Elementos de Probabilidad y Estadística

Transcripción

1 Capítulo 3 Elmtos d robabldad y Estadístca 3.. Itroduccó E st capítulo s prsta cocptos báscos d robabldad y Estadístca, ya u dtro dl dsño y plaacó d ua obra hdráulca juga u papl mportat l aálss hdrológco d vtos futuros. U jmplo sría l dsño d vrtdors d ua prsa d almacamto dod s csta prdcr lluvas o avdas d dsño co ua dtrmada frcuca o prodo d rtoro. 3.. Cocptos báscos d probabldad 3... Exprmto U xprmto s toda accó u s ralza co l f d obsrvar su rsultado. La xprmtacó s ua tapa fudamtal para llgar al coocmto ctífco. La toría d la probabldad ha sdo motvada por dvrsas crcustacas d la vda ral las u s ralza u xprmto y l vstgador obsrva u rsultado. U jmplo u s pud 43

2 44 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca cosdrar s la dtrmacó d la carga d ruptura d ua varlla d acro u s pruba ua crta máua y s somtda a u sfurzo d tsó. E st xprmto la accó cosst somtr a la varlla a ua pruba d ruptura por tsó; dspués d aplcar crmtos d carga, la varlla falla por tsó, u sría l rsultado d la accó; y la obsrvacó s la lctura la máua para dtrmar la carga d ruptura u ocasoó u la varlla fallara (Olvra, S.A., 987). U xprmto s dtrmsta s s pud prdcr co crtza su rsultado ats d u ést s ralc. U xprmto s alatoro cuado o s posbl asgurar l rsultado u s va a prstar al ralzarlo; s dcr u a psar d rptrlo codcos aproxmadamt détcas, sus rsultados o so scalmt los msmos Espaco mustral Es l cojuto d todos los posbls rsultados d u xprmto alatoro y gralmt s rprsta a dcho cojuto co las ltras S, L, Ω Evto U vto A s ua colccó d putos mustrals cotdos l spaco mustral S d u xprmto alatoro. Evtos mutuamt xcluyts So vtos u o pud ocurrr smultáamt. S s t dos vtos A y B cualsura, tals u la ocurrca d uo mplca u o pud ocurrr l otro, sto s, A B Φ tocs A y B so vtos mutuamt xcluyts. Evtos colctvamt xhaustvos A los vtos A, A,, A s ls llama vtos cojutamt xhaustvos cuado su uó forma todo l spaco mustral, s dcr: S ( A A ) Dfcó axomátca d probabldad Sa S u spaco mustral, sa L la clas d todos los vtos y sa ua fucó d valors rals dfda L. Etocs s llama ua fucó d probabldad, y (A) s doma la probabldad dl vto A, s y sólo sí s cumpl los sguts axomas (Borras, H., 985). Axoma I La probabldad d u vto s u úmro mayor o gual u cro y mor o gual u uo: A ( ) 0 A Axoma II La probabldad dl vto S s la udad: ( ) S Dod S s l vto formado por todo l spaco mustral (3.) (3.)

3 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 45 Axoma III La probabldad d u vto u sa la uó d los vtos A y B mutuamt xcluyts, s la suma d las probabldads d stos dos vtos: ( A B ) ( A) ( B ) + (3.3) ara cualur scuca fta d vtos mutuamt xcluyts A, A, A 3,, s t ( A A A ) ( A ) + ( A ) + ( A ) + ( ) + 3 A (3.4) Tormas drvados d la dfcó axomátca Torma. Sa l vto A u vto cualura d S y A l complmto d A, tocs: Dmostracó: or l axoma II: tomado cuta u: ( A' ) ( A) ( S ) ( A A' ) S (3.5) obtdo su probabldad d ambos lados: aplcado l axoma III ( A A' ) ( S ) ( A) + ( A' ) Torma. Sa Φ l vto mposbl, tocs: Dmostracó: hacdo ( A' ) ( A) ( φ) 0 S S φ (3.6) obtdo su probabldad d ambos lados: por l axoma II: susttuydo ( S ) ( S ) ( φ) + ( S ) + ( φ) ( φ) 0

4 46 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca Torma.3 S A y B so dos vtos d S y A B (A s subcojuto d B) Dmostracó: ( A) ( B ) (3.7) El vto d B d la g. 3., s pud rprstar como la uó d los vtos mutuamt xcluyts A y A B, sto s, B {A U (A B)}. dl axoma III y por l axoma I ( B ) ( A) + ( A' B ) ( A' B ) 0 ( B ) ( A) S A B gura 3.. El cojuto A s subcojuto d B. Torma.4 S A, A,, A s ua colccó d vtos mutuamt xcluyts y cojutamt xhaustvos, como s mustra la g. 3.. S A 3 A A A gura 3.. Evtos mutuamt xcluyts y cojutamt xhaustvos. Etocs: ( A A A A ) ( A ) + ( A ) + + ( A ) ( A A A A ) ( A ) 3 co A A φ para j 3 j Est torma s solo ua forma gral dl axoma III.

5 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 47 Torma.5 ara dos vtos cualsura A y B: ( A B ) ( A) + ( B ) ( A B ) (3.8) Dmostracó: aalzado la g. 3.3 s t por otra part ( A B ) ( A B ) + ( A B ) + ( B A) ( A B ) ( A) ( A B ) ( B A) ( B ) ( A B ) susttuydo las cuacos (3.0) y (3.) la cuacó (3.9): (3.9) (3.0) (3.) ( A B ) ( A) ( A B ) + ( A B ) + ( B ) ( A B ) ( A B ) ( A) + ( B ) ( A B ) S A-B A B B-A 3.3. Varabls alatoras gura 3.3. (AUB) Itroduccó ara dar solucó a alguos problmas d gría, s gra u crto grado d crtdumbr dbdo a la varacó d los fómos prsts la aturalza. Como rsultado d las crtdumbrs, l gro o pud prdcr co xacttud l vto u puda ocurrr l futuro, para solucoarlo utlza modlos stadístcos y probablstas dod la varabl scal s llama Varabl alatora (Bjamí t al., 970) Cocpto d varabl alatora Dado u xprmto alatoro E, tocs ua varabl alatora s df como ua fucó ral d varabl ral cuyo domo s l spaco mustral S d probabldads, cotdo por vtos smpls, y por otro lado l codomo d la fucó s u spaco u cot al cojuto d los úmros rals IR co valors x ( ) (Motgomry t al., 000).

