E.U.I.T.I. Bilbao. Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA

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1 E.U.I.T.I. Blbao Asgnatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA

2 E.U.I.T.I. Blbao Asgnatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA TEMA 2: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

3 1. RESUMEN Métodos para resumr y descrbr conjuntos de datos medante dstntos tpos de tablas, gráfcos y meddas estadístcas Palabras clave: datos cuanttatvos y cualtatvos datos dscretos y contnuos dstrbucón de frecuencas dagramas de barras y de sectores, hstograma meda, medana, moda, cuantles varanza, desvacón típca, asmetría, datos atípcos

4 2. ÍNDICE DEL TEMA 2.1. Introduccón 2.2. Datos Defncón Tpos Descrpcón 2.3. Representacones gráfcas Varable cuanttatva dscreta Varable cuanttatva contnua Varable cualtatva

5 2. ÍNDICE DEL TEMA 2.4. Representacones numércas. Síntess de datos Parámetros y estadístcos Tpos Meddas de centralzacón: meda, moda y medana Meddas de dspersón: recorrdo, varanza y desvacón típca Meddas de poscón no central: cuartles, percentles y z-score Datos atípcos Dagramas de caja

6 Observacón 2. INTRODUCCIÓN Encuestas..... Datos Expermentos Descrpcón Clasfcacón Ordenacón { x } 1, x 2,, x k { x } ( 1, 2,, k ) Sere estadístca

7 2. INTRODUCCIÓN Objetvo básco: descrbr de forma senclla los datos para presentarlos de forma clara y concsa Sere estadístca x n 1 n x x 1 + x n x n s 2 x n 1 ( x x ) n 1 2 Métodos numércos Presentacón Métodos gráfcos Una magen vale más que ml palabras

8 3. DATOS: DEFINICIÓN Dato (ó caracter): cualdad o propedad nherente del ndvduo la observacón del ndvduo se descrbe medante uno o más datos EJEMPLOS INDIVIDUO LIBRO de una bbloteca OPERARIO de un taller A PIEZAS producdas en taller A DATOS Peso, dmensones, número de hojas, color de pastas, autor, Sexo, edad, grupo sanguíneo, número de hjos, número de pezas producdas por día, Tamaño, caldad, peso, color,

9 4.DATOS: TIPOS Cualtatvos (ó categórcos): característcas de la poblacón que no pueden asocarse a valores numércos Representacón gráfca: dagrama de barras y de sectores EJEMPLOS INDIVIDUO LIBRO de una bbloteca OPERARIO de un taller A PIEZAS producdas en taller A DATOS Color de pastas, autor, Sexo, grupo sanguíneo, color de ojos, Caldad, color,

10 4.DATOS: TIPOS Cuanttatvos (ó numércos): característcas de la poblacón que pueden asocarse a valores numércos Son medbles Se llaman varables estadístcas (X, Y, Z, ) Sus dstntas posbldades se llaman valores (x, y, z, ) Tpos: dscretos y contnuos

11 Dscretos 4.DATOS: TIPOS Cuanttatvos (ó numércos): característcas de la poblacón que pueden asocarse a valores numércos conteo de una característca toman valores enteros Asocarlos con el verbo CONTAR representacón gráfca: dagrama de barras EJEMPLOS INDIVIDUO LIBRO de una bbloteca OPERARIO de un taller A PIEZAS producdas en taller A DATOS Nº de págnas, nº de volúmenes, Nº de hjos, nº accdentes laborales, Nº pezas/día,

12 4.DATOS: TIPOS Cuanttatvos (ó numércos): característcas de la poblacón que pueden asocarse a valores numércos Contnuos toman nfntos valores en un ntervalo dado representacón gráfca: hstograma EJEMPLOS Asocarlos con el verbo MEDIR INDIVIDUO LIBRO de una bbloteca OPERARIO de un taller A PIEZAS producdas en taller A DATOS Peso, Altura, peso, Peso, dámetro de una arandela,

13 4.DATOS: TIPOS EJEMPLO muestra cualtatva POBLACIÓN: personas resdentes en una cudad MUESTRA: 50 personas (N50) DATO 1: opnón sobre una película (buena, mala, regular) DATO 2: edad (para clasfcar opnón por edades) muestra cuanttatva undmensonal

14 5.DATOS: DESCRIPCIÓN Recorrdo: dferenca entre el valor mayor y el valor menor de una sere estadístca Rxmax-xmn una varable estadístca, X, puede tomar dferentes valores { } ( 1, 2,, k ) x EJEMPLO: temperatura de una persona enferma a lo largo de una semana: R41,5º-37,5º4º

