ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS: Proceso de ortonormalización (Gram-Schmidt)

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1 Univrsidad d Jaén Dpartamnto d Matmáticas (Ara d Álgbra) Curso 04/5 PRÁCTICA Nº ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS: Procso d ortonormalización (Gram-Schmidt) En sta práctica vamos a vr como podmos calcular una bas ortonormal d un spacio vctorial V a partir d una bas cualquira para llo aplicarmos l procso d ortonormalización d Gram-Schmidt. En primr lugar lo aplicarmos a un jmplo n l qu l producto scalar s l usual y postriormnt lo harmos para un producto scalar arbitrario.. MÉTODO DE GRAM-SCHMIDT. Considrmos (V <) un spacio vctorial uclído y dada B = {u u... u n } una bas d V tratamos d construir una bas ortogonal qu rprsntarmos por {... n } para llo s calcula: = u n = u = u... n < u < u n.. < u... n n- n-. n- PRÁCTICA : PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN. I

2 Si lo qu qurmos s una bas ortonormal bastará con dividir cada vctor por su norma.. EJEMPLO CON PRODUCTO ESCALAR USUAL. CASO PARTICULAR Considrmos R 3 con l producto scalar usual qu como sabmos n Mathmatica s dnota por l punto ntr dos vctors: In[]:= a={-3}; b={-}; a.b Out[]= Dada la bas B = {() (-0) (0-)} vamos a calcular la bas ortogonal asociada para llo introducimos B n Mathmatica y inicializamos Bo la bas ortogonal como una lista d cros: In[]:= B={{}{-0}{0-}}; Bo=Tabl[0{i3}]; Tnindo n cunta l método d Gram-Schmidt s tin: In[3]:= Bo[[]] = B[[]]; Bo[[]] = B[[]] ((B[[]].Bo[[]])/(Bo[[]].Bo[[]]))*Bo[[]]; Bo[[3]] = B[[3]] ((B[[3]].Bo[[]])/(Bo[[]].Bo[[]]))*Bo[[]] ((B[[3]].Bo[[]])/(Bo[[]].Bo[[]]))*Bo[[]]; Print[Bo] Out[3]= {{ } { - 0} {/ / -}} Todo sto lo podmos runir para dfinir un nuvo comando qu nos calcul la bas ortogonal asociada a una bas cualquira mdiant la ordn Modul: In[4]:= Bortog[B_]:= Modul[{n } n=lngth[b]; =Tabl[0{in}]; For[i= i<=n i = i+ If[i<= [[i]] = B[[i]] [[i]] = B[[i]]- Sum[((B[[i]].[[j]])/([[j]].[[j]]))*[[j]]{ji-}]]]; Print[ La bas ortogonal s ] ] In[5]:= Bortog[B] Out[5]= La bas ortogonal s {{ } { - 0} {/ / -}} PRÁCTICA : PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN. II

3 3. EJEMPLO CON PRODUCTO ESCALAR NO USUAL. CASO GENERAL. Considrmos n R 4 l producto scalar cuya xprsión rspcto d la bas canónica vin dada por: <(x x x 3 x 4 ) (y y y 3 y 4 ) = x y + x y + 4 x 3 y 3 + x 4 y 4 + x y 3 + x 3 y + x y 3 + x 3 y + x 3 y 4 + x 4 y 3 En primr lugar vamos a calcular la matriz asociada a dicho producto scalar (matriz d Gram) rspcto d la bas canónica B={ 3 4 } para llo tnmos qu calcular cada uno d los coficints a ij = < i j. Para llo primro introducimos la xprsión dl producto scalar y la bas canónica: In[6]:= p[{x_x_x3_x4_}{y_y_y3_y4_}]:= x y + x y + 4 x3 y3 + x4 y4 + x y3 + x3 y + x y3 + x3 y + x3 y4 + x4 y3; Bc=IdntityMatrix[4]; Obsrvar qu al dfinir l producto scalar p cada uno d sus dos argumntos son vctors d 4 coordnadas y cada una d stas coordnadas son variabls. Tnindo n cunta lo antrior vamos a calcular la matriz d Gram: In[7]:= A=Tabl[p[Bc[[i]] Bc[[j]]] {i4}{j4}]; MatrixForm[A] Out[7]= Utilizando dicha matriz sabmos qu l producto scalar d x por y s <x y = x t A y y la norma d un vctor x s Dada la bas canónica Bc y tnindo n cunta l método d Gram-Schmidt vamos a calcular la bas ortogonal asociada a Bc con st producto scalar: In[8]:= Bo = Tabl[0{i4}]; x = x t A x Bo[[]] = Bc[[]]; Bo[[]] = Bc[[]] (Bc[[]].A.Bo[[]])/(Bo[[]].A.Bo[[]])*Bo[[]]; Bo[[3]] = Bc[[3]] ((Bc[[3]].A.Bo[[]])/(Bo[[]].A.Bo[[]]))*Bo[[]] ((Bc[[3]].A.Bo[[]])/(Bo[[]].A.Bo[[]]))*Bo[[]]; PRÁCTICA : PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN. III

4 Bo[[4]] = Bc[[4]] ((Bc[[4]].A.Bo[[]])/(Bo[[]].A.Bo[[]]))*Bo[[]] ((Bc[[4]].A.Bo[[]])/(Bo[[]].A.Bo[[]]))*Bo[[]] ((Bc[[4]].A.Bo[[3]])/(Bo[[3]].A.Bo[[3]]))*Bo[[3]]; Print[Bo] Out[8]= {{ 0 0 0} {0 0 0} {-/ -/ 0} {/6 /6-/3 }} Para comprobarlo solo ncsitamos calcular la matriz d Gram para la bas antrior si dicha matriz s diagonal ntoncs Bo srá una bas ortogonal y si la matriz d Gram qu s obtin s la idntidad ntoncs Bo s una bas ortonormal. In[9]:=Tabl[Bo[[i]].A.Bo[[j]]{i4}{j4}]//MatrixForm Out[9]:= Todo sto lo podmos runir para dfinir un nuvo comando qu nos calcul la bas ortogonal asociada a una bas cualquira mdiant la ordn Modul: In[0]:= Bortog[B_]:= Modul[{n } n=lngth[b]; =Tabl[0{in}]; For[i= i<=n i = i+ If[i<= [[i]] = B[[i]] [[i]] = B[[i]]- Sum[((B[[i]].A.[[j]])/([[j]].A.[[j]]))*[[j]]{ji-}]]]; Print[ La bas ortogonal s ]; Print[ La bas ortonormal s Tabl[[[i]]/Sqrt[[[i]].A.[[i]]]{in}]]] In[]:= Bortog[Bc] Out[]= La bas ortogonal s {{ 0 0 0} {0 0 0} {- - 0} {/4 /4-/4 }} La bas ortonormal s {{ 0 0 0}{ Por último comntar qu Mathmatica tin un paqut n l cual podmos obtnr dirctamnt la bas ortonormal a dicho paqut podmos accdr mdiant la ordn: In[]:= <<LinarAlgbra`Orthogonalization` 0 0}{ - - 0}{ - 3 }} PRÁCTICA : PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN. IV

5 Llamando p(x y) al producto scalar d dos vctors x y y usando la ordn GramSchmidt[BasInnrProduct-p] obtndrmos la bas ortonormal buscada. Si l producto scalar s l usual solo tndríamos qu ponr un argumnto qu sría la bas: In[3]:= p[x_y_]:= x.ay; In[4]:= GramSchmidt[BcInnrProduct-p] Out[4]= {{ 0 0 0}{0 0 0}{ }{ }} 5 PRÁCTICA : PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN. V