasta llegar a la aceleración: dx d x v = = Awsenwt y a = = Aw cos wt = w x De donde la constante del oviiento, w, resulta ser:

6 k ω = y coo w ( llaada pulsación del oviiento) está relacionado con el periodo de dicho oviiento, teneos que: π w = de donde el periodo del oviiento será: T T = π y en nuestro caso concreto el periodo del oviiento será k 0 5 T = π = 0 44s 100 oviiento uy rápido, que podeos disinuir utilizando una asa ayor o un uelle de constante elástica enor En el apartado applet del problea, puedes variar los valores de constante elástica del uelle K, de asa, de coeficiente de rozaiento del plano, así coo de copresión inicial del uelle, tanto en la opción del plano rugoso con la asa libre, coo en el caso de la asa ligada al uelle. En las tres ESCENAS posibles podrás ver las variaciones que iplican en el oviiento en cada caso.