La integral indefinida

Transcripción

1 Tem 8 L integrl indefinid Aclrdo el concepto de integrl y sus principles propieddes, bordmos hor l relción entre derivd e integrl, que se sintetiz en el Teorem Fundmentl del Cálculo, sin dud el resultdo más importnte de todo el cálculo diferencil e integrl pr funciones reles de un vrible rel. Afirm que cundo integrmos un función continu en un intervlo, entre un punto fijo y otro vrible, obtenemos un nuev función cuy derivd es l función de prtid, mostrndo sí l integrción como l operción invers de l derivción. Como consecuencis fáciles de este resultdo principl, obtenemos tres regls básics pr el cálculo de integrles: l regl de Brrow, l fórmul de cmbio de vrible y l fórmul de integrción por prtes. 8.. Preliminres Pretendemos, como se h dicho, estudir l función que se obtiene l integrr un función continu f : I R, donde I es un intervlo no trivil, entre un punto fijo I y otro vrible x I. Ciertmente, cundo < x dich integrl no tiene problem, pues f es continu en el intervlo [,x] I. Pero debemos considerr tmbién el cso x. L pist sobre como hcerlo nos l d l ditividd de l integrl, f x)dx = c f x)dx + c f x)dx que sbemos es ciert cundo < c < b siempre que f C[,b]. Es nturl intentr que est iguldd sig siendo ciert, culquier que se l posición de los puntos, b y c, siempre que f se continu en un intervlo que los conteng. Tomndo c =, vemos que l integrl debe nulrse cundo los límites de integrción coincidn. Pero entonces, tomndo b = < c, vemos que l integrl debe cmbir de signo cundo permutemos dichos límites. Por tnto, pr,b R con < b y f C[,b], definimos: f x)dx = 0 y b f x)dx = f x)dx ) 67

2 8. L integrl indefinid 68 En relidd, pr l primer de ests definiciones, que son más bien convenios de notción, l función f puede ser perfectmente rbitrri. En cierto modo, ests definiciones resultn coherentes con nuestr interpretción de l integrl como un áre. Por un prte, cundo = b l integrl en el intervlo [,] se interpretrí, slvo el signo de f ), como el áre de un segmento, pero es coherente que un segmento teng áre nul. Por otr, cundo < b l integrl en el intervlo [, b] se interpretb como l diferenci entre ls áres de dos regiones limitds por el eje de bsciss y l gráfic de f. Concretmente, l recorrer el intervlo desde hci b, del áre que qued nuestr izquierd restmos l que qued l derech. Pero, si recorremos el intervlo en sentido contrrio, l región que quedb l izquierd ps estr l derech y vicevers, luego es coherente que, l permutr y b, l integrl cmbie de signo. Así pues, l integrl f x)dx tiene y perfecto sentido, culquier que se l relción entre los puntos y b, siempre que f se continu en un intervlo que conteng mbos puntos. Observemos lo que ocurre con ls propieddes de l integrl en est situción más generl, empezndo por comprobr que l ditividd se mntiene, como pretendímos: Se I un intervlo no trivil y f CI). Entonces: f x)dx = c f x)dx + c f x)dx,b,c I 2) Pr comprobrlo, usmos l definición ) pr reescribir l iguldd 2) en form cíclic: f x)dx + c b f x)dx + c f x)dx = 0 Observmos que el primer miembro cmbi de signo, luego l iguldd buscd se mntiene, cundo permutmos dos de los puntos,b,c. Usndo un o dos permutciones, bstrá que l iguldd se ciert cundo c b. Entonces, si = c o c = b l iguldd es evidente, mientrs que si < c < b tenemos el cso y conocido. De form todví más clr, l linelidd de l integrl, tmbién sigue siendo ciert: Se I un intervlo no trivil, f,g CI) y λ,µ R. Entonces: ) λ f + µg x)dx = λ f x)dx + µ gx)dx,b I 3) El cso < b es conocido y, l permutr con b, mbos miembros de 3) cmbin de signo, luego l iguldd se mntiene. El cso = b no merece comentrio. Obvimente tenemos que ser más cuiddosos con l positividd de l integrl, no podemos esperr que un funcionl creciente lo sig siendo cundo lo cmbiemos de signo, hbrá psdo ser decreciente. Sin embrgo, ls principles consecuencis que se dedujeron de l linelidd y positividd se mntienen: l propiedd de l medi y l que hbímos interpretdo como un continuidd de l integrl, est últim con un ligero retoque:

