Funciones. Límites y continuidad.

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1 Funciones. Límites y continuidad. Funciones, límites y continuidad. Problemas resueltos. Tema : Funciones. Límites y continuidad 1

2 1. Sea. Hallar,, Comencemos por un pequeño gráfico de soporte XB x = 2 Observamos "alrededor" de x = 2 dos expresiones distintas de la función, obtengamos para x = 2 los límites laterales de la función. Apuntes [ Al ser los límites laterales distintos, no existe el límite ] x = 0 Funciones "Alrededor" de x = 0 tenemos una única expresión de la función. x = 4 Como en el caso anterior. [ Fundamentos para decidir cuando es necesario hallar límites laterales y cuando no ] 2. Demostrar que Según la definición de límite: Tema : Funciones. Límites y continuidad 2

3 Pero : En efecto : Por lo tanto bastará tomar Podríamos visualizar gráficamente el resultado : Por ejemplo, para = 0'1 Y el * asociado será cualquier * < 3. Demostrar que Según la definición de límite: Operemos sobre la expresión * x 2-4 * < ] * (x + 2) A (x - 2 ) * < ] * x + 2 *A * x - 2 * < cuya dificultad radica precisamente en acotar * x + 2 *. Tema : Funciones. Límites y continuidad 3

4 Puesto que nos movemos en valores de 'x' próximos a "2", vamos a exigir que * x - 2 * < 1 [Cualquier otro número positivo diferente de 1 también serviría] * x - 2 * < 1 => *x* - *2* < * x - 2 * < 1 Y *x* - 2 < 1 Y *x* < 3, de donde * x + 2 * *x* + 2 < = 5 [ Sustituyendo en la demostración ] Y 5 A * x - 2 * < ] * x - 2 * <, de forma que, tomando si * x - 2 * < * Y * x 2-4 * < Y 4. Resolver los siguientes límites. ( Sin utilizar el teorema de L'Hôpital ) a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. a) Indeterminación. Factoricemos numerador y denominador x 3-2x + 1 = ( x - 1 ) A ( x 2 + x - 1 ) No es necesario seguir con más factores, en principio. Tema : Funciones. Límites y continuidad 4

5 x 3-1 = ( x - 1 ) A ( x 2 + x + 1 ) [ Observa que el hecho de obtener cuando x = 1 nos garantiza el factor x - 1 tanto en el numerador como en el denominador.si x 6 1 Y x 1 lo cual nos permite simplificar los factores (x-1) en numerador y denominador ] b) Indeterminación. Operemos como en el problema anterior [Soluciones de la ecuación de segundo grado] x 2 + x - 2 = 0 Y c) Indeterminación. Tema : Funciones. Límites y continuidad 5

6 Ya que x6 0 parece más razonable sacar factor común en numerador y denominador : d) Y Indeterminado. Factoricemos : x 3-5x 2 + 8x - 4 = ( x - 2 ) 2 A (x - 1) x 2-4x + 4 = ( x - 2 )A( x - 2 ) = ( x - 2 ) 2 [ Bueno, también se veía enseguida ] Y e) Indeterminado. Ya que el cero del numerador lo obtenemos como diferencia de raíces cuadradas, multipliquemos y dividamos por la expresión conjugada. Tema : Funciones. Límites y continuidad 6

7 f) Indeterminado. Operemos como en el problema anterior introduciendo una variante : Como ( A - B ) A ( A + B ) = A 2 - B 2 Y Tomando y B = 4 en el límite obtenemos : = [ Sencilla factorización ] = [ Agilizando cálculos, generando recursos, ahí estamos! ] g) Indeterminación. De nuevo vamos a emplear la técnica del problema anterior Tema : Funciones. Límites y continuidad 7

8 [ Seguro que a más de uno le "suena" esta fórmula ] h) Dos formas de resolverlo : 1ª Indeterminación. Utilizando la expresión : A n - B n = ( A - B ) A ( A n-1 + A n-2 A B A A B n-2 + B n-1 ) Para n = 3 Y A 3 - B 3 = ( A - B ) A ( A 2 + A A B + B 2 ) Objetivo : Eliminar radicales si 2º Utilizando el Binomio de Newton. Tema : Funciones. Límites y continuidad 8

