Geometría Axiomática de la Convexidad Parte II: Axiomática de Cápsula convexa

Transcripción

1 Geometría Axomátca de la Convexdad Parte II: Axomátca de Cápsula convexa Juan Carlos Bressan Resumen En la Parte I estudamos una axomátca de segmentos, en la que defnmos los convexos y estudamos sus propedades conjuntstas. Ello nos permtó defnr la cápsula convexa para subconjuntos del espaco y demostrar algunas de sus propedades. En esta Parte II, tomaremos como concepto prmtvo el de cápsula convexa que caracterzaremos medante cuatro axomas ndependentes que resultan de propedades de la cápsula convexa dadas en la Parte I. Los segmentos se defnrán a partr de la cápsula convexa y obtendremos como teorema los tres axomas de la axomátca de segmentos de la Parte I. De esta forma ambos sstemas axomátcos resultarán equvalentes. Ello permtrá asegurar que toda proposcón de la Parte I tambén puede demostrarse en el sstema axomátco de la Parte II y vceversa. En tal sentdo, utlzando la axomátca de cápsula convexa, probaremos los dversos teoremas en este sstema axomátco, prescndendo de las demostracones hechas en la prmera parte. En un Apéndce, un axoma ndependente de los anterores permtrá estudar la separacón de convexos medante semespacos. La numeracón de los parágrafos, defncones, proposcones y fguras contnúa la de la Parte I del trabajo. 3

2 PARTE II Axomátca de Cápsula convexa 8- Un sstema axomátco de cápsula convexa equvalente al de segmentos Ahora vamos a ver que tomando certas proposcones sobre la cápsula convexa de la axomátca de segmentos desarrollada en la Parte I de este trabajo, podemos obtener un nuevo sstema axomátco equvalente al anteror, pero que tenga como térmno prmtvo un operador de cápsula convexa. En este caso los segmentos serán térmnos defndos y todo axoma del prmer sstema será una proposcón del segundo, mentras que todo axoma del segundo sstema será una proposcón del prmero. Sea X un conjunto con card X y conv : P( X ) P( X ) una funcón que a cada conjunto A X le asgna otro conjunto conv A X llamado cápsula convexa de A. Los sguentes cuatro axomas caracterzan este sstema axomátco de cápsula convexa. C.. Para todo C.. Para todo C.3. Para todo C.4. S A X, conv ( conv A) conv A. A X, conv A conv F : F fnto F A. x X, conv x x. a X y F es un subconjunto fnto de X, entonces conv a F conv a, y : y conv F. Observemos que C. es la proposcón 4.4 () en donde se reemplazó la gualdad por una nclusón. Por otra parte, C. es la proposcón 4.3; además C.3 es la tercera de las propedades de 4.4 (v). El axoma C.4 es un caso partcular del Corolaro 5.3, en donde reemplazamos el conjunto D por un conjunto fnto F, la gualdad por una nclusón y por la cuarta propedad de 4.4 (v) conv a, y a, y. En consecuenca, todos los axomas del operador cápsula convexa se deducen en la axomátca de segmentos estudada en la Parte I. Ahora, comenzaremos probando algunas propedades de la cápsula convexa que nos permtrán ver la equvalenca entre ambos sstemas axomátcos. Proposcón 8.. S A B X, entonces conv A conv B. 4

3 Demostracón. Supongamos A B X y sea x conv A. Así por C. exste F A y F fnto tal que x conv F. Puesto que A B resulta F B y, por C., conv F conv B. Luego x conv B y conv A conv B. Proposcón 8.. Para todo Demostracón. S A conv x x. Luego, x conv A. A X, A conv A. x, entonces por C. x conv A 5 conv. Pero por C.3 Como corolaro de 8. y 8. vemos que en C. se puede reemplazar la nclusón por la gualdad. Proposcón 8.3. Para todo A X, conv ( conv A) conv A. Demostracón. Por 8. A conv A. Luego, por 8. conv A conv ( conv A). Pero, por C. conv ( conv A) conv A. Luego, conv ( conv A) conv A. Proposcón 8.4. S A, B X y A conv B, entonces conv A conv B. Demostracón. S A conv B, entonces por 8. conv A convconv B y por 8.3 conv A conv B. Fnalmente, para demostrar que los axomas de los segmentos se deducen en la axomátca de cápsula convexa, tendremos que defnr el térmno segmento cerrado en este sstema, tenendo en cuenta la proposcón 4.4 (v). Defncón 8.5. Dados a, b X defnmos el segmento cerrado de extremos a, b a, b conv a, b. medante Ahora veremos que los segmentos cerrados defndos en 8.5 cumplen los axomas S., S. y S.3 del sstema axomátco de segmentos. Proposcón 8.6. La funcón segmento cerrado defnda para todo a, b X medante a, b conv a, b cumple los tres axomas de la axomátca de segmentos: S.. a, b a, b. S.. a, a a. S.3. c a, b c a, b xc c y b b x a, y.,,

