5. LA TEORÍA CUÁNTICA ANTIGUA

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1 5. La Toría Cuática Atigua 5. LA TEORÍA CUÁNTICA ANTIGUA Itroducció El itto d rsolvr l problma d la istabilidad dl átomo d Ruthrford llvó a Nils Bohr a formular 93 ua toría simpl d la structura atómica, uo d cuyos mayors méritos fu qu prmitió xplicar l spctro d la radiació lctromagética mitida por cirtos átomos. Dicha toría fu lugo prfccioada por William Wilso, Ju Ishiwara, Plack, Arold Sommrfld y otros, y dio lugar a lo qu hoy llamamos la Toría Cuática Atigua. Si bi sta toría fu lugo abadoada, cumplió su momto u rol importat para l dsarrollo d la Mcáica Cuática modra. Por st motivo darmos aquí ua rsña d la misma. Pro ats s csario mcioar brvmt alguos aspctos scillos dl spctro atómico. El spctro atómico E cotrast co l spctro cotiuo d la radiació térmica, la radiació lctromagética mitida por u átomo libr cosist d u cojuto discrto d logituds d oda. Cada ua d stas logituds d oda rcib l ombr d lía, pus así s como aparc las placas fotográficas obtidas co los spctrógrafos. Cada spci atómica ti su propio spctro, itgrado por u cojuto d lías caractrísticas. Est hcho ti gra importacia práctica, pus prmit idtificar los lmtos prsts ua fut d luz. Por sta razó durat l siglo XIX s ddicó mucho sfurzo a mdir co prcisió los spctros d los difrts átomos. Tals spctros so muy complicados y gralmt costa d ctars d lías. El más scillo d todos los spctros s l dl átomo d hidrógo, lo qu o s sorprdt pusto qu s trata dl átomo más simpl ya qu ti u solo lctró. Por st motivo, y tambié por razos históricas y tóricas, prsta mucho itrés. H H H H H H Å Rojo Azul Violta Casi ultraviolta Fig. 5.. Part visibl dl spctro dl hidrógo. E l visibl (Fig. 5.), l spctro dl hidrógo prsta ua sri rgular d lías qu comiza l rojo y trmia l violta; l spaciado tr lías cotiguas dcrc paulatiamt hasta qu s llga al límit d la sri, qu s cutra para Å. La rgularidad d st spctro llvó a muchos a buscar fórmulas mpíricas qu rprstas las logituds d oda d las lías. La fórmula corrcta fu hallada 885 por Joha Jakob Balmr (u profsor d scula scudaria) y s, xprsada térmios dl úmro d oda k π / λ, λ, k, R H π, 345,,, (5.) 37

2 5. La Toría Cuática Atigua dod R H ± 0. 0 cm (5.) s domia costat d Rydbrg para l átomo d hidrógo. Postriormt, gracias al trabajo d varios spctroscopistas tr quis tuvo u rol prpodrat Johas Rydbrg (890), s cotraro fórmulas smjats para difrts sris, dl tipo km, R π H m, m 3,,,, +, +, + 3, (5.3) La sri d Balmr (5.) corrspod a m ; la sri corrspodit a m s cutra l ultraviolta y s domia sri d Lyma. Las corrspodits a m 34, y 5s cutra l ifrarrojo y s llama sri d Pasch, Bracktt y Pfud, rspctivamt. Las fórmulas para las sris d los átomos alcalios (sodio, potasio, rubidio, csio, ) ti la misma structura gral: km, R π ( m a ) ( b ) m m (5.4) dod R s la costat d Rydbrg para l lmto, m s l tro qu idtifica la sri, a m y b m so costats para la sri, y s l tro variabl. El valor d R s l mismo para todos los lmtos dtro d u 0.05% y aumta lvmt al aumtar l pso atómico. Ligado co l spctro d misió qu stuvimos comtado, stá l spctro d absorció, qu s obti cuado s mpla ua fut lumiosa qu mit u spctro cotiuo y s itrpo tr la fut y l spctrógrafo u rcipit qu coti u vapor atómico. E st caso s cutra qu la placa stá vlada, salvo alguas lías qu corrspod a las logituds d oda qu so absorbidas por los átomos dl vapor. A cada lía dl spctro d absorció l corrspod ua lía dl spctro d misió. Pro la ivrsa o s cirta: o todas las lías d misió s obsrva l spctro d absorció. Por jmplo, l spctro d absorció dl hidrógo sólo aparc ormalmt las lías d la sri d Lyma. Pro si l gas stá a ua tmpratura muy lvada, como ocurr alguas strllas, l spctro d absorció tambié s v las lías d la sri d Balmr. Los postulados d Bohr Toda toría d la structura atómica db xplicar stas caractrísticas dl spctro, así como muchas otras qu o hmos comtado. La gra prcisió d las mdidas spctroscópicas impo admás svros rqurimitos sobr las prdiccios tóricas. Por otra part, l spctro dl hidrógo s compltamt ixplicabl térmios clásicos, dl mismo modo qu so ixplicabls otros aspctos dl átomo tals como su tamaño, la xistcia dl úclo y su stabilidad, como hmos visto l Capítulo 3. El gra mérito d Bohr rsid qu rcooció la csidad d abadoar la Física Clásica, y coscucia tuvo la audacia d propor qu varias lys d la Mcáica y dl Elctromagtismo o s cumpl la scala atómica. D sta forma cosiguió dar u paso d fudamtal importacia, qu idicó la dircció qu había qu avazar para suprar l puto murto al cual había llgado la Física Tórica. 38

