Resumen Teórico. Curso de Inicio de MATEMÁTICAS. Tema 1: Funciones Elementales Tema 2: Derivación Tema 3: Integración

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1 Resume Teórico. Curso de Iicio de MATEMÁTICAS. Tem : Fucioes Elemetles Tem : Derivció Tem 3: Itegrció Pedro Grcí Ferrádez Mª Ágeles Cstro López

2 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. Frccioes. Iguldd de dos frccioes: = c cudo d = bc b d Sum: c + c + = b b b c d cb d + cb + = + = b d bd bd bd Producto: c = c b d bd c d d Divisió: : = b = = b d c b c bc d Números complejos. Represetció de u complejo Todo complejo z se puede represetr de ls forms:. Form crtesi: ( b, ). Form biómic: + bi 3. Form polr: m α?dode: m= + b b α = rctg 4. Form trigoométric: z = m( cosα + iseα) Opercioes co complejos e form polr I. Producto de complejos: II. Cociete de complejos: III. Poteci de complejos: z z' = m m' = m m' α α' α+ α' z mα m = = z' m' m' α ' ( α ) z = m = m α α' α Resume Teórico.

3 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. IV. Ríces -ésims de complejos: mα = r ϕ dode Fórmul de Möivre r = α + kπ ϕ = co k = 0,,,, ( cos+ ise) = cos( ) + ise( ) m Ríces y potecis Propieddes. p p = +. p = p 3. b = ( b) 4. ( ) p = p = p = p b = = es lo mismo que = b. Cudo = se escribe simplemete 8. b = b 9. b = b Logritmos Defiició de logritmo El logritmo de u úmero y > 0 e u bse dd > 0 es el úmero l que debe elevrse pr obteer y. Se ot log y Propieddes I. Logritmo de u producto =. Resume Teórico.

4 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. II. Logritmo de u cociete III. Logritmo de u poteci IV. Logritmo de u ríz Fució logrítmic Se defie l fució logrítmic como Logritmo deciml y eperio ( ) = ( ) + ( ) log log log = ( ) ( ) log log log log log log : R p = plog = log + R y log y Cudo l bse es = 0 se llm logritmo deciml y se escribe log y Cudo l bse es = e se llm logritmo eperio y se escribe l y Cmbio de bse: log b log = log b Trigoometrí. Rzoes trigoométrics del águlo sum cos + b = cos cosb se seb se + b = se cosb+ cos seb tg+ tgb tg( + b) = tg tgb Rzoes trigoométrics del águlo difereci cos b = cos cosb+ se seb se b = se cosb cos seb tg tgb tg( b) = + tg tgb Rzoes trigoométrics del águlo doble Resume Teórico. 3

5 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. cos cos se = se = se cos tg tg = tg Rzoes trigoométrics del águlo mitd + cos cos = cos se = cos tg = + cos Trsformcioes de sums e productos + b b se+ seb= se cos + b b se seb= cos se + b b cos+ cosb= cos cos + b b cos cosb= se se Ecució de segudo grdo. Ls solucioes (ríces) de Si b b c + + = 0 so 4c es egtivo, o hy ríces reles. ± = b b 4c Si Si b b 4c es positivo, hy dos ríces reles distits. 4c = 0 ls dos ríces so igules, se dice que es u ríz doble. Regl de Ruffii. Sirve pr dividir u poliomio por u fctor liel b, por ejemplo E primer lugr se coloc los coeficietes del poliomio y el úmero, e este cso b =, de l siguiete form Resume Teórico. 4

6 Curso de Iicio EPS. Mtemátics El primer pso es bjr el primer coeficiete del poliomio A cotiució, se multiplic el umero que qued e l tercer fil por, se sube debjo de 5 y se hce l sum, obteiédose Ahor se repite este ultimo pso, hst completr l tbl El cociete de l divisió es y el resto de l divisió es. Si se divide u poliomio P( ) por u fctor liel b, l igul que e ls divisioes de úmeros eteros, se obtiee u poliomio cociete Q( ) y u resto R, e el cso de l divisió efectud teriormete por Ruffii teímos 3 P = b = Q = R = L divisió, se puede cosiderr como l siguiete operció P( ) = Q( )( b) + R De lo que podemos deducir que si el resto es cero R = 0, el poliomio P( ) es divisible por by demás P( b ) = 0, es decir, = b es u ríz del poliomio P( ). Resume Teórico. 5

