IES Fco Ayala de Granada Junio de 2015 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2015 MODELO

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "IES Fco Ayala de Granada Junio de 2015 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2015 MODELO"

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 015 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) ( 5 putos) Co motivo de su iauguració, ua heladería quiere repartir dos tipos de tarrias de helados. El primer tipo de tarria está compuesto por 100 g de helado de chocolate, 00 g de helado de straciatella y 1 barquillo. El segudo tipo llevará 150 g de helado de chocolate, 150 g de helado de straciatella y barquillos. Sólo se dispoe de 8 kg de helado de chocolate, 10 kg de helado de straciatella y 100 barquillos. Cuátas tarrias de cada tipo se debe preparar para repartir el máximo úmero posible de tarrias? Solució Co motivo de su iauguració, ua heladería quiere repartir dos tipos de tarrias de helados. El primer tipo de tarria está compuesto por 100 g de helado de chocolate, 00 g de helado de straciatella y 1 barquillo. El segudo tipo llevará 150 g de helado de chocolate, 150 g de helado de straciatella y barquillos. Sólo se dispoe de 8 kg de helado de chocolate, 10 kg de helado de straciatella y 100 barquillos. Cuátas tarrias de cada tipo se debe preparar para repartir el máximo úmero posible de tarrias? Es u problema de programació lieal, pero ates de poer las restriccioes y la fució objetivo os fijamos e que hay que poer las mismas uidades; todo e gramos o todo e kilogramos. 100 g y 150 g de helado de chocolate = 0 1 y 0 15 kg de helado de chocolate 00 g y 150 g de helado de straciatella = 0 kg y 0 15 kg de helado de straciatella Sea x = º de tarrias del primer tipo (A). Sea y = º de tarrias del segudo tipo (B).. Para determiar las iecuacioes y la fució objetivo F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Helado Helado Barquillos chocolate straciatella Tarria A (x) Tarria B (y) Total Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes, y la fució beeficio: De se dispoe de 8 kg de helado de chocolate 0 1x y 8. De se dispoe de 10 kg de helado de straciatella 0 x y 10. De se dispoe de 100 barquillos x + y 100. De se fabrica algua tarria del tipo A y del tipo B x 0, y 0. De Cuátas tarrias de cada tipo se debe preparar para repartir el máximo úmero posible de tarrias, teemos la fució a optimizar es F(x,y) = x + y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(x,y) = x + y. Restriccioes: 0 1x y 8; 0 x y 10; x + y 100; x 0; y 0 Las desigualdades 0 1x y 8; 0 x y 10; x + y 100; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, 0 1x y = 8; 0 x y = 10; x + y = 100; x = 0; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x/ /3; y = -4x/3 + 00/3; y = -x/ + 50; x = 0; y = 0 Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, teemos el vértice A(0,0). De y = 0 e y = -4x/3+00/3, teemos 0 = -4x/3+00/3 4x = 00 x = 50, y el vértice es B(50,0). De y = -4x/3+00/3 e y = -x/+50, teemos -4x/3+00/3 = -x/ x+400 = -3x = 5x, de dode x = 0, co lo cual y = -(0)/+50= = 40, y el vértice es C(0,40). De x = 0 e y = -x/ + 50, teemos y = 50, y el vértice es D(0,50). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(0,0), B(50,0), C(0,40) y D(0,50). Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, que es el polígoo coexo limitado germa.jss@gmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua por los vértices A, B, C, y D de los cortes de dichas rectas, cuyos lados so los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Veamos la solució óptima de la fució F(x,y) = x + y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos f e los putos ateriores A(0,0), B(50,0), C(0,40 y D(0,50). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = (0) + (0) = 0; F(50,0) = (50) + (0) = 50; F(0,40) = (0) + (40) = 60; F(0,50) = (0) + (50) = 50. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 60 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(0,40), por tato para repartir el máximo úmero posible de tarrias hay que fabricar 0 del primer tipo y 40 del segudo tipo. EJERCICIO (A) (1 5 putos) Calcule la derivada de cada ua de las siguietes fucioes: 3 l(x) f(x) =, g(x) = (1 x ) (x 3 1), h(x) = 3x 1 7x + 3 x x e 7x (1 puto) Halle las asítotas de la fució p(x) = 3x - 1 Solució (1 5 putos) Calcule la derivada de cada ua de las siguietes fucioes: 3 3 l(x) (3/x) x - 3 l(x) 3x 3x - 9x l(x) f(x) =, f (x) = =, x (x ) x g(x) = (1 x ) (x 3 1), g (x) = -x (x 3 1) + (1 x ) (x 3 1) 3x, = -x (x 3 1) + 6x (1 x )(x 3 1) h(x) = 3x 1 7x + = 3x - 7x + e -x ; h (x) = 6x e -x = 6x x x e e 7x Halle las asítotas de la fució p(x) = 3x - 1 La recta x = a es ua asítota vertical de f si lim f(x) =. Como lim f(x) = x 4+ lim x 4+ asítota vertical de p(x). Para la posició relativa x a 7x 3x - 1 = (8/0+ ) = +, la recta x = 4 (º que aula el deomiador de p(x) ) es ua lim p(x) = x 4 lim x 4 7x 3x - 1 = (8/0- ) = -. germa.jss@gmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Sabemos que los cocietes de fucioes poliómicas de igual grado umerador y deomiador, tiee ua asítota horizotal, y es la misma e ±. La recta y = b es ua asítota horizotal (A.H.) de f si Como de p(x). lim p(x) = x + lim x + 7x 3x - 1 = lim x + 7x 3x = lim x + lim f(x) = b. x 7 = 7/3 33, la recta y = 7/3 es ua asítota horizotal 3 7x 7 Como lim ( p(x) 7/3 ) = lim = 0+, p(x) está por ecima de la A.H. y = 7/3 e +. x + x + 3x x 7 Como lim ( p(x) 7/3 ) = lim = 0-, p(x) está por debajo de la A.H. y = 7/3 e -. x x 3x EJERCICIO 3 (A) De los 700 alumos matriculados e ua asigatura, 10 so hombres y 490 mujeres. Se sabe que el 60% de los hombres y el 70% de las mujeres aprueba dicha asigatura. Se elige ua persoa al azar. (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que apruebe la asigatura? (1 puto) Sabiedo que ha aprobado la asigatura, cuál es la probabilidad de que sea ua mujer? Solució De los 700 alumos matriculados e ua asigatura, 10 so hombres y 490 mujeres. Se sabe que el 60% de los hombres y el 70% de las mujeres aprueba dicha asigatura. Se elige ua persoa al azar. Llamemos H, M, A y A C, a los sucesos siguietes, ser hombre, "ser mujer", "aprobar " y "suspeder ", respectivamete. Datos del problema p(h) = 10/700; p(m) = 490/700; p(a/h) = 60% = 0 6; p(a/m) = 70% = 0 7,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Cuál es la probabilidad de que apruebe la asigatura? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída sea roja (R) es: p(aprobar) = p(a) = p(h).p(a/h) + p(m).p(a/m) = (1/70) (0 6) + (49/70) (0 7) = 67/100 = Sabiedo que ha aprobado la asigatura, cuál es la probabilidad de que sea ua mujer? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( M A ) p( M).p(A/M ) (49/70) (0'7) p(m/a) = = = = (49/67) p(a) p(a) 0'67 EJERCICIO 4 (A) La calificació e Matemáticas de los alumos de u cetro docete es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de desviació típica 1. Ua muestra de 10 alumos ha dado las siguietes calificacioes: (1 75 putos) Se tiee la creecia de que la calificació media de los alumos del cetro e Matemáticas es a lo sumo 5 putos. Co u ivel de sigificació del 5%, platee el cotraste uilateral correspodiete (H o : µ 5), determie la regió crítica y razoe si la creecia es fudada o o. (0 75 putos) Obtedría la misma respuesta si el ivel de sigificació fuese del 15%? Solució La calificació e Matemáticas de los alumos de u cetro docete es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de desviació típica 1. Ua muestra de 10 alumos ha dado las siguietes calificacioes: (1 75 putos) Se tiee la creecia de que la calificació media de los alumos del cetro e Matemáticas es a lo sumo 5 putos. Co u ivel de sigificació del 5%, platee el cotraste uilateral correspodiete germa.jss@gmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua (H o : µ 5), determie la regió crítica y razoe si la creecia es fudada o o. (0 75 putos) Obtedría la misma respuesta si el ivel de sigificació fuese del 15%? Del problema teemos desviació típica poblacioal = σ = 1, tamaño de la muestra = 10, media = µ = x = ( )/10 = 55/10 = 5 5, luego X N(µ,1 ), y la distribució muestral de medias X σ 1' sigue tambié ua distribució ormal: N( x, ) = N(5 5, 10 ) Trabajaremos co lo ormal N(0,1), tipificada de la ormal muestral. Tambié os dice que H 0 : µ 0 5, co u ivel de sigificació de α = 5% = Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : µ 0 5 (la calificació media es a lo sumo 5 putos) y H 1 : µ 0 > 5, lo cual os idica la direcció del cotraste, es u cotraste uilateral por la derecha, por tato la regió crítica esta a la derecha del puto crítico z 1-α. