FUNCIÓN POLINOMIAL. Ing. Caribay Godoy

Transcripción

1 FUNCIÓN POLINOMIAL

2 OBJETIVOS Definir una función polinomial. Reconocer la función constante, lineal y cuadrática como casos particulares de una función polinomial Identificar el coeficiente principal de una función polinomial. Explorar mediante el uso de recursos tecnológicos un conjunto de gráficas de funciones polinomiales de grado diferente par e impar, donde se relacione su regla de correspondencia con su comportamiento cuando: x el número de intersecciones con el eje x intersección con el eje y cambio en el signo del coeficiente principal Multiplicidad de los ceros

3 FUNCIÓN POLINOMIAL

4 FUNCIÓN POLINOMIAL COEFICIENTE PRINCPAL DE UN POLINOMIO: es el coeficiente (diferente de cero) de la máxima potencia que aparece en el polinomio. GRADO DE UN POLINOMIO: es igual al exponente de la máxima potencia con coeficiente distinto de cero f x = 3x 5 + x 4 4x 3 + 6x 2 COEFICIENTES: son cada uno de los números que multiplican a las potencias (variables). TERMINO CONSTANTE: corresponde a la constante que no está asociada a ninguna potencia. OJO: En problemas de aplicación podremos utilizar la expresión x 0 y para estos casos x 0

5 DETERMINA:

6 FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CUADRÁTICA

7 FUNCIÓN LINEAL En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: f x = mx + b El conocimiento de que cualquier ecuación de la forma Ax + By = C, produce una gráfica en línea recta, junto con el hecho de que dos puntos determinan una línea recta, hace que la graficación de ecuaciones lineales sea un proceso sencillo.

8 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Forma General Forma Pendiente intersección al origen Ax + By + C = 0 y = mx + b Forma Punto Pendiente y y 1 = m(x x 1 ) Recta Vertical Recta Horizontal x = a y = b

9 GRAFIQUE: y = 4x + 1 x + 2y = 4 y = x + 3 y = x x = 5 y = 0

10 FUNCIÓN CUADRÁTICA En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: f x = ax 2 + bx + c x 2 = 36 y 2 + 4y = 0 3n 2 + 2n 1 = 0 5x 2 + x + 2 = 3x 2 2x 1

11 FUNCIÓN CUADRÁTICA f x = ax 2 + bx + c La gráfica de una función cuadrática corresponde a una parábola vertical con vértice en El punto de intersección con el eje y se obtienen haciendo x = 0. Los puntos de intersección con el eje x, se obtienen haciendo y = 0, quedando ax 2 + bx + c = 0. Las raíces de la ecuación polinomial se determinan ya sea por factorización o aplicando la formula general r 1,2 = b ± b2 4ac 2a Estos puntos de intersección vendrían siendo A 1 = r 1, 0 y A 2 = (r 2, 0), a estos puntos se le llaman los ceros de la función

12 FUNCIÓN CUADRÁTICA f x = ax 2 + bx + c De acuerdo al estudio del tipo de raíces de la ecuación de segundo grado, estas pueden ser: Raíces Reales distintas Reales iguales Complejas (imaginarias) Esta información la obtendremos analizando el radicando de r 1,2 = b± b2 4ac 2a b 2 4ac > 0 positivo, entonces se tiene raíces reales distintas < 0 negativo, entonces se tienen dos raíces complejas conjugadas = 0 igual a cero, se tienen dos raíces iguales

13 FUNCIÓN CUADRÁTICA

14 GRAFIQUEMOS LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Grafique las siguientes funciones cuadráticas. Encuentre los ceros de las funciones: f x = 2x 2 2x f x = 3x 2 + 9x f x = x 2 2x 3 3. f x = 7x 2 4x f x = 5x 2 + 6x f x = 7x 2 8x 2

15 FUNCIÓN POTENCIA GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES DESPLAZADAS Un caso especial de la función polinomial es la función polinomial de un solo término o monomial. *f x = x n, con n entero positivo

16 FUNCIÓN POTENCIA GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES DESPLAZADAS Para graficar una función polinomial podemos recordar como se transforma la función básica: y = ax n + c Desplazamiento hacia arriba y = ax n c Desplazamiento hacia abajo y = a(x + c) n Desplazamiento a la izquierda y = a(x c) n Desplazamiento a la derecha

17 FUNCIONES POLINOMIALES MAYORES QUE 2 f x = 5x 3 2x 2 + x 4 grado 3 f x = 2x 4 5x 3 + 3x 2 + 4x 1 grado 4 f x = 3x 5 + 2x 2 3 grado 5

18 GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL: Cuando x mueve sin límite a la izquierda o a la derecha, la gráfica de la función polinomial sube o baja de la siguiente manera: Si n es impar: Si el coeficiente principal a n > 0 el gráfico cae a la izquierda y sube a la derecha. Si el coeficiente principal a n < 0 el gráfico cae a la derecha y sube a la izquierda.

19 GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL: Cuando x mueve sin límite a la izquierda o a la derecha, la gráfica de la función polinomial sube o baja de la siguiente manera: Si n es par: Si el coeficiente principal a n > 0 el gráfico se eleva de izquierda a derecha Si el coeficiente principal a n < 0 el gráfico cae de izquierda a derecha

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21 EJEMPLOS Describe el comportamiento de las siguientes funciones polinómicas:

22 Debido a que el grado es impar y el coeficiente principal es negativo, el gráfico se eleva a la izquierda y cae a la derecha.

23 Debido a que el grado es par y el coeficiente principal es positivo, el gráfico se eleva a la izquierda y derecha.

24 Debido a que el grado es impar y el coeficiente principal es positivo, el gráfico cae a la izquierda y se eleva hacia la derecha.

25 ACTIVIDAD EN CLASES Encuentra el grado y coeficiente principal. A continuación, defina el comportamiento de él es gráfico usando la prueba coeficiente principal: