Fundamentos Físicos de la Ingeniería Primer Cuatrimestre / 10 febrero 2012
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- Eugenia María Isabel Espinoza Rodríguez
- hace 7 años
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1 . Sistems de referenci inercil y no inercil. Explicr en que consisten y l diferencis que existen entre ellos.
2 . Un disco de rdio r está girndo lrededor de su eje de simetr con velocidd ngulr ω y celerción ngulr α. Simultánemente, el disco está girndo, con velocidd ngulr constnte Ω, lrededor de un eje fijo en el espcio que está contenido en el plno del disco y es tngente l permetro de éste en un punto Q. Determinr l velocidd y celerción del punto del permetro del disco dimetrlmente opuesto l punto Q de tngenci. Q El disco está sometido dos rotciones simultánes: un rotción intrnsec ω lrededor de su eje de simetr de revolución y un rotción de precesión Ω. Elegido un referencil como el indicdo en l figur, podemos escribir: æwö æö æwö ω= Ω= ωres = ω+ Ω= è W è èw ø æö æö æ ö α = C r Q = = r èø è ø è ø L velocidd del punto del disco se obtiene como l superposición o sum de ls correspondientes cd un de z ls dos rotciones; i.e., æwö æö æö æö æ rö -W v = ω C + Ω Q = r r + = Ω ω,α èø è èw è ø è wr Determinmos l celerción de prtir de l celerción Q C y del punto C (centro del disco); i.e., res = C+ C + ωres ( ωres C) L celerción del punto C es l celerción centrpet socid un tryectori circulr de rdio r con velocidd ngulr Ω constnte: æ ö C =-Wr è ø Clculmos l derivd temporl de l velocidd ngulr resultnte teniendo en cuent que ω preces con velocidd ngulr Ω, de modo que res dω æö æ ö æwö æ ö d æ ö æ ö æ res w ω C w r = + = α + Ω ω + = + = W = W = è ø èw ø è ø è ø è è è r ö Clculmos el último término: æwö æö æwö æ rö æ ö -W ωres ( ωres C) = ωres r = = -w r-w r W W wr è ø è ø è ø è ø è Finlmente, tenemos æ ö æ ö æ ö æ ö r r r ( w ) r è ø è ø è ø è r =-W + +-w -W =- + W r
3 UUOtro método odemos clculr l celerción del punto directmente, sin conocer previmente l de otro punto, sin más que derivr con respecto l tiempo l expresión genéric de l velocidd del punto. As, teniendo en cuent que tnto los vectores ω,cyq rotn con ls velociddes ngulres Ωω,,yΩ, respectivmente, obtenemos: dv d d = = ( ω C) + ( Ω Q) = dc dω dq = C + ω + Q + Ω = dω = C + ω ( ω C) + Q + Ω ( Ω Q) = dω = α C + ( Ω ω) C + ( C) + Q + Ω Ω Q ω ω ( ) Siendo nulo el primer doble producto vectoril por ser sus fctores perpendiculres entre s. De modo que podemos escribir: = α C + ω ω C + Ω Ω Q Sustituyendo los vlores y operndo: ( ) ( æö æö æwö éæwö æöù æö éæö æöù = r r r + + = ú è è è ê ëè ø è øú û èwø ê ëè Wø è øú û æ ö æwö æ ö æö æ-rwö = + è rø + = è èwr èw è æ ö æ ö æ ö æ ö = w r r ( w ) r W = - + W r è ø è ø è ø è r )
4 3. En el sistem representdo en l figur, clculr ls celerciones que dquieren cd uno de los cuerpos que intervienen y ls tensiones en ls cuerds. Supóngse que ls cuerds son flexibles, inextensibles y de mss desprecibles y que ls poles tienen mss desprecibles y fricción nul. Resolver primero el problem lgebricmente y luego obtener l solución numéric pr m = 5 kg y m = 3 kg. Aplicmos l segund ley de Newton en l dirección del movimiento cd uno de los dos cuerpos ì ïmg - T= m ï ïî 4T- mg = m De modo que disponemos de ecuciones con 3 incógnits ( T,, ). r determinr l relción entre ls celerciones, expresmos l constnci de ls longitudes de ls cuerds, sustituimos y derivmos dos veces con respecto l tiempo, de modo que ì ï x + y= cte ìx + y= cte ï ïx ( x y) x y cte î + - = - = ïî 4x- y= cte x + 4x = cte x + 4x = = 4 De modo que cundo uno bj el otro sube. En l expresión finl hemos prescindido del signo porque y lo hemos tenido en cuent l formulr ls ecuciones del movimiento. Ahor disponemos de tres ecuciones con tres incógnits ( T,, ), que resolveremos pr obtener: ì4mg- 4T= 4m = 6m ï ( 4m- m) g = ( 6m+ m) ï 4T- mg= m = m ïî x T T m g T De modo que T 4T m g 4m -m 7 = g= 9.8 =. m/s = 8. m/s 6m+ m 83 ( ) T = mg- m = = 39 N = 3.98 kg T = 78 N = 7.96 kg 4T = 56 N = 5.9 kg y T x m m