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 05, luego teemos u ivel de cofiaza o probabilidad = 1 - α = 0,95. De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que dicha probabilidad o viee e la tabla, y los valores más próximos es y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato el valor crítico es la media de ambos z 1-α = ( )/ = 1 645, que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ 0 E este caso el estadístico de prueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(0,1), y σ / x - µ 0 5'5-5 el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = = σ / 1'/ 10 Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = está a la izquierda del puto crítico z 1-α = 1 645, estamos e la zoa de aceptació. Resumiedo aceptamos la hipótesis ula H 0 : µ 0 5, para u ivel de sigificació α = Co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 5%, afirmamos que la calificació media de los alumos del cetro e Matemáticas es a lo sumo 5 putos. Obtedría la misma respuesta si el ivel de sigificació fuese del 15%? Lo úico que tedríamos que hacer es calcular el puto crítico z 1-α, y ver si el observado z 0 está a la derecha o a la izquierda del puto crítico z 1-α. Para el ivel de sigificació es α = 15% = 0 15, luego teemos u ivel de cofiaza o probabilidad = 1 - α = 0,85. De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 85, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que dicha probabilidad o viee e la tabla, y el valor más próximo es que correspode al tato el valor crítico z 1-α = 1 04, germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua que separa las zoas de aceptació y rechazo. Como el valor observado z está a la derecha del puto crítico z 1-α = 1 04, rechazamos la hipótesis ula H 0 : µ 0 5, y aceptaríamos la alterativa H 1 : µ 0 > 5, es decir co ua probabilidad de equivocaros del 15%, afirmamos que la calificació media de los alumos del cetro e Matemáticas es superior a 5 putos. OPCION B EJERCICIO 1 (B) 0 3 Sea las matrices A = -1 1, B = , C = (1 7 putos) Calcule las matrices X e Y si X + Y = A y X + B = Y. (0 8 putos) Aalice cuáles de las siguietes operacioes co matices se puede realizar, idicado e los casos afirmativos las dimesioes de la matriz D: A + D = C A D = C t D A = C D A = C t Solució 0 3 Sea las matrices A = -1 1, B = , C 3x = 0. C t x3 3 0 Calcule las matrices X e Y si X + Y = A y X + B = Y. 3 si X + Y = -1 1 = 4 6 -, de dode Y = X. -3 De X + B = Y, teemos X = ( X ) = X, luego 3X = = 6 15 = -9 3, por tato X = (1/3) = 5-3 1, e Y = X = = Aalice cuáles de las siguietes operacioes co matices se puede realizar, idicado e los casos afirmativos las dimesioes de la matriz D: A x + D = C 3x, o se puede realizar porque para sumar matrices tiee que teer el mismo orde y la suma es tambié del mismo orde. A x D x3 = C t x3, si se puede realizar porque para multiplicar matrices las columas de la 1ª debe coicidir co las filas de la ª, y el resultado es filas de la 1ª y columas de la ª. D 3x A x = C 3x, si se puede realizar porque para multiplicar matrices las columas de la 1ª debe coicidir co las filas de la ª, y el resultado es filas de la 1ª y columas de la ª. D A x = C t x3, o se puede realizar porque para multiplicar matrices las columas de la 1ª debe coicidir co las filas de la ª, y el resultado es filas de la 1ª y columas de la ª. EJERCICIO (B) x + si 0 x Se cosidera la fució f(x) = 8x + a si x > x - 1 (1 puto) Determie el valor de a para que la fució sea cotiua. (0 75 putos) Para a = -10, es creciete la fució e x = 3? c) (0 75 putos) Halle sus asítotas para a = -10. Solució germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua x + si 0 x Se cosidera la fució f(x) = 8x + a si x > x - 1 Determie el valor de a para que la fució sea cotiua. La fució x + es ua fució poliómica, por tato cotiua y derivable e todo R, e particular lo es e el itervalo (0,). La fució 8x + a es ua fució racioal, por tato cotiua y derivable e todo R {1} (úmero que x - 1 aula el deomiador), e particular lo es e el itervalo (,+ ). Veamos la cotiuidad de f e x =. f(x) es cotiua e x = si f() = f() = lim f(x) = x + lim f(x) = x lim x + lim x 8x + a lim f(x) = x (x + ) = () + = 6; lim f(x). x + = (16 + /1 = 16 + a, como tiee que ser iguales teemos 6 = 16 + a, de dode x - 1 a = -10 para que f sea cotiua. Para a = -10, es creciete la fució e x = 3? x + si 0 x Par a = -10, f(x) = 8x x = 3 está e la rama x >, luego f(x) = si x > x - 1 Sabemos que ua fució es creciete e x = 3 si f (3) > 0. 8x - 10 f(x) = x - 1 ; f (x) = 8 (x - 1) - (8x - 10) 1. (x - 1) 8x - 10 x (3-1) - (8(3) - 10) Como f (3) = = = /4 = 1/ > 0, f(x) es creciete e x = 3, e realidad es (3-1) 4 estrictamete creciete. c) Halle sus asítotas para a = -10. x + si 0 x Para a = -10, f(x) = 8x si x > x - 1 E 0 x, f(x) = x +, es u trozo de fució poliómica que sabemos o tiee asítotas. 8x - 10 Veamos las asítotas para x >, dode f(x) = x - 1 La recta x = a es ua asítota vertical de f si lim f(x) =. Como lim f(x) = x 1+ 8x - 10 lim x 1+ x - 1 x a = (-/0+ ) = -, la recta x = 1 (º que aula el deomiador de p(x) ) NO es ua asítota vertical de f(x) porque x = 1 o está e x >. Sabemos que los cocietes de fucioes poliómicas de igual grado umerador y deomiador, tiee ua asítota horizotal, y es la misma e ±, e uestro caso sólo la estudiamos e +. La recta y = b es ua asítota horizotal (A.H.) de f si lim f(x) = b. x 8x - 10 Como lim f(x) = lim x + x + x - 1 = 8x lim x + x = lim 8 = 8, la recta y = 8 es ua asítota horizotal de f(x). x + 8x - 10 Como lim ( f(x) 8 ) = lim 8 = 0-, f(x) está por debajo de la A.H. y = 8 e +. x + x + x - 1 EJERCICIO 3 (B) La proporció de persoas de ua població que tiee ua determiada efermedad es de 1 por cada 500 persoas. Se dispoe de ua prueba para detectar dicha efermedad. La prueba detecta la efermedad e germa.jss@gmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua el 90% de los casos e que la persoa está eferma, pero tambié da como efermas al 5% de las persoas saas. (1 5 putos) Se elige ai azar ua persoa y se le hace la prueba. Cuál es la probabilidad de que haya sido diagosticada correctamete? (1 5 putos) Si la prueba ha diagosticado que la persoa está eferma, cuál es la probabilidad de que realmete lo esté? Y de que esté saa? Solució La proporció de persoas de ua població que tiee ua determiada efermedad es de 1 por cada 500 persoas. Se dispoe de ua prueba para detectar dicha efermedad. La prueba detecta la efermedad e el 90% de los casos e que la persoa está eferma, pero tambié da como efermas al 5% de las persoas saas. Se elige ai azar ua persoa y se le hace la prueba. Cuál es la probabilidad de que haya sido diagosticada correctamete? Llamemos E, S, D y D C, a los sucesos siguietes, estar efermo, "estar sao", "ser detectado" y "o ser detectado", respectivamete. Datos del problema p(e) = 1/500; p(s) = 499/500; p(d/e) = 90% = 0 9 ; p(d/s) = 5% = 0 05,... Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). p(ser diagosticado correctamete) = = p(ser detectado estado efermo ó o ser detectado estado sao) = = p(e).p(d/e) + p(s).p(d C /S) = (1/500) (0 9) + (499/500) (0 95) = 9499/10000 = Si la prueba ha diagosticado que la persoa está eferma, cuál es la probabilidad de que realmete lo esté? Y de que esté saa? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de ser diagosticado como efermo, estado o o efermo es: p(d) = p(e).p(d/e) + p(s).p(d/s) = (1/500) (0 9) + (499/500) (0 05) = 517/10000 = Me pide p(e/d) y p(s/d). Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( E D ) p( E).p(D/E ) (1/500) (0'9) p(e/d) = = = = (18/517) p(d) p(d) 0'0517 p(s/d) = ( ) ( ) p S D p S).p(D/S (499/500) (0'05) = = = (499/517) p(d) p(d) 0'0517 EJERCICIO 4 (B) U fabricate de tuberías de PVC sabe que la distribució de los diámetros iteriores, de tubos de coducció de agua que produce sigue ua ley Normal co variaza σ = 0 5 mm. Para estimar el diámetro medio de esas tuberías, toma ua muestra aleatoria de 64 tubos y comprueba que el diámetro medio de esa muestra es de 0 mm. (1 5 putos) Calcule u itervalo de cofiaza, co u ivel del 98%, para la media de los diámetros de los tubos que fabrica. (1 puto) Halle el tamaño míimo que debe teer ua muestra de esa distribució para que la amplitud de u itervalo de cofiaza, co ese mismo ivel de cofiaza, sea iferior a mm. Solució σ Sabemos que para la media poblacioal µ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(µ, ), y germa.jss@gmail.com 7

