Bioestadística Probabilidad 1. La población es el conjunto de elementos en los que se desea investigar la ocurrencia de una característica

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1 Bioestadística Probabilidad 1 Probabilidad Introducción a la probabilidad La población es el conjunto de elementos en los que se desea investigar la ocurrencia de una característica o propiedad. Son experimentos aleatorios: Lanzamiento de un dado y apuntar el resultad. Número de perros que visitan el Hospital al día. Número de gatos infectados en una granja. Por ejemplo analizar la velocidad con la que la moneda cae al suelo no es un experimento aleatorio. Un suceso aleatorio es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Que salga 3 al lanzar un dado, es un suceso aleatorio. Que salga par es otro suceso aleatorio. El Espacio Muestral es el conjunto de todos los sucesos aleatorios. La probabilidad es una medida de la incertidumbre de un suceso aleatorio. Se vacunan 12 perros contra la rabia, y queremos analizar cuántos perros podrían tener una reacción a dicha vacuna. La población es el conjunto de los 12 perros. El experimento aleatorio el proceso de vacunar a dichos perros y analizar su reacción. Un suceso aleatorio es que haya 3 perros con reacción, otro por ejemplo es que no haya ningún perro con reacción. El espacio muestral es {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Objetivo: una medida que nos de la posibilidad de que ocurra alguno de estos sucesos. Definición de probabilidad Definición Clásica En una población con N elementos, queremos analizar los que tienen una característica A. Entonces la probabilidad de la característica A (o bien, probabilidad de que ocurra A) es: p(a) = casos favorables a A casos posibles en total. Definición Frecuentista : La probabilidad de que ocurra A es la frecuencia relativa de los elementos con la característica A. Definición Axiomática : La probabilidad es una medida de la incertidumbre de los sucesos, y tiene las siguientes propiedades: 1. La probabilidad (frecuencia relativa) de un suceso es un valor entre 0 y 1 0 p(a) La probabilidad (frecuencia relativa) del suceso seguro E, que ocurre siempre, es 1 p(e) = Si A y B son características mutuamente excluyentes (no pueden darse a la vez), la probabilidad de que ocurra o bien A, o bien B es la probabilidad de la suma de A y B y se verifica (es la unión de dos sucesos, que llamaremos suma): p(a + B) = p(a) + p(b).

2 Bioestadística Probabilidad 2 4. AB representa la intersección de los sucesos A y B (que ocurran a la vez). Si A y B son cualesquiera (no mutuamente excluyentes), se tiene p(a + B) = p(a) + p(b) p(ab). 5. Si A C es la característica contraria a A (se dice suceso complementario), se tiene p(a C ) = 1 p(a). Analizamos el experimento de lanzar un dado. Calculamos algunas probabilidades: Probabilidad de que salga el número 2: p(2) = 1/6. Probabilidad de que salga un número par: p(par) = 1/2. Probabilidad de que salgan 2 ó 3: p(2 + 3) = 1/3. Probabilidad de que salga un número de 1 a 6: p( ) = 1. Probabilidad que salga el contrario a 4: p(4 C ) = 5/6. Estimación de probabilidades en la práctica No tiene sentido hablar de probabilidades sin definir previamente la población a la que nos referimos y los sucesos que vamos a considerar. Estas probabilidades se determinan: 1. Estudiando la frecuencia relativa al repetir el experimento en las mismas condiciones. 2. Encontrando, a partir de la naturaleza del experimento, relaciones que liguen a sus probabilidades elementales. Como por ejemplo en el caso de equiprobabilidad. 3. Combinando la experimentación con la teoría sobre la naturaleza del experimento. Este es el método más frecuente en la práctica, y consiste en la utilización de los modelos de distribución de probabilidad más importantes. (equiprobabilidad) En un hospital se estudian 40 perros con parvovirosis canina. De los cuales 25 presentan anorexia. Cuál es la probabilidad de que un perro presente anorexia? 25/40, un 62.5 % Cuál es la probabilidad de que un perro no presente anorexia? 1 25/40, un 37.5 %. Definición de variable aleatoria Una variable aleatoria es una variable matemática (X) cuyos valores son los resultados de un experimento aleatorio, y por tanto vienen determinados por el azar. Los valores que toma una variable aleatoria son numéricos: Si el resultado del experimento es numérico, por ejemplo, el peso de un gato, la variable aleatoria peso tomará los valores que coinciden con el experimento (es decir, el peso). Si el resultado del experimento no es numérico, por ejemplo, lanzar una moneda, entonces se asignan valores numéricos: 0, si sale cara, y 1, si sale cruz. El conjunto de todos los valores de una variable aleatoria con sus probabilidades constituye un modelo de distribución de probabilidad. Veremos que las variables aleatorias pueden ser discretas, si toman valores discretos (0,1,2,...) y continuas, si toman valores en un intervalo real.