15 5.DATOS: DESCRIPCIÓN Frecuenca (absoluta): número de veces que se repte el valor x en el conjunto de las observacones notacón: ( 1, 2,, k ) n Frecuenca relatva: cocente entre la frecuenca absoluta y el número de observacones realzadas, N notacón: f ( 1, 2,, k ) n N f 100 % nterpretacón: proporcón de aparcones del valor x respecto del total de observacones k 1 propedad: f 1

16 5.DATOS: DESCRIPCIÓN Frecuenca absoluta acumulada: número de observacones hasta la nclusve; se obtene sumando las frecuencas absolutas de los valores xj / j (1,, k) notacón: j j N n j 1 N k N Frecuenca relatva acumulada: cocente entre la frecuenca absoluta acumulada y el número de observacones realzadas, N notacón: ( ) k,,, N N F 2 1 j 1 j j j j j j j j j f N n n N N N F

17 5.DATOS: DESCRIPCIÓN Tabla de dstrbucón de frecuencas : formato de ordenacón y presentacón de los datos varable estadístca, X, cuanttatva o cualtatva dscreta

18 5.DATOS: DESCRIPCIÓN 100 f 12% : el número de veces que se repte el valor x supone el 12% de la muestra (ejemplo) F 48% 100 : todos los valores menores o guales que x totalzan el 48% de la muestra (ejemplo)

19 5.DATOS: DESCRIPCIÓN EJEMPLO. La sguente tabla muestra los ttulados de la U.P.V./E.H.U. en el año 2001 por tpos de ttulacón:

20 5.DATOS: DESCRIPCIÓN EJERCICIO. Los sguentes datos son los números de taras observadas en una muestra de 48 sábanas producdas por una empresa textl: Obtener la tabla de frecuencas

21 5.DATOS: DESCRIPCIÓN EJERCICIO. Solucón

22 5.DATOS: DESCRIPCIÓN Varables agrupadas en ntervalos de clase : smplfcacón de conjuntos de datos con un número de valores elevado (ó varables contnuas) se clasfcan los valores en grupos (ntervalos de clase) se susttuye cada medda por el valor del centro del ntervalo (marca de clase) smplfcacón pérdda de nformacón

23 5.DATOS: DESCRIPCIÓN Varables agrupadas en ntervalos de clase INTERVALOS DE CLASE acotados extremo nferor de un ntervalo gual al extremo superor del ntervalo anteror sere: { } j x [ L, L + 1 ) { x j / L x j < L +1 } 1, 2,,k número apropado de ntervalos: k N ampltud constante (sempre que el problema lo permta) A L +1 L ( 1, 2,,k )

24 5.DATOS: DESCRIPCIÓN Varables agrupadas en ntervalos de clase MARCA DE CLASE [ L ) L punto medo de cada ntervalo L, L +1 M 2 valor que representa la nformacón que contene un ntervalo faclta representacones gráfcas y el cálculo de parámetros estadístcos pérdda de nformacón: sólo tene en cuenta el número de observacones dentro de cada ntervalo y no la dstrbucón en su nteror

25 5.DATOS: DESCRIPCIÓN Varables agrupadas en ntervalos de clase EJEMPLO Edades en años de 26 nños número de ntervalos: 26 5 recorrdo: x max x mn , 6 se amplían los ntervalos ncal y fnal para contener todas las observacones en ntervalos de ampltud constante: A3

26 5.DATOS: DESCRIPCIÓN Varables agrupadas en ntervalos de clase EJEMPLO Edades en años de 26 nños

27 5.DATOS: DESCRIPCIÓN Varables agrupadas en ntervalos de clase TABLA DE FRECUENCIAS ( ) ( ) 1. rango de datos (recorrdo): rango max x mn 2. número de ntervalos: k N 3. ntervalos de gual ampltud (s es posble) x

28 REPRESENTACIONES GRÁFICAS

29 1. INTRODUCCIÓN Analzar el sguente gráfco y opnar sobre la nformacón que sumnstra

30 1. INTRODUCCIÓN Analzar el sguente gráfco y opnar sobre la nformacón que sumnstra Uso capcoso de la Estadístca

31 2.VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Dagrama de barras en el eje de abscsas se colocan los dferentes valores de la varable { } ( 1, 2,, k ) x sobre cada una de ellos se levanta una barra (ó línea) cuya altura es la frecuenca (que se mde, por tanto, en el eje de ordenadas) conjunto de barras vertcales cuyas alturas suman N (frecuenca absoluta) ó 1(frecuenca relatva)