3 5. La Toría Cuática Atigua La toría d Bohr ti gra scillz matmática y cocurda cuatitativamt co los datos spctroscópicos dl hidrógo. Si mbargo, los postulados sobr los cuals s basa parc artificiosos. So los siguits: Postulados d Bohr: El lctró s muv ua órbita circular alrddor dl úclo bajo la iflucia d la atracció Coulombiaa d ést, obdcido las lys d la mcáica clásica. Dtro d las ifiitas órbitas clásicas, l lctró s muv sólo aqullas las qu l momto agular orbital L ti los valors L h h/π, dod 3,,,. Cuado l lctró s muv ua órbita prmitida, o irradia rgía lctromagética a psar d sr aclrado costatmt y por lo tato su rgía total E prmac costat. U lctró qu s muv iicialmt ua órbita d rgía E i pud cambiar discotiuamt su movimito y pasar a movrs otra órbita d rgía E f ; cuado sto ocurr s mit u fotó cuya frcucia s ν ( E E )/ h i f. S db otar la difrcia tr la cuatificació d Bohr dl momto agular y la cuatificació d Plack, qu s rfir a la rgía total d ua partícula (por jmplo u lctró qu raliza oscilacios armóicas simpls). Vrmos qu la cuatificació dl momto agular implica tambié la cuatificació d la rgía total, pro d ua forma difrt a la d Plack. El trcr postulado rsulv mau militari l problma d la stabilidad dbido a la radiació dl lctró aclrado, mdiat l simpl xpdit d postular qu sta caractrística d la toría clásica o val para l lctró cuado s muv ua órbita prmitida. Est postulado s basa la obsrvació xprimtal d qu los átomos so stabls, a psar qu la toría clásica prdic lo cotrario. El cuarto postulado stá ligado al postulado d Eisti sobr la rgía d u fotó (c. (4.4)). S pud obsrvar qu los postulados d Bohr mzcla d mara arbitraria la física clásica co la o clásica, y tal stido so itlctualmt isatisfactorios. Por jmplo, s supo qu l lctró s muv sgú las lys d la mcáica clásica, y al mismo timpo s afirma qu su momto agular stá cuatificado; s supo qu l lctró obdc la ly d Coulomb, pro acto sguido s lo xim d cumplir la rgla qu toda carga aclrada irradia. Si mbargo, s pud argumtar qu o os dbmos sorprdr si las lys d la física clásica (basadas ustra xpricia co sistmas macroscópicos) o so compltamt válidas cuado tratamos co u sistma microscópico como l átomo. E última istacia, la justificació d los postulados d Bohr (y d cualquir postulado, ralidad) rsid si dscrib corrctamt los rsultados xprimtals, o o. Toría d Bohr dl átomo co u lctró Cosidrmos u átomo formado por u úclo d masa M y carga +Z, y u lctró d masa m y carga (por j. u átomo d hidrógo, u átomo d hlio ioizado ua vz, uo d litio doblmt ioizado, tc.) qu gira alrddor dl úclo ua órbita circular d radio r co la vlocidad v. Por ahora, supogamos qu l úclo s pud cosidrar fijo (o sa, M ). S cumpl tocs qu la furza d Coulomb db sr igual a la furza ctrípta: Z r mv (5.5) r 39

