Estadística para la toma de decisiones

Transcripción

1 Estadística para la toma de decisiones

2 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 1 Sesión No. 6 Nombre: Permutaciones y combinaciones. Objetivo Al término de la sesión el estudiante distinguirá las técnicas de conteo, a través de la solución de ejercicios para practicar el cálculo del principio de la multiplicación, de permutaciones y de combinaciones, y resolver problemas económico administrativos. Contextualización En esta sesión aprenderemos a trabajar con las técnicas de conteo mayormente utilizadas en la probabilidad como lo son las permutaciones y combinaciones. Aprenderemos la diferencia de la aplicación de cada una de estas técnicas en cada uno de los experimentos realizados en la probabilidad. Fuente:

3 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 2 Introducción al Tema Qué son las técnicas de conteo en probabilidad? Cuál es la diferencia entre permutar y combinar? En ocasiones es poco práctico enumerar todos los puntos muestrales de un evento a fin de conocer cuantos son. Fuente: Pm0cs/TcemQSOoMOI/AAAAAAAAAJA/wCmpGJgmg_8/s320/combinatoria.jpg Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales.

4 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 3 Explicación Las técnicas de conteo son utilizadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Principio fundamental del conteo (Principio de multiplicación) Si una operación puede realizarse en m 1 formas, y si por cada una de estas una segunda operación puede realizarse en m 2 formas y una k-esima operación puede realizarse en m k formas, entonces las k operaciones pueden llevarse a cabo juntas en m 1 x m 2 x x m k formas. Ejemplo 1. El menú del Restaurante Discretas es el siguiente: ENTRADAS PLATOS PRINCIPALES BEBIDAS Arroz Pollo adobado Té Sopa Entomado de res Leche Filete de pescado Refresco Cerveza Observe que el menú tiene dos entradas, tres platos principales, y cuatro bebidas. Calcule lo siguiente: a) Cuántas comidas diferentes constan de un plato principal y una bebida? Si se enumeran todas las comidas posibles que constan de un plato principal y una bebida, se obtiene: PT, PL, PR, PC ET, EL, ER, EC FT, FL, FR, FC = 12 comidas diferentes Observe que existen tres platos principales y cuatro bebidas, y que 12 = 3 * 4. (12 = 3 platos principales * 4 bebidas)

5 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 4 b) Cuántas comidas diferentes constan de una entrada, un plato principal y una bebida? Si se enumeran todas las comidas posibles que constan de una entrada, un plato principal y una bebida, se obtiene: APT, APL, APR, APC AET, AEL, AER, AEC AFT, AFL, AFR, AFC SPT, SPL, SPR, SPC SET, SEL, SER, SEC SFT, SFL, SFR, SFC 24 comidas Observe que hay dos entradas, tres platos principales y cuatro bebidas, y que 24 = 2 * 3 * 4. En los incisos a y b se muestra que el número total de comidas es igual al producto de los números de cada platillo. Este ejemplo ilustra el principio de multiplicación. Permutaciones Son ordenamientos diferentes sin repetir los objetos que forman el conjunto. Ejemplo 1. Cuál es el número total de permutaciones que se pueden realizar con las letras A, B y C? Considere las diferentes formas (arreglos) en que pueden situarse las letras A, B, y C. Para la primera posición puede elegirse a cualquiera de las tres letras; para la segunda se puede escoger a cualquiera de las dos restantes y para la tercera debe seleccionarse la letra que no se utilizó. Así existen 3 * 2 * 1 = 6 maneras en las que pueden arreglarse tres letras. Los seis arreglos o permutaciones son: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA, que se presentan en la Figura 1.

6 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 5 A B C B C A C A B C B C A B A ABC ACB BAC BCA CAB CBA Figura 1 Observe en la Figura 1 que la permutación ABC es diferente a ACB porque son las mismas letras pero ordenadas de diferente forma, el mismo criterio se aplica a las otras permutaciones. Regla de conteo para las Permutaciones. Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan r objetos de un conjunto de n objetos y el orden de selección es relevante. Los mismos r objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado experimental diferente. El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r está dado por: P r n = r! n r = n! (n r)! Ejemplo 1. Si se va a integrar un código con 4 letras diferentes, partiendo de un conjunto de 8 caracteres disponibles de la A - H. Cuántos códigos es posible generar?