3 8. L integrl indefinid 69 Se I un intervlo no trivil y f CI). Ddos,b I, se J el intervlo cerrdo de extremos y b, es decir, J = [ mín{,b},máx{,b} ]. Entonces, existe c J tl que: Como consecuenci se tiene: f x)dx = f c)b ) 4) f x)dx máx{ f x) : x J} ) b. El resultdo es conocido cundo < b y obvio cundo = b. Si > b, plicmos lo y sbido pr el intervlo J = [b,] y obtenemos c J que verific l mism iguldd 4), sólo que mbos miembros precen cmbidos de signo. Tomndo hor vlores bsolutos obtenemos clrmente f x)dx = f c) b máx{ f x) : x J} ) b Resumiendo l discusión nterior, si f CI), donde I es un intervlo no trivil, hemos ddo sentido l integrl f x) dx, pr culesquier, b I. En este contexto, formlmente más generl que el del tem nterior, ls propieddes de linelidd y ditividd de l integrl se mntienen literlmente. L positividd obvimente no se mntiene, pero sí sus principles consecuencis Teorem Fundmentl del Cálculo H llegdo el momento de relcionr los conceptos de derivd e integrl. Teorem. Se I un intervlo no trivil y f CI). Fijdo un punto I, consideremos l función F : I R definid por: Fx) = x f t)dt x I 5) Entonces F es un primitiv de f, es decir, F DI) con F x) = f x) pr todo x I. Demostrción. Fijdo x I, pr y I \ {x}, l ditividd de l integrl nos dice que Fy) Fx) = y f t)dt x f t)dt = y x f t)dt Tomndo J y = [ mín{x,y},máx{x,y} ], l propiedd de l medi nos d un punto c y J y tl que y Fy) Fx) f t)dt = f c y )y x), es decir, = f c y ) y x x Bst hor pensr que, cundo y se cerc x, lo mismo le ocurre c y, luego f c y ) tiende coincidir con f x), y que f es continu en el punto x.

4 8. L integrl indefinid 70 Más concretmente, pr cd ε > 0, existe δ > 0 tl que, si z I verific que z x < δ, entonces f z) f x) < ε. Cundo y x < δ, como c y J y, tenemos c y x y x < δ, luego podemos tomr z = c y pr obtener f c y ) f x) < ε. Así pues, tenemos ε > 0 δ > 0 : y I, 0 < y x < δ = Fy) Fx) f x) y x < ε Hemos probdo que Fy) Fx) lím y x y x = f x) es decir, F es derivble en el punto x con F x) = f x). Esto es cierto pr todo x I, como querímos demostrr. Vemos l terminologí que se us frecuentemente, en relción con el teorem nterior. Suele decirse que l función F dd por 5) es l integrl indefinid de f con origen en. Vemos que f tiene tnts integrles indefinids, en principio diferentes, como puntos I podemos elegir como origen. Sin embrgo, es evidente que l diferenci entre dos integrles indefinids de un mism función h de ser constnte. Por supuesto, l plbr indefinid no signific que l función F no esté perfectmente definid, sólo nos recuerd que tenemos un integrl en un intervlo vrible. En contrposición, fijdos,b I, suele decirse que f x)dx es un integrl definid de l función f, pues hor el intervlo de integrción es fijo. Obsérvese que un integrl indefinid es un función, mientrs que un integrl definid es un número. El teorem nterior nos dice que Culquier integrl indefinid de un función continu en un intervlo no trivil, es un primitiv de dich función. Hemos comprobdo lgo que quedó nuncido l discutir l consecuencis del teorem del vlor medio: tod función continu en un intervlo no trivil dmite primitiv, es decir, es l derivd de otr función. El teorem del vlor intermedio pr funciones continus Bolzno), qued pues como cso prticulr del teorem del vlor intermedio pr ls derivds Drboux): Dd un función f : I R, donde I es un intervlo no trivil, consideremos ls tres firmciones siguientes: i) f es continu ii) f dmite primitiv iii) f tiene l propiedd del vlor intermedio Se verific que i) ii) iii). Observmos que l firmción i) ii) es el teorem fundmentl del cálculo, ii) iii) es el teorem del vlor intermedio pr ls derivds, y de ells se deduce i) iii), que es el teorem del vlor intermedio pr funciones continus.