4 Demostracón. S. es consecuenca de 8.. Además, S. es un caso partcular de C.3, en donde reemplazamos la gualdad por una nclusón. Resta probar úncamente S.3; para ello tomemos c a,b, c a,b y x c,c. Luego, por 8.5, c conva,b, c conv a,b y x convc,c. Por 8., conv a, b conv a, b conv a, b, b, luego c, c conv a, b, b ; así, por 8.4 conv c, c conv a, b, b y x conv a, b, b. Pero por C.4, conv a, b, b conv a b, b conv a, y: y conv b, b ; luego y conv b, b b b x conv a, y a, y. exste, tal que, La proposcón 8.6 completa la demostracón de la equvalenca entre los sstemas axomátcos de segmentos y de cápsula convexa. De allí que las proposcones demostradas en el sstema axomátco de segmentos sguen sendo válda en la axomátca de cápsula convexa. El objetvo de este parágrafo consstó en probar la equvalenca entre ambos sstemas. En el sguente desarrollaremos el sstema axomátco de cápsula convexa dando las defncones y efectuando las demostracones dentro del msmo y prescndendo de la equvalenca antes demostrada. 9.- Desarrollo del sstema axomátco de cápsula convexa Dentro de este contexto axomátco vamos a ver que en C.4 se puede reemplazar la nclusón por la gualdad. Proposcón 9.. S a X y F es un subconjunto fnto de X, entonces conv a F conv a, y : y conv F. Demostracón. Veremos que conva, y: y conv F conv a F otra nclusón está dada en C.4. Por 8., conv F conv a F a conv a F. Así, s y conv F, a y conv a F conv a, y conv a F y conv a, y: y conv F conv a Vamos a generalzar 9. reemplazando puede ser fnto o nfnto. ya que la ; por 8., y por 8.4, F. F y fnto, por un subconjunto B que Proposcón 9.. S a X y B es un subconjunto de X, entonces conv a B conv a, y : yconv B. 6

5 Demostracón. S B es fnto entonces vale la gualdad por 9.. Supongamos que B es nfnto y sea D conv a, y: yconv B. S x D, exste y conv B tal que x conv a, y. Por 8. y conv a B; por 8. a, y conv a B y, por 8.4, conv a, y conv a B. En consecuenca, x conv a B y D conv a B. Por otra parte, s x conv a B, por C. exste F B, F fnto tal que x conv a F; luego por C.4 x conva, y: y conv F; pero por 8. conv F conv B, así x D y conv a B D. En consecuenca, conv a B D Observacón 9.3. Por lo probado en 9. y 9. podríamos reemplazar el axoma C.4, en este sstema axomátco, por cualquera de las proposcones 9. o 9., obtenéndose sstemas axomátcos equvalentes para operadores de cápsula convexa. Proseguremos el desarrollo de la axomátca de cápsula convexa, prescndendo de las demostracones ya obtendas en la axomátca de segmentos. Hasta ahora no defnmos en este sstema el térmno conjunto convexo. Por smltud con la proposcón 4.4 () damos la sguente defncón. Defncón 9.4. S A X, dremos que A es convexo s y solo s A conv A. Proposcón 9.5. S x X x es convexo. Además X y son convexos y para todo A X, conv A es convexo., entonces x es convexo. Por 8. X conv X. Pero, conv : P( X ) P( X ) ; luego conv X X y X conv X, resultando X convexo. Tomemos x, y X, x y ; por 8. conv conv x y conv conv y. Así, por C.3, conv x y. Luego, conv y es convexo. Por 8.3, conv A es convexo. Demostracón. Por C.3 conv x x, luego Proposcón 9.6. conv F A. A X es convexo s y solo s para todo F fnto y F A, Demostracón. Por C. conv A conv F : F fnto F A. Luego, s para todo F fnto y F A, conv F A, entonces conv A A. Pero, por 8. A conv A. Así, A conv A y por 9.5 A es convexo. 7