8 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α / = (b - /, para el itervalo de la z 1- α/. σ media, de dode el tamaño míimo de la muestra es = E. U fabricate de tuberías de PVC sabe que la distribució de los diámetros iteriores, de tubos de coducció de agua que produce sigue ua ley Normal co variaza σ = 0 5 mm. Para estimar el diámetro medio de esas tuberías, toma ua muestra aleatoria de 64 tubos y comprueba que el diámetro medio de esa muestra es de 0 mm. Calcule u itervalo de cofiaza, co u ivel del 98%, para la media de los diámetros de los tubos que fabrica. Datos del problema: = 64; x = 0; σ = 0 5, luego σ = 0 5; ivel de cofiaza = 98% = 0 98 = 1 - α, de dode α = = 0 0, co la cual α/ = 0 0/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0 99 vemos que o viee, y la mas próxima es que correspode a z 1-α/ = 33, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = 0'5 0'5 0 ' 33,0 + ' = ( , ) Halle el tamaño míimo que debe teer ua muestra de esa distribució para que la amplitud de u itervalo de cofiaza, co ese mismo ivel de cofiaza, sea iferior a mm. Datos del problema: Amplitud = b a = ; Error = E = Amplitud/ = (b - / = / = 1, σ = 0 5, igual ivel de cofiaza = 98% os da z 1-α/ = 33. σ z 1- α/. σ De error = E z1 α / = (b - / = 1, teemos que el tamaño míimo de la muestra es E = '33 0'5 1 = , es decir el tamaño míimo es de = tubos. = germa.jss@gmail.com 8

9 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 014 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 014 MODELO 6 (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1-7 Sea las matrices A = -1 y B = (1 5 putos) Calcule las matrices X e Y para las que se verifica X + Y = A y 3X + Y = B. (1 5 putos) Halle la matriz Z que verifica B Z + B t = I. Solució 1-7 Sea las matrices A = -1 y B = Calcule las matrices X e Y para las que se verifica X + Y = A y 3X + Y = B. X + Y = A X + Y = A X + Y = A 3X + Y = B (F F 1 ) X = B A X = (1/) (B A), de dode Y = A X = A (1/) (B A) = A (1/)B + (1/)A = (3/)A (1/)B Luego X = (1/) (B A) = (1/) = (1/) = 0-7/ 7/ -3/. 1-7 Y = (3/)A (1/)B = (3/) -1 (1/) = 3/ -1/ 6/ -3/ 1/ 0-5/ / = 1-1/ 11/ -5/. Halle la matriz Z que verifica B Z + B t = I. Como det(b) = B = = 0 = 0, existe la matriz iversa B -1 = (1/ B ) Adj(B t ). B t 1-5 = 0 ; 0 Adj(Bt ) = 5 1, luego B -1 = (1/ B ) Adj(B t 0 ) = (1/) 5 1 = 1 0 5/ 1/. Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss La matriz B tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss, podemos llegar de (B I ), a la expresió (I B -1 ) (B I ) = F + 5F F / 0 1 5/ 1/, por tato B = 5/ 1/. De B Z + B t = I, teemos B Z = I - B t. Multiplicado la expresió B Z = I - B t por la izquierda, por la matriz iversa B -1, teemos B -1 B Z = B -1 (I - B t ) I Z = B -1 - B -1 B t Z = B -1 - B -1 B t. La matriz pedida es Z = B -1 - B -1 B t 0 = (1/) (1/) = 0 = (1/) = / -3/ = 1 5 5/ 5/. EJERCICIO (A) Ua empresa ha realizado u estudio sobre los beeficios, e miles de euros, que ha obteido e los últimos 10 años. La fució a la que se ajusta dichos beeficios viee dada por B(t) = t 3-36t + 16t - 6, co 0 t 10. (0 8 putos) Qué beeficios obtuvo al iicio del periodo (t = 0) y al fial del décimo año (t = 10)?. (1 7 putos) E qué mometos se obtiee el máximo y el míimo beeficio y cuáles so sus cuatías? Solució Ua empresa ha realizado u estudio sobre los beeficios, e miles de euros, que ha obteido e los últimos 10 años. La fució a la que se ajusta dichos beeficios viee dada por B(t) = t 3-36t + 16t - 6, co 0 t 10. Qué beeficios obtuvo al iicio del periodo (t = 0) y al fial del décimo año (t = 10)?. Para t = 0, B(0) = -6, es decir e el periodo iicial ha teido uas perdidas de 6 mil euros. 1

10 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 014 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Para t = 10, B(10) = (10) 3 36(10) + 16(10) 6 = 14, es decir e el periodo fial ha teido uas gaacias de 14 mil euros E qué mometos se obtiee el máximo y el míimo beeficio y cuáles so sus cuatías? Sabemos que B(t) es ua fució cotiua y derivable e todo R, e particular es cotiua e 0 t 10, y derivable e 0 < t < 10. Tambié sabemos que los extremos absolutos de B(t) se ecuetra etre las solucioes de B (t) = 0, y los extremos del itervalo t = 0 y t = 10. B(t) = t 3-36t + 16t 6 B (t) = 6t - 7t ± ± 36 De B (t) = 0, teemos 6t - 7t + 16 = 0 t - 1t + 7 = 0 t = = = = 1 ± 6 = 6 ± 3, de dode t = 3 y t = 9, que será los posibles extremos relativos. Evaluamos la fució B(t) e los valores 0, 3, 9, 10. B(0) = -6 B(3) = (3) 3 36(3) + 16(3) 6 = 10 B(9) = (9) 3 36(9) + 16(9) 6 = -6 B(10) = (10) 3 36(10) + 16(10) 6 = 14. Vemos que el máximo beeficio es de 10 mil euros y se alcaza e el tercer año (t=3); y que el míimo beeficio es de meos 6 mil euros y se alcaza e el comiezo (t=0) y e el oveo año (t=9). EJERCICIO 3 (A) Se sabe que dos alumos de la asigatura de Matemáticas asiste a clase, de forma idepediete, el primero a u 85% de las clases y el segudo a u 35%. Tomado al azar u día de clase, calcule la probabilidad de cada uo de los siguietes sucesos: (0 75 putos) Que los dos haya asistido a clase ese día. (0 75 putos) Que alguo de ellos haya asistido a clase ese día. c) (0 5 putos) Que iguo haya asistido a clase ese día. d) (0 5 putos) Que haya asistido a clase el segudo, sabiedo que el primero o ha asistido. Solució Se sabe que dos alumos de la asigatura de Matemáticas asiste a clase, de forma idepediete, el primero a u 85% de las clases y el segudo a u 35%. Tomado al azar u día de clase, calcule la probabilidad de cada uo de los siguietes sucesos: Que los dos haya asistido a clase ese día. Llamamos A y B a los sucesos asistir a clase el alumo 1 y asistir a clase el alumo. Del problema teemos: Asiste a clase, de forma idepediete, el primero a u 85% de las clases y el segudo a u 35% p(a) = 85% = 0 85, p(b) = 35% = So sucesos idepedietes p(a B) = p(a) p(b) = = ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(que los dos haya asistido a clase ese dí = p(a B) = Que alguo de ellos haya asistido a clase ese día. Me pide p(que alguo de ellos haya asistido a clase ese dí = p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = = c) Que iguo haya asistido a clase ese día. Me pide p(que iguo haya asistido a clase ese dí = p(a C B C ) = {Ley de Morga} = = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B) = = d) Que haya asistido a clase el segudo, sabiedo que el primero o ha asistido.

