1.5. Integral de línea de un campo Vectorial.

Transcripción

1 .5. Integral de línea de un campo Vectorial. Sea F ( xyz,, un campo vectorial continuo sobre R donde F representa un campo de fuerzas aplicado sobre una partícula cuya trayectoria puede ser descrita por el recorrido de la curva. f(t P i a ti * t i t i * P i t b Pi Figura 4. Integral de línea de un campo vectorial. Si se divide la curva en n subarcos de longitudes s, s, s,..., sn, con s P P, entonces el trabajo realizado por la fuerza para desplazar una partícula i i i desde el punto Pi hasta el punto P i se puede aproximar tomando en cuenta las * * * * siguiente consideraciones, al tomar un punto i ( i, i, i P x y z y sabiendo que si es lo suficientemente pequeño, entonces a medida que la partícula se mueve de Pi hacia a lo largo de la curva, este desplazamiento tiene aproximadamente la misma dirección * * * que ( i, i, i T x y z, el cual representa el vector tangente unitario en el punto (,, P x y z. De tal manera que el trabajo que ejerce este campo de fuerza sobre la * * * * i i i i partícula para moverla de Pi hacia P i sería el producto del desplazamiento P i si, por la fuerza ejercida en el punto en la dirección del desplazamiento, que vendría dado por el vector tangente unitario, esto es * * * * * * (,, (,, F x y z T x y z s i i i i i i i

2 por tanto el trabajo total que ejerce el campo de fuerza para desplazar la partícula desde su punto inicial hasta el punto final vendría dado, en forma aproximada, por la expresión n i ( *, *, * ( *, *, * F x y z T x y z s i i i i i i i Para tener una aproximación más cercana al valor verdadero del trabajo total realizado se puede incrementar el número de subarcos n en el que se ha dividido la curva. Al estudiar el límite de estas aproximaciones se obtiene el valor exacto del trabajo total realizado es: n i n ( * * * ( * * * i, i, i i, i, i i (,, (,, W Lim F x y z T x y z s F x y z T x y z ds onsiderando que la curva tiene como parametrización a la función vectorial R R ( ( ( ( (, el vector tangente unitario ( g: / g t x t, y t, z t ( T t ( t ( t g' g', de manera que la ecuación anterior se podría reescribir como ( t ( t T t viene dado por b g' b W F( x( t, y( t, z( t g' ( t dt F( x( t, y( t, z( t g' ( t dt a g' a Ahora bien esta interpretación ha sido desarrollada para el caso en que el campo vectorial es un campo de fuerza, sin embargo podemos basarnos en este desarrollo para definir al integral de línea de un campo vectorial de la manera que se presenta a continuación Definición. Sea F un campo vectorial definido por ( ( ( ( ( F: D / F X F X, F X, F X R R, y sea una curva, definida en D, dada paramétricamente por la función vectorial g: R R / g( t ( x( t, y( t, z( t con t [ a, b], entonces la integral de línea del campo vectorial F sobre es igual a a b ( ( '( F dr F Tdl F g t g t dt

3 Una manera simplificada para indicar esta integral es denotarla por gravitacional es el ejemplo más conocido como un campo de fuerza. F dr. El campo Sea el campo vectorial definido por F( xyz,, ( F( xyz,,, F( xyz,,, F( xyz,, la integral de línea de un campo vectorial escrita de manera simplificada como también se puede representar en forma cartesiana de la siguiente manera: EJEMPLO. Evaluar dx dy dz F dr F F F dt (,,,, dt dt dt Fdx+ Fdy+ Fdz definida por h:, [ ] / h( t ( t, t, t F dr F dr, donde F( x, y, z ( y, x, y, y la trayectoria está R. Solución. Al escribir la integral de línea en la forma cartesiana que definida como de la, como ya se conoce una parametrización siguiente manera F dr ydx + xdy + ydz de la curva, dada por la función vectorial h:, [ ] / h( t ( t, t, t R, que la sustituirla en la integral de línea queda la integral definida en términos del parámetro t como se muestra a continuación (,, I F x y z dr ydx + xdy + ydz ( ( ( t + t + t t t t t t dt 4 t 4t t dt