6 48 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca Ua varabl alatora s ua fucó ral d varabl ral u asga a cada vto smpl S u valor umérco ral x IR, mjor dcho ( ) x. E la g. 3.4 s aprca la aturalza d la trasformacó d : S IR. S IR 3 x () x () x3 (3) x () gura 3.4. Cocpto d varabl alatora. Co rspcto a la otacó, s cosdra ltras mayúsculas para dotar varabls alatoras y ltras músculas x para los valors partculars u puda tomar. E la ltratura s comú cotrar dotadas co mayúsculas a las fucos d dstrbucó d probabldad acumulada (x) y co músculas a las fucos dsdad d probabldad f(x) (Borras, H., 985). El comportamto d ua varabl alatora " " s dscrb mdat su ly d probabldads y s caractrza prcpalmt por mdo d ua dstrbucó d probabldad d la varabl alatora. Al cojuto d parjas ordadas ( x, p ), s l cooc como dstrbucó d probabldad d la varabl alatora. Las varabls alatoras pud sr dscrtas o cotuas. Como podmos obsrvar ua varabl alatora s caractrza forma aalítca por mdo d ua dstrbucó d probabldad y a su vz uda dfda por ua fucó d probabldad. A cotuacó la g. 3.5 s mustra u cuadro sóptco para comprdr la caractrzacó y dfcó d ua varabl alatora. Varabl Alatora Ua varabl alatora dscrta s caractrza por mdo d ua dstrbucó d probabldad y stá dfda por: a) ucó d probabldad o fucó masa d probabldad p(x). b) ucó d dstrbucó d probabldad acumulada o fucó d dstrbucó para varabls alatoras dscrtas (x). Ua varabl alatora cotua s caractrza por mdo d ua dstrbucó d probabldad y stá dfda por: c) ucó dsdad d probabldad f(x) d) ucó d dstrbucó d probabldad acumulada o fucó d dstrbucó para varabls alatoras cotuas (x). gura 3.5. Caractrístcas d ua varabl alatora.

7 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca Varabls alatoras dscrtas Cocpto d varabl alatora dscrta S l domo d dfcó d ua varabl alatora s u trvalo fto, y los rsultados dl xprmto alatoro al u stá asocada dcha varabl alatora sólo df alguos d los valors comprddos dtro d s trvalo, s dc u la varabl alatora s dscrta. Obsérvs u la dstrbucó d probabldad {( )} x, p d la varabl alatora, df compltamt l fómo al u stá asocada, ya u dchos valors dtrma los rsultados dl xprmto y sus corrspodts probabldads y la forma d cómo s prsta sos rsultados (Bjamí t al., 970). ucó d probabldad o fucó masa d probabldad p(x) Ua dstrbucó d probabldad aalítcamt uda dfda mdat ua fucó d probabldad p ( x ), la cual rlacoa los rsultados d u xprmto alatoro co su probabldad d ocurrca. Cuado l rsultado dl xprmto alatoro s u úmro, gralmt s l asga l msmo valor; o sa, la varabl alatora pud tomar los valors d x. Lo atror s pud rprstar mdat la sgut xprsó. E la g. 3.6 s rprsta gráfcamt la fucó d probabldad (Motgomry t al., 000). ( x ) ( ) p x La codcos u db d cumplr cualur fucó ( ) (3.) p x para u sa fucó d probabldad d ua varabl alatora, y así podr dfr ua dstrbucó d probabldad, db cumplr los prmros dos axomas d la toría d la probabldad. 0 x ( x ), ( x ) (3.3) (3.4) p (x) gura 3.6. ucó d probabldad. x

8 50 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca Varabls alatoras cotuas E l aálss stadístco hdrología gralmt s trabaja co varabls alatoras cotuas, por lo u s aalzará co prcaucó Cocpto d varabl alatora cotua S l domo d dfcó d ua varabl alatora s u trvalo fto, y los rsultados dl xprmto alatoro al u stá asocada dcha varabl df cualur valor ral comprddo dtro dl trvalo, s dc u la varabl alatora s cotua. Est tpo d varabls s prsta co más frcuca los sstmas físcos dbdo a u la masa, l calor, l volum, l tmpo y otras caractrístcas, pud tomar cualur valor, dtro d ua scala cotua. S mbargo, formalmt pud dfrs la dstrbucó d probabldads d ua varabl alatora cotua por mdo d su fucó dsdad d probabldad (Bjamí t al., 970) ucó dsdad d probabldad f(x) E l caso d ua varabl alatora cotua o s posbl stablcr xplíctamt las parjas ordadas (valor d la varabl alatora, y su corrspodt probabldad) u df ua dstrbucó d probabldad cotua, por o sr umrabl l cojuto d valors d la varabl alatora cotua. Ua varabl alatora cotua pud tomar ua fdad d valors u puño trvalo; coscuca, la probabldad d u tom u valor partcular s práctcamt cro y para studar l comportamto d las varabls s db d hablar d subtrvalos, dtro d los cuals pud cotrars l valor d (Motgomry t al., 000). Sa ua varabl alatora cotua l trvalo x, o sa, u pud tomar cualur valor ral s trvalo, por lo u o s posbl dfr su dstrbucó d probabldad forma tabular; o s posbl xprsar xplíctamt l cojuto fto d parjas ordadas {( x, p )} u s t para todo valor d x l trvalo. E st caso dbrá dfrs la dstrbucó d probabldad x forma gráfca o aalítca. or la cotudad d los valors d x l trvalo, st caso l polígoo d probabldad s covrt ua curva cotua d cuacó y f ( x ), sdo f ( x ) ua fucó ral d la varabl alatora su trvalo d dfcó. A la fucó f ( x ) s l llama fucó dsdad d probabldad d la varabl alatora. La fucó dsdad d probabldad s df d tal mara u la probabldad dl vto ( x x ) sa gual al ára bajo la curva d la fucó f ( x ) tr x x y x, como s mustra la g x tocs: x ( x x ) f ( x ) x dx (3.5)