11 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 014 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Me pide p(que haya asistido a clase el segudo, sabiedo que el primero o ha asistido) = p(b/a C ) ( C p B A ) Luego p(b/a C ) = C p(a ) = p(b) - p(a B) 1 - p(a) = ( )/(1 0 85) = EJERCICIO 4 (A) ( 5 putos) La cocejalía de Educació de ua determiada localidad afirma que el tiempo medio dedicado a la lectura por los jóvees de etre 15 y 0 años de edad es, a lo sumo, 8 horas semaales. Para cotrastar esta hipótesis (H 0 :µ 8), se escoge al azar ua muestra de 100 jóvees, de etre 15 y 0 años, y se obtiee ua media de 8 3 horas de dedicació a la lectura. Supuesto que el tiempo dedicado a la lectura sigue ua ley Normal co desviació típica igual a 1 hora, qué se puede decir, a u ivel de sigificació del 5%, sobre la afirmació de la cocejalía? Solució Del problema teemos N(8 3;1), es decir media = µ = x = 8 3 y desviació típica poblacioal = σ = 1 ; hipótesis a cotrastar H 0 : µ 0 8, a u ivel de sigificació de α = 5% = 0,05; tamaño de la muestra = = = 100; media muestral = x = 8 3. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(0,1). Sabemos que la distribució muestral de medias sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, Trabajaremos co lo ormal N(0,1), tipificada de la ormal muestral. σ ). Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : µ 0 8 (lectura a lo sumo 8 horas) y H 1 : µ 0 > 8, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la derecha del puto crítico z 1-α. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 05, luego teemos u ivel de cofiaza o probabilidad = 1 - α = 0,95. De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que dicha probabilidad o viee e la tabla, y los valores más próximos es y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato el valor crítico es la media de ambos z 1-α = ( )/ = 1 645, que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ 0 E este caso el estadístico de prueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(0,1), y σ / x - µ 0 8'3-8 el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = = = 3. σ / 1/ 100 Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = 3 está a la derecha del puto crítico z 1-α = 1 645, estamos e la zoa de rechazo. Resumiedo rechazamos la hipótesis ula H 0 : µ 0 8, y aceptamos la hipótesis alterativa H 1 : µ 0 > 8, para u ivel de sigificació α =

12 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 014 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 5%, afirmamos que el tiempo medio dedicado a la lectura por los jóvees de etre 15 y 0 años de edad, supera las 8 horas semaales. OPCION B EJERCICIO 1 (B) (1 5 putos) Platee, si resolver, el siguiete problema: "U mayorista vede productos cogelados que preseta e evases de dos tamaños, pequeños y grades. La capacidad de sus cogeladores o le permite almacear más de 1000 evases e total. E fució de la demada sabe que debe mateer u stock míimo de 100 evases pequeños y 00 evases grades. La demada de evases grades es igual o superior a la de evases pequeños. El coste por almaceaje es de 10 cétimos de euro por cada evase pequeño y de 0 cétimos de euro por cada evase grade. Qué úmero de evases de cada tipo proporcioa el míimo coste de almaceaje?" (1 puto) Represete el recito que determia las iecuacioes: x 10 + y; x (5 - y); x 0; y 0. Solució Platee, si resolver, el siguiete problema: "U mayorista vede productos cogelados que preseta e evases de dos tamaños, pequeños y grades. La capacidad de sus cogeladores o le permite almacear más de 1000 evases e total. E fució de la demada sabe que debe mateer u stock míimo de 100 evases pequeños y 00 evases grades. La demada de evases grades es igual o superior a la de evases pequeños. El coste por almaceaje es de 10 cétimos de euro por cada evase pequeño y de 0 cétimos de euro por cada evase grade. Qué úmero de evases de cada tipo proporcioa el míimo coste de almaceaje?" Sea x = º de evases de tamaño pequeño. Sea y = º de evases de tamaño grade. De La capacidad o le permite almacear más de 1000 evases x + y De debe mateer u stock míimo de 100 evases pequeños x 100. De debe mateer u stock míimo de y 00 evases grades y 100. De La demada de evases grades es igual o superior a la de evases pequeños y x. De el coste por almaceaje es de 10 cétimos de euro por cada evase pequeño y de 0 cétimos de euro por cada evase grade, la fució a optimizar es F(x,y) = 0 1x + 0 y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(x,y) = 0 1x + 0 y. Restriccioes: x + y 1000; x 100; y 100; y x Represete el recito que determia las iecuacioes: x 10 + y; x (5 - y); x 0; y 0. Las desigualdades x 10 + y; x (5 y); x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, x = 10 + y; x = (5 - y) = 10 y; x = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x - 10 ; y = 5 - x/; x = 0; y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito covexo delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito covexo resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = 0 e y = x-10, teemos 0 = x - 10 x = 10/ = 5, y el vértice A(5,0). De y = x-10 e y = -x/+ 5, teemos x-10 = -x/+ 5 4x-0 = -x x = 30, de dode x = 6 e 4

13 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 014 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua y =, y el vértice es B(6,). De y = 0 e y = -x/+5, teemos 0 = -x/+5 x = 10, y el vértice es C(10,0). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(5,0), B(6,) y C(10,0). EJERCICIO (B) Sea la fució f(x) = -x + px + q. (1 5 putos) Calcule los valores que debe teer p y q para que la gráfica de la fució f pase por el puto (-4,-5) y presete u máximo e el puto de abscisa x = -1. Determie el valor de f(x) e ese puto. (1 puto) Represete la grafica de f para p = y q = -1 y halle la ecuació de la recta tagete a esta gráfica e el puto de abscisa x = -. Solució Sea la fució f(x) = -x + px + q. Calcule los valores que debe teer p y q para que la gráfica de la fució f pase por el puto (-4,-5) y presete u máximo e el puto de abscisa x = -1. Determie el valor de f(x) e ese puto. Como f pasa por el puto (-4,-5), teemos f(-4) = -5. Como f tiee u máximo e el puto de abscisa x = -1, teemos f (-1) = 0. f(x) = -x + px + q; f (x) = -x + p De f (-1) = 0 -(-1) + p = 0, de dode p = -. De f(-4) = -5 -(-4) - (-4) + q = q = -5, de dode q = 3. Por tato los valores pedidos so p = -, q = 3 y f(-1) = -(-1) - (-1) + 3 = 4. Represete la grafica de f para p = y q = -1 y halle la ecuació de la recta tagete a esta gráfica e el puto de abscisa x = -. La gráfica de f(x) = -x + x - 1 es ua parábola, co las ramas hacia abajo (el º que multiplica a x es egativo), co vértice V de abscisa la solució de f (x) = 0 = -x+, de dode x = 1 y V(1,f(1)) = (1,0). Cortes: Para x = 0, puto (0,-1). Para f(x) = 0, -x + x - 1 = 0, x - x + 1 = 0 = (x 1), solució x = 1 (doble), puto (1,0) que era el vértice. Le damos u valor a la derecha del vértice (x = 1). Para x =, f() = -() + () - 1 = -1, puto (,-1). Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica de f es: La recta tagete e x = - es y - f(-) = f (-) (x - (-)) f(x) = -x + x - 1 f(-) = -(-) + (-) - 1 = -9. f (x) = -x+ f (-) = -(-) + = 6 5