6 Proposcón 9.7. Sea C I es una famla de subconjuntos convexos de X, entonces: () C es convexo. I I () S C es una cadena, entonces Demostracón. () Sea I C es convexo. I 8 C C. Por 9.6 tendremos que ver que s F C y F es fnto entonces conv F C. Pero s F C, entonces para todo I, F C y, puesto que los C son convexos, conv F C y conv F C. Luego, por 9.6, C es convexo. () Sea D C. Tomemos F D, con card F. Así, para cada x F, I tomamos un subíndce I, tal que x C. S J I es el conjunto de los subíndces consderados, tendremos que card J card F. Pero como C I es una cadena, tambén C J será una cadena y por ser J fnto, exstrá 0 J tal que C C, Luego F C 0, donde C 0 es convexo. Así, conv F C 0. Pero como 0 J C 0 D, luego conv F D y, por 9.6, D es convexo. En 3.5 de la Parte I, defnmos los convexos medante los segmentos, mentras que en 9.4 de esta Parte II, los defnmos como los conjuntos nvarantes por el operador cápsula convexa. En la sguente proposcón veremos que tambén en esta axomátca podemos caracterzar los convexos medante segmentos. Proposcón 9.8. Sea A X, entonces A es un conjunto convexo s y solo s ( x A)( y A) x, y A. Demostracón. Supongamos que A X y A es convexo. S F x y A conv F A y, por 8.5, conv F x, y; luego x, y A. Ahora supongamos que x A)( y A) x, y A,, por 9.6 ( y veremos que A es convexo. Para ello, en vrtud de 9.6, tendremos que probar que s F A y F es fnto entonces conv F A. Esta demostracón se hará por nduccón sobre j card F. S j 0, entonces F y, por 9.5, conv F A. S j,

7 entonces F x y, por C.3, conv F x A. S F x, y, que por 8.5 conv F x, y A. Ahora, por hpótess nductva, supongamos que para j n con n, vale que s F A y card F n, entonces conv F A. Probaremos que s j n y F A con card F n, entonces conv F A. Tomemos F A con card F n y F a F con a A y a F ; así, card F n. Por C.4, conv a F conv a, y: y conv F. Pero a, y A, pues a A, mentras que y conv F A. Luego, conv a, y a, y A y conv F A. De esta forma, por el prncpo de nduccón completa, para cualquer F A con F fnto, resulta conv F A. Luego, por 9.6, A es convexo. j, entonces En 4. de la Parte I de este trabajo defnmos la cápsula convexa de A X medante la nterseccón de todos los convexos C X tales que A C. En la sguente proposcón demostraremos en este sstema axomátco tal caracterzacón de conv A. Proposcón 9.9. S A X, entonces conv A C X : A C C convexo. Demostracón. Sea C X A C C convexo :. Por 8. A conv A. Pero, por 9.5, conv A es convexo. Así, conv A y conv A. Pero, por 8., para todo C, conv A conv C, y por 9.4, C conv C. Así, para todo C, conv A C y, en consecuenca, conv A y conv A. Como en la Parte I, de la defncón 4. obtuvmos el corolaro 4., en esta Parte II, de la proposcón 9.9 obtenemos el corolaro sguente. Corolaro 9.0. La cápsula convexa cumple las sguentes condcones que la caracterzan: () conv A es convexo. () A conv A. () S B A y B es convexo, entonces A B conv. 9