9 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 5 y f (x) ( x ) x x x x gura 3.7. ucó dsdad d probabldad. Es mportat dars cuta d u ( x ) f o rprsta la probabldad d ada, solo cuado la fucó tgra tr dos putos s produc ua probabldad. Ua fucó ( x ) f db d cumplr co las codcos sguts para u sa fucó dsdad d probabldad d ua varabl alatora cotua: a) La fucó f ( x ) s postva para todo valor d x: b) El ára bajo la curva d la fucó ( ) x f ( x ) 0 f l trvalo x val uo: (3.6) f ( x ) dx (3.7) ucó d dstrbucó d probabldad acumulada (x) Otra forma d caractrzar l comportamto d ua varabl alatora s mdat la dstrbucó d probabldad acumulada y pud dfrs formalmt por mdo d ua, como: fucó d dstrbucó d probabldad acumulada ( ) x 0 ( x ) ( x ) 0 x 0 (3.8) La fucó d dstrbucó acumulada d cualur tpo d varabl alatora dscrta o cotua, t las sguts propdads y su rprstacó gráfca s vsualza la g. 3.8 (Motgomry t al., 000). ( x 0 ) 0 x 0 ( ) 0 ( ) ( x 0 + ε ) ( x 0 ), ( x x ) ( x ) ( x ) para toda cos tat ε > 0

10 5 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca gura 3.8. ucó d dstrbucó d probabldad acumulada ucó d dstrbucó d probabldad acumulada para varabls alatoras cotuas S la varabl alatora s cotua y ( x ) fucó ( x ) s: x 0 ( x ) ( x x ) f ( x ) dx 0 f s su fucó dsdad d probabldad, la 0 x 0 ( x ) f ( x ) dx 0 (3.9) Espraza matmátca o valor sprado d varabls alatoras cotuas E gral, la ltratura s l cosdra a la spraza matmátca como valor sprado o valor promdo d la varabl alatora. ud sr trprtada como u promdo podrado d ua fucó g(x) y como s vrá postrormt s d gra utldad para dfr alguos parámtros poblacoals u caractrza l comportamto d la varabl alatora (Borras, H., 985). Espraza matmátca d ua fucó d ua varabl alatora cotua S la varabl alatora s d tpo cotua, y su fucó dsdad d probabldad s ( x ) la spraza matmátca d g(x) s df como: f, E { g ( x )} g ( x ) f ( x ) dx (3.0) arámtros poblacoals d la dstrbucó d varabls alatoras cotuas Como s había comtado, los parámtros más mportats a calcular so la mda y la varaza. ara su studo s prstara dos casos partculars d la spraza matmátca u so: los momtos co rspcto al org y los momtos co rspcto a la mda (Olvra, S.A., 987).

11 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 53 Momtos d ord co rspcto al org ara ua dstrbucó d probabldad, s df al momto d ord co rspcto al org d la varabl alatora, a la spraza matmátca d la fucó g(x) cosdrado lo sgut: tomado cuta u: ( x ) g (3.) susttuydo la cuacó (3.) la cuacó (3.0), rsulta E { } x f ( x) dx (3.) dod: s u úmro tro postvo Momtos d ord co rspcto a la mda S llama momto d ord co rspcto a la mda d la dstrbucó d probabldad d la varabl alatora, a la spraza matmátca d la fucó g(x) cosdrado lo sgut: s ( x ) ( ) g µ (3.3) dod: s u tro postvo y μ x la mda d la dstrbucó, susttuydo la cuacó (3.3) la cuacó (3.0) E {( µ ) } ( x µ ) f ( x ) dx (3.4) Mda d la dstrbucó poblacoal Tomado cuta l momto d ord rspcto al org para l caso d varabls alatoras dscrtas, s t: E { } x p( x ) x (3.5) y obtdo l prmr momto co rspcto al org, s hacmos E { } x p( x ) x µ E { } (3.6) (3.7) susttuydo la cuacó (3.6) la cuacó (3.7) µ x x p( x ) (3.8)

12 54 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca S cosdramos u cada x ocurr co la msma probabldad p, tocs cada p t valor d: p (3.9) susttuydo la cuacó (3.9) la cuacó (3.8) µ x (3.30) A la xprsó atror s l llama mda d la dstrbucó. La mda s uo d los parámtros más rprstatvos d la dstrbucó, ya u coocdo la mda o valor sprado d la dstrbucó s t ua da dl valor ctral d la dstrbucó. Ua aalogía dl cocpto físco dl prmr momto, u s la mda d la dstrbucó d probabldad d la varabl alatora s smjat al cocpto d ctrod u s studa mcáca. Obsrvado la g. 3.9, la mda s la abscsa dl ctrod d la fucó d probabldad (Olvra, S.A., 987). f (x) Ctrod dl ára µx x gura 3.9. La mda s la abscsa dl ctrod Varaza d la dstrbucó poblacoal S 0, s t l momto d ord cro co rspcto a la mda, y tato l caso dscrto como l cotuo val uo. S, s t l momto co rspcto a la mda, y tato l caso dscrto como l cotuo val cro. S, s t l sgudo momto co rspcto a la mda. d la cuacó (4) hacdo E {( µ ) } ( x µ ) f ( x ) dx σ {( ) } E µ (3.3)