5 4. Un hombre llev ptines y dispr su rifle en dirección horizontl. El hombre pes 66 kg y el rifle crgdo pes 4 kg; cd proyectil pes 3 g y sle con un velocidd de 8 m/s. Supóngnse desprecibles los rozmientos. ) Cuál será l velocidd del hombre después del primer dispro? b) Ídem después del segundo dispro? c) Ídem después del décimo dispro? ) El rincipio de Conservción de l Cntidd de Movimiento del Sistem (isldo) se formul en cd uno de los dispros de tl form que el incremento que experiment l cntidd de movimiento del sistem hombre-rifle se igul y de sentido opuest l cmbio que experiment l del proyectil; esto es, D p =D p hombre+rifle proyectil de modo que, trs el primer dispro, tenemos ( M -m)( V - ) = m( v-) V v-v ( M - m) V = mv M-m m m V = v M - m.3 V = 8 =.343 m/s 7-.3 b) El segundo proyectil se mueve, ntes de ser disprdo, con l velocidd V de retroceso con que lo hce el sistem (hombre+rifle), de modo que, después del segundo dispro, tenemos ( M -m)( V- V) = mé( v V) ( V) ù ë û V v-v ( M - m) V = ( M - m) V+ mv M-m m m æ m m ö V = V+ v= + v M -m èm -m M -mø.3 V = =.686 m/s 7-.3 c) Aplicndo est expresión reiterdmente cd uno de los dispros sucesivos l velocidd del sistem (hombre + rifle) después del dispro enésimo, tenemos: ( M -Nm)( VN - VN- ) = mé( v VN ) ( VN ) ù ë û ( M - Nm) VN = ( M - m) VN- + mv V v-v N N m M-Nm m VN = VN- + v M - Nm N æ m m m ö æ m ö VN = v + + = v èm -m M -m M -Nmø å è M -im ø i= Dd l grn dispridd de entre l ms de cd bl y l del sistem, podemos escribir Nm.3 VN» v V» 8 = 3.44 m/s M -Nm 7-.3 Obvimente, este resultdo está sobreestimdo y corresponder l cso de un único dispro con un proyectil de ms Nm.
6 5. Un cj de emblje contiene un crg uniformemente distribuid y se encuentr sobre l pltform de un cmión. L cj pes 3 kg y tiene form de prleleppedo rectngulr de m de lto por 8 cm 8 cm de bse. El coeficiente de rozmiento entre l cj y l pltform vle.3. Cundo el cmión fren bruscmente, qué riesgo será myor, el de deslizmiento o el de vuelco de l cj? Cundo el cmión fren, l cj tiende deslizrse en el sentido de l mrch y volcr respecto de l rist A. r decidir que riesgo es myor, debemos clculr los vlores de ls celerciones crtics de frendo prtir de los cules l cj desliz o vuelc, de modo que menor vlor, myor riesgo. Resolveremos el problem en el referencil ligdo l pltform del cmión, en el que l cj permnece en reposo. uesto que dicho referencil es no-inercil, por estr celerdo, en el digrm de fuerzs que ctún sobre l cj deberemos incluir l fuerz de inerci F, tl como se indic en l figur, con F = m, siendo l celerción de frendo (en sentido contrrio l de l mrch). l En l figur hemos representdo el digrm de fuerzs que ctún sobre l cj en ls condiciones crtics de vuelco. Obsérvese que ctún dos pres de fuerzs: el pr [F,f] provoc el vuelco sobre A y el pr [,N] se opone dicho vuelco. O F Escribimos ls Ecuciones Crdinles de l Estátic, tomndo momentos en A (punto de plicción de l rección norml N): N N = F = f f l A A F = F = l De ls dos primers ecuciones se sigue l celerción mnim pr el deslizmiento: F = f mn = m m mmg m Esto es, no ocurrirá el deslizmiento si =.94 m/s g L tercer ecución nos permite determinr l celerción mnim pr el vuelco: l l F = l F = m = mg = l g Esto es, no ocurrirá el vuelco si l 8 g= g=.4g= 3.9 m/s Estos resultdos indicn que es más probble que deslice.
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