4 Pusto qu la furza d Coulomb s ctral, s cosrva l momto agular Rmplazado (5.5) tmos L 5. La Toría Cuática Atigua mvr ct. (5.6) Z L (5.7) mr Dspjado r obtmos r L (5.8) mz Aplicado la rgla d cuatificació L h, 3,,, (5.9) dod hmos dfiido cotramos qu las órbitas prmitidas ti radios dados por h h /π (5.0) r h mz (5.) qu so proporcioals al cuadrado dl úmro cuático. La órbita más pquña ( ) dl átomo d hidrógo ( Z ) ti u radio igual a r h 8 a cm (5.) m 0 qu s domia radio d Bohr. Vrmos sguida qu sta órbita s la d mor rgía. La vlocidad dl lctró tambié stá cuatificada, y su valor s v h Z mr h Z α c (5.3) dod hmos itroducido la costat adimsioal 3 α / 37 (5.4) hc qu s llama costat d la structura fia por motivos qu s vrá brv. Dicha costat s ua mdida d la furza d la itracció lctromagética y juga u rol muy importat la lctrodiámica cuática. Para la órbita más pquña ( ) dl átomo d hidrógo tmos 40

5 v 5. La Toría Cuática Atigua α c. 0 8 cm/s (5.5) h qu s mos dl % d la vlocidad d la luz, por lo tato stá bi habr usado ustros cálculos la mcáica clásica o rlativística. Calculmos la rgía total dl lctró: Z E T + V mv r mv (5.6) Sustituydo (5.) y (5.3) (5.6) obtmos dod m E T + V E 4 Z h Z E 3,,,, (5.7) m mc α 3. 6 V (5.8) h a 0 Por lo tato la cuatificació dl momto agular implica la cuatificació d la rgía total. La iformació cotida la (5.7) s sul prstar u diagrama d ivls d rgía (vr Fig. (5.). El stado stabl, o sa l d rgía míima, corrspod a y su rgía s E 3. 6 Vpara l átomo d hidrógo. Podmos calcular la frcucia ν m, dl fotó mitido por l lctró al pasar dl stado al stado m ( m< ). D acurdo co l cuarto postulado d Bohr ν m, E E m 4π Z m h h h m (5.9) El corrspodit úmro d oda k dod: k πν c stá dado por m, m, / 4 m,, mz R m c m π < (5.0) h3 m 4 mz Z R 3 4πch 4πD C α (5.) y D C λ C / π( λ C s la logitud d oda Compto dl lctró, c. (4.58)). Las cuacios (5.7) y (5.) coti las prdiccios pricipals d la toría d Bohr. Vamos primro la misió d radiació por u átomo d Bohr. Las cuacios mcioadas os dic lo siguit: El stado ormal dl átomo s l d míima rgía o sa l stado co, qu s sul domiar stado fudamtal o stado bas. Pusto qu o hay otro stado co rgía 4

6 5. La Toría Cuática Atigua mor, st stado s stabl. El radio d la órbita corrspodit (c. (5.)) dtrmia l tamaño dl átomo (co u solo lctró), qu rsulta sr dl ord d magitud corrcto. E dtrmiadas circustacias l átomo pud absorbr rgía (por causa d las colisios, como ocurr ua dscarga léctrica, o por otro mcaismo), pasado a u stado d rgía mayor, co >. El átomo mit s xcso d rgía, obdcido la tdcia comú d todos los sistmas físicos, y rgrsa al stado fudamtal. Esto s cosigu mdiat ua sri d trasicios las qu l lctró pasa sucsivamt a stados d rgía más baja, hasta qu fialmt llga al stado fudamtal. E la gra varidad d procsos d xcitació y dsxcitació qu ocurr la fut d luz cuyo spctro s stá rgistrado s produc todas las trasicios posibls y por lo tato s mit l spctro complto. A partir d la c. (5.7) podmos calcular los úmros d oda d todas las lías dl spctro. Es fácil vrificar qu d sa mara s obti las fórmulas d las sris d Lyma, Balmr, Pasch, tc. (Fig. 5.3). El valor d R cocurda co l valor xprimtal d la costat d Rydbrg. E(V) Fig. 5.. Nivls d rgía dl átomo d hidrógo d acurdo co la toría d Bohr. 4 3 Es fu l gra triufo d la toría d Bohr, muy otabl porqu cuado fu formulada aú o s coocía las sris d Lyma, Bracktt y Pfud. Estas sris furo prdichas por la toría y llva l ombr d quis furo los primros obsrvarlas. La toría tambié fucioó bi l caso dl átomo co Z y u lctró (hlio ioizado ua vz). Asimismo, las propidads dl spctro d absorció s pud tdr por mdio d la toría d Bohr. Pusto qu l lctró sólo pud star uo d los stados prmitidos, pud absorbr úicamt catidads d rgía iguals a las difrcias d rgía tr los stados prmitidos. La absorció s l procso ivrso d la misió y por lo tato las logituds d oda absorbidas so iguals a las d las lías mitidas. Normalmt l átomo qu absorb stá l stado fudamtal; por so gralmt l spctro d absorció dl átomo d hidrógo s obsrva sólo las lías d la sri d Lyma. Pro si l gas stá a ua tmpratura muy alta, part d los átomos pud star l primr stado xcitado co, y tal caso s obsrva tambié las lías d absorció d la sri d Balmr. La tmpratura csaria s pud stimar a partir d la distribució d Boltzma, y s fácil vr qu db sr dl ord d los 0 5 K. 4