9 [ De nuevo generando recursos, éstos ya de cierto nivelín] i) Indeterminación. Vamos a desarrollar el cubo, sin más. [ Resultó sencillo ] j) n 0 N Indeterminación. Tema : Funciones. Límites y continuidad 9

10 Vamos a aprovechar este límite para explicar de nuevo un cambio de variable. Tomemos x - a = t Y x = a + t, si x Y a, entonces t Y 0 Newton ] [ Desarrollando mediante el Binomio de cuenta! ] [ Realmente interesante el cambio de variable cuando la variable no tiende a cero. A tener en 5. Estudiar la existencia de límites laterales, límite y CONTINUIDAD en los puntos x = 0, x = 1 y x = 2, de la función cuya gráfica se da. Tema : Funciones. Límites y continuidad 10

11 Interpretando la GRÁFICA anterior obtenemos : * x = 0 Y Y f(0) = 1 Y f(x) es DISCONTINUA en x = 0 ( Discontinuidad de SALTO FINITO ) * x = 1 f(1) = 1'5 Y f(x) es CONTINUA en x = 1 * x = 2 f(2) = 1 Y f(x) es DISCONTINUA en x = 2 ( Discontinuidad EVITABLE) Tema : Funciones. Límites y continuidad 11

12 6. Estudiar la continuidad de las funciones : 6.1 f(x) = [x] ( parte entera de x ) h(x) = *x 2-4* 6.1 f(x) = [x] ( parte entera de x ) [x] = { mayor entero menor o igual que x } cuya gráfica es : Analicemos diferentes situaciones (escenarios, que dicen los modernos) para la variable: i) Si a 0 ú y a ó Z Y f(x) es CONTINUA en x = a œ a 0 ú a ó Z ii) Si a 0 Z Y Como a a - 1 œ a 0 Z Y Y f(x) es DISCONTINUA œ a 0 Z 6.2 Tema : Funciones. Límites y continuidad 12

13 Definamos la función g : Puesto que las funciones constantes son CONTINUAS, vamos a analizar la función en x = 0. Y Y g(x) es DISCONTINUA en x = 0 y g(x) es CONTINUA en ú - {0} 6.3) h(x) = *x 2-4* Definamos la función h apoyándonos en la definición de valor absoluto de una función. ( El estudio del signo de x 2-4 lo hemos efectuado tal como explicamos en la parte de DOMINIOS ). De todos modos Observa! Y x 2-4 = 0 Y x = ± 2 Su gráfica : Estudiando la CONTINUIDAD : ] -4, -2 [ h(x) = x 2-4 función POLINÓMICA Y CONTINUA Tema : Funciones. Límites y continuidad 13

14 x = -2 h es CONTINUA en x = -2 ] -2, 2 [ h(x) = -x función POLINÓMICA Y CONTINUA x = 2 h es CONTINUA en x = 2 ] 2, +4 [ h(x) = x 2-4 función POLINÓMICA Y CONTINUA. Podemos concluir que h es una función CONTINUA en ú [ Bonito y detallado estudio de continuidad de una función definida mediante intervalos. Aplícalo! ] h(x) es una función CONTINUA en R. 7. Estudiar según valores de a 0 ú la CONTINUIDAD de la función Pequeña representación de la función en la recta real : Parece obvio afirmar que en x = 2 deberemos hallar los límites laterales. Tema : Funciones. Límites y continuidad 14

15 Para que exista Y 3 = 2a + 2 Y 6 f(2) = 11, así pues: Si Y f(x) es CONTINUA en x = 2 Si Y f(x) es DISCONTINUA en x = 2 ( Discontinuidad de SALTO FINITO ) 8. Estudiar según valores de a 0 ú la CONTINUIDAD de la función No es necesario considerar la idea de hallar límites laterales en x = 1, pues a ambos lados de x = 1 tenemos la misma expresión de la función. 6 6 f(1) = a, por lo tanto: si a = 2 y f(x) es CONTINUA en x = 1 si a 2 y f(x) es DISCONTINUA en x = 1 ( Discontinuidad EVITABLE ) 9. A partir de la función, define una función con una estructura similar que sea continua en ú Al ser f(x) un COCIENTE de funciones POLINÓMICAS Y f(x) es una función continua excepto en los valores de x que anulan el denominador, es decir, x - 1 = 0, x = 1. Tema : Funciones. Límites y continuidad 15