7 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 6 Solución: En este caso n = 8 (Cantidad de letras de la A - H) y r = 4 y como Combinaciones cada orden es un código diferente, entonces se trata de una permutación. P 4 8 = n! (n r)! = 8! (8 4)! = 1680 Son 1680 códigos diferentes que se generan. Son objetos en los que no importa el orden. Combinación Es una selección diferente sin importar el orden de un conjunto. Diferencia entre permutación y combinación En la permutación el interés se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los arreglos de éstas, mientras que en la combinación el interés sólo recae en contar el número de selecciones diferentes. De esta manera ABC y ACD son diferentes combinaciones de tres letras. Mientas que ABC y ACB son distintas permutaciones de la misma combinación. Observe que: ABC ACD La combinación es una selección de tres letras diferentes, entonces son dos combinaciones La combinación ABC tiene 6 permutaciones: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. La Combinación ABC tiene 6 permutaciones, pero como no importa el orden se cuentan como una sola combinación (son las mismas letras)

8 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 7 Regla de conteo para las Combinaciones. Permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en seleccionar r objetos de un conjunto (usualmente mayor) de n objetos en donde el orden en que están dispuestos los objetos no importa. El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r es: La notación! significa factorial. C r n = n r = n! r! (n r)! Ejemplo 1. Si de un grupo de 6 personas se van a seleccionar 3 para un comité de representación en donde todas ostentan el mismo cargo, Cuántos grupos diferentes de 3 representantes se pueden formar? Solución: En este caso n = 6 y r = 3 y como cada elemento tiene el mismo cargo, entonces: C 3 6 = n! r! (n r)! = 6! 3! (6 3)! = 20 Se formar 20 diferentes grupos de 3 representantes. Probabilidad usando técnicas de conteo. Es factible usar técnicas de (Probabilidad conteo vistas simple) anteriormente para el cálculo de probabilidades en eventos que no impliquen reemplazo. La regla que se sigue es la siguiente: P(A) = Numero de puntos muestrales del eventoa Numero de puntos muestrales totales (Probabilidad simple)

9 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 8 Ejemplo 1. Se tienen en una bodega 20 artículos, de los cuales 5 son de importación. Si se toman 4, Cuál es la probabilidad de que los 4 sean de importación? Solución: Primeramente se toman en cuenta las siguientes consideraciones: Se habla de una población de tamaño N, dentro de ella hay un número k de elementos que cumplen con cierta característica. De este subconjunto k deseamos obtener x elementos con dicha característica en una muestra de tamaño n. Para seguir con la regla anterior tomaremos la información de la siguiente manera: P(x = elementos que cumplan caracteristica) = C n x N k k C x CN n Por lo tanto, N = 20 Total de población, k = 5 subconjunto de elementos que cumplen cierta característica, n = 4 muestra de elementos que cumplen con dicha característica, x = 4 elementos que cumplen con dicha característica. P(x = 4) = C C 4 20 C 4 P(x = 4) = C 0 15 C 4 5 Ocupamos 0 artículos nacionales y 4 de importación, por eso se realiza esta multiplicación de combinaciones. C 4 20

10 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 9 C 0 15 = n! r! (n r)! = 15! 0! (15 0)! = 15! 1(15!) = 1 C 4 5 = 5! 4! (5 4)! = 5! 4! (1!) = 5 C 4 20 = 20! 4! (20 4)! = 20! 4! (16!) = 4845 Entonces la P(x = 4) = 1(5) / 4845 = % es la probabilidad de que los 4 artículos sean de importación

11 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 10 Conclusión En esta sesión aprendimos a trabajar las técnicas de conteo más utilizadas como lo son las permutaciones y combinaciones, recordando que la diferencia entre ellas es que en las permutaciones sí importa el orden que se va a realizar y en las combinaciones no importa ese orden. En la siguiente sesión iniciaremos nuestro trabajo con las Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas. Fuente:

12 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 11 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los sitios de Internet. Técnicas de Conteo. Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, porque te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

13 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 12 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de las técnicas de conteo de permutaciones y combinaciones, resuelve los siguientes ejercicios: 1.- De cuántas maneras posibles se seleccionan tres objetos de un conjunto de seis? Use las letras A, B, C, D, E y F para identificar a los objetos y enumere todas las combinaciones diferentes de los tres objetos. 2.- Cuántas permutaciones de tres objetos se pueden seleccionar de un grupo de seis? Use las letras A, B, C, D, E y F para identificar a los objetos y enumere cada una de las permutaciones factibles para los objetos B, D y F. 3.- Las placas de los autos, se identifican por tres letras y tres números. a) Cuál es el número total si ninguna letra de placa posible puede usarse más de una ocasión en la misma placa? b) Cuál es el número total sin esta restricción? 4.- Considere el experimento de lanzar una moneda tres veces. a) Elabore un diagrama de árbol de este experimento. b) Enumere los resultados del experimento c) Cuál es la probabilidad que le corresponde a cada uno de los resultados? Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificación final.

14 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 13 Bibliografía Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning. ISBN: Levine, David M., Krehbiel, Timothy C. y Berenson, Mark L. (2012): Estadística descriptiva. México: Pearson Educación Lind Douglas A., Marchal William G. y Wathen Samuel A. (2008): Estadística aplicada a los negocios y la economía. México: McGraw-Hill. Cibergrafía (s.f.). Técnicas de Conteo Recuperado de: Hernández, J. (s.f.). Técnicas de Conteo Recuperado de: 0de%20conteo.pdf