13 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 55 or lo tato l momto d ord dos,, co rspcto a la mda, rcb l ombr d varaza y s xprsa d la sgut mara: σ (3.3) µ como la dstaca tr u valor partcular d y su mda, tocs s trprta a la varaza como l promdo d los cuadrados d las dfrcas tr l valor mdo (μ x ) y los posbls valors d la varabl alatora (Olvra, S.A., 987). S s cosdra a la spraza matmátca como u promdo y a la dfrca ( ) S l xpot toma cualur otro valor par, s tdrá també u dcador d la dsprsó d los datos y ést srá smpr postvo, mtras u para ua potca mpar, l momto pud sr postvo, gatvo o cro. La raíz cuadrada d la varaza df l cocpto d dsvacó stádar d la varabl alatora y s rprsta por σ, dod: ( x µ ) f ( x ) dx σ σ (3.33) La dsvacó stádar xplca la dsprsó promdo d los valors posbls d la varabl alatora co rspcto a su mda Cocptos báscos d stadístca Itroduccó La stadístca ha llgado a sr u strumto d uso cotdao para todos los profsostas u stá cotacto co fómos d aturalza alatora, y u a partr dl coocmto d crtos datos cuattatvos dl fómo, db tomar dcsos sobr su comportamto gral Cocpto d Estadístca La Estadístca s ocupa d los métodos y procdmtos para rcogr, clasfcar, rsumr, hallar rgulardads y aalzar los datos, smpr y cuado la varabldad crtdumbr sa ua causa trísca d los msmos; así como d ralzar frcas a partr d llos, co la faldad d ayudar a la toma d dcsos y su caso formular prdccos. ara su studo, la stadístca s dvd : stadístca dscrptva, cuado los rsultados dl aálss o prtd r más allá dl cojuto d datos, frca stadístca cuado l objtvo dl studo s drvar las coclusos obtdas a u cojuto d datos más amplo (Borras, H., 985) Estadístca dscrptva Dfcó Cca ddcada a dscrbr las caractrístcas xstts u cojuto d datos (la mustra), utlzado métodos umércos y gráfcos u rsum y prsta la formacó cotda llos. Las taras d la stadístca dscrptva so: La orgazacó d los datos

14 56 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca umércos d la mustra a través d las tablas y las rprstacos gráfcas (Borras, H., 985). oblacó Es u cojuto fto o fto d objtos, llamados lmtos, u t comú ua o varas caractrístcas partculars u s dsa studar. Mustra Es u subcojuto d la poblacó. La slccó d ua mustra s ua tapa muy mportat dtro dl studo stadístco, dbdo a u la formacó u prsta la mustra s la bas para hacr suposcos o frcas sobr lo u ocurr la poblacó arámtros stadístcos d ua mustra Como ya s vo atrormt los parámtros poblacoals s rprsta mdat ltras grgas µ, σ, σ, ν, γ. E l caso d ua dstrbucó d frcucas també s pud stablcr mddas dscrptvas, coocdos como parámtros stadístcos o stadístcos mustrals, y para dstgurlas d los parámtros poblacoals s usa las ltras latas x, S, S, C v, g. E l aálss hdrológco s rcomda l uso d los stadístcos o ssgados, ya u gralmt s trabaja co mustras rlatvamt puñas. Los datos d ua mustra pud caractrzars umércamt mdat los sguts grupos d parámtros stadístcos: Mddas d tdca ctral Mda ( ) x S df como l promdo artmétco d los datos d ua mustra y stá dada por: dod: x x (3.34) x x mda d la mustra valors d la mustra úmro total d valors Mddas d dsprsó Como su ombr lo dca, las mddas d dsprsó rflja la sparacó o aljamto d los lmtos d ua mustra (Borras, H., 985).

15 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 57 Varaza (S x ) E l tma d varabls alatoras s dfó a la varaza d ua varabl alatora como l sgudo momto co rspcto a la mda. D mara aáloga, para ua dstrbucó d frcucas s df l momto k-ésmo co rspcto a la mda como: y coscuca, la varaza mustral (ssgada) s df como: y la dsvacó stádar (S ) como: S mk ( x x ) k ( x x ) S S (3.35) (3.36) (3.37) Cofct d varacó (Cv) ara ua dstrbucó d frcucas, s df como l coct d la dsvacó stádar mustral tr la mda mustral; sto s: C V S x (3.38) Mddas d asmtría ara mdr forma admsoal la asmtría d ua dstrbucó d frcucas, s utlza l cofct d asmtría por momtos g, u s df como l coct dl trcr momto co rspcto a la mda tr la raíz cuadrada dl sgudo momto co rspcto a la mda lvada al cubo; sto s: g m 3 ( m ) 3 d dod rsulta g ( x x ) 3 3 ( ) S (3.39)

16 58 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 3.5. Graldads d frca stadístca Itroduccó E stadístca s l llama frca al procso d ducr o b dducr las caractrístcas o parámtros poblacoals a partr d la formacó mustral, mddo co probabldads la crtdumbr (Olvra, S.A., 987). ara hacr ua frca stadístca, s pud stmar los parámtros dscrptvos d la poblacó a partr d la formacó obtda ua mustra, ya sa como u valor putual, como u trvalo, o b stablcr valors hpotétcos d los parámtros y probar stadístcamt s so váldas las hpótss. U stmador s u valor aproxmado d u parámtro poblacoal, y s dtrmado d los stadístcos mustrals obtdos d la poblacó. Exst dos formas para stmar los parámtros: putuals o por trvalos d cofaza. Estmacó putual: cuado solamt s da u valor dl parámtro dscoocdo. Estmacó por trvalos d cofaza: cuado s fja dos valors tr los cuals s cutra l parámtro dscoocdo Métodos para dtrmar la stmacó putual d parámtros poblacoals A cotuacó s prsta alguos métodos para la stmacó d parámtros más comus hdrología, stos so: método d momtos y método d máxma vrosmltud Método d momtos El método d los momtos s u procdmto muy scllo para cotrar u stmador d uo o más parámtros poblacoals. Cosst báscamt gualar los momtos poblacoals co los mustrals co lo u s gra u sstma d cuacos, cuyo tamaño dpd dl úmro d parámtros a stmar (Motgomry t al., 000). Supógas u s ua varabl alatora cotua co fucó dsdad d probabldad f ( x θ, θ, θ ) ; k (3.40) Dod dcha fucó t parámtros dscoocdos mustra alatora d tamaño d. θ, θ, θ,,, ua k. Sa or otra part dfdos los prmros k-ésmos momtos d ua mustra co rspcto al org, rsulta: t mt t,,, k (3.4) Los prmros k momtos d la poblacó co rspcto al org so:

17 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 59 t t ( ) x f ( x θ, θ, θ ) µ t E ; t,, k s cotua k dx (3.4) Al gualar los momtos d la mustra co los momtos d la poblacó s producrá k cuacos co k cógtas, sto s: µ t m t t x f t ; k dx ( x θ, θ, θ ) (3.43) t,,, k Co la solucó d la cuacó atror, s cutra los stmadors d momto θ k θ, θ, d los parámtros θ, θ, θk Método d máxma vrosmltud Uo d los mjors métodos para obtr u stmador putual s l d máxma vrosmltud (Motgomry t al., 000). Supógas u s ua varabl alatora cotua co fucó dsdad d probabldad f ( x;θ ), dod θ s u parámtro dscoocdo úco y asocado a la dstrbucó d probabldad d. Sa,,, los valors obsrvados ua mustra alatora d tamaño. Su fucó dsdad cojuta s dscrb como: f x ; ( x, x,, x ; θ ) f ( θ ) (3.44) A la xprsó atror s coocda como fucó d vrosmltud y s rprsta co la ltra L. L ( ;θ ) (3.45) ara podr cotrar l stmador d máxma vrosmltud θ dl parámtro θ, θ db d maxmzar a la fucó d vrosmltud f x ~ θ máx f,,, ; θ (3.46) El procdmto para stmar los parámtros dod la fucó d vrosmltud alcaza su máxmo, mplca ralzar la drvada parcal d L co rspcto a θ gualado a cro (Motgomry t al., 000).

18 60 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 3.6. rodo d rtoro (Tr) El objtvo prcpal dl aálss stadístco d datos hdrológco s la dtrmacó dl llamado prodo d rtoro d u crto vto hdrológco Cocpto d prodo d rtoro El prodo d rtoro (Tr) s df como l lapso d tmpo promdo años, u s prst la ocurrca d u vto gual o mayor a ua magtud dada. La probabldad p ( ) x Tr d ocurrca dl vto xtr cualur obsrvacó pud rlacoars co l prodo d rtoro, d tal modo u para cada obsrvacó xst dos rsultados posbls: s xtr (probabldad p) s t u éxto, otro caso < x (probabldad p) s prsta ua falla. Tr La probabldad d ocurrca d u vto cualur obsrvacó s l vrso d su prodo d rtoro ( xtr ) (3.47) Tr La cuacó atror dca u s u vto hdrológco s gual o mayor u x, tocs ocurr dcho vto por lo mos ua vz Tr años, d dod /Tr s la probabldad d xcdca. D la cuacó (3.47) s drva l prodo d rtoro co probabldad d o xcdca, ( x ) Tr Tr (3.48) Usualmt cuado s t datos d u crto prodo, y s dsa aplacar algú método stadístco para xtrapolar dchos datos a prodos d rtoro mayors al d las mdcos, s csaro asgar u valor Tr a cada dato rgstrado. ara asgar prodos d rtoro a ua sr d datos s comú l mplo d la ly mpírca d Wbull: dod: k Tr + k úmro d años d rgstro úmro d ord dl dato aalzado ordado d mayor a mor (3.49) Crtros usuals para fjar u prodo d rtoro Crtros coómcos La fjacó dl prodo d rtoro pud llvars a cabo por mdo d crtros coómcos, como pud sr la comparacó d los costos auals d las obras co los daños producdos por avdas.

19 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 6 Sgú la g. 3.0, tr mayor sa l prodo d rtoro Tr, los costos d ua obra crcrá d mara mportat y por lo tato los costos d los daños producdos por avdas srá rlatvamt puñas. La suma d las curvas y srá l costo total y l costo mímo srá l puto mímo d dcha curva d costos totals (Mosalv, S.J., 999). Costo total Costo d las obras Costos auals Costo mímo Costo d dañosd producdos por avdas Tr rodo d rtoro Tr (años) Crtros usuals gura 3.0. Aálss d costos auals d obras para la dtrmacó d prodos d rtoro. I. Vda útl d la obra II. Tpo d structura III. acldad d rparacó y amplacó IV. lgro d pérddas y vdas humaas 3.7. ucos d dstrbucó d probabldad d varabls alatoras cotuas más usadas hdrología Itroduccó Las fucos d dsdad más comus para l aálss hdrológco so las sguts: Normal Logormal Gamma Expocal arso tpo III (Gamma d trs parámtros) Gumbl (Dstrbucó gral d valors xtrmos tpo I) Gumbl dos poblacos (Gumbl mxta) Las prmras cco obdc a u tpo d poblacó, mtras u la dstrbucó Gumbl dos poblacos trabaja co dos tpos d poblacó; por jmplo los gastos producdos por lluvas cclócas y o cclócas o b stos, como l Norost d Méxco, los u s prsta volúms grads dbdo a lluvas d vro coocdas como upatas (Domíguz t al., 009).