32 2.VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Polígono de frecuencas gráfco en el que se muestran las frecuencas de los dferentes valores de la varable y, luego, se conectan los puntos del gráfco medante líneas rectas es decr, se obtene unendo los extremos superores de las barras de un dagrama de barras

33 2.VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Dagrama de barras y polígono de frecuencas EJEMPLO: número de días de baja de los trabajadores de una fábrca

34 2.VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Dagrama de barras EJEMPLO: dagrama de barras de frecuenca absoluta

35 2.VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Dagrama de barras EJEMPLO: dagrama de barras de frecuenca relatva

36 2.VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Polígono de frecuencas EJEMPLO: para la frecuenca absoluta

37 2.VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Dagrama de tallo y hojas forma efcente de representar un conjunto de datos numércos de tamaño pequeño o medano se dvde cada valor de datos en dos partes (el talloy la hoja) método semgráfco

38 2.VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Dagrama de tallo y hojas Procedmento se redondean los datos a dos o tres cfras sgnfcatvas (undades adecuadas) se dsponen los datos en dos columnas separadas por una línea datos de dos cfras: decena en la columna zquerda (tallo) y undades en la columna derecha (hoja) alneadas con la decena datos de tres cfras: decenas y centenas en la columna zquerda (tallo) y undades en la columna derecha (hojas) alneadas ejemplo 1: número 75 Tallo Hoja 7 5 ejemplo 2: números 751 y 757 Tallo Hojas 75 1, 7

39 2.VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Dagrama de tallo y hojas Ejemplo: El sguente gráfco de tallo y hojas muestra el peso en klos de 50 deportstas masculnos de una competcón de atletsmo 16 hojas en el tallo 6 16 ndvduos con pesos entre 60kg. y 69kg.

40 2.VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Dagrama de tallo y hojas Ejemplo: Parece un hstograma grado con el añaddo de que presenta todos los valores exstentes en cada clase

41 3.VARIABLECUANTITATIVACONTINUA Hstograma caso partcular del dagrama de barras varables agrupadas en ntervalos de clase: representacón de frecuencas medante áreas de rectángulos se obtene levantando sobre cada ntervalo de clase un rectángulo cuyo área sea gual a la frecuenca del msmo s los ntervalos son correlatvos los rectángulos aparecen pegados en la representacón gráfca

42 3.VARIABLECUANTITATIVACONTINUA Hstograma Procedmento ordenar los datos en forma crecente elegr los ntervalos de clase de forma que todos aparezcan en uno de ellos construr una tabla de frecuencas dbujar las barras adyacentes con alturas guales a las frecuencas obtendas s la ampltud de los ntervalos no es gual para todos hay que hacer concdr el área del rectángulo con la frecuenca del ntervalo

43 3.VARIABLECUANTITATIVACONTINUA Hstograma Ejemplo: nveles de colesterol de 40 empleados de una empresa observacones

44 3.VARIABLECUANTITATIVACONTINUA Hstograma Ejemplo: nveles de colesterol de 40 empleados de una empresa tabla de frecuencas

45 3.VARIABLECUANTITATIVACONTINUA Hstograma Ejemplo: nveles de colesterol de 40 empleados de una empresa hstograma

46 3.VARIABLECUANTITATIVACONTINUA Hstograma Ejemplo: nveles de colesterol de 40 empleados de una empresa polígono de frecuencas

47 3.VARIABLECUANTITATIVACONTINUA Hstograma permte organzar y presentar los datos gráfcamente con lo que puede prestarse atencón a determnadas característcas mportantes de dchos datos: la smetría la dspersón la concentracón en los dferentes ntervalos s exsten brechas entre los datos s algunos valores están muy separados de otros

48 3.VARIABLECUANTITATIVACONTINUA Hstograma

49 4.VARIABLECUALITATIVA Dagrama de barras Eje de ordenadas: frecuencas Eje de abscsas: caracteres cualtatvos M atemátcas Flosofía Derecho Económcas Químcas Ing. Técnca Tt ulacones

50 4.VARIABLECUALITATIVA Dagrama de sectores tambén: gráfcos de tarta o de questos se traza un círculo y se asgna un sector crcular a cada uno de los caracteres cualtatvos sendo la ampltud del sector proporconal a la frecuenca del carácter se consgue hacendo corresponder 360º a la suma de todas las frecuencas de los caracteres y hallando la correspondente proporconaldad

51 4.VARIABLECUALITATIVA Dagrama de sectores para el ejemplo anteror 671; 6% 4753; 46% 1235; 12% 2135; 21% Matemátcas Flosofía Derecho Económcas Químcas Ing. Técnca 452; 4% 1121; 11%