5 8. L integrl indefinid 7 En otro orden de ides, el teorem fundmentl de cálculo permite entender muy clrmente que l derivción y l integrción son procesos inversos, viendo cd uno de ellos como un uténtic plicción de un conjunto en otro, pero teniendo en cuent que mbos son conjuntos de funciones. Observemos en primer lugr que un primitiv de un función continu en un intervlo es siempre un función derivble con derivd continu en dicho intervlo. Vmos introducir l notción que suele usrse pr referirse ls funciones con es propiedd. Se A R un conjunto sin puntos isldos, es decir, verificndo que A A, por ejemplo, un intervlo no trivil. Decimos que un función F : A R es de clse C en A, cundo F es derivble en A y su función derivd es continu en A. Denotremos por C A) l conjunto de tods ls funciones de clse C en A, es decir: C A) = {F DA) : F CA)} Tenemos evidentemente que C A) DA) CA). Pr f,g C A) tmbién tenemos que f + g) = f + g CA) y que f g) = f g + f g CA), luego C A) hered tod l estructur que tení DA), es un subnillo y tmbién un subespcio vectoril. Pues bien, se I un intervlo no trivil, fijemos un punto I y denotemos por C I) l conjunto de tods ls funciones de clse C en I que se nuln en el punto : C I) = {F C I) : F) = 0} que es su vez un subespcio vectoril y un subnillo de C I). Podemos ver l derivción como un plicción de C I) en CI), concretmente: D : C I) CI), DF) = F F C I) Un plicción entre dos conjuntos de funciones es lo que suele llmrse un operdor, pues de lgun form oper con un función pr trnsformrl en otr. En nuestro cso, como ocurre muy frecuentemente, los conjuntos de funciones son espcios vectoriles sobre R y sbemos que l plicción D, unque no es un homomorfismo de nillos, sí es linel, sí que podemos decir que D es un operdor linel. Aplicr D un función es tnto como clculr su derivd, sí que suele decirse que D es un operdor diferencil. Como consecuenci del teorem del vlor medio, vemos que D es inyectivo, su núcleo es {0}, pues si F C I) verific que F = DF) = 0, entonces F es constnte, pero F) = 0, luego F = 0. Obsérvese que en todo lo dicho sólo hy cálculo diferencil, l plbr integrl ún no h precido. Por otr prte, pr cd función f CI), podemos llmr I f ) l integrl indefinid de f con origen en el punto. Est definición no involucr ningún cálculo diferencil, I f ) es el resultdo de un proceso de integrción, plicdo l función f. El teorem fundmentl del cálculo nos dice que, pr tod f CI) se tiene que I f ) C I) con D I f ) ) = f. Por tnto, en primer lugr, podemos ver I como un plicción de CI) en C I), un operdor que tmbién es linel, y podemos decir que se trt de un operdor integrl: I : CI) C I), I f ) ) x) = x f t)dt x I, f CI) Pero demás, l iguldd D I f ) ) = f, válid pr tod f CI), nos segur que D es sobreyectivo, luego biyectivo, y su operdor inverso es precismente I.

6 8. L integrl indefinid 72 En resumen, podemos pensr que el proceso de derivción consiste en usr el operdor D, el proceso de integrción consiste en usr el operdor I, y cd un de estos procesos es inverso del otro: I = D y D = I Regl de Brrow Vemos y l principl regl práctic pr el cálculo de integrles: Regl de Brrow. Si I es un intervlo no trivil, f CI) y G es un primitiv de f, entonces: f x)dx = Gb) G),b I Demostrción. Nótese que puede perfectmente ser b. En culquier cso, fijdo I, se F l integrl indefinid de f con origen en. Puesto que F,G DI) con F = f = G, existirá un constnte C R tl que Fx) = Gx) + C pr todo x I. Por ser F) = 0, tenemos C = G) de donde, pr todo b I, deducimos que f x)dx = Fb) = Gb) + C = Gb) G) Cundo se us est regl, es frecuente escribir: [ Gx) ] b = Gb) G), notción que dej muy clr l primitiv que estmos usndo. Aplicr l regl de Brrow, usndo como G un integrl indefinid de f, es un buen form de perder el tiempo. L regl tiene utilidd cundo, por lgún otro método, disponemos de un primitiv de l función f que no veng expresd como un integrl. De entrd, cd vez que clculmos l derivd de un función, tenemos un primitiv de otr. Vemos tres ejemplos: [ x i) x n n ] b dx = = bn n,b R, n N n n [ ] dx b ii),b R, b > 0 = x n+ = nx n = n n nb n n N n xdx iii) = [ n n x ] b x = n n b n ),b R +, n N Usndo i) y l linelidd de l integrl, clculmos tods ls integrles de funciones p polinómics. Ddos p N {0} y 0,,..., p R, si definimos Px) = k x k pr k=0 todo x R, tenemos Px)dx = p k k=0 x k dx = p k b k+ k+ ) k=0 k +,b R En ii) hemos clculdo integrles de lguns funciones rcionles, pero de momento el resultdo no es tn generl como el obtenido pr polinomios. Igulmente en iii) tenemos lguns integrles de funciones irrcionles muy concrets.

