ESTIMADOR DE AITKEN Y PROPIEDADES DEL MISMO (Última revisión: 1 de marzo de 2007)

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Yolanda Agüero Carrasco
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1 Apts d clas d coomtría II / 6 STIMADOR D AITKN Y ROIDADS DL MISMO Última rvisió: d marzo d 7 rof. Rafal d Arc rafal.darc@am.s stimació d los parámtros dl MBRL por máxima vrosimilitd Apoádoos la hipótsis ralizada sobr la forma la q s distrib las prtrbacios alatorias ormals s scillo aplicar método d máxima vrosimilitd para dtrmiar sistma para la stimació d los parámtros. ara dfiir a iabl alatoria q s distrib como a ormal, s csario dtrmiar s mdia s iaza. stro caso, scrito forma matricial, podrmos scribir stos momtos como: ara las mdias d las prtrbacios alatorias prsts l modlo: x x ara las iazas d las prtrbacios alatorias prsts l modlo, la matriz d iazas coiazas sría: cov [ ] sta xprsió, la q, por l momto, solo hmos tido cta l spsto atrior mdia la d las prtrbacios alatorias, la diagoal pricipal tdrmos las iazas, las dmás posicios, las coiazas. D forma rsmida, sacado factor comú a los lmtos d la diagoal pricipal las iazas, podríamos scribir la xprsió atrior como: cov x l caso q s prstas htrocdasticidad, los lmtos d la diagoal pricipal o srá a costat, si hbira atocorrlació, los lmtos fra d sta diagoal sría distitos d cro.

2 Apts d clas d coomtría II / 6 s dcir, prscidido por l momto d las hipótsis d homocdasticidad atocorrlació, tdríamos cojto d prtrbacios alatorias q s distrib como a ormal dl sigit modo: x N; La fció d dsidad cojta d la ormal para las iabls alatorias d stro caso s scribiría dl sigit modo: x π ara simplificar cálclos postriors, sta xprsió s pd scribir tomado logaritmos dl sigit modo: L Lπ L L ara dtrmiar los parámtros d máxima vrosimilitd, bscarmos aqllos coficits stimados q os sitú l máximo d sta fció d dsidad, a q, s pto, s l q os cotrarmos la sitació idal: la probabilidad d q las prtrbacios alatorias sa cro s máxima. Lo q trascrito a la xprsió atrior dl logaritmo d la fció d dsidad cojta sría: L Lπ L L Lπ L L ara dtrmiar los valors stimados d los parámtros q os sitúa l máximo d sta fció habrá q cotrar aqllos valors q ala s primra drivada rspcto a los mismos:

3 Apts d clas d coomtría II 3 / 6 L L dfiitiva, la forma d stimar los parámtros sgú st procdimito, dsarrollado por Aitk, s rgiría por l sigit cálclo: A stos parámtros s los cooc co l ombr d Míimos Cadrados Grals MCG, sido imdiato comprobar q los Míimos Cadrados Ordiarios MCO o so más q caso cocrto d stos: aqél l q I. Tambié s cooc co l ombr d Míimos Cadros odrados MC, a q la forma dtrmiada para s cálclo o hac más q dividir matricialmt las rlacios tr las iabls dl modlo por las compots q, s caso, stá itrodcido htrocdasticidad o atocorrlació l modlo:. ropidads d los stimadors MCG Los parámtros MCG srá stimadors lials, issgados, óptimos cosistts LIO cosistts. A Lialidad W s dcir, los parámtros MCG stimados s pd scribir como a combiació lial d las prtrbacios alatorias por lo q, tóricamt, compartirá co éstas la misma fció d distribció. dfiitiva, srá ormals. B Issgadz artido d o d los rsltados d la xprsió atrior

4 Apts d clas d coomtría II 4 / 6 C ficicia l objto d st dsarrollo s dmostrar q los parámtros MCG so aqllos q prsta la iaza más pqña d tr todos los issgados; s dcir, so ficits óptimos. ara llo, comzarmos por dtrmiar cál s la matriz d iazascoiazas d los stimadors MCG. Tido cta dos xprsios a obtidas atriormt: odmos scribir la matriz d iazas-coiazas d los parámtros stimados como sig: cov dfiitiva, la matriz d iazas coiazas d stos stimadors MCG o Aitk srá: cov Como vía para dmostrar q sta iaza s la míima rspcto a calqir otra calclada a partir d stimador isgasdo difrt al MCG, ralizarmos las sigits comprobacios:. ropor a xprsió matmática d calqir stimador difrt al MCG.. Dtrmiar qé codicios db cmplir st stimador altrativo para q sa issgado. 3. Dtrmiar s matriz d iazas-coiazas 4. Comprobar q las iazas d stos stimadors altrativos simpr srá maors q la d los MCG. stimador altrativo

5 Apts d clas d coomtría II 5 / 6 ara dtrmiar stimador altrativo al MCG basta co q sa igal a st, pro adicioado los valors d a matriz q o cotga valors los todas ss filas colmas: Ο /. Codició d issgadz dl stimador altrativo ara q st stimador altrativo sa issgado, s csario q l prodcto sa igal a cro. ara llo, db sr lo a q: - igú parámtro pd sr lo o pd habr igú valor igal a cro l vctor d btas, a q so sigificaría q ha a iabl o xplicativa iclida l modlo - o pd cotr todo valors los, a q s sta matriz prcisamt la q marca la difrcia co los stimadors MCG. dfiitiva, la úica altrativa posibl para q los parámtros altrativos sa issgados s q l prodcto sa lo. Dada sta codició, los stimadors altrativos s podría rscribir dsd paso itrmdio d la xprsió atrior como: Lo cal, simplificará los cálclos d la sigit fas d sta dmostració. 3. Matriz d iazas-coiazas d st stimador issgado altrativo

6 Apts d clas d coomtría II 6 / 6 isgadz - - codició coclsió, la matriz d -coiazas d los parámtros srá: cov 4. Comparació co la matriz d iazas-coiazas d los MCG Comparado las xprsios obtidas para las dos matrics d iazas-coiazas, s llga a la coclsió d q, csariamt, la d los stimadors altrativos srá maor q la d los stimadors MCG, a q la primra sma a catidad adicioal positiva a las iazas la diagoal pricipal q vi xprsada por cov cov < D Cosistcia Spsta la xistcia d límits fiitos para los cocits d las iabls tr l úmro d obsrvacios, la probabilidad l límit sigit d la iaza d los stimadors MCG s ala: lim limcov p p MCG

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