20 6 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca Las fucos d probabldad u gralmt s ajusta a lluvas y scurrmtos auals so las trs prmras. Las dos últmas s dsarrollaro para l aálss d vtos xtrmos. La fucó xpocal s muy poco flxbl, s usa para lluvas máxmas y para studos d volúms almacados. Como ya s había comtado, los métodos stadístcos s basa ajustar ua mustra d gastos máxmos rgstrados, por mdo d ua fucó d dstrbucó d probabldad, para postrormt xtrapolarlos a u dtrmado prodo d rtoro. Las dstrbucos u majarmos para ajustar las mustras co l f d dsñar Avdas d Dsño, so las dstrbucos d valors xtrmos, o sa, las fucos d dstrbucó Gumbl y Gumbl dos poblacos. D modo u darmos ua brv xplcacó sobr stas dstrbucos partcular ucó d dstrbucó d valors xtrmos tpo I (Gumbl) Cosdrmos ua poblacó dod s t mustras, cada mustra cot vtos. A hora slccomos l valor máxmo d cada mustra. S l tamaño d las mustras s sufctmt grad, o sa, cuado td a fto la fucó d dstrbucó d probabldad acumulada o fucó d dstrbucó d probabldad d td a ua dstrbucó d tpo Gumbl; ( ) (3.50) La fucó dsdad d probabldad stá dada por: dod: f ( ) ( < <, > 0) (3.5) parámtro d scala parámtro d ubcacó varabl alatora cotua (rprsta a los gastos máxmos) ( ) fucó d dstrbucó d valors xtrmos tpo I f fucó dsdad d probabldad tpo Gumbl ( ) Esta fucó d dstrbucó s utlza para dtrmar la probabldad d u s prst grads avdas, dbdo a u s ha dmostrado tórcamt u s ajusta a los valors máxmos. La tdca d la fucó d dstrbucó Gumbl s prsta la g. 3.. Mda arámtros poblacoals d la dstrbucó Gumbl dod: µ + Γ (3.5) Γ costat d Eulr Γ

21 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 63 Dsvacó stádar σ π 6 (3.53) Cofct d asmtría γ.396 (3.54) El cofct d asmtría s costat lo cual dca u sta dstrbucó s ssgada a la drcha para todos los valors d y. Como la dstrbucó s asmétrca s rcomda l método d máxma vrosmltud para stmar los parámtros y (Brzowsky t al., 98). Varabl rducda d la dstrbucó Gumbl La varabl rducda z, d la dstrbucó Gumbl s dduc d la cuacó (3.50) como: L L ( ) (3.55) susttuydo la cuacó (3.48) la cuacó (3.55), la varabl rducda z uda térmos dl prodo d rtoro como: Tr z L L Tr (3.56) () gura 3.. ucó dstrbucó d Gumbl. Estmacó d parámtros stadístcos por l método d momtos El valor d los parámtros y s stma co las cuacos sguts z 6 S π (3.57) dod: x 6 Γ S π (3.58)

22 64 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca x mda d mustra, calculada co la cuacó (3.34) S dsvacó stádar d la mustra, calculada co las cuacos (3.36) y (3.37) Γ costat d Eulr Γ Estmacó d parámtros stadístcos por l método d máxma vrosmltud El logartmo atural d la fucó d vrosmltud para la dstrbucó Gumbl s (Brzowsky t al., 98). (3.59) drvado la cuacó (3.59) parcalmt co rspcto a los parámtros y gualado acro s t: (3.60) (3.6) S obsrva u las cuacos (3.60) y (3.6) forma u sstma d cuacos, la cuacó (3.60) pud sr scrta como: (3.6) susttuydo la cuacó (3.6) la cuacó (3.6) rsulta: (3.63) La cuacó (3.63) s o lal, d modo u para darl solucó s pud rsolvr umércamt por mdo dl método d Nwto-Raphso, la fórmula d rcurrca uda como: (3.64) Dod la fucó y su corrspodt drvada s mustra a cotuacó: (3.65) ( ) ( ) ( ) ( ) L L L ( ) ( ) ( ) 0 L L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + L L 0 + ( ) ( ) ( ) d + ( ) +

23 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 65 (3.66) Ua vz cotrado l valor óptmo d, s susttuy la cuacó (3.6) para obtr como: (3.67) Los parámtros stadístcos cals y u rur l método d Nwto- Raphso, s calcula por mdo d la técca d momtos (Ecs y 3.58). Estmacó d vtos d dsño ajustados co la fucó Gumbl Ua vz obtdos los parámtros óptmos y, y ralzado l cambo d varabl calculado d la cuacó (3.50), s dspja calculado d la sgut mara: S s aplca logartmos aturals dos vcs ambos mmbros d la cuacó (3.50), dsarrollado y aplcado propdads d los logartmos s t: (3.68) d dod los vtos d dsño s calcula como: (3.69) Susttuydo la cuacó (3.48) (probabldad d o xcdca) la cuacó (3.69): (3.70) ucó d dstrbucó Gumbl dos poblacos (Gumbl mxta) Itroduccó Cuado la Rpúblca Mxcaa s v afctada por cclos, y cojutamt por vtos hdromtorológcos, podmos obsrvar mdat la dstrbucó d Gumbl u s prsta dos poblacos totalmt dfrts; por u lado prcptacos ocasoadas ( ) d ( ) L L ) ( calculado calculado L L ) ( calculado calculado L L r r calculado T T L L