3 Bioestadística Probabilidad 3 Características que resumen una variable aleatoria 1. Medidas de centralización. Media µ o valor esperado de la variable aleatoria, que se obtiene promediando todos los valores con su probabilidad. Mediana, Me, que es el valor que divide la probabilidad total en dos partes iguales. Deja el 50 % a cada lado. Moda, que es el valor más probable. 2. Medida de dispersión. La varianza σ 2, y la desviación típica σ, que miden la dispersión con respecto a la media. 3. Percentiles. El percentil p de una variable aleatoria es el valor de X que deja el p % por debajo de él ( ) y el (100 p) % por encima. La Mediana es el percentil 50. Los cuartiles 1, 2 y 3, son los percentiles 25, 50, 75. Por ejemplo, el percentil 64 si hablamos de peso, indica que el 64 % de la población tiene un peso inferior o igual a éste valor, y el 36 % un peso superior. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria es discreta cuando toma un conjunto de valores discretos (0,1,2,...). Puede ser finita o infinita: - Número de perros infectados en un conjunto de N perros: X = {0, 1, 2, 3,...N}. Es finita. - Número de pequeños animales que visitan en un día al hospital: X = {0, 1, 2, 3, 4,...}. Es infinita. Función de probabilidad La función de probabilidad nos da la probabilidad de todos los posibles valores de la variable aleatoria. Como es una variable discreta, podemos calcular la probabilidad de cada valor puntual posible de la variable aleatoria. Son probabilidades puntuales o masas. p(x = x i ). Nota: La suma de todas las probabilidades tiene que ser 1. Distribución acumulativa La función de distribución acumulativa es importante. Nos da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que uno dado. F (x 0 ) = P (X x 0 ). Nota: La distribución acumulativa en el último valor (el mayor). tiene que ser 1 Analizar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria que describe los posibles resultados obtenidos al lanzar una moneda. X={resultados de lanzar una moneda}={salir cara, salir cruz}={0,1} Espacio Muestral Función de probabilidad: p(x = 0) = 1/2, p(x = 1) = 1/2. Función de distribución acumulativa: F (0) = p(x 0) = 1/2, F (1) = p(x 1) = 1.

4 Bioestadística Probabilidad 4 Distribución Binomial B(n, p) Condiciones Realizamos un número finito de ensayos para analizar una propiedad dicotómica (infectado-no infectado, sano-enfermo,...) n es el número de ensayos independientes p es la probabilidad de éxito en cada ensayo Diremos que X es una variable aleatoria con distribución Binomial B(n, p) si X representa el número de éxitos en los n ensayos. s: número de infectados, número de piezas defectuosas,... - Valores que puede tomar la variable X. Lógicamente, el número de éxitos en n ensayos estará en el conjunto: X = {0, 1, 2, 3,..., n}. - Función de probabilidad La probabilidad de tener m éxitos en n ensayos es: p(x = m) = n! m!(n m)! pm (1 p) n m. Nota: La suma de todas las probabilidades tiene que ser 1. - Distribución acumulativa La probabilidad de tener hasta m éxitos en n ensayos es: p(x m) = m k=0 n! k!(n k)! pk (1 p) n k = p(0) + p(1) + + p(m). Nota: La distribución acumulativa en n (probabilidad de tener hasta n éxitos) será 1. - Características La media y desviación para esta variable aleatoria son: µ = np, σ = np(1 p). Sabemos que la probabilidad de que un perro muera a causa de cierta vacuna contra la rabia es de Si administramos la vacuna a 5 perros, cuál es la probabilidad de que no muera ninguno?, cuál es la probabilidad de que no mueran más de 2? Se define la variable X= número de perros que fallecen por la vacuna = B(5, 0.02). Probabilidad de que no muera ninguno es p(x = 0) = 5! 0!5! p0 (1 0.02) 5 = 0.94 Probabilidad de que no mueran más de 2 es p(x 2) = p(0) + p(1) + p(2) = Distribución de Poisson P(λ) Condiciones: Una serie de ocurrencias (eventos) independientes. λ es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio.