8 0- Independenca en la axomátca de cápsula convexa Puesto que los axomas de esta Axomátca de cápsula convexa son proposcones de la Axomátca de segmentos, podemos afrmar la consstenca del sstema axomátco que estamos estudando. Por supuesto que una forma drecta de asegurar la consstenca se logra tomando en el plano o el espaco eucldano la cápsula convexa usual que evdentemente cumple los cuatro axomas del sstema. En la Parte I vmos la ndependenca de los axomas de segmentos. Ahora veremos la ndependenca de los axomas de cápsula convexa. Para ello tendremos que encontrar una nterpretacón que no satsfaga el axoma consderado pero que satsfaga todos los restantes axomas del sstema. 0.. Independenca de C.. Sea X el plano eucldano y defnamos, como en 5.7, para todo A X, CA x, y: x, y A. S A a, a, a 3, donde a, a, a3 C A a, a a, a a a, son tres puntos no alneados del plano, resulta que 3 3, mentras que CA conv A a, a a C, es decr, es el trángulo de vértces, 3. En consecuenca, este operador no cumple C., sn embargo, cumple los tres axomas restantes. Resulta nteresante ver que, por no cumplrse C., el axoma C.4 se satsface con la nclusón estrcta. En efecto, s A es el conjunto ya consderado y F a,a 3 podemos escrbr A a F. Así, CF a,a 3 y Ca F CA, men- C a y : y C F conv. tras que A, 0.. Independenca de C.. Consderemos en el plano eucldano X, la cápsula convexa cerrada cconv : PX PX ; A cconv A, defnda por cconv A C X : A C C convexo cerrado. Como la famla de los convexos cerrados de X es ntersecconal, cconv A es el menor conjunto convexo cerrado que contene a A y, en consecuenca, el operador cconv es dempotente por lo que cumple C.. Por otra parte, s F X es fnto, entonces F es cerrado y acotado, por lo cual conv F tambén será cerrado y acotado. Así, s F X es fnto, cconv F conv F. De esta forma, se cumplen los axomas C.3 y C.4 para la cápsula convexa cerrada, ya que los conjuntos allí consderados son fntos y en consecuenca se puede reemplazar en los msmos conv por cconv. Esto últmo nos permte ver que s A X, cconv F : F fnto F A conv A cconv A cl conv A ;, pero 0

9 así s conv A no es cerrado entonces cconv F : F fnto F A cconv A. Por ejemplo, s tomamos la corona aberta x; yr : x; y entonces cconv F : F fnto F A conv A de centro 0 ; 0 y rado, pero A x; yr : x; y A,, es decr, es el círculo aberto cconv es el círculo cerrado del msmo centro y rado. Evdentemente, no se cumple C Independenca de C.3. Consderemos un conjunto X con card X y V : PX PX ; A VA. Así V x, en consecuenca, no se satsface C.3, pero se cumplen los restantes axomas Independenca de C.4. Tomemos en el plano eucldano X, la cápsula afín af P( X ) P( X ); A af A af A C X : A C C afín. S, men- :, con a, b, b son tres puntos no alneados del plano X y F b,b af a, y: y af F X ra, donde r es la recta paralela a af F tras que af a F X, resulta que. Fáclmente se ve que se cumplen los restantes axomas. Cabe destacar que C. es propo de todas las cápsulas algebracas, mentras que C.4 es característco de la cápsula convexa. Observacones fnales de la Parte II En lo desarrollado en esta Parte II del trabajo utlzamos una axomátca de cápsula convexa, cuyos cuatro axomas se deducían en la axomátca de segmentos de la Parte I. Además vmos que esta axomátca es equvalente a la de segmentos y que sus axomas son ndependentes. Evdentemente al contar con pocos axomas se faclta la prueba de la ndependenca. Cabe destacar que el grado de abstraccón de esta segunda parte es mayor que el del sstema axomátco de segmentos, pues toma como térmno prmtvo el de cápsula. En los sstemas axomátcos consderados en las dos partes de este trabajo no es posble demostrar algún resultado acerca de la separacón de convexos. Debdo a la mportanca que tene este tema, veremos en el apéndce la separacón de convexos medante semespacos, que es el prmer paso para poder llegar a la separacón de convexos medante hperplanos, que requere de un sstema axomátco mucho más complejo, como el dado en Bressan (007).