7 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. Frccioes lgebrics. R( ) = es lo mismo que P( ) S( ) = Q( ) R( ) S( ) P Q Sum: + P R P S R Q + = Q S Q S Producto: P R P R = Q S Q S Cociete: P R P S P S : = = Q S Q R Q R Biomio de Newto. + b = b b b b b b b b b 0 ( ) = ( )! dode j = j! ( j)! y! 3 ( ) m = m m. U form rápid de obteer los úmeros combitorios que prece e el biomio de Newto (trigulo de Trtgli) Resume Teórico. 6

8 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. Así, por ejemplo y b = + 7b+ b + 35b + 35b + b + 7b + b b = 7b+ b 35b + 35b b + 7b b Propieddes de ls desigulddes.. + b c c b. b c c+ b 3. Si > 0 etoces c b c b. 4. Si > 0 etoces b c b c. 5. Si < 0 etoces c b c b. 6. Si < 0 etoces b c b c yb 0 b 0 ó 0 yb 0 8. Si b 0 etoces 0 yb> 0 0 ó b 0 yb < yb 0 b 0 ó 0 yb 0 0. Si b 0 etoces 0 yb< 0 0 ó b 0 yb > 0 Resume Teórico. 7

9 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. Progresioes. Progresioes ritmétics Sum de los primeros térmios:, + d, + d, + 3 d,, + d, ( ) + ( + d) + ( + d) + ( + 3 d) + + ( + ( ) d) = + d Progresioes geométrics Sum de los primeros térmios: Sum de los ifiitos térmios: Cudo r < r r r r 3,,,,,, 3 r + r+ r + r + + r = r = r r r r r Gráfics. Fució vlor bsoluto. Es l fució que tiee domiio todos los úmeros reles, imge el cojuto de los úmeros myores o igules que cero y está defiid por l epresió Su represetció gráfic es: f ( ) = = si 0 si < 0 Resume Teórico. 8

10 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. Fució potecil de epoete rciol. α So ls fucioes defiids medite l epresió ( ) f = co α = p q ( q p irreducible). Ls crcterístics de ests fucioes vrí depediedo de l pridd de p y q. A cotiució se preset ls crcterístics más destcds de ests fucioes y lgus gráfics: p q p 0 < < q p q > p Impr Impr Pr Impr Impr Pr q Impr Pr Impr Impr Pr Impr Domiio R 0 R R 0 Imge R 0 0 R 0 0 Crece e R 0 > 0 R 0 > 0 Decrece e < 0 < 0 R ( ) f = 3 ( ) f = Resume Teórico. 9

11 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. f ( ) = f ( ) = 3 Fució epoecil. Ddo u úmero rel α > 0 y α, se llm fució epoecil de bse α l fució dd por f ( ) α Domiio R. Im( f ) = R +. = [Se defie α l α = e ]. Es u fució co Creciete e R si α > y decreciete si α <. A cotiució se preset l gráfic de dos fucioes epoeciles de bse myor que : f ( ) = e (líe discotiu) y g( ) 0 = (líe cotiu). Resume Teórico. 0

12 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. L represetció gráfic de dos fucioes epoeciles de bse meor que es l siguiete: e que correspode ls fucioes f ( ) = (líe discotiu) y g( ) (líe cotiu). = 0 Fució logrítmic. Ddo u úmero rel α > 0 y α, se llm fució logrítmic de bse α l fució ivers de l fució epoecil de bse α, esto es, f ( ) = log [ log = l lα ]. Es u fució co Domiio R +. Im( f ) = R. Creciete e R + si α > y decreciete si α <. α Resume Teórico.

13 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. A cotiució se preset l gráfic de dos fucioes logrítmics de bse myor que : f ( ) = L (líe discotiu) y g( ) log = (líe cotiu). L represetció gráfic de dos fucioes logrítmics de bse meor que es l siguiete: que correspode ls fucioes f ( ) = (líe discotiu) y ( ) = (líe cotiu). log e g log 0 Fucioes trigoométrics. Se llm sí ls fucioes seo, coseo y tgete. Resume Teórico.