14 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 014 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua La recta tagete e x = es y - (-9) = 6 (x + ), de dode y = 6x + 3. EJERCICIO 3 (B) E ua tieda de complemetos dispoe de 100 bolsos, de los cuales 80 so de ua coocida marca y 0 so imitacioes casi perfectas de dicha marca. Ua ispecció ecarga a u experto el peritaje de los bolsos de la tieda. Se sabe que este experto acierta e el 95% de sus peritajes cuado el bolso es autético y que detecta el 98% de las imitacioes. Se elige, al azar, u bolso para su exame: (1 5 putos) Calcule la probabilidad de que el experto acierte e su dictame sobre ese bolso. (1 5 putos) Si el experto o ha acertado e su peritaje, calcule la probabilidad de que el bolso sea autético. Solució E ua tieda de complemetos dispoe de 100 bolsos, de los cuales 80 so de ua coocida marca y 0 so imitacioes casi perfectas de dicha marca. Ua ispecció ecarga a u experto el peritaje de los bolsos de la tieda. Se sabe que este experto acierta e el 95% de sus peritajes cuado el bolso es autético y que detecta el 98% de las imitacioes. Se elige, al azar, u bolso para su exame: Calcule la probabilidad de que el experto acierte e su dictame sobre ese bolso. Llamemos M, M C, A y A C, a los sucesos siguietes, bolso de marca, "bolso de imitació", "acierta e el peritaje" y "o acierta e el peritaje", respectivamete. Datos del problema p(m) = 80/100 = 0 8; p(m C ) = 0/100 = 0 ; p(a/m) = 95% = 0 95, p(a/m C ) = 98% = = Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el experto acierte e su dictame es: p(a) = p(m).p(a/m) + p(m C ).p(a/m C ) = (0 8) (0 95) + (0 ) (0 98) = 38/50 = Si el experto o ha acertado e su peritaje, calcule la probabilidad de que el bolso sea autético. Aplicado el teorema de Bayes, teemos: C C p( M A ) p( M).p(A /M) p(m/a C (0'8) (0'05) ) = = = = (10/11) C p(a ) 1 - p(a) 1-0'956 EJERCICIO 4 (B) El peso de los huevos de ua graja sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 1 3 gramos. Para estimar la media poblacioal se ha tomado ua muestra de dos doceas de huevos que ha dado u peso total de 1615 gramos. (1 75 putos) Halle u itervalo de cofiaza, al 96%, para Ia media poblacioal. (0 75 putos) Co el mismo ivel de cofiaza aterior, si os exigiera que el itervalo tuviera ua amplitud máxima de 0 8, de qué tamaño, como míimo, habría que tomar la muestra? Solució σ Sabemos que para la media poblacioal µ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(µ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) 6

15 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 014 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, co lo cual la amplitud = b a = = E, luego E = (b / para el itervalo de la media, de dode el tamaño míimo de la muestra es = z 1- α/. σ E z 1- α/. σ = (b - / z 1- α/. σ = b - a. El peso de los huevos de ua graja sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 1 3 gramos. Para estimar la media poblacioal se ha tomado ua muestra de dos doceas de huevos que ha dado u peso total de 1615 gramos. Halle u itervalo de cofiaza, al 96%, para Ia media poblacioal. Datos del problema: = 1 = 4; x = 1615 /4 = 67 3; σ = 1 3; ivel de cofiaza = 96% = 0 96 = 1 - α, de dode α = 0 04, co la cual α/ = 0 04/ = 0 0. De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 98, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0 98 vemos que o viee, y que la probabilidad más próxima es , que correspode a z 1-α/ = 05 (iterpolado el valor sería 054), por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = 1'3 1'3 67'3 ' 05,67'3 + ' ( , ) Co el mismo ivel de cofiaza aterior, si os exigiera que el itervalo tuviera ua amplitud máxima de 0 8, de qué tamaño, como míimo, habría que tomar la muestra? Datos del problema: Amplitud = b a = 0 8, de dode E = (b / = 0 8/ = 0 4, σ = 1 3, igual ivel de cofiaza = 96% os da z 1-α/ = 05. σ z De E = z1 α /, teemos 1- α / σ '05 1'3 E = = 39 74, es decir el tamaño míimo de la 0'4 muestra de huevos es de = 40 huevos, es decir 3 doceas de huevos, mas 4 huevos sueltos. 7

16 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 014 MODELO 5 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Se cosidera las matrices A = y B = (0 5 putos) Efectúe la operació A B t. (0 75 putos) Determie la matriz X tal que A + X = B. 6 c) (1 5 putos) Calcule la matriz Y, sabiedo que B Y =. 9 Solució Se cosidera las matrices A = y B = Efectúe la operació A B t. t A B t 1 = = = Determie la matriz X tal que A + X = B De A + X = B X = B - A X = (1/) (B A) = 1 = 1 = c) 6 Calcule la matriz Y, sabiedo que B Y = Como det (B) = det = = 1 + = 14 0, existe la matriz iversa B -1 = (1/ B ) Adj(B t ). B t = ; Adj(Bt ) = 4-1 3, luego B -1 = (1/ B ) Adj(B t 4 ) = (1/14) -1 3 = /7 1/7-1/14 3/14. Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa, si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (B I ), a la expresió (I B -1 ). (B I ) = Cambio F 1 por F F - 3 F F :(-14) F 1-4 F 1 0 4/14 1/ /14 3/ /14 3/14 por tato B -1 = /7 1/7-1/14 3/14. 6 Multiplicado la expresió que B Y = por la izquierda por la matriz iversa B -1, teemos 9 B -1 B Y = B -1 6 I Y = B -1 6 Y = B -1 6 = /7 1/ /14 3/14 6 = 3 9 3/ La matriz pedida es Y = 3 3/. EJERCICIO (A) ( 5 putos) Sea las fucioes f(x) = (x - 1) 3 l(x 4 ) y g(x) = Determie el valor de f (-1) y g (0). Sea las fucioes f(x) = (x - 1) 3 l(x 4 ) y g(x) = -x + x x + 1 Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. e e -x + x x + 1. Determie el valor de f (-1) y g (0). 1

17 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); ( f(x) g(x)) = f (x) g(x)+ f(x) g (x); = ; g(x) (g(x)) ( (f(x) k ) = k.f(x) k-1.f (x); ( e kx ) = k.e kx ; (x k ) = k.x k-1 ; (l(f(x)) = f'(x) ; (k) = 0. f(x) / f(x) = (x - 1) 3 l(x 4 ) f (x) = 3 (x - 1) (4x) l(x 4 ) + (x - 1) 3 3 4x 4 x f (-1) = 3 ((-1) - 1) (4(-1)) l((-1) 4 ) + ((-1) - 1) 3 4(-1) 4 (-1) 3 = 3 (1) (-4) l(1) 4(-1) + (1) 3 1 = 0 4 = -4. g(x) = g (x) = g (0) = -x + x x + 1. e -x + x -x + x [e (- + x)].(x + 1) - e x (x + 1) 0 [e (- )] (+ 1) - 0 (1) = -. EJERCICIO 3 (A) E u Istituto de Educació Secudaria el 40% de los alumos juega al fútbol, el 30% juega al balocesto y el 0% practica ambos deportes. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que u alumo, elegido al azar, o practique iguo de los dos deportes? (0 75 putos) Si u alumo, elegido al azar, juega al fútbol, cuál es la probabilidad de que o juegue al balocesto? c) (0 75 putos) So idepedietes los sucesos jugar al fútbol y jugar al balocesto? Solució E u Istituto de Educació Secudaria el 40% de los alumos juega al fútbol, el 30% juega al balocesto y el 0% practica ambos deportes. Cuál es la probabilidad de que u alumo, elegido al azar, o practique iguo de los dos deportes? Llamamos A y B a los sucesos juega al fútbol y juega al balocesto. Del problema teemos: p(a) = 40% = 0 4, p(b) = 30% = 0 3 y p(a B) = 0% = 0. ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(o practique iguo de los dos deportes) = p(oa y ob) = p(a C B C ) = {Ley de Morga} = = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B) **= = 0 5. **p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 5 Si u alumo, elegido al azar, juega al fútbol, cuál es la probabilidad de que o juegue al balocesto? Me pide p(o juegue al balocesto, sabiedo que juega al futbol) = p(b C ( /A) C p B A ) Luego p(b C p(a) - p( B A ) /A) = = = (0 4-0 )/(0 4) = 0 5. p(a) p(a) c) So idepedietes los sucesos jugar al fútbol y jugar al balocesto? A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b). Como p(a B) = 0 p(a) p(b) = = 0 1, los sucesos A y B o so idepedietes. EJERCICIO 4 (A) Los resposables de tráfico de ua ciudad trabaja co la hipótesis de que, al meos, el 65% de sus habitates so favorables a la creació de ua red de carril-bici e esa ciudad.