16 Estudiemos pues, el comportamiento de la función en x = f(1) = que no existe Al no estar definida la función en x = 1, para que ésta sea CONTINUA bastará con asignar el valor del límite a la función en x = 1 Sea pues :, que será una función CONTINUA en ú 6 NOTA Al tener la indeterminación en Y x = 1 es raíz del numerador y denominador Y dividiendo por el método de Ruffini, obtenemos la factorización deseada. x 3-1 Y x 3-1 = ( x - 1 ) A ( x 2 + x + 1 ) 10. Sea estudiar la continuidad de f(x) en x = 1 según los diferentes valores de k Hallemos Encontramos en este límite una cierta duda a la hora de resolverlo pues la expresión cos 2 4 resulta novedosa. Para resolverlo vamos a utilizar una propiedad de los límites funcionales, según la cual, si : Tema : Funciones. Límites y continuidad 16

17 Y En este caso : œ x 0 ] 1 - *, 1 + * [ - { 1} Y. acotada = 0 6 f(1) = k Y Si k = 0 f(x) es CONTINUA en x = 1 Y Si k 0 f(x) es DISCONTINUA en x = 1 [ Anota el razonamiento de este problema para situaciones del estilo '0 A acotada' exclusivamente ] 11. Dada la función. Definir f(0) y f(1) para que sea continua en ú. Al ser f(x) un cociente de funciones CONTINUAS el único problema lo podemos encontrar en los valores de x que anulan el denominador. Si x 2 - x = 0 Y x ( x - 1 ) = 0. Obviamente, f(0) y f(1) no están definidas. Sea pues : 6 Si definimos f(0) = - B entonces f(x) será continua en x = 0 Tema : Funciones. Límites y continuidad 17

18 Por otra parte : Vamos dar una resolución elegante, mediante una técnica hasta cierto punto frecuente que es el cambio de variable. Sea x-1 = t Y x = 1 + t. Si x 6 1 Y t Si definimos f(1) = - B, entonces f(x) será CONTINUA en x = 1 Por lo tanto, para que la función sea continua en ú la definiremos así : NOTAS : y sin utilizar infinitésimos = En el tema derivadas, daremos una nueva técnica para resolver el límite. (Regla de L'Hôpital) 12. Estudiar la continuidad en x = 1, x = 2, y en R de las siguientes funciones : 12.1 f(x) = x 2 + x + 1 x = 1 Y f(x) es CONTINUA en x = 1 Tema : Funciones. Límites y continuidad 18

19 x = 2 Y f(x) es CONTINUA en x = 2 x = x 0 0 ú Y f(x) es CONTINUA en x = x 0 œ x 0 0 ú Y f(x) es CONTINUA en ú [ En los tres casos también podríamos haber razonado, f(x) es una función POLINÓMICA, por tanto es CONTINUA en x = 1, x = 2 y en ú ] 12.2 f(x) = x = 1 Y f(x) es DISCONTINUA en x = 1 [ Discontinuidad EVITABLE ] x = 2 Y f(x) es CONTINUA en x = 2 ú f(x) es un COCIENTE de funciones polinómicas y, por tanto, CONTINUAS Y f(x) es CONTINUA excepto para los valores que anulan el denominador. Tema : Funciones. Límites y continuidad 19

20 Como x - 1 = 0 Y x = 1 Y f(x) es DISCONTINUA en ú Y f(x) es CONTINUA en ú-{1} 12.3 f(x) = x = 1 Y f(x) es CONTINUA en x = 1 [ Observa las diferencias y similitudes con respecto al problema anterior] x = 2 Y f(x) es CONTINUA en x = 2 ú Dividamos el estudio en dos partes : x 1 es un COCIENTE de funciones polinómicas y, por tanto, CONTINUAS. Como x œ x 1 Y f(x) es CONTINUA œ x 1 x = 1 Se ha estudiado en el primer caso de este problema siendo f(x) CONTINUA en x = 1 Por lo tanto, de ambos resultados, se deduce que f(x) es CONTINUA en ú. Tema : Funciones. Límites y continuidad 20