10 APÉNDICE La separacón de convexos medante semespacos - El axoma de separacón,, podemos enuncar este nuevo axoma, respectvamente, en la axomátca de segmentos y en la de cápsula convexa medante las sguentes expresones equvalentes. Puesto que por una consecuenca de 3.6 es conv a b a, b S.4. c a, b c a, b b, cb, c. C.5. c conv a, b c conv a, b conv b, c conv b c., La Fgura 6 lustra dcho axoma a c c b b Fgura 6 Este axoma que es ndependente de los restantes de los sstemas axomátcos consderados suele llamarse axoma de Pasch. S agregamos S.4 al sstema axomátco de segmentos, o ben C.5 al de cápsula convexa podemos probar la sguente proposcón, cuya demostracón la haremos dentro del sstema axomátco de cápsula convexa. Proposcón.. S A y B son convexos no vacíos de X, tales que A B, A B X y p A B, entonces se cumple al menos una de las sguentes gualdades: () conv p B B conv p A. A ; ()

11 Demostracón. Supongamos por el absurdo que A conv p B y B conv p A. Veremos que en ese caso A B. Tomemos b0 A conv p B y a0 B conv p A. Luego, por 9. y 9.4 exste b B tal que b 0 convp, b, y exste a A, tal que a 0 convp, a. Pero por C.5, conv a, b0 convb, a0. Además, conva, b0 A y convb, a0 B. Luego, A B. De esta forma, de la negacón de la tess llegamos a la negacón de una de las hpótess. En consecuenca, se cumple la tess de la proposcón. 3 La proposcón. nos permte pensar que s tenemos en X dos convexos A y B no vacíos, dsjuntos y cuya unón no sea X, podemos rlos agrandando ya sea uno o el otro hasta obtener dos convexos complementaros C y D, tales que A C y B D. La demostracón de este resultado se hace aplcando el Lema de Zorn de la teoría de conjuntos, que enuncamos a contnuacón. Lema de Zorn. S toda cadena en un conjunto parcalmente ordenado tene cota superor, entonces el conjunto tene un elemento maxmal. Recordemos que en un conjunto parcalmente ordenado, una cadena es un subconjunto totalmente ordenado, es decr, dados dos elementos cualesquera de la cadena sempre serán comparables por la relacón de orden del conjunto. Ahora demostraremos en este sstema axomátco, el teorema de separacón de convexos medante convexos complementaros, conocdo en la convexdad desarrollada en espacos vectorales como teorema de Kakutan. Proposcón.. S A y B son convexos no vacíos de X, tales que A B, entonces exsten C y D convexos complementaros tales que A C y B D. Demostracón. Comenzaremos defnendo un conjunto al que podamos aplcarle luego el lema de Zorn. Para ello tomemos Evdentemente, A, B : A, B convexos de X A A B B A B. ya que A, B ; además puede ordenarse parcalmente A, B A j, B j s y solo s A Aj y B B j. Tomemos medante la relacón una cadena A, B : I, es decr un subconjunto de que esté totalmente ordenado por la relacón de orden parcal antes defnda, y veamos que dcha cadena tene una cota superor en. Para ello consderamos el par ordenado

12 I A, I B y veremos que pertenece a. Sabemos por 9.7 () que I A y B son convexos. Resta ver que A B. Supongamos que I exste x A B I I I, luego, exste j I, tal que x Aj y exste k I, es una cadena resulta que A j B j Ak, Bk,. Supongamos, por ejemplo, que A B A, B tal que x Bk. Pero como A B A, B k k j j I j, o ben, ; luego, Aj A k y B j Bk. Así x A k Bk, lo cual contradce que A k, B k. De esta forma la cadena tene por cota superor el par ordenado I A, I B y por el lema de Zorn exste un elemento maxmal C, D. En consecuenca, C y D son convexos resultando A C y B D. S suponemos que C D X, entonces exste p C D y C, D no sería maxmal. En efecto, por. tendríamos que C conv p D o ben D conv p C. En consecuenca, C, D C, conv p D o ben C, D conv p C, D. De esta forma, C, D no sería elemento maxmal de, lo cual contradce la maxmaldad de C, D. En consecuenca, C D X ; y C, D son convexos complementaros tales que A C y B D. La proposcón anteror permte defnr un concepto débl de separacón de convexos medante semespacos complementaros. Defncón.3. Dremos que S,S es un par de semespacos complementaros de X s y solo s S y S son convexos no vacíos de X, tales que S S y S S X. Defncón.4. S A y B son convexos no vacíos de X, tales que A B, dremos que S,S es un par de semespacos complementaros que separan A y B s y solo s A S y B S, o ben, A S y B S. En la defncón.4 no pedmos que A B X, pues s A B X, entonces S, S A, B es el par de semespacos complementaros que separan A y B. Como consecuenca de. y.4 obtenemos la proposcón sguente. j k k 4