7 8. L integrl indefinid Cmbio de vrible Mezclndo l regl de Brrow con l regl de l cden, obtenemos fácilmente l segund regl básic pr el cálculo de integrles. Fórmul de cmbio de vrible. Se I un intervlo no trivil, f CI) y,b I. Se hor J otro intervlo no trivil y ϕ C J) verificndo que ϕj) I, y que existen,β J tles que = ϕ) y b = ϕβ). Entonces: f x)dx = β f ϕt) ) ϕ t)dt 6) En efecto, si F es un primitiv de f, l regl de l cden nos dice que F ϕ es un primitiv de f ϕ)ϕ, función que es continu en J. Aplicndo dos veces l regl de Brrow, tenemos: f x)dx = Fb) F) = F ϕ ) β) F ϕ ) ) = β f ϕt) ) ϕ t)dt Obsérvese cómo l notción que usmos pr l integrl permite recordr muy fácilmente l fórmul de cmbio de vrible, pensndo que l iguldd 6) se obtiene l sustituir l vrible de integrción x por un nuev vrible t, ligds por l iguldd x = ϕt). Pr brevir, suele decirse simplemente que estmos hciendo l sustitución x = ϕt). Clro está que debemos entonces sustituir f x) por f ϕt) ), pero si recordmos l diferencil de un función, tmbién result coherente sustituir dx por ϕ t)dt. Finlmente, el cmbio en el intervlo de integrción es igulmente nturl: bst pensr que x = pr t = y x = b pr t = β. Ni que decir tiene, l iguldd 6) se us pr clculr un de ls dos integrles que en ell precen, conociendo l otr, sí que l fórmul puede usrse en dos sentidos. Podrí pensrse que mbs forms de usrl son equivlentes, más concretmente, que si en un sentido usmos l sustitución x = ϕt), en sentido contrrio podrímos hcer t = ϕ x), pero est ide es erróne: en principio ϕ puede no ser inyectiv y, unque lo fuese, su derivd podrí nulrse, con lo que ϕ no serí derivble en lgunos puntos. El cmino más obvio se present cundo, pr un función f continu en un intervlo no trivil I, conocemos un primitiv de f, que nos permite clculr su integrl entre culesquier dos puntos,b I. Entonces, pr culquier intervlo J y culquier función ϕ C J) que verifique ϕj) I, podemos usr l fórmul de cmbio de vrible pr clculr l integrl del producto f ϕ)ϕ entre culesquier dos puntos,β J, sin más que tomr = ϕ) y b = ϕβ). Por ejemplo, prtir de ls integrles deducids de l regl de Brrow l finl de l sección nterior, podemos hor clculr otrs muchs:

8 8. L integrl indefinid 74 Si J un intervlo no trivil, ϕ C J) y,β J, pr todo n N se tiene: ) β ) n ) n n ϕβ) ϕ) i) ϕt) ϕ t)dt = n β ii) ϕj) R ϕ t)dt = ) n+ = ϕt) iii) ϕj) R + = β n ϕt)ϕ t)dt ϕt) n ϕ) ) n n ϕβ) ) n = n n ϕβ) n ϕ) ) En los tres csos está muy clr l form en que usmos l fórmul de cmbio de vrible. Concretmente, suponiendo que ϕ no es constnte, podemos tomr siempre I = ϕj), = ϕ) y b = ϕβ). Entonces, tomndo f x) = x n, f x) = /x n+ y f x) = n x/x pr todo x I obtenemos respectivmente i), ii) y iii). A poco que se piense, est form de usr l fórmul de cmbio de vrible port muy poc novedd. Si conocemos explícitmente un primitiv F de l función f, tmbién conocemos explícitmente l función F ϕ, que es un primitiv de f ϕ)ϕ. Por ejemplo, el resultdo de i) se puede deducir directmente de l regl de Brrow: β ϕt) ) n ϕ t)dt = [ ϕt) ) n n ] β = ϕβ) ) n ϕ) ) n n y lgo similr se hrí con ii) y iii). En l práctic, l fórmul de cmbio de vrible es mucho más útil cundo l usmos en el sentido inverso: nos interes l integrl que prece en el primer miembro de 6), pero no disponemos de un primitiv de l función f, sí que usmos un cmbio de vrible, intentndo que l integrl del segundo miembro se más sencill. Como ejemplo ilustrtivo, clculemos l integrl: 8 dx + + x. Pr usr l mism notción que en 6), se f el integrndo ddo, que es un función continu en el intervlo I = [,+ [, y sen = I, b = 8 I. Est elección de I se comprende muy bien si pensmos que ls hipótesis pr plicr 6) son tnto más fáciles de comprobr cunto más grnde se I, siempre que f se continu en I. Queremos hcer un sustitución que simplifique el integrndo cunto se posible. Prece buen ide intentr conseguir que, si t v ser l nuev vrible, se teng + + x = t. Ello sugiere clrmente l sustitución x = t 2 ) 2. Observmos que pr t = se tiene x =, mientrs que pr t = 2 será x = 8. Tommos entonces J = [,2], ϕt) = t 2 ) 2 t J, =, β = 2 Nótese que hor, ls hipótesis de 6) son tnto más fáciles de conseguir cunto más pequeño se J. Tenemos clrmente ϕ C J), ϕj) I, ϕ) =, ϕβ) = b, ϕ t) = 4t t 2 ) t J