5 Bioestadística Probabilidad 5 Diremos que X es una variable aleatoria con distribución Poisson P (λ) si X representa el número de eventos independientes que ocurren de forma constante por unidad de tiempo o espacio. s: número de bacterias en un cultivo, número de visitas al hospital, número de ventas en una terminal,... - Valores que puede tomar la variable X Lógicamente, el número de eventos independientes que ocurren de forma constante por unidad de tiempo o espacio puede llegar a ser infinito X = {0, 1, 2, 3, 4,...}. - Función de probabilidad La probabilidad de que ocurran m eventos independientes de forma constante en tiempo o espacio es λ λm p(x = m) = e m!. Nota: La suma de todas las probabilidades tiene que ser 1. - Distribución acumulativa La probabilidad de que ocurran hasta m eventos independientes de forma constante en tiempo o espacio es: m λ λk p(x m) = e = p(0) + p(1) + + p(m). k! k=0 Nota: La distribución acumulativa en será 1. - Características La media y desviación para esta variable aleatoria son: µ = σ = λ. El promedio de visitas por hora al hospital es de 1.4 Cuál es la probabilidad de no haya ninguna visita a la hora?, y de que haya más de 2 visitas? Se define la variable X = número de visitas por hora =P(1.4). Probabilidad de que no haya ninguna visita: Probabilidad de que haya más de dos visitas: Variable aleatoria continua P (0) = e = ! P (X 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 2 k= k e k! = Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo El peso de un animal es continua. El tiempo de duración de un anestésico es continua. Es importante entender que no es posible conocer el valor exacto de una variable continua, ya que medir su valor supone leerlo dentro de un intervalo. Así medir una estatura de 1.72cm no es exacto, sino que observaremos que está en el intervalo (1.71, 1.73). Este principio caracteriza a las variables aleatorias continuas. Y da lugar a la definición de función de densidad.

6 Bioestadística Probabilidad 6 Función de densidad Es una función positiva f(x) 0, y no nos da la probabilidad, como en el caso discreto, sino un medio para obtener probabilidades. Las probabilidades se obtienen a través de integrales de la función de densidad (el área bajo la curva): p(x 0 X x 1 ) = área bajo la curva densidad entre x 0 y x 1 = x1 x 0 f(x)dx. Nota: el área total bajo la curva densidad tiene que ser 1 (es la probabilidad total). Nota: la probabilidad de un valor puntual será 0 (no hay área) Función de distribución acumulativa Nos da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que uno dado. F (x 0 ) = P (X x 0 ) = área que deja a la izquierda dex 0 bajo la curva densidad = Nota: La distribución acumulativa en el último valor ( ) tiene que ser 1. x0 f(x)dx. Supongamos f(x) la función de densidad que describe el peso de recién nacidos. La probabilidad de que el peso esté entre 2.5kg y 3kg nos la da: p(2.5 X 3) = F (3) F (2.5) = Y la probabilidad de tener un peso superior a 4kg: Distribución Normal N (µ, σ) p(x 4) = 1 p(x 4) = 1 F (4) = f(x)dx. 4 f(x)dx. El la más importante de las variables aleatorias continuas. No sólo porque representa la mayoría de las distribuciones de variables físicas, sino porque es la piedra angular en la inferencia estadística. s: peso, volumen, tamaño. - La variable X toma valores en intervalos reales. - Función de densidad Ahora no tenemos probabilidades puntuales, sino densidad dada por: - Función de distribución A través de la que calcularemos probabilidades: f(x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ 2. p(x a)=área bajo la curva densidad a la izda de a= a f(x)dx. p(a X b)=área bajo la curva densidad entre los puntos a y b= b a f(x)dx. p(x b)=área bajo la curva densidad a la drcha de b= f(x)dx. b