13 Proposcón.5. S A y B son convexos no vacíos de X, tales que A B, entonces exste un par S,S de semespacos complementaros que separan A y B. 3- Independenca de la axomátca de segmentos S., S., S.3 y S.4 Para probar la ndependenca de cada uno de los cuatro axomas respecto de los restantes, es necesaro que nos aseguremos que cada una de las nterpretacones utlzadas en 6. para probar la ndependenca de los axomas S., S., S.3, tambén satsface S.4, para luego buscar una nterpretacón que satsfaga los tres prmeros axomas, pero que no satsfaga S.4. La nterpretacón dada en 6.. donde el segmento es s ( a, b), hace que no se satsfaga S. pero se satsfagan vacíamente los restantes axomas S., S.3 y S.4. Con respecto a la ndependenca de S., en donde el segmento s( a, b) X, evdente no satsface S., pero satsface los tres restantes axomas S., S.3 y S.4. En el caso de la ndependenca de S.3, donde X es el trángulo ab b al que le restamos el segmento b, b : b, b b, b, tambén cumple S.4. De esta forma, las nterpretacones dadas en 6.., 6.. y 6..3 tambén srven para probar la ndependenca de los tres prmeros axomas en la axomátca de segmentos que utlzamos en este Apéndce. Fnalmente, para probar la ndependenca de S.4 respecto de los restantes axomas tomamos tres puntos a, b, c no alneados del plano y X a, bb, c. De esta forma, defnmos para x; y X el segmento cerrado x; y en X como la nterseccón del segmento x, y del plano con X. Fáclmente se ve que esta nterpretacón satsface los tres prmeros axomas, pero no cumple S.4. En consecuenca, queda probada la ndependenca de los axomas del sstema dado por S.-S.4. Por otra parte, puesto que la axomátca de cápsula convexa de la Parte II es equvalente a la de segmentos de la Parte I, y que S.4 y C.5 son dos expresones equvalentes de la msma propedad, resulta que el sstema dado por C.-C.5 tambén tene todos sus axomas ndependentes. En efecto, de suponer que C.5 podría deducrse de C.-C.4, como dchos axomas son teoremas del sstema S.-S.3, resultaría que S.4 se deducría de S.-S.3, lo cual contradría la ndependenca de S.4 ya probada. 5

14 4- Equvalenca entre el axoma de separacón y el teorema de Kakutan Resulta nteresante destacar la mportanca de agregar el axoma de separacón a las axomátcas antes estudadas, ya que el msmo conjuntamente con los axomas anterores, permte obtener los resultados más elementales de la separacón de convexos. Además, el axoma de separacón, la proposcón. y el teorema de separacón de Kakutan. resultan ser equvalentes, ya sea en la axomátca de segmentos dada por S.-S.3, como en el sstema axomátco de cápsula convexa dado por C.-C.4. Este resultado se verá en la sguente proposcón en donde probaremos las mplcacones que nos llevarán a dchas equvalencas. En la msma trabajaremos drectamente con la axomátca de cápsula convexa dada por C.-C.4. Proposcón 4.. En la axomátca de cápsula convexa dada por C.-C.4, los sguentes enuncados son equvalentes: () c conv a, b c conv a, b conv b, c conv b c., () S A y B son convexos no vacíos de X, tales que A B, A B X y p A B, entonces se cumple al menos una de las sguentes gualdades: () conv p B B conv p A. A ; () () S A y B son convexos no vacíos de X, tales que A B, entonces exsten C y D convexos complementaros tales que A C y B D. Demostracón. Por las demostracones de. y. sabemos que () mplca () y que () mplca (). S demostramos que () mplca () quedará probada la equvalenca entre los tres enuncados. Para ello supongamos que c conv a,b y c conv a,b, pero conv b, c conv b, c. Luego, por () exsten C y D convexos complementaros tales que conv b, c C y convb, c D. De esta forma, a C, o ben, a D. S suponemos que a C, entonces conva, b, c C, luego c C, lo que contradce que convb, c D. Por otra parte, s suponemos que a D, entonces conv a, b, c D ; así c D, lo que contradce que conv b, c C. De esta forma queda demostrado que () mplca (), con lo cual los tres enuncados son equvalentes. Observacón 4.. En la demostracón de. debemos usar el Lema de Zorn o algunos de los enuncados equvalentes al Axoma de eleccón. Evdentemente las dfcultades de la demostracón exgen mayores conocmentos matemátcos que las demostracones anterores. De allí que damos a contnuacón una demostracón de () 6