9 8. L integrl indefinid 75 Además, pr t J tenemos tmbién t 2 0 y t 0, de donde + + [ t 2 ) 2 ] = + t 2 ) = t 2 = t Así pues, l plicr l fórmul de cmbio de vrible obtenemos 8 dx 2 4t t 2 ) = dt = x t 8.5. Integrción por prtes 2 t 2 ) dt = 4 [ t 3 3 t ] 2 = 6 3 Vemos un último método generl pr el cálculo de integrles, que result útil cundo el integrndo es un producto de dos funciones. Fórmul de integrción por prtes. Se I un intervlo no trivil y f,g C I). Pr culesquier, b I, se tiene: f x)g x)dx = [ f x)gx) ] b f x)gx)dx 7) Como f G es un primitiv de f G + f G l regl de Brrow nos dice que [ f x)gx) + f x)g x) ] dx = [ f x)gx) ] b con lo que l iguldd buscd se deduce de l linelidd de l integrl. En l práctic, l fórmul de integrción por prtes se us pr clculr integrles en ls que el integrndo es un producto de dos funciones, digmos f x)gx)dx, donde y b son puntos de un intervlo no trivil I, f C I) y g CI). Suponiendo que, por lgún otro método, dispongmos de un primitiv G de l función g, l fórmul permite clculr l integrl buscd, siempre que podmos clculr l integrl que prece en el segundo miembro de 7). Así pues, relcionmos l integrl buscd con otr, en l que un fctor se sustituye por su derivd y el otro por un primitiv que debemos conocer de ntemno. Por ejemplo, pr p N {0} y q N, vmos clculr l integrl σ,b) = x p q x dx, con,b R +. Aplicmos l fórmul de integrción por prtes, tomndo I = R +, f x) = q x y gx) = x p pr todo x R +. Clrmente f C R + ), g CR + ) y conocemos un primitiv de l función g, dd por Gx) = x p+ /p + ) pr todo x R +. Al plicr 7) obtenemos [ σ,b) = q x p+ ] b x p + q x qx x p+ [ p + dx = q x p+ ] b x p + p + )q σ,b)

10 8. L integrl indefinid 76 Como ocurre con frecuenci, l usr l fórmul de integrción por prtes nos vuelve precer l integrl de prtid. No obstnte, de l iguldd nterior deducimos que q σ,b) = b p+ q b p+ q ) pq + q + Nótese que el rzonmiento nterior no es válido en el cso = 0, porque f no es derivble en 0. Sin embrgo, l integrl σ0,b) tiene perfecto sentido, pues el integrndo es un función continu en R + 0. Podemos resolver este problem teniendo en cuent que un integrl indefinid siempre es un función continu. En nuestro cso se rzon como sigue: 8.6. Ejercicios 0 x p q x dx = lím 0 x p q x dx = qb p+ q b pq + q +. Se I un intervlo no trivil y G un primitiv de un función f CI). Se puede segurr que G es un integrl indefinid de f? 2. Se f CR) y H : R R l función definid por x 3 Hx) = f t)dt x 2 Probr que H DR) y clculr su derivd. 3. Probr que l función g : [,2] R definid por es lipschitzin. gy) = 0 dx y [,2] x 4 + y 4 4. Se I un intervlo no trivil y f CI). Probr ls siguientes igulddes: ) b) h h λb λ f x + h)dx = x f dx = λ λ) f x)dx f x)dx,b I, h R,b I, λ R 5. Se I un intervlo no trivil y f C I). Probr que, pr,b I se tiene 6. Clculr ls siguientes integrles: ) c) 0 f x)dx = b f b) f ) x f x)dx 2x + x 2 + x + ) 5 dx b) 4 ) 3 x dx x x 3 x) x dx d) dx ) 3 + x 0