52 SÍNTESIS DE CONJUNTOS DE DATOS SÍNTESIS DE CONJUNTOS DE DATOS REPRESENTACIONES NUMÉRICAS

53 1. INTRODUCCIÓN se ha vsto como descrbr y representar de forma gráfca los conjuntos de datos ahora se van a obtener meddas que permtan sntetzar los datos son magntudes numércas cuyos valores venen determnados por dchos datos

54 2. DEFINICIÓN: PARÁMETROS Parámetro: cantdad numérca calculada sobre una poblacón ejemplo: altura meda de los ndvduos de un país se pretende resumr toda la nformacón de la poblacón en unos pocos números: parámetros Notacón: letras gregas meda poblaconal: µ varanza poblaconal: 2 σ número de elementos de la poblacón: N

55 2. DEFINICIÓN: ESTADÍSTICOS Estadístco (ó estadístco muestral): cantdad numérca calculada sobre una muestra medda cuanttatva, dervada de un conjunto de datos de una muestra, cuyo objetvo es estmar o contrastar característcas de una poblacón ejemplo: altura meda de los presentes en este aula Notacón: letras latnas meda muestral: x es una muestra representatva de la poblacón (país, en este caso)? varanza muestral: 2 s número de elementos de la muestra: n

56 2. PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOS Estmador: estadístco que se usa para aproxmar un parámetro generalmente, nteresa conocer un parámetro pero, por la dfcultad de estudar toda la poblacón, se calcula un estmador en una muestra y se confía en que sean próxmos se verá como elegr muestras para que el error sea pequeño con una determnada confanza

57 3.TIPOS DE ESTADÍSTICOS Estadístcos de poscón dan nformacón sobre la poscón relatva de una observacón dentro del conjunto de datos para su cálculo es necesaro que los datos se ordenen de menor a mayor Tpos: Centrales (de tendenca central ó de centralzacón), ndcan valores (valor central) respecto a los cuales los datos parecen agruparse: meda, medana y moda No centrales para conocer otros puntos característcos de la dstrbucón que no son los valores centrales; los cuantles son aquellos valores de la varable que dvden a la dstrbucón en partes que contenen el msmo número de ndvduos

58 3.TIPOS DE ESTADÍSTICOS Estadístcos de dspersón señalan la dspersón en conjunto de todos los datos de la dstrbucón respecto de la medda o meddas de poscón adoptadas Tpos: Dspersón absoluta : recorrdo, varanza, desvacón típca, recorrdo ntercuartílco Dspersón relatva : coefcente de varacón de Pearson Dagrama de caja

59 3.TIPOS DE ESTADÍSTICOS Estadístcos de forma Estudan la smetría y la deformacón respecto de una dstrbucón modelo denomnada dstrbucón normal Tpos: smetría (sesgo): coefcente de asmetría deformacones respecto a la moda y a la medana curtoss (apuntamento): coefcente de curtoss

60 3.TIPOS DE ESTADÍSTICOS Estadístcos de concentracón concentracón de una dstrbucón frente a la unformdad Tpos: curva de Lorenz índce de Gn

61 3.TIPOS DE ESTADÍSTICOS Ejemplos gráfcos

62 3.TIPOS DE ESTADÍSTICOS Notacón en las sguentes defncones se van a denotar las n observacones del conjunto de datos estudado como sgue: x 1, x 2,, x n

63 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Meda muestral: estadístco que se usa para ndcar el centro de un conjunto de datos defnda como la meda artmétca de los valores de los datos (notacón, x): x n 1 n x x 1 + x ejemplo: meda de 7, 11, 11, 8, 12, 7, 6, 6 n x n x 8 1 n x , 5

64 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Meda muestral: cálculo s la muestra de n datos se organza en una tabla de frecuencas, los valores x se suceden con sus frecuencas n, entonces: ejemplo: x n 1 n n x x 4 1 n n x 56, 5 10 kg.

65 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Meda muestral: cálculo s la varable esta agrupada en k ntervalos de clase se asgnan las frecuencas a las marcas de clase y se procede como s la varable fuera dscreta: ejemplo: k k k k x f x n n n x n x años x n n x

66 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Meda muestral: debldad debldad como ndcador del centro de un conjunto de datos ya que resulta muy afectada por los valores extremos ejemplo: X { 1, 6, 211, 2, 8, 12, 7, 9, 10, 4 } x Un solo valor de la muestra es mayor que la meda

67 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Medana: valor que dvde el conjunto de datos en dos partes guales; es decr, es el valor medo cuando los datos están ordenados de menor a mayor la mtad de los valores son menores que la medana y la otra mtad son mayores que la medana notacón: Me ó ~ x x~ M e tér tér mn o mn o [( n + 1) / 2 ] ( n / 2) + tér mn o [( n / 2) + 1] 2 cuando n es mpar cuando n es par

