SOLUCIONES: PROBLEMAS CON ECUACIONES E INECUACIONES

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1 DPTO DE MATEMÁTICAS T: ALGEBRA - 1 SOLUCIONES: PROBLEMAS CON ECUACIONES E INECUACIONES 1. Los lados de un rectángulo se diferencian en m. Si aumentáramos m cada lado, el área se incrementaría en 40 m. Halla las dimensiones del polígono. Sean = lado menor del polígono + = lado mayor y = área del polígono ( + ) = y ( + )( + 4) = y + 40 ( + )( + 4) = ( + ) = = 3 = 8 y = 8 10 = 80 Los lados del polígono miden 8 y 10 m, respectivamente. Calcula un número, sabiendo que la suma de sus cifras es 14, y que si se invierte el orden en que están colocadas, el número disminuye en 18 unidades. Sean = la cifra de las decenas y = cifra de la unidades Número: 10 + y Invirtiendo las cifras, el número es: 10y + + y = 14 10y = 10 + y + y = y = 18 + y = 14 + y = y = 1 y = 6 = 8 El número es El alquiler de una tienda de campaña cuesta 80 al día. Inés está preparando una ecursión con sus amigos y hace la siguiente refleión: «Si fuéramos tres amigos más, tendríamos que pagar 6 menos cada uno». Cuántos amigos van de ecursión? Sean = número de amigos y = dinero que paga cada uno y = 80 ( + 3)(y 6) = 80 y = 80 y + 3y 6 18 = 80 y = 80 y = 6 y = 80 y = + 6 ( + 6) = = = 0 ( + 8)( 5) = 0 = 5, = -8 Solución válida: = 5 y = = 16 Van de ecursión 5 amigos.

2 DPTO DE MATEMÁTICAS T: ALGEBRA - 4. Jacinto está cercando un terreno de forma rectangular. Cuando lleva puesto alambre a dos lados consecutivos de la tierra, se da cuenta que ha gastado 0 m de alambre. Si sabe que la diagonal del rectángulo mide 130 m, cuáles son las dimensiones y el área del terreno? Sean, y las dimensiones del terreno + y = 0 y = 0 + y = y = (0 ) = = = = 0 = 0 ± 70 = 10 y = 50 = = 50 y = 10 Las dimensiones del terreno son La apotema de un heágono regular mide 8 cm. Determina la medida de su lado y de su área. El heágono regular se divide en 6 triángulos equiláteros, donde la apotema del heágono es una de las alturas del triángulo. Sea = la medida del lado. Aplicando el teorema de Pitágoras: 4 = = 64 = = = Luego, la medida del lado es: = cm 6. Averigua las dimensiones que tiene un pliego rectangular de papel, sabiendo que si dejamos los márgenes laterales de 1 cm y los verticales de,5 cm, el área es 360 cm, y que si los márgenes laterales son de cm y los verticales son de 1,5 cm, el área es la misma y 5 y,5 Sean = lado vertical del pliego y = lado horizontal del pliego ( )(y 5) = 360 ( 4)(y,5) = 360 y y 5 = 350 y y 5 = 350 E = E E1 y,5 4y = 350,5 y = 0 y = 1,5 Sustituyendo en la primera ecuación: 1,5,5 5 = 350 1,5 7,5 350 = = = 0 = 6 ± 34 = 0 y = 5 = = 14 No válida las dimensiones son 0 y 5 cm

3 DPTO DE MATEMÁTICAS T: ALGEBRA Calcula un número entero, sabiendo que si al cuadrado del siguiente número le restamos ocho veces su inverso obtenemos 3. Sea = número buscado + 1 = su siguiente ; 1 = su inverso ( + 1) = 3 8 ( + + 1) 8 = = = ( 4)( ) = = 0 = 6 ± 8 6 ± 7 = = 3 ± El número entero es Si aumentáramos en 4 cm la arista de un cubo, su volumen se multiplicaría por 8. Halla la medida de la arista. Sea = arista del cubo Volumen: 3 ( + 4) 3 = = = ( 4)( ) = = 0 = 16 ± No tiene solución La arista mide 4 cm 9. Un triángulo isósceles tiene 160 cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 40 cm. Calcula los lados del triángulo y el área. 40 cm y Sea = la mitad de la medida del lado desigual y = medida del lado igual Perímetro es 160: + y = = + y y = 80 Altura es 40: y = 40 + Planteamos la ecuación: (80 ) = = = 4800 = 30 cm Los lados miden 60 cm y 50 cm Área = = 100 cm