7 5. La Toría Cuática Atigua E(V) 0 Pasch Bracktt Pfud Balmr Lyma Fig Orig d las cico sris spctrals coocidas dl átomo d hidrógo d acurdo co la toría d Bohr. El spctro d lías d rayos X Es oportuo mcioar aquí las ivstigacios d Hry G. J. Mosly sobr las lías spctrals d rayos X d lmtos psados, qu ifluyro sobr la toría qu stamos prstado ya qu Bohr s matuvo al corrit d las mismas. Mosly s basó los trabajos d Barkla, y para mdir las logituds d oda d los rayos X utilizó las técicas d difracció sobr cristals dsarrolladas por Sir Lawrc Bragg y su hijo William. Comparado los rayos X mitidos por difrts lmtos, cotró qu ti frcucias caractrísticas qu varía d acurdo co u patró rgular. Si mbargo, la difrcia d frcucia o stá gobrada por la difrcia d masa tr los lmtos, sio por la difrcia tr las cargas léctricas d sus úclos, s dcir, las difrcias tr los rspctivos úmros atómicos. Si trar mayors dtalls, podmos dcir qu l spctro d lía d rayos X s db a trasicios d los lctros más itros d u átomo. Para llos, la carga uclar o stá apatallada por los dmás lctros (qu s muv órbitas d radio mayor), por lo tato s pud aplicar la fórmula (5.7) qu obtuvimos la Scció prcdt. E la trmiología d rayos X, los ivls d rgía corrspodits a 3,,, s domia K, L, M, E su primr xprimto d 93, Mosly studió los rayos X d la sri K (asociada co las trasicios al ivl d rgía K) para los lmtos hasta l Z y l año siguit xtdió sus ivstigacios hasta l Au, usado las lías d la sri L (trasicios al ivl L). Las fórmulas Fu prcisamt Mosly qui itrodujo l térmio úmro atómico para dsigar a Z. 43

8 5. La Toría Cuática Atigua qu obtuvo para las frcucias s rlacioa muy strchamt co las fórmulas d Bohr para átomos co u solo lctró, y mustra qu las frcucias so proporcioals a Z. Así, las sris K y L so aálogas a las sris d Lyma y d Balmr dl átomo d hidrógo. La rgularidad d las difrcias las frcucias dl spctro d rayos X prmitió a Mosly ordar por úmro atómico todos los lmtos dsd l Al hasta l Au. Pudo obsrvar así qu alguos casos l ord dado por los psos atómicos s icorrcto. Por jmplo, l pso atómico dl Co s mayor qu l dl Ni, pro sus úmros atómicos so 7 y 8, rspctivamt. Cuado Mdlyv costruyó su Tabla Priódica s tuvo qu basar los psos atómicos, pro colocó al Cu y l Ni l ord ivrso (s dcir, l ord corrcto d acurdo co Z) para qu sus propidads químicas cajara mjor. E alguos lugars d la Tabla Priódica, Mosly cotró difrcias Z mayors qu la uidad, y prdijo corrctamt la xistcia d lmtos aú o dscubirtos. Pusto qu hay u úico lmto para cada Z, los citíficos pudiro fialmt cofiar la compltitud d la Tabla Priódica. Rfiamitos dl modlo d Bohr Mcioarmos brvmt varias corrccios y prfccioamitos dl modlo d Bohr. Corrcció por masa uclar fiita El hcho qu l úclo ti ua masa fiita s pud tr cuta fácilmt si todas las cuacios d la Scció atrior lugar d la masa dl lctró s mpla la masa rducida dl sistma lctró-úclo, dada por mm µ m + M La fórmula para los úmros d oda s scrib ahora dod: k (5.), R Z π M, m< (5.3) m m 4 Z RM µ 4πch 3 (5.4) Co la corrcció por l fcto d masa fiita, la toría d Bohr cocurda co los datos spctroscópicos dtro d u 0.003%. La toría d Wilso-Sommrfld El acirto d la toría d Bohr actuó l caráctr mistrioso d sus postulados básicos, uo d los cuals s la rlació tr la cuatificació d Bohr dl momto agular y la cuatificació d Plack d la rgía total d u oscilador armóico simpl. Est asuto s aclaró 96 cuado Wilso y Sommrfld uciaro ua rgla d cuatificació para cualquir sistma cuyas coordadas varía priódicamt co l timpo. Esta rgla prmitió ampliar l domiio d aplicació d la toría cuática icluy como casos particulars las cuatificacios d Plack y Bohr. La podmos uciar así: 44