68 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Medana: valor que dvde el conjunto de datos en dos partes guales; es decr, es el valor medo cuando los datos están ordenados de menor a mayor ejemplo: X { 1, 6, 8, 12, 17 } M e 8 n 5 2 ejemplo: X { 1, 6, 8, 12, 17, 21} M e n 6 2 ndca orden dentro de la muestra sólo usa un únco valor central ó un par de valores centrales: no le afectan los valores extremos

69 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Medana: cálculo con tabla de frecuencas se dvde el número de observacones entre 2: n x k + x k+ 1 N k M e 2 2 : n 2 N 9 3 n 2 M e x 3 + x x 5,944 6

70 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Medana: cálculo con tabla de frecuencas se dvde el número de observacones entre 2: n 2 n N k N 2 < < Nk + 1 : M e x x k +1 n N 2 5 < 7,5 < 9 N 2 M e x 3 5 x 5,867 3

71 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Medana: cálculo con ntervalos de clase fundamentalmente se habla de clase medana que es aquélla cuya frecuenca acumulada sobrepasa o es gual n/2 la medana para datos agrupados se calcula hallando el valor de la varable que dvde al hstograma en dos partes guales?

72 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Moda: valor de la varable que más veces se repte, es decr, el valor que tene mayor frecuenca absoluta en un conjunto de datos en un conjunto de datos puede que: no exsta moda (todas las frecuencas son guales) haya más de una moda (multmodal) notacón: MO con datos cualtatvos no se puede calcular la meda n la medana pero sí la moda con datos agrupados en ntervalos de clase se habla de clase modal: aquélla(s) con mayor frecuenca

73 4.MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Cuál es la más apropada? depende del tpo de datos la moda puede calcularse para datos cualtatvos y cuanttatvos s el número de observacones es muy pequeño la meda se ve muy afectada por los valores extremos, sn embargo, la medana no s el número de observacones es grande la medana y la meda tenden a ser guales la meda es más fácl de calcular que la medana

74 5.MEDIDAS DE DISPERSIÓN Introduccón Las meddas de centralzacón proporconan un valor para representar certa nformacón de los datos hay nformacón mportante que no se tene en cuenta se necesta conocer lo dspersos que están los datos ejemplo x n y n 5, ,5 2

75 5.MEDIDAS DE DISPERSIÓN Introduccón ejemplo x n x y 6 x~ y ~ 6 ( M O ) ( M ) 6 x O y y n 5, ,5 2 Conjuntos de datos dferentes aunque las meddas centrales concden

76 5.MEDIDAS DE DISPERSIÓN Introduccón: concepto de dspersón concepto de dspersón o varabldad ejemplo: los estudantes de una asgnatura recben dferentes calfcacones; es decr, hay varabldad en las notas causa prncpal: dferencas ndvduales en el conocmento de la matera aunque todos los alumnos tengan exactamente los msmos conocmentos lo más probable es que las calfcacones no sean guales para todos por dferentes motvos dferencas ndvduales en la habldad ante un examen varabldad por error de medda: un examen escrto no es una herramenta perfecta para medr el conocmento aleatoredad o varabldad por azar

77 5.MEDIDAS DE DISPERSIÓN Recorrdo: dferenca entre la mayor observacón y la menor observacón del conjunto de datos es la medda de dspersón más smple da una dea senclla sobre la dspersón de los datos se basa en los datos extremos y no nforma sobre como se dstrbuyen Re max ( x ) mn ( x ) H L k k

78 5.MEDIDAS DE DISPERSIÓN Recorrdo: dferenca entre la mayor observacón y La menor observacón del conjunto de datos se usa en control de caldad porque se trabaja con muestras de tamaño pequeño muy sensble a los datos extremos (outlers) por lo que no es la mejor medda de dspersón 1, ,8 6 0,6 Ser e1 5 4 Ser e1 0,4 3 0,

79 5.MEDIDAS DE DISPERSIÓN Varanza: estadístco que ndca el mayor o menor grado de dspersón de los valores de la muestra respecto de su meda artmétca meda de la suma de las desvacones a la meda al cuadrado (notacón, s 2 ): s 2 n 1 ( x x ) para datos agrupados en ntervalos de clase: n 2 s 2 r 1 ( x x ) n 2 n r: número de clases x: marca de clase n: frecuenca de la clase