4 Figura 5. Trayectoria descrita de la curva del Ejemplo. EJERIIOS PROPUESTOS.5. Evalúe la integral de línea donde F( xyz,, ( yx,,5 [ ] ( ( h:,4 π R / h t cos, t sent, t. Evalúe la integral de línea donde F ( xy, ( Ln( y, Lnx ( [ ] ( ( g:,4 R / g t, t t. Sea F ( xyz,, ( xyz,, trayectorias: a p :, [ ] R / p( t ( t,, t t y es la hélice, y es la curva dada por. Evaluar la integral de F a lo largo de las siguientes b g:, [ π ] R / g( t ( cos, t sent, c j:, [ π ] R / j( t ( s ent,,cost d h: [, ] R / h( t ( t, t,t 4 Evaluar cada una de las siguientes integrales de línea a xdy ydx, donde está dada paramétricamente por ( ( f : R R / f t cos t, sent, t π b xdx ydy, donde está dada paramétricamente por ( ( π π g g t t sen t t c : R R / cos,,, x dx xydy + dz, donde es la parábola z y, y, de (,, a (,,.

5 5 Evaluar la integral de campo vectorial F( x, y ( x, y [ π ] R ( ( h:, / h t cos t, sen t 6 Evalúe la integral de línea donde F( x, y ( y, sen( y recorrido en sentido horario desde el punto (,. 7 Evalúe la integral de línea donde (, ( x y F x y e, e x + 4y 4 recorrida en sentido horario desde el punto ( a lo largo de la curva y es un circulo unitario y es la parte de la elipse, hasta el punto (,..5.. Propiedades de la integral de línea de un campo vectorial. a Linealidad. Sean las funciones vectoriales F y G definidas por n n F : R R / F( X ( F( x, x,, xn, F( x, x,, xn,, Fn( x, x,, xn y ( ( ( n ( n n( n n n G: R R / G X G x, x,, x, G x, x,, x,, G x, x,, x dos campos vectoriales integrables sobre la curva, definida paramétricamente por ( ( ( ( n ( h: R R n / h t h t, h t,, h t, y sean k y k dos números reales cualesquiera, entonces se cumple que ( k F + k G dr k F dr + k G dr b Integral de línea sobre curvas parcialmente suaves. Sea una curva parcialmente suave, es decir, una curva definida como la unión de dos o más curvas suaves,, entonces n F dr F dr+ F dr+ + F dr n Aunque no es una propiedad es importante señalar que pasa cuando se realiza un cambio en el sentido del recorrido de la curva. Sea la curva definida ( n n paramétricamente por h: / h( t h ( t, h ( t,, h ( t R R, se denota por a la misma curva pero recorrida en sentido contrario al de, entonces F dr F dr uando la curva es una curva cerrada, y ésta se recorre de tal manera que si una persona camina sobre la trayectoria definida por, la región encerrada por ésta queda a la izquierda de la persona, se dice que el sentido de recorrido es positivo, la integral de

6 línea del campo vectorial F sobre la curva se denota por F dr, donde aquí se observa cual es el sentido de recorrido de la curva. También se puede utilizar la regla de la mano derecha para identificar el sentido de recorrido positivo de la curva. Para ello, con la mano derecha, colocamos los dedos en la dirección del recorrido de la curva, y si el pulgar apunta hacia arriba, esa es la orientación positiva de la curva. EJEMPLO. Sea F( x, y, z ( y xy, x +, determine la integral de F a lo largo del perímetro del cuadrado unidad con vértices en los puntos (,, (, ( (,, recorrida en sentido positivo., y Solución. En este caso se tiene una trayectoria cerrada, por lo que al aplicar las propiedades de la integral de línea se obtiene la siguiente expresión F dr F dr+ F dr+ F dr+ F dr 4 En donde las curvas,, y 4, son las rectas que se observan en la Figura 6, 4 Figura 6. urva del Ejemplo. Una parametrización para cada una de las curvas, vendrían dadas para por [ ] ( ( g :, R / g t, t, para [ ] ( ( g :, R / g t, t y para 4 la integral de línea de la curva vendría dada por por g :, [ ] / g ( t ( t, R, para por por g [ ] g ( t ( t :, /, 4 R, de donde