21 12.4 f(x) = problema : Sobre la recta real vamos a efectuar algunas indicaciones para una mejor comprensión del x = 1 Y f(x) es CONTINUA en x = 1 x = 2 Tema : Funciones. Límites y continuidad 21

22 Y f(x) es DISCONTINUA en x = 2 ú Al ser f(x) una función definida por intervalos el estudio de la continuidad en ú lo efectuaremos en cada uno de ellos y en los puntos que los separan: si x < 1 => f(x) = x + 1 Y f(x) es CONTINUA en ] -4, 1 [ si x = 1 hemos probado anteriormente que f(x) es CONTINUA. si 1 < x < 2 => f(x) = x 2 + 2x - 1 Y f(x) es CONTINUA en ] 1, 2 [ si x = 2 hemos probado anteriormente que f(x) es CONTINUA en x = 2 si x > 2 => f(x) = x + 2, función POLINOMICA, por tanto CONTINUA Y f(x) es CONTINUA en ] 2, 4 [. Por lo tanto f(x) es una función DISCONTINUA en ú y es CONTINUA en ú - {2} [ Indicando diferentes maneras de justificar la continuidad ] 13. Demostrar que la función f(x) = x 3 + x + 1 cumple el teorema de Bolzano en el intervalo [ -1, 0] En efecto: Sea f(x) = x 3 + x + 1 y el intervalo [ -1, 0 ] * f(x) = x 3 + x + 1 es una FUNCIÓN POLINÓMICA y por tanto, CONTINUA en [ -1, 0 ] * Tema : Funciones. Límites y continuidad 22

23 Y f(x) cumple el teorema de Bolzano en [ -1, 0 ] Y c 0 ] -1, 0[ / f(c) = 0, es decir, c 3 + c + 1 = 0 Y c es una raíz real de x 3 + x + 1 = 0, con c 0 ] -1, 0[ 14. Probar que la ecuación x 4 + 4x 3 - x - 1 = 0 tiene al menos una raíz real negativa Utilizaremos el teorema de Bolzano para demostrarlo Sea f(x) = x 4 + 4x 3 - x - 1 y un intervalo que vamos a determinar. Al ser f(x) una función CONTINUA, si logramos un cambio de signo en sus imágenes, el teorema de Bolzano nos garantizará la existencia de al menos una raíz real en el intervalo correspondiente. Observando los términos de f(x) ( Sumandos ) vamos a ir tanteando valores negativos hasta conseguir el cambio de signo deseado. Veamos : f(0) = -1 f(-4) = 3 > 0 Ya tenemos el cambio de SIGNO deseado f(-1) = -3 f(-2) < 0 f(-3) < 0 Sea pues, la función f(x) = x 4 + 4x 3 - x - 1 y el intervalo [ -4, 0 ] ( Podríamos haber tomado [ -4, -1], [ -4, -2],...) * f(x) = x 4 + 4x 3 - x - 1 es una función POLINÓMICA Y CONTINUA en [ -4, 0] * ] Y f(x) cumple el teorema de Bolzano en [ -4, 0 ] Y c 0 ] -4, 0[ / f(c) = 0, es decir, c 4 + 4c 3 - c- 1 =0 Y c es una raíz real negativa de x 4 + 4x 3 - x - 1, pues c 0 ] -4, 0[ [ Comprendida la construcción del problema para plantear y resolver situaciones similares? 15. Dadas las funciones f(x) = 1 - x, g(x) = e x -1. Probar que existe a 0 ú / f(a) = g(a). Queremos probar que a 0 ú / f(a) = g(a), es decir, ] f(a) - g(a) = 0. Construyamos la función auxiliar h(x) = f(x) - g(x) = 1 - x - ( e x -1 ) = 2 - x - e x y ya que vamos a aplicar el teorema de Bolzano, busquemos un intervalo en el que la función h(x) cambie de signo. Veamos : h(0) = 1 > 0 h(1) = 1- e < 0. Pronto lo hemos encontrado! Tema : Funciones. Límites y continuidad 23