80 Varanza 5.MEDIDAS DE DISPERSIÓN ( ) n n x x s r ( ) r f x x s r x r r f x f x x f x s x f x x x f x s r r x n n x s r

81 5.MEDIDAS DE DISPERSIÓN Varanza: nconvenente sus undades no concden con las undades de la varable sus undades son el cuadrado de las undades de la varable s las undades son mnutos mnutos al cuadrado? s se mden alturas metros al cuadrado para obtener una dea aproxmada, nunca exacta, de la dspersón hay que obtener la raíz cuadrada que es la desvacón típca

82 5.MEDIDAS DE DISPERSIÓN Desvacón típca: raíz cuadrada de la varanza notacón: s s n 1 ( x x ) n 2 para datos agrupados en ntervalos de clase: s r 1 ( x x ) n 2 n r: número de clases x: marca de clase n: frecuenca de la clase

83 5.MEDIDAS DE DISPERSIÓN Ejemplo tabla de frecuencas con los pesos, meddos en klos, de 10 recén nacdos en una materndad x 6 1 n 1 32, 39 n x 3, kg. 2 s x 0,1547 kg 2. sx s 2 x 0, 3933 kg.

84 6. CAMBIOS DE VARIABLE Meddas de centralzacón y dspersón a veces, es necesaro realzar un cambo de escala dado que los valores consderados son grandes en estos casos se realza un cambo de varable de tpo lneal: y a + b x los estadístcos estudados se ven afectados de la sguente manera: meda: varanza: y a + b x s b y s x desvacón típca: s y b s x

85 7.MEDIDASDEPOSICIÓNNOCENTRAL Introduccón Consttuyen una medda únca y se calcula cuando los datos son numércos para stuar la dstrbucón y dar una dea de su poscón Indcan la poscón de un dato en un conjunto ordenado de datos ó la poscón relatva respecto a la meda

86 7.MEDIDASDEPOSICIÓNNOCENTRAL Cuantl de orden p: valor de la varable por debajo del cual se encuentra una frecuenca relatva acumulada p. meddas de poscón que dvden a la dstrbucón en un certo número de partes de manera que en cada una de ellas hay el msmo porcentaje, p, de valores de la varable tpos: cuartles, decles, percentles, z-score, notacón: p C ( 0 < p < 1)

87 7.MEDIDASDEPOSICIÓNNOCENTRAL Cuantl de orden p: valor de la varable por debajo del cual se encuentra una frecuenca relatva acumulada p. nforman del valor de la varable que ocupa la poscón (en tanto por cento) que nos nterese respecto del conjunto de varables

88 7.MEDIDASDEPOSICIÓNNOCENTRAL Cuartles: tres valores de la varable que dvden el conjunto de datos en cuatro partes guales (tres dvsones) notacón: Q1,Q 2 Me, Q3 prmer cuartl (ó cuartl nferor): medana de la prmera mtad de los valores; es decr, valor de la varable que, aproxmadamente, deja el 25% de las observacones menores ó guales que él notacón: Q 1 cálculo: como el de la medana pero consderando n 4

89 7.MEDIDASDEPOSICIÓNNOCENTRAL segundo cuartl (ó cuartl medo): se trata de la medana ya que es el valor de la varable que deja la mtad (50%) de las observacones menores ó guales que él notacón: Q M 2 e tercer cuartl (ó cuartl superor): es la medana de la segunda mtad de las observacones; es decr,el valor de la varable que, aproxmadamente, deja el 75% de las observacones menores ó guales que él notacón: Q 3 cálculo: como el de la medana pero consderando 3n 4

90 7.MEDIDASDEPOSICIÓNNOCENTRAL Ejemplo: cálculo de cuartles

91 7.MEDIDASDEPOSICIÓNNOCENTRAL Ejemplo: cálculo de cuartles prmer cuartl: n 42 N 10 3 < 10, 5 < N 13 Q

92 7.MEDIDASDEPOSICIÓNNOCENTRAL Ejemplo: cálculo de cuartles tercer cuartl: 3n N 6 24 < 315, < N Q 3 12

93 7.MEDIDASDEPOSICIÓNNOCENTRAL Percentl (ó centl k ésmo ): valor de la varable que deja nferores o guales a él, aproxmadamente, el k% de los datos notacón: k P ( k 1, 2, 3,, 99 ) cálculo: análogo al de los cuartles y medana ejemplo anteror: P 90 N 90n 35 < 37, 8 < N P 90 x8 14

94 7.MEDIDASDEPOSICIÓNNOCENTRAL z score (undades tpfcadas): ndca el número de desvacones típcas en que un valor dado, x, se stúa por encma o por debajo de la meda de su muestra ó poblacón cálculo: z x x x µ z s σ descrbe la poscón de un dato respecto a la meda medda en térmnos de la desvacón típca z<0: la observacón está a la zquerda de la meda z>0: la observacón está a la derecha de la meda se puede usar, tambén, para comparar valores de dferentes muestras o poblacones