9 5. La Toría Cuática Atigua Rgla d cuatificació d Wilso-Sommrfld: u sistma cuático, toda coordada q qu varía priódicamt l timpo satisfac la codició d cuatificació pdq q h q, q 3,,, (5.5) dod p q s l impulso asociado a q, y la itgració s fctúa sobr u príodo. Vamos a vrificar qu las rglas d Bohr y d Plack so casos particulars d la (5.8). Si ua partícula s muv ua órbita alrddor d u ctro d furzas podmos dscribir l movimito l plao d la órbita usado las coordadas polars r y θ, dod r s la distacia al ctro y θ s l águlo mdido dsd ua dircció fija. El impulso cojugado a r s pr mr y l impulso cojugado a θ s l momto agular L mr θ, qu s ua costat dl movimito. Cuado la partícula raliza u movimito circular uiform co radio r 0 o s csario aplicar la codició (5.5) a la coordada radial, pus p r 0. La aplicació d (5.) a la coordada agular os da Podmos scribir la (5.6) la forma pdq q Ldθ πl h θ (5.6) L θ h (5.7) qu s prcisamt la codició d cuatificació d Bohr (5.9) si idtificamos θ co. Cosidrmos ahora l caso d ua partícula qu raliza oscilacios armóicas co la frcucia ν. La posició d la partícula s spcifica dado la coordada x, qu cumpl x x s( πνt + ϕ ) x s( ωt + ϕ ) (5.8) dod x 0 s la amplitud d la oscilació y ϕ 0 s la fas iicial. El impulso d la partícula s p mx πνmx cos( πνt + ϕ ) ωmx cos ( ωt + ϕ ) (5.9) La codició d Wilso-Sommrfld os dic tocs El cálculo d la itgral os da pdq q pdx h (5.30) T π / ω pdx pdt mx t dt m ω 0 cos( ω + ϕ0) 0 π E ωmx cos( α) dα πωmx0 ν 0 0 T 0 (5.3) dod 45

10 E 5. La Toría Cuática Atigua ω mx (5.3) s la rgía total dl oscilador. Usado la (5.3) la (5.30) obtmos fialmt qu s prcisamt la codició d cuatificació d Plack. E 0 hν (5.33) Órbitas lípticas y la toría rlativística d Sommrfld Si quitamos la rstricció qu l movimito dl lctró sa circular, tmos qu aplicar las codicios (5.5) o sólo al movimito azimutal, sio tambié al movimito radial. S obti tocs dos codicios d cuatificació: Ldθ πl θ h, prdr rh (5.34) La primra d llas os da la codició d cuatificació dl momto agular qu ya coocmos para las órbitas circulars: L h, 3,,, (5.35) θ La sguda codició (qu o s aplica a las órbitas circulars) os llva dspués d alguas cutas a ua rlació tr los smijs a y b d la lips: Covi ahora dfiir l úmro cuático pricipal como θ L a r r b h, 0,,, (5.36) θ + r (5.37) qu coicid co l úico úmro cuático qu usamos para tratar las órbitas circulars. D acurdo co (5.35) y (5.36) pud tomar los valors 3,,, (5.38) Para u valor fijo d, l úmro cuático azimutal θ pud tomar los valors y l úmro cuático radial r val tocs θ,,, (5.39) r θ (5.40) Usado las fórmulas d la Mcáica para l movimito u campo d furzas ctrals, s pud mostrar tocs (omitimos los dtalls por brvdad) qu h a µ Z, b a θ, E Z µ 4 h (5.4) 46