7 F dr F dr + F dr + F dr + F dr 4 4 x dy ( ( y xy dx x dy y xy dx 4 (( ( ( F dx + F dy + F dx + F dy + F dx + F dy + F dx + F dy ( ( ( ( (( (( dt + + t dt + dt + + t dt EJERIIOS PROPUESTOS.5.. Evalúe cada una de las siguientes integrales de línea yzdx + xzdy + xydz, donde está formada por los segmentos rectilíneos que unen al punto (,, con (,, y a éste con (,,. x Sea F( x, y, z ( xe,x y. Determine la integral de F a lo largo del perímetro del rectángulo con vértices en los puntos (,, (, (, y (,, recorrido en sentido positivo..5.. Significado físico de la integral de línea de un campo vectorial F. Otra interpretación física de la integral de línea es cuando la función vectorial V es campo de velocidades de un fluido, el significado que tiene la integral de línea V T dr es la cantidad de fluido circula a lo largo de la curva por unidad de tiempo, en la dirección del vector tangente unitario T, si la curva es una curva cerrada, la integral de F sobre esta curva se escribe V T dr y se le denomina como la integral de circulación de V alrededor d la curva. Si la función V representa un campo de velocidades de un fluido, la integral de línea V Ndr se interpreta como el flujo que atraviesa a la región acotada por la curva por unidad de tiempo, en la dirección del vector unitario N, y a se le denomina como integral de flujo de V a través de. En el caso que un campo vectorial continuo B represente un campo magnético, la integral de línea B Ndr representa la cantidad de corriente que atraviesa la región R acotada por la curva, mientras que si la función vectorial E es un campo eléctrico

8 continuo sobre alguna región R, entonces la integral de línea de B Ndr, se interpreta como el flujo del campo eléctrico a través de la región R. EJEMPLO. Sobre una partícula en el plano se aplica un campo de fuerza dado por y (, (, F x y y + y xy e, la trayectoria de dicha partícula se describe por el arco en el primer cuadrante de la circunferencia x + y, y luego por la recta x + y, siguiendo el sentido de las agujas del reloj. Determine el trabajo que ejerce el campo de fuerzas sobre la partícula a través de la trayectoria descrita. Figura 7. Trayectoria recorrida por la partícula del Ejemplo. Solución. La parametrización de la curva que describe la trayectoria de la partícula viene dado por [ ] ( (, donde :, / g( θ ( cos θ, senθ π R :, R / g t t, t, la integral de línea para determinar el trabajo ejercido sobre dicha partícula viene planteada por y

9 (, W F x y dr (, (, F x y dr+ F x y dr (, (, (, (, F x y dx+ F x y dy+ F x y dx+ F x y dy π d d F( x( θ, y( θ ( x( θ d( θ + F( x( θ, y( θ ( y( θ d( θ dθ dθ d d + F( x( t, y( t ( x( t d( t + F( x( t, y( t ( y( t d( t dt dt π sen( θ ( sen ( θ sen( θ ( sen( θ ( cos( θ sen( θ e ( cos( θ + + d ( θ + ( ( t + ( t ( + ( t( t ( d( t π sen( θ sen ( sen ( cos ( sen( e cos d ( t ( t t t d( t ( ( θ θ + θ θ θ θ π sen cos( θ cos ( θ cos ( θ e + t + t [ e] + + e ( θ ( t ( t EJEMPLO. La fuerza en un punto ( x, yz, esta dada por F ( xyz,, ( yzx,,. alcule el trabajo realizado por F( x, y, z sobre una partícula que describe la trayectoria dada por la curva :, [ ] R / f ( t ( t, t, t

