MURCIA JUNIO = 95, y lo transformamos 2
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- Sergio Ortiz Maestre
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1 MURCIA JUNIO 4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque. BLOQUE 1 [3 PUNTOS] CUESTIÓN 1. Encontrar tres números A, B y C, tales que su suma sea 1, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95 y la media de los dos últimos sea 8. Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones A+ B+ C = 1 A + C B + = 95, y lo transformamos 4 B + C = 8 A+ B+ C = 1 en uno equivalente más sencillo A+ B+ C = 38, a continuación aplicamos el B + C = 16 método de Gauss para discutir el sistema y en su caso resolverlo: ª Fila 1ª Fila 1 4 3ª Fila + ª Fila El sistema es compatible determinado A+ B+ C = 1 B = 4 y sus soluciones son: C = 1 C = 1; B = 4; A = 5;
2 CUESTIÓN. Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 1 euros y para no fumadores al precio de 6 euros. Al no fumador se le deja llevar 5 kg de peso y al fumador kg. Si el autobús tiene 9 plazas y admite un equipaje de hasta 3 kg, cuál debe ser la oferta de plazas de la compañía para optimizar el beneficio? X: plazas para fumadores. Y: plazas para no fumadores. Función objetivo: f ( y, ) = y Restricciones: + y 9 + y 9 5y y 3 y y Los vértices son A = (,); B = (,6); C = (9,); y el vértice D es el punto de corte de + y = 9 y = 18 las rectas: que por reducción, 3y = 1; y = 4; + 5y = 3 + 5y = 3 = 5; luego D = (5, 4). Una vez que tenemos los cuatro vértices que limitan la región de restricciones evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos de manera que se optimice el beneficio, es decir que se haga máimo: f (,) = = euros. f (, 6) = = 36 euros. f (9, ) = = 9 euros. f (5, 4) = = 74 euros. Luego la oferta de plazas para optimizar el beneficio sería 9 para fumadores y para no fumadores.
3 BLOQUE [ PUNTOS] CUESTIÓN 1. Determinar las condiciones más económicas de una piscina abierta al aire, de volumen 3 m 3 con un fondo cuadrado, de manera que la superficie de sus paredes y del suelo necesite la cantidad mínima de material. : ancho de la piscina. : largo de la piscina (puesto que el fondo es cuadrado el largo y el ancho miden lo mismo). z: altura de la piscina. V z z Ssuelo = = ; = = ; S = z+ z = 4 z; paredes 3 = + 4 ; Stotal Por otro lado sabemos que V = 3 m 3 3, luego 3 = z z=, y sustituyendo en la 3 18 superficie total S = total + 4 S total = + ; 18 Ahora la superficie total es una función que depende de Stotal ( ) = + ; Derivamos e igualamos la derivada a cero S 3 total ( ) = = 18 = = 64 = 4 m. y z = = m. 16 Luego las soluciones son = 4m; z = m. Para comprobar que efectivamente se trata de un mínimo hallamos la segunda derivada en el punto = 4, y observamos que es mayor que cero: S total ( ) = + S (4) 4 3 total = + = 64
4 CUESTIÓN. Hallar el área de la región limitada por las gráficas 3 f ( ) = y g ( ) =. Representamos gráficamente ambas funciones: f ( ) D = ; Simetrías 3 = Asíntotas no tiene; = + = + = Impar ( f( ) f( ) si tien 3 3 Par ( f ( ) f ( )) no tiene Puntos de corte con los ejes Eje OY = y = 3 Eje OX y = = ( 1) = = ; 1= = 1 = ± 1 = ± 1 e (,); (1,); (-1,) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. 1 crece, decrece, f ( ) = 3 1= 3 = 1 = =± mínimo, máimo, Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. convea (, ) f ( ) = 6 = = cóncava (,) punto de infleión (,)
5 g ( ) = D = ; Simetrías Asíntotas no tiene; = = = = Impar ( f ( ) f ( ) no tiene Par ( f ( ) f ( )) si tiene Puntos de corte con los ejes Eje OY = y = Eje OX y = = = (,) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. crece (, ) g ( ) = = = decrece (,) mínimo (,) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. g ( ) = > Es siempre convea y no tiene puntos de infleión. Para hallar la región limitada por dichas gráficas debemos calcular los puntos de corte de ambas funciones resolviendo la ecuación: 3 3 = = = ( 1) = 1= 1± 5 1= = ( ) ( ) A= d+ + d= + + = ( ) + ( ) = = 1.84 u
6 BLOQUE 3 [1,5 PUNTOS] CUESTIÓN 1. Dada la curva: y = 1 se pide: (a) Dominio y asíntotas. (b) Simetrías y cortes con los ejes. (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Máimos y mínimos, si los hay. (e) Una representación aproimada de la misma. (a) Para calcular el dominio: D 1= = 1 = ± 1 = ± 1 = 1,1 Para calcular las asíntotas: { } Asíntotas verticales: Asíntotas horizontales: lim = ; lim = lim = ; lim = lim = ; lim = ; = 1 ; = 1 ; y = (b) Para calcular las simetrías: Simetría par ( f( ) = f( )) no hay. 1 1 Simetría impar ( f( ) = f( )) = si hay. 1 1 Corte con los ejes: Eje OX: Eje OY: y = = = (,) 1 = y = = y = (,) 1 (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: 1 1 ( 1) ( 1) y = = = = 1 no tiene solución. Si observamos el numerador es siempre negativo y el denominador siempre positivo luego la derivada de la función es negativa para todo del dominio luego decrece.
