x x = 0 es una ecuación compatible determinada por que sólo se

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Antonio Naranjo Herrero
hace 5 años
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1 Euiones Denominmos euión l iguldd que se stisfe pr uno o más vlores de l(s) vrile(s), o inógnit(s), que interviene en ell. Ejemplos: Denominmos euión lgeri tod euión del tipo: n n n n. n n 0 en l que n es el grdo de l euión, represent l vrile (o inógnit) los ftores en son números reles. Cundo l euión se verifi pr lgunos vlores del onjunto de todos los vlores posiles que dmite l vrile denominmos est omo euión omptile determind. Ejemplos: 0 es un euión omptile determind por que sólo se verifi l iguldd pr: + 5 es un euión omptile determind por que sólo se verifi l iguldd pr: 5 0 es un euión omptile determind por que sólo se verifi l iguldd pr: ; 0 0 El onjunto formdo por los vlores que verifin l iguldd se denomin onjunto soluión de l euión. Cd vlor, o elemento, de diho onjunto se denomin ríz de l euión. Si ourrier que ningún vlor stisfe l euión plnted, denominmos est omo euión inomptile. Ejemplo: es un euión inomptile, pues no se verifi pr ningún vlor EJERCICIOS: ) Resolver ls siguientes euiones e indir su onjunto soluión: Págin

2 ) Dr respuest los siguientes enunidos:. L sum de números onseutivos es igul 6. Cuáles son esos números? (Simólimente los números onseutivos son: ; + +). L sum de dos múltiplos onseutivos de 6 es igul 66. Cuáles son esos números?. En un ul on 9 lumnos, entre vrones mujeres. Si h 6 vrones más que mujeres. Cuántos lumnos h de d uno?. Tres lumnos de un urso hn resuelto ejeriios en totl. El lumno A resolvió n + ejeriios, B resolvió n 5 ejeriios C relizó n +. Cuántos ejeriios resolvió d uno? 5. El promedio de ls lifiiones de dos lumnos es de 7,50 puntos. Si l lifiión de uno de ellos es un urto de l del otro más ino Qué lifiión tiene d uno de ellos? 6. De utro migos: A, B, C D; A tiene hermnos, B tiene, C tiene + D: 6. Se se demás, que uno de ellos es hijo únio. Cuántos hermnos tienen los demás? 7. De un rut se hn inugurdo de su longitud; de l mism está en onstruión quedn ún por onstruir 0 Km. Cuál es l longitud totl de l rut? 8. L se mor de un trpeio es el dole de l otr l ltur del trpeio es de,5 m. Cuánto mide d un de ls ses si l superfiie de l figur es 75,00 m 9. En un terreno tringulr ABC de 5,00 m de perímetro, el ldo es del ldo el ldo es,00 m más lrgo que el ldo. Clulr l longitud de d ldo. Págin

3 0. El áre de un plz, on form de romo, es de 0,- m. Un de sus digonles D 9,- m Cuál es l longitud de l digonl D? Qué puedes deir del romo?. Clulr l se menor (B ) Bse mor 0,80 m (B ) ltur 5,00 m (h) Áre,50 m h B B. Hllr l se l ltur de un retángulo, siendo que l ltur es l mitd de l se el áre de su superfiie es de,00 m.. Hllr l longitud de ls digonles del prlelogrmo. AO + BO 5 CO 5 B O C A D. Clulr AB CD siendo ABCD un retángulo 8 AB 5 5,5 CD 0, + ( tiene soluión?) 5. Clulr l longitud de los tetos de l hipotenus AB + AC + BC + 7 A B B C D 7 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Euiones de Primer Grdo on dos Inógnits Y hemos visto que: Si P() es un polinomio on un vrile indetermind, l epresión: P() 0; es un euión on un inógnit. Si demás, P() es un polinomio de primer grdo, entones result: P() 0; es un euión de primer grdo on un inógnit. A C Ejemplo: S {} L euión de primer grdo on un inógnit tiene un sol ríz. El onjunto soluión es unitrio. Págin

4 Considermos hor el polinomio P(; ) on dos vriles indeterminds. P(; ) 0 es un euión de dos inógnits. Si en prtiulr, P(; ) es un polinomio de primer grdo, entones l epresión: P(; ) 0 es un euión de primer grdo on dos inógnits. Si onvertimos dih euión en: P(); d pr ordendo (; ) que verifique l iguldd plnted, será un ríz de l euión. Sistems de Euiones de Primer Grdo on dos Inógnits Se denomin sistem de euiones, undo se onsider un onjunto de dos o más euiones us ríes son omunes. Al onjunto de dos euiones P(; ) 0 Q(; ) 0 se llm sistem de dos euiones on dos inógnits. Si ms euiones son de primer grdo, deimos que es un sistem de euiones de primer grdo on dos inógnits. Pr indir que formn un sistem se rn on un llve. Ejemplo: P ( ; ) 0 0 Q ( ; ) Métodos pr Resoluión de Sistems de Euiones de Primer Grdo on dos Inógnits Eisten diversos métodos pr l resoluión de sistems de euiones on dos inógnits. L representión gráfi de ls euiones onstitue uno de los proedimientos pr enontrr el onjunto soluión. Alguno de los métodos lgerios más usules pr l resoluión de euiones de primer grdo on dos inógnits, son: Método de Sustituión Método de Igulión Método de Reduión por Sum o Rest Método de Determinntes Culquier se el método que se utilie, generlmente se proede de l siguiente mner:. Se elimin un de ls inógnits pr trnsformr el sistem de dos euiones de on dos inógnits en un euión de primer grdo on un inógnit.. Se resuelve l euión de primer grdo on un inógnit por lguno de los métodos onoidos.. Se reemplz l ríz hlld en un de ls euiones del sistem l epresión resultnte permite lulr l otr inógnit. A ontinuión veremos omo se resuelven estos sistems de euiones on d uno de los métodos enunidos previmente. Método de Sustituión Págin