95 8. DATOS ATÍPICOS Datos atípcos (outlers ): observacones que son numércamente dstantes del resto de los datos y, por tanto, son heterogéneas con los demás datos son observacones extremadamente pequeñas ó grandes en comparacón con los otros datos pueden ser debdas a: error de medda, por ejemplo, la observacón procede de una poblacón dferente error en la ntroduccón o la transcrpcón de los datos observacón correcta pero corresponde a un suceso poco común (atípco)

96 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón z-score: z x s x dato atípco es aquel cuyo z > 3 de otra forma, son atípcos aquellos tales que: x [ x 3 s, x + s ] 3 x método adecuado cuando el hstograma tene forma de campana

97 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón medante los percentles: se obtenen los percentles 25 y 75 (cuartles 1 y 3): P 25 Q1, P75 Q se calcula el rango ntercuartílco (mde la dspersón de la mtad central del conjunto de datos), IQRRIC: 3 IQR Q 3 Q1 P75 P25

98 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón medante los percentles: datos atípcos: x < P 1. 5 IQR x > P IQR datos atípcos extremos: x x < > P P IQR + 3 IQR

99 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: ejemplo los datos sguentes corresponden al tempo necesaro para procesar 25 trabajos en una CPU tabla de frecuencas con datos en ntervalos de clase hstograma deteccón de datos atípcos

100 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: ejemplo ntervalos de clase número: 25 5 valor mínmo: x mn valor máxmo: x max recorrdo: 4.73 rango del hstograma: ampltud de los ntervalos:

101 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: ejemplo tabla de frecuencas y cálculo de estadístcos

102 hstograma 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: ejemplo

103 8. DATOS ATÍPICOS datos atípcos: z-score Deteccón: ejemplo x : 3 < z < 3 por tanto, no hay datos atípcos en la muestra sn embargo, como el hstograma no tene forma de campana este método no es el más adecuado para detectar datos atípcos

104 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: ejemplo datos atípcos: percentles IQR Q Q P P P x 25 > IQR P IQR dato atípco: [ 1. 19, ] no hay datos atípcos extremos: [ 3. 2, ] x

105 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: dagrama de caja (boxplot) gráfco representatvo de las dstrbucones de un conjunto de datos se construye usando cnco meddas descrptvas (números resumen) de los datos menor valor: L mayor valor: H los tres cuartles: Q1, Q2, Q3 L H 0,02 4,75 CUARTIL 1 CUARTIL 2 CUARTIL 3 0,8200 1,3800 2,1600 ejemplo anteror

106 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: dagrama de caja (boxplot) los cnco números resumen dvden la muestra en cuatro ntervalos que contenen el 25% de los datos, aproxmadamente [ L,Q ] [ Q ] [ Q ] 2, Q 1 1, Q [ ] 2 3 Q 3, H nformacón que sumnstra: sobre la tendenca central, la dspersón y la smetría de los datos de estudo permte dentfcar, con clardad, lo datos atípcos

107 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: dagrama de caja (boxplot) etmología deado por John Tukey en 1977 nombre orgnal: box and whsker plot (dagrama de caja y bgotes) Orgen de las palabras, razón de su exstenca de su sgnfcacón y de su forma

108 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: dagrama de caja (boxplot) dseño en el eje horzontal se dbuja un segmento entre los valores menor (L) y mayor (H) de los datos superpuesta a este segmento se coloca una caja que comenza en el prmer cuartl y termna en el tercer cuartl, con lo que contene el 50% central de las observacones (rango ntercuartílco) dentro de la caja se ndca el valor del segundo cuartl medante una línea vertcal

109 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: dagrama de caja (boxplot) dseño se denomnan bgotes a las partes del segmento rectlíneo que quedan a ambos lados de la caja generalmente, los bgotes se trazan de forma que no lleguen hasta los extremos (valores máxmo y mínmo) sno que comprendan los valores del ntervalo [ Q, 5 IQR,Q + 1, 5 IQR ] fuera de ese ntervalo los valores se consderan atípcos

110 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: dagrama de caja (boxplot) dseño

111 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: dagrama de caja (boxplot) volvendo al ejemplo anteror:

112 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: dagrama de caja (boxplot) ejemplo:

113 Deteccón: desgualdad de Chebycheff sea una muestra de n valores: meda: 8. DATOS ATÍPICOS x desvacón típca: s sea el ntervalo: ( x k s, x + k s ) en ese ntervalo hay un porcentaje del total de datos que es superor o gual a : k