11 5. La Toría Cuática Atigua dod µ s la masa rducida dl lctró. S pud vr qu (salvo por la sustitució µ m ) la primra d stas cuacios s idética a la (5.), qu da l radio d las órbitas circulars d Bohr; la sguda mustra qu la forma d las órbitas dpd dl cocit θ / y la trcra quival a la (5.6). Por lo tato para cada valor dl úmro cuático pricipal hay difrts órbitas prmitidas, qu difir por l valor dl úmro cuático azimutal. Ua d llas, la qu corrspod a θ, s la órbita circular d Bohr y las otras so lípticas. Todas sas órbitas ti l mismo valor d la rgía, pus E dpd sólo dl úmro cuático pricipal. Esta circustacia s xprsa dicido qu l corrspodit ivl d rgía stá dgrado. La dgració d los ivls d rgía corrspodits a las órbitas co l mismo y difrt θ s coscucia d qu la furza d Coulomb dpd d la ivrsa dl cuadrado d la distacia, y d qu tratamos l problma como o rlativístico. Por so sta dgració s sul domiar accidtal. Si s calcula las corrccios rlativísticas, cosa qu hizo Sommrfld, la dgració s romp y los ivls d rgía dl mismo pro difrts θ s spara, dado lugar a lo qu s llama la structura fia dl spctro dl hidrógo Fig Estructura fia d alguos ivls dl átomo d hidrógo. S ha xagrado la sparació para hacrla visibl. Las flchas d trazos idica trasicios qu o s obsrva. Pusto qu v/ c α 0, como ya vimos, las corrccios rlativísticas so dl ord d ( v/ c) α 0 4. El cálculo s largo y tdioso, pro s pud mostrar qu 4 mz α Z 3 E + h θ 4 (5.4) 47

12 5. La Toría Cuática Atigua Vmos tocs qu la sparació d los ivls dgrados s proporcioal a α. Es s l motivo por l cual α rcibió l ombr d costat d la structura fia, auqu como vrmos más adlat su sigificado s mucho más gral. E la Fig. 5.4 s v la structura fia d los primros ivls dl átomo d hidrógo. Las flchas idica las trasicios qu produc las lías spctrals. Las qu s obsrva l spctro stá idicadas co lías llas, y co lías putadas s idica trasicios qu o s obsrva xprimtalmt. Los úmros d oda d las lías, calculadas a partir d la (5.4), cocurda muy bi co los obsrvados. Examiado la figura s v qu sólo s produc las trasicios para las cuals La c. (5.43) s domia rgla d slcció. El pricipio d corrspodcia ± (5.43) θ θ θ La xistcia d rglas d slcció o s xplica por mdio d la toría qu hmos dsarrollado hasta ahora y por s motivo, buscado darls ua justificació tórica, Bohr itrodujo 93 u postulado adicioal: Pricipio d corrspodcia: Para todo sistma físico, las prdiccios d la toría cuática db corrspodr a las prdiccios clásicas para valors grads d los úmros cuáticos qu spcifica al sistma. Ua rgla d slcció val para cualquir valor dl úmro cuático corrspodit. Por lo tato toda rgla d slcció qu s aplica l límit clásico ( grad) s aplica tambié l domiio cuático ( pquño). Es obvio qu las prdiccios d la toría cuática db corrspodr a las prdiccios clásicas aquél límit qu l sistma s comporta clásicamt. La primra part dl pricipio d corrspodcia xprsa qu s límit s cutra l domiio d los úmros cuáticos grads, y s apoya hchos coocidos, como por jmplo qu la toría d Rayligh-Jas dl spctro dl curpo gro cocurda co la toría d Plack para ν pquño. A partir d la c. (4.) s v qu y por lo tato f i hν limν 0ε lim ν 0 ν / h kt kt (5.44) ε hν kt (5.45) d modo qu l valor promdio dl úmro cuático qu spcifica la rgía d las odas lctromagéticas d frcucia ν db aumtar a mdida qu dismiuy ν. La sguda part dl pricipio d corrspodcia s ua hipótsis razoabl, pus o parc lógico qu ua rgla d slcció valga sólo para u domiio limitado dl úmro cuático ivolucrado. A modo d jmplo, podmos aplicar l pricipio d corrspodcia a u oscilador armóico simpl d frcucia ν, cargado léctricamt. D acurdo co la toría cuática los stados d 48