15 mplca () de la proposcón 4. para aquel docente que no dé el teorema de separacón medante convexos complementaros. La demostracón la haremos por el contrarrecíproco probando que la negacón de () mplca la negacón de (). Supongamos que c conv a,b y c conv a,b, donde a,b c a,b, ya que s c a,b o c a,b trvalmente. Tomemos M conv y P conv c y, la tess de () se cumplría b,c b,c, y supondremos que no se cumple la tess de (), es decr, que M P. Evdentemente, a M P, pues s a M, resultaría M conva, b, c, c conva, b M y c M P ; análogamente, s a P, resultaría P conva, b, c, c conva, b P y c M P. En consecuenca, M y P son convexos no vacíos de X, tales que M P, y a M P. Pero c conv b, c conv a, b, c, y c conv b, c conv a, b, c. Así, c M conv a P y c P conv a M, lo que contradce la tess de (). 5. Observacones fnales del trabajo El materal dado en este Apéndce permte amplar lo que se puede hacer dentro de la geometría axomátca de la convexdad. Queda a crtero del profesor la seleccón y adaptacón del contendo que pueda ser enseñado en los dversos cursos. La dea fue la de llevar a un nvel más elemental temas que tradconalmente formaban parte de trabajos de nvestgacón en Geometría de la Convexdad. En partcular, la mayoría de resultados del presente trabajo fueron desarrollados en Bressan (97 y 976). En el trabajo de Bressan-Ferrazz (00) se prueba la equvalenca entre las famlas ntersecconales y la exstenca de un operador de cápsula generado por dcha famla. Tambén se destaca la dferenca entre las cápsulas de orgen algebraco y topológco. El lbro de Coppel (998) hace un desarrollo exhaustvo de un sstema axomátco que toma como térmno prmtvo el de segmento cerrado y puede tomarse como lbro de referenca para estudos posterores. Por otra parte, en Van de Vel (993) van a encontrar dversos sstemas axomátcos relaconados con la convexdad. 7

16 BIBLIOGRAFÍA Bressan, J. C. (97); Sstema Axomátco para Operadores de Cápsula Convexa, Revsta de la Unón Matemátca Argentna, 6, 3-4. Bressan, J. C. (976); Sstemas Axomátcos para la Convexdad, Tess Doctoral, Facultad de Cencas Exactas y Naturales, UBA. Bressan, J. C. y Ferrazz de Bressan, A. E. (00); Las Cápsulas en las Estructuras de la Matemátca, Acta Latnoamercana de Matemátca Educatva, Clame, Volumen 5, Tomo, Bressan, J. C. y Ferrazz de Bressan, A. E. (009); Lógca smbólca y teoría de conjuntos, Parte I, Revsta de Educacón Matemátca, UMA, 4-, 3-6. Bressan, J. C. y Ferrazz de Bressan, A. E. (009); Lógca smbólca y teoría de conjuntos, Parte II, Revsta de Educacón Matemátca, UMA, 4-, 5-7. Coppel, W. A. (998), Foundatons of Convex Geometry, Cambrdge Unversty Press. Van de Vel, M. L. J. (993), Theory of Convex Structures, North-Holland. º 8