18 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Ecuestados 950 habitates, elegidos al azar, 590 está a favor de tal medida (1 5 putos) Mediate u cotraste de hipótesis, (H 0 : p 0 65), co u ivel de sigificació del 10%, se puede decir que tiee razó los resposables de tráfico de esa ciudad? (1 puto) Se cocluiría lo mismo si el ivel de sigificació fuera del 1%? Solució Sabemos que la distribució muestral de proporcioes sigue tambié ua distribució ormal: p 0.(1-p 0 ) N( ˆp, ). Trabajaremos co lo ormal N(0,1) Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Nos dice el problema que la hipótesis ula es H 0 : p (lo dá el problem, co u ivel de sigificació de α = 10% = 0,1. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(0,1). Tambié se puede hacer co la ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Datos del problema: p 0 = 0 65; = 950; ˆp = 590/950 = 59/ ; regió crítica = α = 0,1 = 10%. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : p y H 1 : p 0 < 0 65, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica está a la izquierda del puto crítico z α = - z 1-α. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos, que os dará las regioes críticas y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 1, luego teemos 1 - α = 0 9. De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 9, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. El valor más próximo es , que correspode al valor crítico es z α = - z 1-α = que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de prueba es Z = ˆp - p0, que sigue ua ormal tipificada, N(0,1), y el p 0.(1-p 0 ) valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = ˆp - p0 59/95-0'65 = p 0.(1-p 0 )/ 0'65 0' Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = está e la regió de rechazo para el puto crítico z α = - z 1-α = - 1 8, pues < -1 8, rechazamos la hipótesis ula H 0 : H 0 : p , y aceptamos la hipótesis alterativa H 1 : p 0 < 0 65, co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 10%, afirmamos que meos del 65% o desea el carril bici. 3

19 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Se cocluiría lo mismo si el ivel de sigificació fuera del 1%? Todo es exactamete igual, lo úico que varía es el puto crítico que os delimitará la regió de aceptació de la de rechazo. Para el ivel de sigificació es α = 1% = 0 01, luego teemos 1 - α = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. El valor más próximo es , que correspode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 33 que separa las zoas de aceptació y rechazo. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = está e la regió de aceptació para el puto crítico z α = - z 1-α = - 33, pues - 33 < , aceptamos la hipótesis ula H 0 : H 0 : p , co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 1%, afirmamos que mas del 65% desea el carril bici. OPCION B EJERCICIO 1 (B) (1 5 putos) Resuelva la ecuació matricial A X = (C D t ), siedo: A =, C = y D = (1 puto) Si A(0, ), B(, 0), C(4, 0), D(6, 3) y E(3,6) so los vértices de ua regió factible, determie, e esa regió, el valor míimo y el valor máximo de la fució F(x,y) = 4x 3y + 8 e idique los putos dode se alcaza. Solució Resuelva la ecuació matricial A X = (C - D t ), siedo: A =, C = y D = Teemos A X = (C - D t ), 0 1 Como det (A) = det = = 0 - = - 0, existe la matriz iversa A -1 = (1/ A ) Adj(A t ). A t 0 = ; Adj(A t 0-1 ) =, luego A -1 = (1/ A ) Adj(A t / ) = (1/-) = Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I ), a la expresió (I B), dode B = A Cambio F 1/() / (A I ) = por tato: A / = F 1 por F Multiplicado la expresió A X = (C - D t ), por la izquierda por la matriz iversa A -1, teemos A X = (C - D t ) A -1 A X = A -1 (C - D t ) I X = A -1 (C - D t ) X = A -1 (C - D t ). La matriz pedida es X = A -1 (C T - D t ) = (1/-) - = = (-1) - = = Si A(0, ), B(, 0), C(4, 0), D(6, 3) y E(3,6) so los vértices de ua regió factible, determie, e esa regió, 4

20 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua el valor míimo y el valor máximo de la fució alcaza. F(x,y) = 4x - 3y + 8 e idique los putos dode se El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,), B(,0), C(4,0), D(6,3) y E(3,6). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,) = 4(0) - 3() + 8 = ; F(,0) = 4() - 3(0) + 8 = 16; F(4,0) = 4(4) - 3(0) + 8 = 4; F(6,3) = 4(6) - 3(3) + 8 = 3; F(3,6) = 4(3) - 3(6) + 8 =. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució F e la regió es (el meor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices A(0,) y E(3,6) por tato se alcaza e todo el segmeto AE, y el máximo absoluto de la fució F e la regió es 4 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e C(4,0). EJERCICIO (B) ( 5 putos) Represete gráficamete la fució f(x) = x 3-6x + 1x, estudiado previamete su domiio, putos de corte co los ejes, itervalos de mootoía, extremos, itervalos de cocavidad y covexidad y putos de iflexió. Solució Represete gráficamete la fució f(x) = x 3-6x + 1x, estudiado previamete su domiio, putos de corte co los ejes, itervalos de mootoía, extremos, itervalos de cocavidad y covexidad y putos de iflexió. Como es ua fució poliómica su domiio es R. Cortes: Para x = 0, puto (0,f(0)) = (0,0) Para f(x) = 0 x 3-6x + 1x = 0 = x (x - 6x + 1), de dode x = 0 y x = o tiee solucioes reales. El puto es (0,0) 6 ± ± - 1 =, que Mootoía. Estudio de la primera derivada f (x). f(x) = x 3-6x + 1x; f (x) = 3x - 1x + 1. De f (x) = 0, teemos 3x - 1x + 1 = 0 = x - 4x + 4 = (x - ), de dode x = (doble) será el posible extremo relativo de f. Como f (0) = 3(0) - 1(0) + 1 = 1 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (-,). Como f (3) = 3(3) - 1(3) + 1 = 3 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (,+ ). Por tato f es estrictamete creciete e R y o tiee i máximos i míimos relativos Curvatura. Estudio de la seguda derivada f (x). f(x) = x 3-6x + 1x; f (x) = 3x - 1x + 1; f (x) = 6x - 1. De f (x) = 0, teemos 6x - 1 = 0, de dode x =, que será el posible puto de iflexió. De f (0) = 6(0) - 1 = - 1 < 0, teemos que f(x) es cócava ( ) e (-,). De f (3) = 6(3) - 1 = 6 > 0, teemos que f(x) es covexa ( ) e (,+ ). Por defiició e x = hay u puto de iflexió, que vale f() = () 3 6() + 1() = 8. Teiedo e cueta lo aterior y su comportamieto e ± Como lim x->- ( x 3-6x + 1x) = lim x->- ( x 3 ) = (- ) 3 = -, e -, f vale - Como lim x->+ ( x 3-6x + 1x) = lim x->+ ( x 3 ) = (+ ) 3 = +, e +, f vale + U esbozo de la gráfica de f es: 5