13 5. La Toría Cuática Atigua rgía d st sistma stá dados por la cuació E hν, y las torías cuática y clásica coicid para. Pusto qu l oscilador stá cargado pud mitir o absorbr radiació lctromagética. D acurdo co la toría clásica, l sistma mit radiació d frcucia ν dbido al movimito aclrado d la carga. D acurdo co la toría cuática, l oscilador mit u fotó d frcucia ν ( Ei Ef )/ h ( i f ) ν cuado fctúa ua trasició dsd l stado i al stado f. Por lo tato, la primra part dl pricipio d corrspodcia rquir qu ν ν y coscucia l límit clásico s db cumplir la rgla d slcció misió f i (5.46) Aplicado u razoamito smjat a la absorció d radiació s llga a la coclusió qu l límit clásico s cumpl la rgla d slcció absorció f i + (5.47) La sguda part dl pricipio d corrspodcia os dic qu las rglas d slcció (5.46) y (5.47) val todo l domiio cuático. El studio dl spctro vibracioal d moléculas diatómicas mustra qu fcto sto s cirto. Mdiat l studio d los spctros atómicos y molculars s cotraro mpíricamt umrosas rglas d slcció, gra part d las cuals s pudiro tdr aplicado l pricipio d corrspodcia, auqu a vcs surgiro ambigüdads. S db otar, si mbargo, qu la toría cuática modra o prcisa ivocar l pricipio d corrspodcia para xplicar las rglas d slcció, pus éstas surg como coscucia d lys grals d cosrvació, si csidad d postulados adicioals. El xprimto d Frack y Hrtz La cofirmació dircta qu los stados d rgía dl átomo stá cuatificados provio d u scillo xprimto ralizado 94 por Jams Frack y Gustav Hrtz. E st xprimto (Fig. 5.5a) u cátodo calit C mit lctros qu so aclrados hacia u áodo A forma d grilla por ua difrcia d potcial V, y pasa a través d él para sr rcogidos por ua placa colctora P, qu stá a u potcial VP V Vr. El dispositivo coti l gas o vapor d los átomos qu s quir ivstigar, a baja prsió. El xprimto cosist dtrmiar la corrit I dbida a los lctros rcogidos por la placa como fució d V. El primr xprimto s ralizó co vapor d Hg, y los rsultados s mustra la Fig. 5.5b. S obsrva qu para V pquño, I aumta co V, pro cuado s llga a 4.9 V la corrit ca abruptamt. Esto idica qu cuado alcaza ua rgía ciética d 4.9 V, los lctros comiza bruscamt a itractuar co los átomos d Hg, y ua fracció importat d llos pird toda su rgía ciética al xcitar los átomos. Si V s apas mayor qu 4.9 V, st procso d itracció ocurr justo dlat d A y los lctros qu ha prdido su rgía ciética ya o la pud rcuprar l rsto d su viaj hacia l áodo; por lo tato so rchazados por l potcial d framito V r y o llga a la placa. La caída abrupta d I cuado V 49. V idica qu los lctros d mos d 4.9 V o pud trasfrir su rgía a los átomos d Hg. D sto s cocluy qu los ivls d rgía dl átomo d Hg stá cuatificados, y qu 4.9 V s la difrcia d rgía tr l stado fudamtal y l primr stado xcitado. 49

14 I C A P Vapor d Hg V V V r (a) 5 0 (b) Fig Exprimto d Frack y Hrtz: (a) squma dl dispositivo, (b) rsultados. I V 5. La Toría Cuática Atigua Si sta coclusió s corrcta, db xistir l spctro d misió dl Hg ua lía qu corrspod a la trasició dl primr stado xcitado al stado fudamtal, co ua frcucia dada por ν ( 49V. )/ h, lo qu corrspod a ua logitud d oda d 536 Å. Eso fu lo qu obsrvaro Frack y Hrtz, quis comprobaro qu mitras V < 49. V l vapor d Hg o mit igua lía spctral, pro cuado l potcial s ligramt mayor l spctro mustra ua úica lía d misió d 536 Å. El xprimto d Frack y Hrtz s ua clara pruba qu los stados d rgía dl átomo d Hg stá cuatificados, y prmit mdir dirctamt las difrcias d rgía tr los stados cuáticos. Si s xtid l studio a difrcias d potcial mayors aparc, fcto, otras bruscas caídas d la corrit. Alguas d éstas s db a qu si V s suficitmt grad, su rcorrido d C a A los lctros pud xcitar dos o más vcs l ivl d 4.9 V, pro otras caídas s db a la xcitació d stados difrts. A partir d los valors d V corrspodits a stas caídas s pud dtrmiar las difrcias d rgía tr sos stados y l stado fudamtal. Otra mara d dtrmiar xprimtalmt l squma d ivls d u átomo s mdir su spctro, para costruir u cojuto d ivls compatibl co l mismo. Esto o s fácil la práctica, pusto qu l spctro, y por lo tato l squma d ivls, sul sr muy complicado. Por otra part, l método spctroscópico ti la virtud d sr muy prciso. Toda vz qu las difrcias d rgía tr stados atómicos s dtrmiaro por ambos métodos, l spctroscópico y l d Frack y Hrtz, los rsultados furo coicidts. Por cima dl stado discrto más alto, s dcir para E 0, stá los stados d rgía qu cosist d u lctró o ligado y u átomo ioizado. La rgía dl lctró libr o stá cuatificada, por lo tato los stados dl lctró co E 0 forma u cotiuo. Es posibl xcitar l átomo dsd l stado fudamtal hasta u stado dl cotiuo, si s sumiistra a u lctró ua rgía mayor qu la rgía d ioizació, qu para l átomo d Hg s d 0.4 V (3.6 V para l átomo d hidrógo). Tambié s posibl l procso ivrso, sto s qu u átomo ioizado captur u lctró libr uo d los stados ligados dl átomo utro. E st procso s mit radiació d ua frcucia mayor qu la qu corrspod al límit d la sri corrspodit al ivl custió. El valor xacto d la frcucia dpd d la rgía iicial E 0 dl lctró libr, y pusto qu E pud tr cualquir valor, l spctro ti ua part cotiua más allá dl límit d la sri. Esto s pud obsrvar l caso dl Hg, auqu co dificultad. 50