24 66 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca por fómos mtorológcos, y sguda staca por avdas xtrmas ocasoadas por prcptacos cclócas. ara l aálss d sta dstrbucó s supo u los fómos s orga por procsos dfrts, dado como rsultado ua dstrbucó co dos poblacos. La prmra co ua poblacó o cclóca y la otra corrspod a ua cclóca (g. 3.). Dduccó d la fucó d dstrbucó d probabldad Gumbl dos poblacos Sgú Gozálz (970) dbdo a la prsca d dos poblacos, la fucó Gumbl parc sr adcuada para dtrmar su frcuca, s mbargo s pud supor u para cada poblacó s pud studar por sparado aalzado la dstrbucó Gumbl. D tal mara u para los años dod o s prsta cclos, los gastos máxmos sgu ua dstrbucó d tpo Gumbl co parámtros y d la sgut mara: d la cuacó (3.50) s susttuy los parámtros y ( ) (3.7) Cuado los gastos máxmos so provocados por cclos, tocs s susttuy los parámtros y la cuacó (3.50) como: ( ) (3.7) La prguta u s plata ahora s la sgut: Cómo s pud sabr o prdcr la prsca d u años so cclócos y cuáls o lo so? Lo atror s logra a partr d los rgstros mtorológcos dspobls co u s cuta o u caso xtrmo prgutado co gt atva dl lugar. Otra forma d sabrlo s a partr d la sgut prguta: Cuál s la probabldad d u cualur año s prst u gasto máxmo u sa mor o gual u otro gasto? ara darl solucó a sta prguta s utlza la toría d la probabldad lmtal; al cosdrars u: Las varabls u s maja hdrología so d tpo cotuo, y s df por mdo d ua fucó d dstrbucó d probabldad acumulada o fucó d dstrbucó. ara coocr la probabldad dl vto ( ), s aplca la probabldad total

25 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 67 Sa ( ), u vto u spaco mustral S y sa A y A, vtos colctvamt xcluyts cuya uó s l spaco S. Etocs: (3.73) dod: A año o cclóco A año cclóco Al tomar cuta la probabldad para años o cclócos (3.74) y la probabldad d años cclócos (gastos máxmo) s (3.75) susttuydo las cuacos (3.74) y (3.75) la cuacó (3.73) (3.76) s por otro lado s hac (3.77) (3.78) susttuydo la cuacos (3.77) y (3.78) la cuacó (3.76), admás d aplcar l Torma. d probabldad (Ec. 3.5) rsulta: (3.79) falmt, la fucó d dstrbucó d probabldad Gumbl dos poblacos para gastos máxmos auals stá dada por: (3.80) y la fucó dsdad d probabldad s: (3.8) para: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A + ( ) ( ) A ( ) ( ) ( ) A máx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A + ( ) A p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] p p + ( ) ( ) + p p ( ) ( ) + + p p f ( ) < < > > p

26 68 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca dod: p gasto máxmo aual, (m 3 /s) parámtro d scala d la poblacó o cclóca, (m 3 /s) parámtro d ubcacó d la poblacó o cclóca, (m 3 /s) parámtro d scala d la poblacó cclóca, (m 3 /s) parámtro d ubcacó d la poblacó cclóca, (m 3 /s) probabldad d u s prst vtos o cclócos Gasto máxmo Evtos Cclócos Evtos No cclócos Tr gura 3.. Dstrbucó d probabldad Gumbl dos poblacos. Estmacó d parámtros stadístcos por mdo dl algortmo d optmzacó o lal d Rosbrock Ua prmra aproxmacó d los cco parámtros stadístcos,,, y, s obt aplcado la técca d momtos (Ecs y 3.58) para cada poblacó por sparado, s dcr: 6 6 S x S π Γ π 6 6 S x S π Γ π (3.8) ara stmar los stadístcos mustrals x y S d la fucó G, prmro s db dfr l úmro d Gastos Máxmos Cclócos c, coocdo st valor, s stablc l rago d valors u tdrá la poblacó cclóca () y o cclóca (). Sgú Campos (006) ua cuacó para stmar la probabldad p u s prsta vtos o cclócos, s la sgut: c p (3.83)

27 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca 69 dod: tamaño d la mustra d gastos máxmos auals c úmro d gastos máxmos auals producdos por cclos Gozálz (970), propuso para optmzar los cco parámtros stadístcos, mmzar la E,,,, d la sgut mara:, fucó d rrors cuadrátcos psados ( ) La dstrbucó d probabldad mpírca d gastos máxmos auals s stma mdat la ly d Wbull (para mustras ordadas d mor a mayor) dod: ( mp ) dstrbucó d probabldad mpírca d Wbull para vtos máxmos k ( ) k + úmro d ord dl gasto máxmo aual tamaño d la mustra d gastos máxmos auals mpírco (3.84) D tal forma u la fucó d rrors cuadrátcos psados s compo por la suma u rsulta d la dfrca d los vtos calculados co la dstrbucó G (Ec. 3.80) y los vtos mpírcos calculados co la ly d Wbull (Ec. 3.84) dod: (,, ) E,, w E (,,,, ) [ ( ) ( )] mpírco w fucó d rrors cuadrátcos psados pso asgado al rror comtdo l vto (3.85) La fucó d rrors cuadrátcos psados s ua fucó o lal, umodal y dpdt d múltpls varabls, por lo tato para mmzar la fucó s tdrá u aplcar u método d optmzacó o lal. El algortmo u s aplcará para mmzar la fucó s l d Rosbrock para varabls o rstrgdas. E l Apédc A s mustra l códgo fut programado lguaj ORTRAN 003, cludas sus actualzacos u ha sufrdo l prst algortmo. E s msmo apartado s spcfca dfrts bblografías sobr las modfcacos d tal método. El algortmo d Rosbrock rur codcos cals, alguas d llas so por jmplo los parámtros stadístcos, dtrmados mdat la técca d momtos como s mustra las cuacos (3.8) y (3.83). Estmacó d vtos d dsño ajustados co la ucó Gumbl dos poblacos (G) S ya s dspo d los parámtros stadístcos óptmos d la fucó, l sgut paso srá stmar los gastos máxmos d dsño para dfrts prodos d rtoro, l procdmto s l sgut:

28 70 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca dod: p úmro d parámtros d la dstrbucó ajustada A la fucó d dstrbucó d probabldad G (Ec. 3.80) s l asga ua probabldad d o xcdca para cada vto, mjor dcho, gualamos las cuacos (3.48) co (3.80) (3.86) ralzado l cambo d varabl calculado rsulta: (3.87) d dod: (3.88) La xprsó atror s ua cuacó trascdt y la varabl calculado o s pud obtr d forma xplícta, d modo u s rsulv umércamt. U método umérco para dtrmar cada vto calculado s l d Nwto-Raphso. la drvada d la fucó s: (3.89) almt para coocr dfrts vtos d dsño calculado por mdo d la fucó G, s rsulv la cuacó (3.88) para cada vto, para u dtrmado prodo d rtoro Tr. El códgo fut para stmar los calculado s mustra l Apédc B y fu programado lguaj ORTRAN Estmacó dl Error Estádar d Ajust EEA Co l propósto d comparar la fcca dl ajust ralzado a la mustra co otros modlos matmátcos, s calcula l rror stádar d ajust como: (Kt, G., 988) (3.90) ( ) ( ) + p p Tr ( ) + r calculado T p p calculado calculado ) ( ( ) 0 + r T p p calculado calculado ( ) ( ) + + calculado calculado calculado calculado calculado calculado calculado p p d d ( ) p EEA calculados mddos

29 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca Aálss gráfco d las dstrbucos d probabldad Gumbl y Gumbl dos poblacos. ara dbujar las curvas d las fucos Gumbl y G d mara adcuada s csaro cotar co papl d tpo Gumbl. El objtvo d ralzar las curvas s vrfcar d mara vsual l ajust d valors mddos mddo co los calculados calculado. La gráfca s dbuja dsarrollado l sgut procdmto: E l j d las abscsas los valors s calcula mdat la xprsó d la varabl rducda z (Ec. 3.56), l j d las ordadas s stúa los valors d y calculado (g. 3.3). mddo Co la varabl rducda l j d las abscsas, la curva td a grar dos rctas, ua para cada poblacó, dbdo a u s stá utlzado u papl dsñado para grar lías rctas las dstrbucos. Esto s hac co l f d hacr xtrapolacos lals y así vtar xtrapolacos o lals (Lsly t al., 975). Gastos máxmos (m 3 /s) Gastos máxmos mddos Gastos máxmos calculados z - L ( L ( Tr / (Tr - ))) gura 3.3. Ajust co la dstrbucó d probabldad G. Otra forma d dbujar la gráfca d la dstrbucó G s la abscsa x la probabldad d o xcdca, la abscsa x l prodo d rtoro y las ordadas los gastos máxmos obsrvados y los calculados (g. 3.4). rodo d rtoro Tr Gastos máxmos (m 3 /s) robabldad ( ) gura 3.4. Ajust co la dstrbucó d probabldad G.

30 7 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca Rfrcas 3. Alvarado, C.A.J. Cálculo d Avdas d Dsño para vrtdors d prsas d almacamto. Tss d Mastría, DEI.UNAM Aparco, M..J. udamtos d Hdrología d suprfc. Lmusa, Méxco, Bjamí, J.R., Coroll, C.A. robablty, statstcs ad dcso for cvl grs. McGraw-Hll. Nw York, Brzowsky V.M,. uts M.O. Métodos Numércos, Capítulo A..6. Ajust d los parámtros d las fucos d dstrbucó d probabldad. Maual d Dsño d Obras Cvls. CE. Méxco, Borras, H. Aputs d robabldad y Estadístca. acultad d Igría, UNAM Campos, A.D.. Aálss probablístco uvarado d datos hdrológcos. Asocacó mxcaa d hdráulca: Isttuto mxcao d tcología d agua. Méxco, Campos, A.D.. Estmacó d los parámtros óptmos d la dstrbucó Gumbl mxta por mdo dl algortmo d Rosbrock. Rvsta Igría hdráulca Méxco, Vol. IV No, Ero-abrl, 989. pp Chow, V.T. Appld Hydrology. McGraw-Hll, USA, Domíguz M. R., Argas, J. M. L., Cálculo d rgstros stétcos d grsos por cuca propa d u sstma d prsas d la rgó orost d Méxco caractrzada por vtos vrals. ara la Rvsta Igría, Ivstgacó y Tcología. Vol. No. 4, Octubr-dcmbr, 009. pp Domíguz M.R,. uts M.O., raco, V. Avda d dsño, Capítulo A..0 dl Maual d Dsño d Obras Cvls. CE. Méxco, Domíguz, M.R,. Carlóz, G.T. Aálss Estadístco, Capítulo A..6 dl Maual d Dsño d Obras Cvls. CE. Méxco, 98.

31 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca Escalat, S.C., Rys, C.L Téccas stadístcas Hdrología. acultad d Igría, UNAM Gozálz, V.. Cotrbucó al aálss d frcucas d valors xtrmos d los gastos máxmos u río. ub 77. Isttuto d Igría, UNAM, Méxco, Gumbl, E.J. Statstcs of xtrms. Columba Uv. rss, Hs, W.W., Motgomry, C.D. robabldad y stadístca para gría. CECSA, Kt, G. rucy ad rsk aalyss Hydrology. Watr Rsourcs ublcatos, ort Colls, Colorado, USA, Luth, R., Olvra, A., Schutz,. Métodos Numércos. Lmusa. Méxco, Lysly, R.K., Kohlr, M.A., aulhus, J.L.H. Hydrology for grs. McGraw- Hll, Mosalv, S.G. Hdrología la Igría. Alfaomga, Méxco, Ocguda, H.V.M. Avdas d Dsño. Tss d Lccatura acultad d Igría, UNAM Olvra, S.A. Sr d robabldad y Estadístca. 7 volúms, Lmusa, Méxco, Rayal, V., Guvara J. Maxmum lklhood stmators for th two populatos Gumbl dstrbutos. Hydrologcal Scc ad Tchology Joural, 3(-4): Ruíz, U.M.R. rograma d automatzacó d los métodos stadístcos hdrología. acultad d Igría, UNAM V. Baldrrama. Métodos Numércos. Trllas, Méxco, Yvjvch, V. robablty ad Statstcs Hydrology. Watr Rsourcs ublcatos, ort Colls, Colorado, USA, 97.

32 74 Capítulo 3. Elmtos d robabldad y Estadístca