5 Se el sistem: + 5. Despejmos en l primer euión: + () Sustituimos el vlor de en l segund euión: 5 ( + ) 5 De est mner, por sustituión, nos qued un euión de primer grdo on un inógnit.. Resolvemos l euión otenid: Reemplzmos el vlor de en l iguldd (): S ( ;) Conjunto Soluión del sistem: { } Págin 5

6 Oservión: Si lgun de ls inógnits ree de oefiiente, onviene despejr est inógnit, porque evitmos los denomindores. Pruee herlo despejndo en l primer euión. Ejeriios: d 7 Método de Igulión Se el sistem: + 5. Despejmos en ms euiones: De l primer: () De l segund: 5 + () Igulmos los dos vlores de : 5 + De est mner, por igulión, otenemos un euión de primer grdo on un inógnit.. Resolvemos l euión otenid: Reemplzmos el vlor de en l iguldd () (o en l ()): Págin 6

7 Conjunto Soluión del sistem: S {( ;)} Ejeriios: d 7 + Método de Reduión por Sum o Rest ) Se el sistem: + 7. Es fáil ver que puede eliminrse l inógnit sumndo miemro miemro + 7 Se otiene sí un euión de primer grdo en. Resolvemos:. Reemplzmos en l primer euión (o en l segund) Conjunto Soluión del sistem: S {(;) } ) Se el sistem: Págin 7

8 . Es fáil ver que puede eliminrse l inógnit restndo miemro miemro. Pr restr ls dos euiones, summos l primer el opuesto de l segund Se otiene sí un euión de primer grdo en. Resolvemos:. Reemplzmos en l primer euión (o en l segund) Conjunto Soluión del sistem: S {( ; ) } ) Se el sistem: + 7 Si se quiere eliminr un inógnit, se dee logrr que sus oefiientes sen números opuestos.. Pr eliminr ; se multipli l primer euión por - + por Oservmos un euión de primer grdo en. Resolvemos: 5 5 Págin 8

9 . Reemplzmos en l primer euión (0 en l segund) + ( ) + Conjunto Soluión del sistem: S {( ; ) } d) Se el sistem: + 7 Si hor queremos eliminr deemos logrr que sus oefiientes sen números opuestos. Pr eliminr multiplimos l primer euión por + por Otenemos sí un euión de primer grdo en. Resolvemos: 0 0. Reemplzmos en l primer euión + Conjunto Soluión del sistem: S {( ; ) } d) Se el sistem: Si pretendemos eliminr no eiste un número nturl que multiplido por se igul Págin 9

10 . En este so multiplimos l primer euión por (oefiiente de en l segund) l segund euión por - (oefiiente de, mido de signo, en l primer) pr poder reduir por por Otenemos un euión de primer grdo en. Resolvemos: 8 6. Reemplzmos en l primer euión (o en l segund) Conjunto Soluión del sistem: S {(;) } Oservión: Con un proedimiento similr, se podrí eliminr, lulr en se. Ejeriios: d e f Págin 0

11 Método de Determinntes A los métodos de eliminión de un inógnit se greg un nuevo método pr resolver sistems de dos euiones de primer grdo on dos inógnits. Consideremos un sistem epresdo en form generl trtemos de enontrr los vlores de de por el método de eduión pro sum o rest Pr otener un euión de primer grdo en eliminmos, multiplindo l primer euión por l segund por - + por + por + Resolvemos l euión de primer grdo en ) ( (). Pr otener un euión de primer grdo en eliminmos, multiplindo l primer euión por l segund por - + por + por + Resolvemos l euión de primer grdo en ) ( Si se omprn los denomindores de de se not que son opuestos. Pr otener denomindores igules, multiplimos numerdor denomindor por - ordenmos los términos. Págin

12 () Desrrollremos hor un nuevo lgoritmo mu útil pr resolver sistems de euiones de primer grdo on dos inógnits. Se plnte un difereni de dos produtos de dos ftores: d Se esquemtiz de l siguiente mner: d El determinnte es el produto de los números de l digonl prinipl (en líne de trzos) menos el produto de los números de l otr digonl (en líne ontinu). d.d. En onseueni, los numerdores denomindores de ls epresiones () () que dn los vlores de de pueden epresrse omo un oiente de determinntes. () () Oservión: El denomindor es el determinnte formdo por los oefiientes de de. (Lo llmmos D) El numerdor de se otiene reemplzndo en D, los oefiientes de por los términos independientes El numerdor de se otiene reemplzndo en D, los oefiientes de por los términos independientes Ejemplo: + 5 ) ( D Págin

13 5 ( ) ( 5) 7 5 ( 5) 8 Conjunto Soluión del sistem: S {( ;)} Ejeriios: d + 9 Págin

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se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución. Euiones e ineuiones de Primer Grdo on un inógnit Se P () un euión polinómi, on P() un polinomio, resolver l mism es enontrr los eros o ríes de P(), es deir, los vlores de que nuln diho polinomio. X se