15 Costats fudamtals y scalas d la Física Atómica 5. La Toría Cuática Atigua Lo qu hasta ahora hmos visto acrca d la física dl átomo y d la itracció tr la radiació lctromagética y la matria os mustra qu llas itrvi cuatro costats físicas uivrsals: Costats fudamtals d la Física Atómica:, l cuadrado d la carga léctrica fudamtal ( u..s. ) c cm/ s, la vlocidad d la luz m g, la masa dl lctró h rg s, la costat d Plack E l sistma Gaussiao, y tomado como dimsios fudamtals logitud (L) timpo (T) y rgía (E), la dimsioalidad d sas costats s: [ ] [] [ ] [ ] EL, c LT, m EL T, h ET (5.48) E virtud dl Torma Pi, hay ua úica combiació adimsioal idpdit d stas cuatro costats, qu s la costat d la structura fia α / (5.49) hc Co las trs costats clásicas, c, m podmos formar ua logitud caractrística qu s l radio clásico dl lctró r cm (5.50) mc u timpo caractrístico r0 3 τ s (5.5) mc c y ua rgía caractrística, qu s l quivalt d la masa rposo dl lctró: ε mc (5.5) Todas las logituds caractrísticas qu aparc la toría s pud tocs xprsar térmios d r 0 y α: la logitud d oda Compto dl lctró D C λc h r cm (5.53) π mc α l radio d Bohr 5

16 5. La Toría Cuática Atigua a 0 h r0 8 m cm (5.54) α la logitud d oda caractrística dl spctro atómico 3 3 ch ch r0 D D D , 0. cm (5.55) Z m Z m4 α 3 Vmos coscucia qu las logituds caractrísticas d los fómos d scala atómica qu ivolucra lctros y radiació lctromagética guarda tr sí rlacios d scala dtrmiadas por la costat d la structura fia α. Cocrtamt: r : D : a : D : α : α : α (5.56) 0 C o 0 3 Rlacios aálogas xist tr los timpos y rgías caractrísticas. Estas rlacios ti u caráctr fudamtal pus provi d las propidads d la itracció lctromagética y la aturalza cuática d los fómos atómicos, y so idpdits d la particular toría qu los dscrib. Crítica d la Toría Cuática Atigua Hmos visto st Capítulo qu la toría d Bohr y su xtsió por Wilso y Sommrfld, qu costituy la Toría Cuática Atigua, tuviro importats éxitos. Si mbargo dbmos sñalar las siguits limitacios y dfctos: La toría s aplica solamt a sistmas priódicos l timpo, lo qu xcluy muchos sistmas físicos. Prmit calcular las rgías d los stados prmitidos y las frcucias d la radiació mitida o absorbida las trasicios tr sos stados, pro o prdic l timpo caractrístico ivolucrado ua trasició. Sólo s aplica a los átomos co u lctró, y aqullos qu ti muchos aspctos comú co los átomos d u lctró (como los mtals alcalios), pro falla si s la itta aplicar al átomo d hlio, qu ti dos lctros. Por último, la toría o s itlctualmt satisfactoria, pus s mzcla lla d forma arbitraria aspctos clásicos co aspctos cuáticos. Pusto qu alguas d stas objcios so d caráctr fudamtal, los físicos d la época s sforzaro por dsarrollar ua uva toría cuática qu o padcira stas limitacios i fura pasibl d objcios. Est sfurzo logró l objtivo cuado Wrr Hisbrg 94 (y lugo Max Bor y Pascual Jorda) propuso su diámica d matrics y Erwi Schrödigr 95, apoyádos ua ida propusta 94 por Louis-Victor d Brogli, dsarrolló la mcáica odulatoria. Ps a qu su forma s muy distita, las torías d Hisbrg y d Schrödigr so compltamt quivalts y su cotido s idético, como fu dmostrado por Schrödigr. El plato axiomático d la Mcáica Cuática s compltó poco dspués por mdio d la toría d las trasformacios d Paul A. M. Dirac y Pascual Jorda. Pro d so os ocuparmos los próximos capítulos. 5