10 Figura 8. Trayectoria recorrida por la partícula del Ejemplo. Solución. El trabajo realizado por la fuerza F viene dado por la integral de línea F dr, como ya se conoce la parametrización de la curva, que describe la trayectoria de la partícula, se obtiene (,, W F x y z dr (,, (,, (,, ( ( ( t + t + t EJERIIOS PROPUESTOS.5.. F xyzdx+ F xyzdy+ F xyzdz ydx + zdy + xdz La fuerza en un punto (, t t t t t dt 4 t t t dt trabajo realizado por F( x, y, z sobre la curva punto (,8. x y esta dada por F( x, y ( x y, xy y +. Determine el x desde el punto (, hasta el

11 La fuerza en un punto (,, x yz esta dada por F( x, y, z ( e x, e y, e z. alcule el trabajo realizado por F( x, y, z sobre una partícula que describe la trayectoria dada por la curva :, [ ] R / f ( t ( t, t, t Si el trabajo realizado por el campo de fuerzas F( x, y, z ( xy, 5 z, x para mover una partícula a lo largo de la curva, dada paramétricamente por :, [ t ] R / f ( t ( t +, t, t es 54 t. unidades de trabajo, determine el valor de.5.4. Velocidad tangencial promedio de un fluido. Si una función V ( x, y, z representa un campo de velocidades de un fluido en R la integral de línea V dr, donde es una curva suave o parcialmente suave, cerrada y recorrida en forma positiva, se puede interpretar como la cantidad neta de giro del fluido en el sentido de recorrido de la curva. Se puede aquí observar lo siguiente: si V dr > entonces las partículas del fluido se desplazan en el sentido de recorrido de la curva; si por el contrario V dr <, entonces las partículas del fluido se desplazan en el sentido contrario al del recorrido de la curva y si el campo vectorial V es perpendicular a la curva, entonces V dr, en este caso el fluido se dice que es irrotacional. Ahora bien, también es posible determinar la velocidad tangencial promedio de un fluido sobre la curva cerrada, o circulación promedio del campo V sobre la curva mediante la siguiente integral V V Tdr S En donde S representa la superficie de la región que está acotada por la curva cerrada.

12 EJEMPLO 4. Si la velocidad de un fluido está descrita por V ( x, y ( yx, y. Determine la circulación de F a lo largo de la curva, sabiendo que la curva es la circunferencia con centro en el origen coordenadas y con radio. Solución. La circulación de V a lo largo de la curva, viene dado por la integral de línea V Tdr, la curva se puede parametrizar como ( ( [ ] g: / g t cos t, sent, t,π R R, como ya se conoce la parametrización de la curva, que describe la trayectoria de la partícula, se calcula la integral de línea de la siguiente manera: π π (, W V x y dr (, (, V x y dx+ V x y dy yxdx + ydy ( ( cos ( s ( ( cos sent t ent + sent t dt 8sen t cost + 4sent cost dt 8 sen t + sen t El campo F no realiza trabajo sobre la partícula. π EJEMPLO 5. Si la velocidad de un fluido está descrita por (,, (,, V x y z x xy+ x z. Determine la circulación de V a lo largo de la curva, sabiendo que la curva es la circunferencia unitaria con centro en el origen de coordenadas, en el plano z. Solución. La curva puede ser parametrizada por la expresión vectorial ( ( [ ] g: / g t cos t, sent,, t,π R R, la integral de línea para calcular la circulación del fluido se define de la siguiente manera:

13 (,, W V x y z dr (,, (,, (,, V xyzdx+ V xyzdy+ V xyzdz ( xdx xy x dy zdz ( cos ( s ( cos cos ( cos ( ( π t ent + sent t + t t + dt π ( ( cos ( cos t sen t + t dt cos t+ t+ sen( t 4 π El fluido circula en el sentido contrario al de las agujas del reloj. π EJERIIOS PROPUESTOS.5.4. Si la velocidad de un fluido está descrita por F( x, y, z ( x, xy x, z +. Determine la circulación de F a lo largo de la curva, sabiendo que la curva es la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio, en el plano z. Si la velocidad de un fluido está descrita por F( x, y, z ( x, xy x, z +. Determine la circulación de F a lo largo de la curva, sabiendo que la curva es la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio, en el plano z.