1.1 INTERVALOS DEL 95% DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL VARIANZA CONOCIDA

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1 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL upogamos que X1,...,X es ua muestra aleatoria de ua població ormal co media µ y variaza. abemos que la media muestral, X = X i /, es u estimador isesgado y cosistete de µ. i embargo, o esperamos que la media muestral coicida co µ, e cambio esperamos que esté cerca de µ. Muchas veces, más que u estimador putual, es más útil especificar u itervalo sobre el que tegamos el grado de cofiaza de que µ se ecuetre detro de él. Para obteer dicho itervalo os basamos e la distribució del estimador putual. 1.1 INTERVALO DEL 95% DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL VARIANZA CONOCIDA Cuado X1,...,X es ua muestra aleatoria de ua població ormal co media µ y variaza el estimador putual de µ, X, tiee distribució ormal co media µ y variaza / y resulta que ( X µ) tiee distribució N (0, 1) (Normal Estádar). Por lo tato ó equivaletemete ( X µ ) P 1.96 < < 1.96 = 0.95 P X 1.96 < µ < X = 0.95 Esto es que el 95% de las veces, que se calcule la media muestral a partir de ua muestra aleatoria de tamaño de ua població N(µ, ), µ se ecotrará como máximo a 1.96 uidades de la media muestral. i ahora observamos que X vale x, cofiamos co ua cofiaza del 95%, que µ se ecuetre e el itervalo x 1.96, x (1) El itervalo aterior es u itervalo de 95% de cofiaza para µ. Ejemplo. upogamos que, cuado se determia el coteido (µ) de ua sustacia e u compuesto, el valor observado ( X ) está ormalmete distribuido

2 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 107 co media µ y variaza 4. Esto sigifica que cuado el coteido verdadero es µ el valor observado X es µ + ε ( X = µ + ε, modelo de Gauss si sesgo). La variable aleatoria ε represeta el error de medició y tiee distribució Normal co media 0 y variaza 4. upogamos que para reducir la variaza de la estimació, se determia el mismo coteido 9 veces y se calcula el promedio. i los sucesivos valores observados (e las uidades adecuadas) so 5, 8.5, 1, 15, 7, 9, 7.5, 6.5, 10.5, costruyamos u itervalo de cofiaza para µ. i las repeticioes se ha realizado e codicioes idepedietes e idéticas, 81 como x = = 9 resulta que u itervalo co u ivel de cofiaza del 95% está 9 dado por , = ( 7.69, 10.31) 3 3 Luego, teemos ua cofiaza del 95%, que el coteido verdadero se ecuetre etre 7.69 y INTERVALO CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON VARIANZA CONOCIDA PARA CUALQUIER NIVEL DE CONFIANZA EPECIFICADO. El valor crítico z α de ua distribució ormal estádar es el valor que deja a su derecha, bajo la curva de desidad ormal estádar, u área α: P { Z > z α } = α dode Z es ua v.a. co distribució N(0,1).

3 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 108 Nuevamete cosideremos ua muestra aleatoria de ua població ormal co media µ y variaza ( X µ) ( X1,...,X ) luego la variable aleatoria tiee distribució N (0, 1) Por lo tato ó equivaletemete ( X µ ) P zα / < < zα / = 1 α P X zα / < µ < X + zα / = 1 α Luego, u itervalo para µ co el 100*(1-α)% de cofiaza está dado por x zα /, x + zα / () siedo x el valor observado de la media muestral. Observació: El itervalo dado e () o es aleatorio. Esto sigifica que µ perteece ó o perteece al itervalo costruido y o lo sabemos. Cofiamos que sí perteezca co u ivel de cofiaza del 95% cuado α = TAMAÑO DE MUETRA NECEARIO PARA LA OBTENCIÓN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON LONGITUD PREFIJADA La logitud del itervalo de cofiaza dado por la ecuació () es zα / upogamos que os iteresa afirmar co u ivel de cofiaza del 99% que µ se ecuetra detro de u itervalo de logitud L, cuá grade tiee que ser?. Como el ivel de cofiaza es 99%, α=0.01. Por lo tato α/ = 0.005, Z =.58 y la logitud del itervalo de cofiaza es 5.16

4 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 109 Para que la logitud sea L debemos elegir de maera que 5.16 = L o sea = ( 5.16 / L) E geeral o será etero y se elige el meor que cumple ( 5.16 / L) Ejemplo (cotiuació). i iteresa obteer u itervalo co u ivel de cofiaza del 99% de logitud L =1, como = 4 resulta ( 5.16 * ) = 106,5. Luego deberá elegirse = 107. OBERVACIÓN U itervalo de cofiaza para µ, es u rago de valores etre los cuales cofiamos se ecuetre µ. Por qué cofiamos? i costruimos u itervalo del 95% de cofiaza sigifica que 95 de cada 100 veces que utilicemos la ecuació (1) para calcularlo, el itervalo obteido cotedrá al verdadero valor µ. Cofiamos que uestro itervalo sea uo de esos 95 itervalos bueos. Ua vez que hemos costruido el itervalo, la probabilidad de que µ perteezca a dicho itervalo es 0 (si µ o perteece) ó 1 (si µ perteece) pero o lo sabemos. Es decir, deja de teer setido platear ua probabilidad cuado hemos hallado el itervalo resultate.

5 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky INTERVALO CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON VARIANZA DECONOCIDA Hemos desarrollado los itervalos de cofiaza ateriores basádoos e ( X µ) que tiee distribució N(0,1). Como o coocemos la variaza la estimamos por ( X ) = = i X i 1 1, sabemos que la variaza muestral es u estimador isesgado y cosistete de. Para hallar los itervalos de cofiaza para la media de ua població ormal utilizaremos el siguiete resultado: ( X µ) T -1 = tiee distribució t co -1 grados de libertad. Por lo tato ó equivaletemete P t ( X µ ) < t 1, α / < 1, α / = 1 α P X t < µ < + 1, α / 1, α / X t = 1 α

6 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 111 Por lo tato si observamos que X = x y = s diremos que s s µ x t 1, α /, x + t 1, α / (3) co u 100*(1-α)% de cofiaza Ejemplo. Cotiuació. upogamos ahora que cuado se determia el coteido (µ) de ua sustacia e u compuesto, el valor observado está ormalmete distribuido co media µ y variaza descoocida. i cosideramos los valores obteidos e las mismas 9 determiacioes y estimamos la variaza resulta: x = 9 y s = 9.5 ó s = 3.08 Como t 8,0.05 =.306, de (3), u itervalo del 95% cofiaza para µ es , = 3 3 ( 6.63, 11.37) E el ejemplo, supoemos que los datos proviee de ua distribució Normal, como el desvío es descoocido (lo estimamos por s), el estadístico e el que basamos el itervalo tiee distribució t co -1 (8) grados de libertad. La distribució t es ua distribució de probabilidad simétrica alrededor del cero y co forma de campaa, similar a la curva Normal. A diferecia de la Normal, su dispersió depede de los grados de libertad. A medida que aumeta los grados de libertad las curvas t tiede a ser idistiguibles de la curva Normal estádar.