7 (d) No tiene máimos ni mínimos pues la función decrece { 1,1} (e) Representación aproimada.
8 CUESTIÓN. Calcular a, b, c y d para que sea continua la función f ( ) y representarla gráficamente. 1 si < 3 a si < 3 f( ) = b si 3 < 5 + c si 5 < 7 d si 7 Hacemos los límites laterales: 1 lim = 1 y lim 3 a = 6 a 1 = 6 a a = 5 + lim 3 a = 9 a = 9 5 = 4 y lim b = b b = lim b = b = 4 y lim + c = 5 + c 4 = 5 + c c = lim + c = 7 + c = = y lim d = d = d Luego 1 si < 3 5 si < 3 f( ) = 4 si 3 < 5 Observamos que todas son rectas. + 9 si 5 < 7 si 7 Representación gráfica:
9 BLOQUE 4 [1,5 PUNTOS] CUESTIÓN 1. Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargados dos programas antivirus que actúan independientemente uno del otro. El programa p 1 detecta la presencia del virus con una probabilidad de.9 y el programa p detecta el virus con una probabilidad de.8. Cuál es la probabilidad de que el virus no sea detectado? A = el programa p 1 detecta el virus. P( A ) =.9 B = el programa p detecta el virus. P( B ) =.8 A B = el virus es detectado. P( A B) = P( A ) + P( B ) P( A B) como A y B, son sucesos independientes P( A B) = P( A ) P( B ) P( A B) = =.98. A B = el virus no es detectado. P( A B) = 1 P( A B) = 1.98 =.. Así que la probabilidad de que el virus no sea detectado es.
10 CUESTIÓN. En un colegio el 4% de los chicos y el 1% de las chicas miden más de 175 cm de estatura. Además el 6% de los estudiantes son chicas. Si se selecciona al azar un estudiante y es más alto de 175 cm, cuál es la probabilidad de que el estudiante sea chica? Hacemos un diagrama de árbol: 4 = 1 5 CHICOS 4 1 = Miden más de 175 cm = Miden menos de 175 cm 1 5 COLEGIO 1 1 Miden más de 175 cm 6 3 = 1 5 CHICAS 99 1 Miden menos de 175 cm P( Mide más de 175 cm) = + = + = = PCHICA ( Midemásde175 cm) PCHICA ( / Midemásde175 cm) = = P( Mide más de 175 cm) = =
11 BLOQUE 5 [ PUNTOS] CUESTIÓN 1. Se quiere conocer la permanencia media de pacientes en un hospital, con el fin de estudiar una posible ampliación del mismo. Se tienen datos referidos a la estancia, epresada en días, de 8 pacientes, obteniéndose los siguientes resultados: X = 8.1 días; s = 9 días. Se pide obtener un intervalo de confianza del 95% para la estancia media. 1 α =.95 Z = 1.96 α s s 9 9 I = X Zα, X + Zα = , = 7.476,8.74 n n 8 8 µ ( 7.476,8.74) CUESTIÓN. ( ) Se quiere comprobar, con un nivel de significación de.5, si una muestra de tamaño n = con media X = 1 procede de una población que se distribuye según una normal de media igual a 14 y desviación típica igual a 3. α =.5 1 α =.95 Z = 1.96 α σ σ 3 3 µ Zα, µ + Zα = , = (1.685,15.315) n n X = 1 (1.685,15.315) luego no procede de dicha población.
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