7 Bioestadística Probabilidad 7 - Características La distribución es perfectamente simétrica, centrada en la media µ, que coincide con la mediana y la moda. Su desviación es µ y tiene puntos de inflexión en µ ± σ. Se verifica que el 95.5 % de la distribución se encuentra entre µ 2σ y µ + 2σ. El 99.7 % de la distribución se encuentra entre y µ 3σ y µ + 3σ. - Distribución Normal Estándar Z N (0, 1) Es la distribución normal con media 0 y desviación 1. Toda distribución normal puede transformarse en una estándar, a través de la siguiente transformación: Z = X µ. σ Donde X es una distribución N (µ, σ), y Z es una distribución N (0, 1). Supongamos que la talla (cm) de una población de arenques, sigue una distribución normaln (21.5, 6.5). Expresar la probabilidad de que un individuo de la población sobrepase los 25cm. Y que su talla esté comprendida entre 15 y 30cm. Realizar la transformación también a una normal estándar. p(x 25) = 1 p(x 25) = F (25) = p(z 0.538) = 1 p(z 0.538) = F Z (0.538). p(15 X 30) = F (30) F (15) = p( 1 Z 1.3) = F Z (1.3) F Z ( 1). Relación entre las distribuciones Normal, Binomial y Poisson Analicemos tres relaciones interesantes: 1. Binomial-Poisson Para valores grandes de n y pequeños de la probabilidad p, la distribución binomial B(n, p) se puede aproximar por una poisson P(λ), de la siguiente forma: B(n, p) = P(λ = np). En la práctica, esta aproximación es buena cuando np > 1 y p < Binomial-Normal Para valores grandes de n y con la probabilidad p no muy cercana a 0 ó a 1, la distribución binomial B(n, p) se puede aproximar por una normal N (µ, σ) como sigue: B(n, p) = N (np, np(1 p)). En la práctica, esta aproximación se utiliza para np(1 p) > Poisson-Normal Para valores grandes de λ la distribución poisson P(λ) se puede aproximar por una normal N (µ, σ): P(λ) = N (λ, λ). En la práctica, la aproximación es buena cuando λ > 5.

8 Bioestadística Probabilidad 8 Supongamos que la probabilidad de que una persona desarrolle la gripe a causa de cierta vacuna contra esta enfermedad es de Si administramos esta vacuna a 300 personas, cuál es la probabilidad de que no desarrollen la enfermedad más de 4 personas? En este caso la variable que describe el número de personas que desarrollan la enfermedad, es una distribución binomial B(300, 0.01). Como 300*0.01=3>1 podemos aproximar por una distribución poisson P(3). Vamos a comparar resultados: p(x 4) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = Otras distribuciones continuas 4 k=0 p(x 4) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 300! k!(300 k)! 0.01k (1 0.01) 300 k = k=0 e 3 3k k! = Hay una serie de variables aleatorias continuas, que tienen importancia a la hora de hacer inferencia estadística. Estas, son funciones de distribuciones normales estandarizadas: Distribución Chi Cuadrado La distribución chi-cuadrado χ 2 n con n grados de libertad es la suma de n normales estándar al cuadrado: χ 2 n = Z Z 2 n. Es una distribución asimétrica con media µ = n, y varianza σ 2 = 2n. Esta distribución es adecuada en test no paramétricos. Distribución F de Fisher La distribución F de Fisher con n y m grados de libertad es el cociente de dos chi-cuadrado: F n,m = χ 2 n n χ 2 m m. Esta distribución es adecuada para realizar inferencias sobre la varianza. Distribución t de Student La distribución t de Student con n grados de libertad es el cociente de una normal estándar y una chi-cuadrado: t n = Z. χ 2 n n Esta distribución es adecuada en comparación de medias. Se aproxima a la normal estándar para valores grandes de n.

