PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Determina un polinomio P( x) de segundo grado sabiendo que P() P() y P( x) dx MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. El polinomio que queremos hallar será de la forma: P( x) ax bx c - P() c - P() 4a b 4a b - ax bx a ( ax bx ) dx x b 8 Resolviendo el sistema sale que: 5 5 P x x x 4 ( )

3 Sea f : la función definida por: f ( x) x e x. Esboza el recinto limitado por la curva y f ( x), los ejes coordenados y la recta x. Calcula su área. MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. x x x A xe dx x e e u

4 Sea Ln( x ) el logaritmo neperiano de x y sea f : D la función definida por f( x) x ( Ln( x)) a) Determina el conjunto D sabiendo que está formado por todos los puntos x para los que existe f ( x ). b) Usa el cambio de variable t Ln( x) para calcular una primitiva de f. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Ln ( x) sólo existe para x, por tanto, el dominio de f( x) x ( Ln( x)) puesto que es un cociente, aparte de considerar los números x hemos de quitar aquellos que anulan el denominador que en nuestro caso es x, ya que Ln(). Luego el dominio pedido es (,) (, ). b) Hacemos el cambio t Ln ( x) dt dx dx x dt x x dt x ( Ln( x)) x t t Ln( x) dx t dt C

5 x x x Calcula dx x MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en: x x x x x x 5 5 dx ( x ) dx dx x dx x x x Calculamos las raíces del denominador: x x x ; Descomponemos en fracciones simples: x 5 A B A( x ) B( x ) x x x ( x )( x ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. Con lo cual: x 4 A A x 6 B B x x x x x dx x dx dx x ln( x ) ln( x ) C x x x

6 a) Determina la función f : sabiendo que f '( x) x 6x y que su valor mínimo es. b) Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de inflexión de su gráfica. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Los posibles máximos o mínimos son las soluciones de la ecuación: f x x x x x '( ) 6 ; El mínimo está en x, ya que f ''() x f ( x) (x 6 x ) dx x C Como 4 f () C C Luego, la función es: 4 x f ( x) x b) Calculamos los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero. f x x x x x '' ( ) 6 ; x f ( x ) y f ( x ) f '( x ) ( x x ) y f '( x) x 6x 9 f ( x ) y f ( x ) f '( x ) ( x x ) y 8( x ) y f '( x) 8

7 Sea f : la función definida por f ( x) x x 4. a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia su derivabilidad en x 4. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La gráfica de f ( x) x x 4 es: b) Abrimos la función: f ( x) x x 4 x x si x 4 4 x x si x 4 4 Como la función es continua en x 4, estudiamos la derivabilidad en x 4. f x 4 si x 4 '( x) x 4 si x 4 f f '(4 ) 4 f '(4 ) f '(4 ) '(4 ) 4 No derivable c) 4 4 x 64 A ( x 4 x) dx x u

8 Sea Ln( x ) el logaritmo neperiano de x. Esboza el recinto limitado por los ejes coordenados y las gráficas de las funciones y e y Ln( x). Calcula su área. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) El recinto es: b) Calculamos el área. e A ( ln x) dx x xln x e u e

9 Esboza el recinto limitado por la gráfica de la parábola y ( x ), la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa x, el semieje positivo de abscisas y el semieje negativo de ordenadas. Calcula su área. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular la recta tangente a la parábola y ( x ) x 4x 6. La ecuación de la recta tangente será: y f ( x) f '( x) ( x x) x f ( x) y ( x ) y x f '( x) Calculamos el área. x x 7 A ( x 4x 6) dx ( x x 4x 6) dx x 6x x 9x u 4

10 x x Calcula una primitiva de la función f definida por f( x) para x y x. x x MATEMÁTICAS II.. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en: x x 6x 6 6x 6 x x x x x x dx dx dx x dx Calculamos las raíces del denominador: x x x x ; Descomponemos en fracciones simples: 6x 6 A B A( x ) B( x ) ( )( ) x x x x x x Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. Con lo cual: x 4A A x 4B B x x x x x x dx x dx dx x ln( x ) ln( x ) C

11 x Consideremos F( x) f ( t) dt. a) Si f fuese la función cuya gráfica aparece en el dibujo, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta: i) F( ) ii) F '( ) iii) F es creciente en (, ) (,) b) Calcula F () siendo f() t t MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO OPCIÓN A. a) i) F( ) f ( t) dt porque nos daría el área encerrada por la función f ( x ), el eje OX entre x y x. ' ii) F '( x) f ( t) dt f ( x), según el teorema fundamental del calculo integral, luego F'( ) f( ) y según la gráfica se observa que f ( ). iii) F es creciente en (, ) si y solo si F'( x) en (, ), pero F '( x) f ( x) que es mayor que cero en (, ), luego F( x ) es creciente en dicho intervalo. b) Si hacemos el cambio t x dt x dx x dx dt dx x t t x F() dt t t

12 Calcula x dx x x MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en: x 9x 7 x 9x 7 ( ) x x x x x x dx x dx dx x dx Calculamos las raíces del denominador: x x x x ; Descomponemos en fracciones simples: 9x 7 A B A( x ) B( x ) x x x x ( x )( x ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. x A A 5 x 5 B B Con lo cual: x 9x 7 x 9x 7 ( ) x x x x x x dx x dx dx x dx 5 x x 5 x dx dx x ln( x ) ln( x ) x x Por lo tanto, la integral que nos piden valdrá: x x 5 dx x ln( x ) ln( x ) x x ln() ln( ) ln() ln( ) ln