4 DPTO DE MATEMÁTICAS T: ALGEBRA Hallar una fracción tal que si se le añade 1 al numerador se convierte en un tercio y añadiendo 1 a su denominador sea igual a un cuarto. Sea = numerador de la fracción y = denominador de la fracción Si se añade 1 al numerador la fracción es un tercio: = = y y 3 Si se añade 1 al denominador la fracción es un cuarto: 1 = y = y + 1 y = 4 1 Planteamos la ecuación: = = = 4 y = = 15 La fracción es Dos vacas y tres terneros valen lo mismo que dieciséis ovejas. Una vaca y cuatro ovejas valen igual que tres terneros. Tres terneros y ocho ovejas cuestan lo mismo que cuatro vacas. Averigua el precio de cada animal. Sea = precio de las vacas y = precio de los terneros z = precio de las ovejas + 3y = 16z + 4z = 3y 3y + 8z = 4 E1: + 3y 16z = 0 E : 3y + 4z = 0 E3 : 4 + 3y + 8z = 0 E1 = E + E1 E3 = E3 + E E1: 3 1z = 0 E : 3y + 4z = 0 E3 : 3 + 1z = 0 E1: = 4z E : 8z 3y = 0 3y = 8z Una vaca cuesta igual que 4 ovejas y tres terneros cuesta igual que 8 ovejas. 1. Hallar un número de tres cifras, sabiendo: que la cifra de las unidades es igual al producto de las otras dos, que la cifra de las decenas es media proporcional entre las otras dos y que la inversa de la cifra de las centenas es igual a la inversa de la cifra de las decenas más el doble de la inversa de la cifra de las unidades. Sea = cifra de las centenas y = cifra de las decenas z = cifra de las unidades a Se llama media proporcional de dos números a y b a otro número c que verifique: = c y = z E1: y = z y z = E : y = z Sustituyendo z de E1 en E3 y E: y E3 : yz = z + y 1 1 = + y z Como hablamos de las inversas de las tres cifras, éstas son distintas de cero: c b E1: y = z E : y = y E3 : y = y + y

5 DPTO DE MATEMÁTICAS T: ALGEBRA - 5 E1: y = z : y E : y = y y = : y E3 : y = y + y y = + = y y = + = + = 0 =, = 1. Sólo es válida: = y = = 4 ; z = 4 = 8 Luego el número es El triple de un número menos su mitad es siempre mayor que 3. Qué números cumplen esta propiedad? Sea = número buscado 3 > 3 6 > 6 5 > 6 > , De un número se sabe que si a su cuadrado le restamos su mitad, se obtiene un número menor que 1. Qué número puede ser? < 1 < 0 Resolvemos la ecuación = 0 = La recta queda dividida en tres intervalos: 1± I 1 = 1, ; I = 1 1+, ; I 3 = 1+ +, En cada intervalo la epresión tiene el mismo signo, tomando un valor en cada intervalo estudiamos la solución: = 10 ( 10) ( 10) > 0 No es solución. = 0 < 0 Es solución. = > 0 No es solución. Por tanto, la solución es 1 1+, 15. a) Es cierto que la suma de un número y de su cuadrado es siempre positiva? b) Qué números cumplen esa condición? + > 0 ( + 1) > 0 Resolvemos la ecuación + = 0 = 0, = La solución es (-, -1) (0,+ ) ( + 1) + +

6 DPTO DE MATEMÁTICAS T: ALGEBRA Determina para qué valores de es posible realizar las operaciones indicadas: a) 5 3 Imponemos que , 3 b) 4 3 Imponemos que ( + 4)( 1) La solución es [ 4, 1] ( 1)( + 4) + + c) log ( + 1) Imponemos que + 1 > 0 ( 1) > 0 Se verifica para cualquier número real salvo para = 1 d) log (6 ) Imponemos que 6 > < 0 ( )( + 3) < La solución es ( 3, ) ( )( + 3) + +