9 Bioestadística Probabilidad 9 Probabilidad condicional Nuevo espacio de probabilidades Supongamos que nos interesa analizar la ocurrencia de sucesos, pero bajo la condición de que ocurre (necesariamente) un suceso dado B, con probabilidad positiva. Definimos un nuevo espacio de probabilidades, en el cuál se consideran únicamente los casos en los que ocurre el suceso B. Probabilidad de un suceso A condicionada a otro B: p(a B) = p(ab) p(b) Las tablas de contingencia, son útiles para el cálculo de probabilidades condicionales. En éstas se representan las observaciones para características cruzadas: se cumple A no se cumple A se cumple B x1 x2 total B no se cumple B x3 x4 total no B De este modo, tenemos las siguientes probabilidades: p(a) = total A total total A total no A total, p(b) = total B, p(a B) = total x1 x1 total p(b), p(b A) = total p(a). En la elaboración de 1800 jamones, se han utilizado 800 piezas con grasa y 1000 con poca grasa. Además, de los 1100 jamones con calificación de óptimo, 500 de ellos tienen poca grasa. grasa no grasa óptimo no óptimo Cuál es la probabilidad de que un jamón esté elaborado con poca grasa? = , 55 %. 2. Cuál es la probabilidad de que un jamón elaborado con grasa sea calificado de óptimo? = 0.75, 75 %. 3. Cuál es la probabilidad de que un jamón sea óptimo y con grasa? = 0.333, 33 %. Independencia de sucesos Es un concepto muy importante. Dos sucesos van a ser independientes, cuando la ocurrencia de uno no está ligada en absoluto a la ocurrencia del otro. Por tanto, A y B serán independientes si la probabilidad condicionada es la misma que sin condicionar: p(a B) = p(ab) p(b) = p(a), p(b A) = p(ba) p(a) = p(b) De las igualdades anteriores se deduce un cálculo de probabilidad muy importante. Si A y B son sucesos independientes, entonces p(ab) = p(a)p(b) = p(ba) Pero mucho cuidado con esto!, la probabilidad conjunta es el producto de probabilidades si tenemos la seguridad de que son sucesos independientes.

10 Bioestadística Probabilidad 10 Siguiendo con el ejemplo de los jamones anterior, nos preguntamos si son independientes los sucesos tener calificación de óptimo y tener grasa. Si son independientes, la probabilidad de tener calificación de óptimo será la misma, sin depender de la grasa: p(óptimo grasa) = = p(óptimo) Luego no son sucesos independientes. Además, comprobamos que no se verifica el resultado teórico anterior: p(óptimocdotgrasa) = p(óptimo)p(grasa) = 0.27 Teorema de Bayes Introducción al Teorema de Bayes. Inversión de condiciones Analizar los síntomas asociados a una enfermedad, es relativamente fácil, si se dispone de los medios claro. Se trata de hacer un estudio con pacientes con dicha enfermedad y apuntar los síntomas. Si realizamos el estudio un número indefinido de veces, la frecuencia relativa de cada uno de los síntomas es la probabilidad de cada síntoma asociado a la enfermedad. Es una probabilidad condicionada: p(síntoma enfermedad) = p(síntoma enfermedad) p(enfermedad) O bien, dada una causa, analizamos la probabilidad del efecto que produce: p(efecto causa) = p(efecto causa) p(causa) Sin embargo, nuestra información es el síntoma, y no la causa. La fiebre puede estar causada por más enfermedades (causas) que la gripe, y es al médico a quién corresponde decidir cuál es la causa más probable que la origine. Esta va a ser la idea del teorema de Bayes, darle la vuelta a la situación, y por tanto, decidir, cuando se tiene fiebre, cuál es la probabilidad de que sea debido a gripe, a infección, a un virus,... La primera aproximación al teorema es la Fórmula de inversión de condiciones. Supongamos conocida la p(a B) (que es la p(efecto causa)). Entonces, la fórmula que invierte condiciones es: p(b A) = p(a B) p(b) p(a) p(causa efecto) = p(efecto causa)p(causa) p(efecto) Lógicamente, aquí necesitamos una información extra, que es la probabilidad del síntoma, o efecto. Tenemos 100 gatos, de los cuales 40 tienen hipertiroidismo felino (HF ). Analizamos en ellos dos síntomas: alteración en el pelo (AP ) que se da en 34 gatos, de los cuáles 24 desarrollan la enfermedad y pérdida de peso (P P ) que la presentan 38 gatos, de los cuales 30 desarrollan la enfermedad. Analicemos la información: Directa: dada la enfermedad, cuál es la probabilidad de los síntomas? p(ap HF ) = p(ap HF ) p(hf ) = 24 p(p P HF ) = 0.6, p(p P HF ) = = p(hf ) 40 = 0.75 Inversa: dado el síntoma, cuál es la probabilidad de enfermedad? p(hf AP ) = p(ap HF ) p(hf ) p(ap ) = = 0.71, p(hf P P ) = p(p P HF ) p(hf ) = p(p P ) 0.38 = 0.79