24 Sea pues h(x) = 2 - x - e x y el intervalo [0, 1] * h(x) es una SUMA de funciones CONTINUAS Y es una función continua en [0, 1] * Y h(x) cumple el teorema de Bolzano en [0, 1] Y c 0 ]0, 1[ / h(c) = 0 Y 2 - c -e c = 0 ] 1 - c - (e c - 1) = 0 ] 1 - c = e c - 1 ] f(c) = g(c) Basta con llamar a = c para tener el problema resuelto. [ Geométricamente, hemos demostrado que las gráficas de las funciones f(x) = 1 - x y g(x) = e x - 1 se CORTAN al menos en un punto ] 16. Demostrar que a 0 ú tal que sen a = a - 1 Revisando el enunciado, deducimos que se trata de encontrar una raíz real de la ecuación sen x = x -1. Para ello, construyamos la función auxiliar f(x) = sen x - x + 1 y consideremos el intervalo [ 0,B ] f(x) cumple el teorema de Bolzano en [ 0, B ] Y c 0 ] 0, B[ / f(c)= 0, es decir, sen c - c + 1 = 0 y por lo tanto, sen c = c - 1. Basta con llamar a = c para que sen a = a - 1 con a 0 ] 0, B [ y por tanto real, como queríamos demostrar. [ La elección del intervalo no es única. [ 0, B] lo hemos obtenido de manera similar que el intervalo del problema anterior ] 17. Sea f : [ 0, 1] 6 [ 0, 1] una función continua. Demostrar que c 0 [ 0, 1] / f(c) = c. [ También se le conoce como teorema del punto fijo. Nos indica que las gráficas de las funciones y = f(x) e y = x CONTINUAS definidas de [ 0, 1] en [ 0, 1] al menos se cortan una vez, siendo f CONTINUA ] construcción. Para demostrarlo, nos vamos a apoyar en el teorema de Bolzano con una elegante i) Si f(0) = 0 ó f(1) = 1 el teorema estaría demostrado [ 0, ó 1 serían el valor "c" buscado ] Tema : Funciones. Límites y continuidad 24

25 ii) Si f(0) 0 y f(1) 1 Sea la función auxiliar h(x) = f(x) - x definida en el intervalo [ 0, 1], 6 h(x) es CONTINUA en [ 0, 1] al ser una diferencia de funciones CONTINUAS [ f es por hipótesis del enunciado, y = x por ser polinómica ] h(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(0) 0 ] h(1) = f(1) - 1 < 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(1) 1 ] 6 h(0) A h(1) < 0 De donde, h(x) cumple el teorema de Bolzano en [ 0, 1] Y c 0 ] 0, 1 [ / h(c) = 0 Y f(c) - c = 0 Y f(c) = c. de i) e ii) se sigue que c 0 [ 0, 1 ] / f(c) = c c.q.d. Observa : La elección de la función auxiliar h(x), la hacemos pensando que resolver f(c) = c es lo mismo que f(c) - c = 0 ] 18. Sea f : [ 0, 1] 6 [ 0, 1] una función continua. Demostrar que c 0 [ 0, 1] / f(c) = 1 - c. [ Variante del problema anterior. Nos indica que las gráficas de las funciones y = f(x) e y = 1 - x definidas de [ 0, 1] en [ 0, 1] al menos se cortan una vez ] Para demostrarlo, operaremos como en el caso anterior. i) Si f(0) = 1 ó f(1) = 0 el teorema estaría demostrado [ 0, ó 1 serían el valor "c" buscado ] ii) Si f(0) 1 y f(1) 0 Sea la función auxiliar h(x) = f(x) - ( 1 - x ), definida en el intervalo [ 0, 1], 6 h(x) es CONTINUA en [ 0, 1] al ser una diferencia de funciones CONTINUAS [ f es por hipótesis del enunciado, y = 1 - x por ser plinómica ] h(0) = f(0) - ( 1-0 ) = f(0) - 1 < 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(0) 1 ] h(1) = f(1) - ( 1-1 ) = f(1) > 0 [ pues f: [ 0, 1] 6 [ 0, 1] y f(1) 0 ] 6 h(0) A h(1) < 0 De donde, h(x) cumple el teorema de Bolzano en [ 0, 1] Y c 0 ] 0, 1 [ / h(c) = 0 Y f(c) - ( 1- c ) = 0 Y f(c) = 1 - c. de i) e ii) se sigue que c 0 [ 0, 1 ] / f(c) = 1 - c c.q.d. Tema : Funciones. Límites y continuidad 25