14 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. Fució seo. Es l fució dd por f ( ) = se, cuyo domiio es R, su imge Im( f ) = [, ] u fució periódic de periodo itervlo π π,. Es π ( se( + π ) = se R ). Crece e el y e cosecueci e los itervlos de l form π π π + k π, + k π co k úmero etero. ). Decrece e el itervlo π 3 π y por tto e los itervlos de l form + k π, + k π co k úmero etero. Tom su vlor máimo e los putos de l form y su vlor míimo e los putos de l form represetció gráfic es: π = + k π π = + k π 3, π (k etero) (k etero). Su Fució coseo. Es l fució dd por f ( ) = cos, cuyo domiio es R, su imge Im( f ) = [, ] u fució periódic de periodo itervlo ] π π [. Es π ( cos( + π ) = cos R ). Crece e el, y e cosecueci e los itervlos de l form ] π + k π, π + k π [ co k úmero etero. ). Decrece e el itervlo ],π[ por tto e los itervlos de l form ] k π, π + k π [ Tom su vlor máimo e los putos de l form míimo e los putos de l form gráfic es: 0 y co k úmero etero. = k π (k etero) y su vlor = π + k π (k etero). Su represetció Resume Teórico. 3

15 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. Fució tgete. Es l fució dd por f ( ) tg =, que está defiid pr π + k π co k úmero etero, su imge Im( f ) = R. Es u fució periódic de periodo π ( tg( π ) + = tg R ). Crece e todo su domiio. Su represetció gráfic es: Además de ests fucioes circulres, tmbié se defie l cosecte, l secte y l cotgete: cos ec = se sec = cos cot g =. tg Fucioes trigoométrics iverss. Ls fucioes trigoométrics o so iyectivs, pero restrigids ciertos itervlos si lo so. Resume Teórico. 4

16 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. L fució f : π π, R, defiid por f ( ) se = es u fució iyectiv y por tto tiee ivers. Su imge es Im f π π = ( f ) f, = [, ] ( ) = rcse. A su ivers se le llm fució rcoseo:. Está defiid e el itervlo [, ], tiee imge el π π itervlo, y es creciete. L fució : Im f ( f ) = f ([ 0, π ]) = [, ] ( ) = rccos f [ 0,π ] R defiid por f ( ) cos itervlo [ 0,π ] y es decreciete. = es iyectiv y. Su ivers se cooce como fució rcocoseo:. Está defiid e el itervlo [, ], tiee imge el L fució f : π π, R defiid por f ( ) tg = es iyectiv y Im π π = ( f ) f, =. Su ivers se cooce como fució rcotgete. π π Está defiid e todo R, tiee imge el itervlo, y es creciete. Resume Teórico. 5

17 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. Derivds. Regls de derivció. FUNCIONES DERIVADAS f ( ) = c f ' = 0 f ( ) = f ' = f f + g ( f + g)' = f ' + g' g ( f g)' = f ' g+ f g' f f f ' g f g' ' = g g g f ( ) = f '( ) = f g ( f g ) ' ( ) = f ' g' ( ) Tbl de derivds. FUNCIONES DERIVADAS y = log u u ' y' = log e u y = l y ' = y = l u u ' y ' = u y y = ' = l y u = ' = u 'l y u Resume Teórico. 6

18 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. y = e y' y = u v = e y = seu y = u'cos u y u u u v u u y = cosu y = u' seu y = tgu y = rseu y = rcosu y = rctgu y v v ' = 'l + ' u ' y ' = cos u y ' = y ' = u ' u u ' u u ' y ' = + u Itegrles. Fució primitiv Si F( ) es u fució que posee u derivd F' ( ) f ( ) itervlo b, se dice que F( ) es u fució primitiv de f ( ). Itegrl idefiid = e todos los putos del Se llm itegrl idefiid de f ( ), l cojuto de tods ls primitivs de u fució f ( ). Itegrles imedits d = + C + d = + C, + d l C = + d = + C l ed = e + C sed = cos + C Resume Teórico. 7

19 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. Técics de itegrció cosd = se+ C tgd = lcos + C d rcse = + d d C = rcos+ C rctg + = + Itegrció por sustitució o cmbio de vrible Pr clculr se hce: ) = g( t) b) = ' d g t dt L itegrl será hor: Itegrció por prtes Se utiliz l fórmul: Itegrl defiid f d C ' f d = f g t g t dt udv = u v vdu L itegrl defiid etre dos etremos y b represet el áre del recito limitdo por l curv positiv f ( ), ls ordeds f ( ) y f ( b ) de los etremos del itervlo y el eje OX co b = lim f d h f i = b h = y 0 =, = + h, = + h,, = + h = b Regl de Brrow b = f d F b F i Resume Teórico. 8

20 Curso de Iicio EPS. Mtemátics. dode Cálculo de áres pls f ( ) d = F( ) + C L regl de Brrow permite clculr el áre limitd por u curv, el eje de bsciss y dos ordeds de l curv. Áre de u recito limitdo por dos curvs Se u recito limitdo por dos curvs f ( ) y g( ). Se y b ls bsciss de los putos de itersecció A y B, el áre del recito es: b b b S = f d g d = f g d Resume Teórico. 9