11 Bioestadística Probabilidad 11 Teorema de Bayes Situación: tenemos un efecto (síntoma). Y reunimos todas las posibles causas (enfermedades) que pueden originar dicho síntoma. Las causas las suponemos excluyentes, es decir, no pueden ser dos a la vez. Queremos analizar la probabilidad de que, para ese síntoma, se de una enfermedad determinada. Información de la que disponemos: Un síntoma S. n causas posibles excluyentes: C 1, C 2,..., C n, C i C j = ϕ, i j. Conocemos la probabilidad de cada causa: p(c i ), i = 1,..., n. Las causas llenan el espacio de posibilidades de dicho síntoma: n i=1 p(c i) = 1. Conocemos también la probabilidad condicionada de que dada una causa se produzca el síntoma: p(s C i ), i = 1,..., n. El Teorema de Bayes, nos da la probabilidad de que, dado el síntoma, la enfermedad sea una determinada: p(c k S) = p(s C k ) p(c k ) p(s C 1 ) p(c 1 ) + p(s C 2 ) p(c 2 ) + p(s C 3 ) p(c 3 ) + + p(s C n ) p(c n ). Observemos que el denominador es la probabilidad de que se produzca el síntoma: p(s C 1 ) p(c 1 ) + p(s C 2 ) p(c 2 ) + p(s C 3 ) p(c 3 ) + + p(s C n ) p(c n ). Los envases de tetrabrick son producidos en grandes bobinas. Una misma bobina contiene varios rollos con secuencias de envases, y cada rollo recibe una numeración (1 a 5) que permite identificar en qué posición de la bobina fue producido un determinado envase. Cada rollo procesa el 20 % de los artículos, y la probabilidad de que se produzca un envase defectuoso varía según el rollo: del r 1, 0.005, del r 2, 0.002, del r 3, 0.001, del r 4, y del r 5, Cuál es la probabilidad de que un envase sea defectuoso?, si un envase es defectuoso con qué probabilidad pertenece a alguno de los cinco rollos? Las causas son los rollos: p(r i ) = 0.2, i = 1,..., 5 Las probabilidades condicionales, de que sea defectuoso debido a un rollo u otro: p(defectuoso r 1 ) = p(defectuoso r 5 ) = 0.005, p(defectuoso r 2 ) = p(defectuoso r 4 ) = El Teorema de Bayes: Por tanto: p(r k defectuoso) = p(defectuoso r 3 ) = p(defectuoso r k ) p(r k ) p(defectuoso r 1 ) p(r 1 ) + + p(defectuoso r n ) p(r n ) p(r 1 defectuoso) = p(r 5 defectuoso) = 0.33, 33 % p(r 2 defectuoso) = p(r 4 defectuoso) = 0.13, 13 % p(r 3 defectuoso) = 0.06, 6 %