114 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: desgualdad de Chebycheff es decr, s nk es el número de datos contendos en el ntervalo se cumple : n k N k este resultado permte establecer otro crtero que determna s un dato es atípco suelen consderarse atípcos los datos que se encuentran a más de tres desvacones típcas de la meda (ya usado en la deteccón de datos atípcos con el z-score la frecuenca relatva de estos datos atípcos es menor de 9 1

115 8. DATOS ATÍPICOS Deteccón: desgualdad de Chebycheff la proporcón de datos cuyo valor dsta de la meda menos de 3 veces la desvacón típca será: % la proporcón de datos cuyo valor dsta de la meda menos de 4 veces la desvacón típca será: %

116 9. REGLA EMPÍRICA Conjunto de datos normal: es aquel conjunto cuyo hstograma tene las propedades sguentes: la máxma altura se alcanza en el ntervalo central al desplazarse desde el ntervalo central en cualquer sentdo la altura decrece de tal modo que el hstograma completo tene una forma acampanada es smétrco con respecto al ntervalo central Ross, M.S.; Introduccón a la Estadístca; Ed. Reverté S.A. (2005)

117 9. REGLA EMPÍRICA Conjunto de datos aproxmadamente normal: s su hstograma se aproxma al de un hstograma normal Ross, M.S.; Introduccón a la Estadístca; Ed. Reverté S.A. (2005)

118 9. REGLA EMPÍRICA Regla empírca: sea un conjunto de datos aproxmadamente normal meda muestral: desvacón típca muestral: s los sguentes asertos son certos: x aproxmadamente, un 68% de las observacones caen x s, x + s dentro del ntervalo: ( ) aproxmadamente, un 95% de las observacones caen x 2 s, x + 2s dentro del ntervalo: ( ) aproxmadamente, un 99.7% de las observacones caen x 3 s, x + 3s dentro del ntervalo: ( )

119 9. REGLA EMPÍRICA Regla empírca: sólo es válda para datos con dstrbucones más o menos de campana Desv. típ. 568,43 Meda 2023 N 407,00 Peso recén nacdos en partos gemelares

120 9. REGLA EMPÍRICA Regla empírca: se llama empírca porque derva de la observacón de lo que suele suceder en la práctca por eso se formula como aproxmadamente x± s 68.5 % x ± 2s 95 %

121 10. COEFICIENTE DE PEARSON Coefcente de varacón de Pearson: es el cocente entre la desvacón típca y la meda artmétca e ndca el número de veces que la desvacón típca contene a la meda artmétca es el más usado de los estadístcos de dspersón relatva evdentemente no puede hallarse cuando x 0 tambén, llamado índce de dspersón de Pearson notacón: CV v 1 s x x

122 10. COEFICIENTE DE PEARSON tambén, se le denomna varabldad relatva y, en ocasones, se multplca por 100 para trabajar con porcentajes nteresante para comparar la dspersón de varables dferentes ejemplo: en una muestra de ndvduos se mde su peso y su altura CV peso 30% CV altura 10% el peso de los ndvduos está más dsperso que su altura

123 11.ANEXO: FÓRMULAS C p Cuantles ( ): cálculo con ntervalos de clase r p 0 < r < 1 p se multplca el número de observacones por r : n p r se comprueba s el número obtendo se encuentra en la columna de frecuencas absolutas acumuladas, N, de la tabla de dstrbucón de frecuencas s el valor se encuentra en esa columna es que es la frecuenca absoluta acumulada de un certo ntervalo [ de clase L ) k, L k +1 y, por tanto, el cuantl peddo es el extremo superor de dcho ntervalo

124 11.ANEXO: FÓRMULAS C p Cuantles ( ): cálculo con ntervalos de clase r s no se encuentra en dcha columna el valor estará comprenddo entre dos valores N k 1 y N k que corresponden con las frecuencas absolutas acumuladas de dos ntervalos de clase [ L ) y [ ) k 1, L k Lk, L k +1, respectvamente; por lo tanto, el cuantl se encuentra en el ntervalo [ L ) k, L k +1, calculándose su poscón exacta con la sguente fórmula: C p r L k + p r n N n k k 1 A k

125 11.ANEXO: FÓRMULAS C p Cuantles ( ): cálculo con ntervalos de clase r ejemplo: cálculo del prmer cuartl:

126 11.ANEXO: FÓRMULAS C p Cuantles ( ): cálculo con ntervalos de clase r ejemplo: cálculo del prmer cuartl: n N 1 90 < 125 < N C1 [ 100, 200 ) 4 n N C1 L 2 + A n 140 2