21 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3 (B) El 5% de los estudiates de ua Uiversidad lee las oticias e presa escrita e papel, el 70% e presa digital y el 10% e ambos formatos. Elegido, al azar, u estudiate de esa Uiversidad: (1 puto) Calcule la probabilidad de que lea las oticias e formato papel o digital. (0 75 putos) Sabiedo que lee las oticias e presa digital, calcule la probabilidad de que tambié las lea e presa escrita e papel. c) (0 75 putos) Cuál es la probabilidad de que lea las oticias exclusivamete e uo de los dos formatos? Solució El 5% de los estudiates de ua Uiversidad lee las oticias e presa escrita e papel, el 70% e presa digital y el 10% e ambos formatos. Elegido, al azar, u estudiate de esa Uiversidad: Calcule la probabilidad de que lea las oticias e formato papel o digital. Llamamos A y B a los sucesos lee presa e papel y lee presa digital. Del problema teemos: p(a) = 5% = 0 5, p(b) = 70% = 0 7 y p(a B) = 10% = 0 1. ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(lea e papel o e digital) = p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = Sabiedo que lee las oticias e presa digital, calcule la probabilidad de que tambié las lea e presa escrita e papel. p( A B ) Me pide p(lea e papel. sabiedo que lee e digital) = p(a/b) = = (0 1)/(0 7) = 1/ p(b) c) Cuál es la probabilidad de que lea las oticias exclusivamete e uo de los dos formatos? Me pide p( lea e papel y o e digital) o p(lea e digital y o e papel) = = p(a y ob) o p(b y oa) = p(a B C ) + p(b A C ) = p(a) - p(a B) + p(b) - p(a B) = = = EJERCICIO 4 (B) Para estimar la proporció de habitates que es favorable a la costrucció de u cetro comercial e u muicipio, se ha obteido el itervalo de cofiaza (0 31, 0 39), al 94%. (1 puto) Cuál ha sido el valor de la proporció muestral? (0 5 putos) Si la muestra aleatoria elegida de esa població para el estudio fue de 500 persoas, cuátas de ellas deseaba la costrucció del cetro comercial? c) (1 puto) Se desea repetir el estudio para obteer u itervalo de cofiaza co u error máximo de 0 03 y el mismo ivel de cofiaza. Cuátas persoas, como míimo, debe teer la ueva muestra aleatoria? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p ɵ sigue 6

22 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 5 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua ua ormal N( ɵ pɵ qɵ p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode ɵ q = 1- ɵ p, y geeralmete escribimos p N( ɵ pɵ qɵ p, ) o p N( ɵ pɵ qɵ p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α /.,p + z 1 α /. = (a, dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1-α/. Del itervalo vemos que ˆp = (a + / El error cometido es E < z 1 /. α p(1 ˆ p) ˆ = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es > ˆ ˆ. (z 1-α/ ).p.q E Para estimar la proporció de habitates que es favorable a la costrucció de u cetro comercial e u muicipio, se ha obteido el itervalo de cofiaza (0 31, 0 39), al 94%. Cuál ha sido el valor de la proporció muestral? El valor de la proporció muestral es: ˆp = ( )/ = Si la muestra aleatoria elegida de esa població para el estudio fue de 500 persoas, cuátas de ellas deseaba la costrucció del cetro comercial? Persoas desea la costrucció = total persoas de la muestra x proporció de la muestra = = = 175 persoas. c) Se desea repetir el estudio para obteer u itervalo de cofiaza co u error máximo de 0 03 y el mismo ivel de cofiaza. Cuátas persoas, como míimo, debe teer la ueva muestra aleatoria? Datos del problema: Error = E < 0 03, p ɵ = 0 35, q ɵ = = 0 65, ivel de cofiaza 1 α = 94% = 0 94, de dode α= 0 06= = 6% = 0 06, como ivel de sigificació. De α = 0 06 teemos α/ = 0 03 De la igualdad p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 97, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 97 o viee e la tabla y el valor más próximo es , que correspode a z 1-α/ = 1 88 (Iterpolado z 1-α/ = ). p(1 ˆ p) ˆ De E < z 1 α /., teemos tamaño de la muestra > tato el tamaño míimo de la muestra es = 894 persoas. ˆ ˆ = , por E (0 03) (z 1-α/ ).p.q (1 88)

23 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices A = y B = 1/ 0, siedo a u úmero real cualquiera /4 0 (1 puto) Obtega la matriz A 014. (1 5 putos) Para a =, resuelva la ecuació matricial A 3 X 4B = O. Solució 1 a Sea las matrices A = y B = 1/ 0, siedo a u úmero real cualquiera /4 0 Obtega la matriz A 014. A 1 a 1 a 1 a = A A = = ; A 3 = A A 1 a 1 a 1 3a = = ; A 4 = A A 1 a 1 a 1 4a = = ; A 5 = A 4 A 1 4a 1 a 1 5a = = Siguiedo este proceso observamos que A a =, auque para demostrarlo correctamete 0 1 tedríamos que utilizar el método de iducció. Para a =, resuelva la ecuació matricial A 3 X 4B = O. Para a =, teemos A 3 1 3() 1 6 = C = = y B = 1/ /4 0 Como det(c) = C = A 3 = = 1 0 = 1 0, existe la matriz iversa C -1 = (1/ C ) Adj(C t ). C t 1 0 = ; Adj(C t 1-6 ) =, luego C -1 = (1/ C ) Adj(C t ) = (1/1) = Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss C tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (C I ), a la expresió (I B), dode B = C F1-6F (C I ) = por tato C = De A 3 X 4B = O, teemos C X = 4B. Multiplicado la expresió C X = 4B por la izquierda por la matriz iversa C -1, teemos C -1 C X = C -1 4B I X = 4 C -1 B X = 4 C -1 B. La matriz pedida es X = 4 C -1 B 1-6 = 4 1/ /4 0 = = EJERCICIO (A) La fució de beeficios f, e miles de euros, de ua empresa depede de la catidad ivertida x, e miles de euros, e u determiado proyecto de iovació y viee dada por f(x) = -x + 36x + 138, x 0. (1 puto) Determie la iversió que maximiza el beeficio de la empresa y calcule dicho beeficio óptimo. (0 5 putos) Calcule f (7) e iterprete el sigo del resultado. c) (1 puto) Dibuje la fució de beeficios f(x). Para qué valor o valores de la iversió, x, el beeficio es de 138 mil euros? Solució ( y parte de c) La fució de beeficios f, e miles de euros, de ua empresa depede de la catidad ivertida x, e miles de euros, e u determiado proyecto de iovació y viee dada por f(x) = -x + 36x + 138, x 0. Determie la iversió que maximiza el beeficio de la empresa y calcule dicho beeficio óptimo. Dibuje la fució de beeficios f(x) = -x + 36x + 138, x 0. 1

24 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua La gráfica de la fució f(x) = -x + 36x + 138, x 0, es u trozo de parábola que tiee las ramas hacia abajo ( ), por que el úmero que multiplica a x es egativo. Su vértice, que e este caso es el máximo relativo y absoluto, tiee la abscisa e la solució de la ecuació f (x) = (-x + 36x + 138) = 0 = -4x + 36, de dode x = 9 y el vértice es V(9,f(9)) = V(9,300). f(9) = -(9) + 36(9) = 300. Como el vértice V(9,300) es el máximo, la iversió que maximiza el beeficio de la empresa es x = 9 mil, y dicho beeficio óptimo es f(9) = 300 mil. Teemos de f(0) = -(0) + 36(0) = 138, el puto (0,138) Teemos de f(0) = -(0) + 36(0) = 58, el puto (0,58) U esbozo de la gráfica de la parábola, co los tres putos ateriores icluyedo el vértice es: Calcule f (7) e iterprete el sigo del resultado. Mirado la gráfica vemos que e x = 7 la fució es estrictamete creciete, por tato veremos que f (7) es positivo, porque f (7), por la iterpretació geométrica de la derivada e u puto, es la pediete de la recta tagete e x = 7, y al ser positivo la pediete es positiva y la fució beeficio es estrictamete creciete e dicho puto x = 7. Veamos ya que f (7) > 0 f (7) = -4(7) + 36 = 8 > 0. c) Dibuje la fució de beeficios f(x). Para qué valor o valores de la iversió, x, el beeficio es de 138 mil euros? Mirado a la gráfica vemos que hay dos valores de x para los cuales el beeficio es de 138 mil, pues la gráfica es simétrica respecto a su vértice y e él la ordeada es de 300 mil. Lo que pide es que resolvamos f(x) = 138. De f(x) = 138, teemos -x + 36x = 138, luego -x + 36x = x(-x + 36) = 0, de dode teemos las solucioes x = 0 y x = 18, es decir se obtiee u beeficio de 138 mil co ua iversió de 0 mil ( se puede descartar, auque sirva matemáticamete) y co ua iversió de 18 mil. EJERCICIO 3 (A) Ua ura, A, cotiee siete bolas umeradas del 1 al 7. Otra ura, B, cotiee cico bolas umeradas del 1 al 5. Lazamos ua moeda equilibrada, de forma que si sale cara, extraemos ua bola de la ura A, y, si sale cruz, la extraemos de la ura B. Calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: (0 5 putos) La bola haya sido extraída de la ura A y el úmero sea par. (1 puto) El úmero de la bola extraída sea par. c) (1 puto) La bola sea de la ura A, si ha salido u úmero par. Solució Ua ura, A, cotiee siete bolas umeradas del 1 al 7. Otra ura, B, cotiee cico bolas umeradas del 1 al 5. Lazamos ua moeda equilibrada, de forma que si sale cara, extraemos ua bola de la ura A, y, si sale cruz, la extraemos de la ura B. Calcule las probabilidades de los siguietes sucesos:

25 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua La bola haya sido extraída de la ura A y el úmero sea par. Llamemos A, B, P A y P B, a los sucesos siguietes, sacar ua bola de la ura A, " sacar ua bola de la ura B", " sacar ua bola par de la ura A " y " sacar ua bola par de la ura B ", respectivamete. Datos del problema p(a) = p(b) = 1/; p(p A /A) = 3/7; p(p A /B) = /5,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Me pide p(ura A y bola par) = p(a P A ) = p(a) p(p A /A) = (1/) (3/7) = 3/ El úmero de la bola extraída sea par. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída sea roja (R) es: P(bola par) = p(p) = p(a).p(p A /A) + p(b).p(p B /B) = (1/3) (3/7) + (1/) (/5) = 9/ c) La bola sea de la ura A, si ha salido u úmero par. Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( A P ) p( A).p(P A /A) (1/) (3/7) p(a/p) = = = = (15/9) p(p) p(p) 9/70 EJERCICIO 4 (A) Se quiere hacer u estudio de mercado para coocer el precio medio de los libros de arrativa que se vede e la actualidad. Para ello se elige ua muestra aleatoria de 11 libros, ecotrado que tiee u precio medio de 3. Se sabe que el precio de los libros de arrativa sigue ua distribució Normal co media descoocida y desviació típica 5. (1 5 putos) Obtega u itervalo de cofiaza, al 98 8%, para el precio medio de esos libros. (1 puto) Cuátos libros habría que elegir como muestra para que, co la misma cofiaza, el error máximo de la estimació o excediera de 1? Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media, de 3

26 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua dode el tamaño míimo de la muestra es = z 1- α/. σ E. Se quiere hacer u estudio de mercado para coocer el precio medio de los libros de arrativa que se vede e la actualidad. Para ello se elige ua muestra aleatoria de 11 libros, ecotrado que tiee u precio medio de 3. Se sabe que el precio de los libros de arrativa sigue ua distribució Normal co media descoocida y desviació típica 5. Obtega u itervalo de cofiaza, al 98 8%, para el precio medio de esos libros. Datos del problema: = 11; x = 3; σ = 5; ivel de cofiaza = 98 8% = = 1 - α, de dode α = 0 01, co la cual α/ = 0 01/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 994, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que viee, y correspode a z 1-α/ = 51, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = '51,3 + ' (1 8591, ) Cuátos libros habría que elegir como muestra para que, co la misma cofiaza, el error máximo de la estimació o excediera de 1? Datos del problema: Error = E = 1, σ = 5, igual ivel de cofiaza = 98 8% os da z 1-α/ = 51. σ z De E = z 1 α /, teemos 1- α / σ '51 5 E = 1 = , es decir el tamaño míimo de la muestra de libros es de = 158 libros. OPCION B EJERCICIO 1 (B) (1 8 putos) Dadas las iecuacioes: y x + 5; x + y -4; 4x 10 - y; y 0, represete el recito que limita y calcule sus vértices. (0 7 putos) Obtega el máximo y el míimo de fució f(x,y) = x + y/ e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. Solució Dadas las iecuacioes: y x + 5; x + y -4; 4x 10 - y; y 0, represete el recito que limita y calcule sus vértices. Las desigualdades y x + 5; x + y -4; 4x 10 - y; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, y = x + 5; x + y = -4; 4x = 10 - y; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x + 5; y = -x - 4; y = -4x + 10; y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. 4

27 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = -x-4 e y = 0, teemos -x-4 = 0, luego x = - y el vértice es A(-,0). De y = 0 e y = -4x + 10, teemos 0 = -4x + 10 x = 10/4 = 5, y el vértice es B( 5,0). De y = -4x+10 e y = x + 5, teemos -4x+10 = x = 5x x = 1, de dode y = 6, y el vértice es C(1,6). De y =x +5 e y = -x-4, teemos x+5 = -x-4 3x = -9 x = -3, de dode y = y el vértice es D(-3,). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito so: A(-,0), B( 5,0), C(1,6) y D(-3,). Obtega el máximo y el míimo de fució f(x,y) = x + y/ e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos f e los putos ateriores A(-,0), B( 5,0), C(1,6) y D(-3,). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. f(,0) = (-) + (0)/ = -; f( 5,0) = ( 5) + (0)/ = 5; f(1,6) = (1) + (6)/ = 4; f(-3,) = (-3) + ()/ = -. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució f e la regió es 4 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(1,6) y el míimo absoluto de la fució f e la regió es - (el meor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices A(,0) y D(-3,) por tato se alcaza e todo el segmeto AD. EJERCICIO (B) -bx - bx + a si x Sea la fució f defiida por f(x) = 60 si x > x (1 5 putos) Obtega los valores de a y b para que la fució sea cotiua y derivable. (1 puto) Para a = 48 y b = 3, estudie la mootoía de f(x) y calcule sus extremos. Solució -bx - bx + a si x Sea la fució f defiida por f(x) = 60 x si x > Obtega los valores de a y b para que la fució sea cotiua y derivable. La fució -bx - bx + a es ua fució poliómica, por tato cotiua y derivable e todo R, e particular e (-,). La fució 60 x es ua fució racioal, por tato cotiua y derivable e todo R {0} (úmero que aula el deomiador), e particular e (,+ ). Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x =. lim f(x) = lim f(x). x x + lim (-bx bx + = -b() - b() + a = -6b + a; f(x) es cotiua e x = si f() = f() = lim f(x) = x + f(x) = lim f(x) = x x 60 lim x + x = 60 -bx - bx + a si x 60 x = 30, como so iguales teemos -6b + a = 30. ; teemos f (x) = si x > -bx - b si x - 60 si x > x f(x) es derivable e x = si lim f (x) = x lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x + 5

28 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua lim f (x) = x lim (-bx- = -b()-b = -5b; x lim f (x) = x + lim x x - 60 = () -5b = -15, de dode b = 3. De -6(3) + a = 30, teemos a = 48. La fució f es cotiua y derivable para a = 48 y b = 3. Para a = 48 y b = 3, estudie la mootoía de f(x) y calcule sus extremos. -3x - 3x + 48 si x Nuestra fució es f(x) = 60 x derivable e todo R. Vamos a dibujar la gráfica y después diremos su mootoía y extremos. = -15., como so iguales teemos, y ya hemos visto e el apartado ( que es cotiua y si x > La gráfica de -3x - 3x + 48 es u trozo de parábola, co las ramas hacia abajo (el º que multiplica a x es egativo), co vértice V de abscisa la solució de f (x) = 0 = -6x-3, de dode x = -1/ y V(-1/,f(-1/)) = (-1/,48 75), y pasa por los putos (-,4) y (,30). La gráfica de 60/x es u trozo hipérbola, que tiee ua asítota vertical e x = 0 (o está e su domiio) porque lim 60/x = 60/0 - = -, y ua asítota horizotal e y = 0 e +, porque x 0 lim 60/x = 60/(+ ) = 0 +, y f está por ecima de la asítota. Además f() = 60/ = 30, es decir pasa por el x + puto (,30) y siempre es estrictamete decreciete porque va de la ordeada y = 30 e x =, hasta la asítota y = 0 e +. Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica de f es: Observado la gráfica vemos que f es estrictamete creciete ( ) e (-,-1/) (hasta la abscisa del vértice de la parábol. Aálogamete vemos que f es estrictamete decreciete ( ) e (-1/,+ ) (desde la abscisa del vértice de la parábol. Por defiició e x = -1/ hay u máximo relativo y absoluto que vale f(-1/) = EJERCICIO 3 (B) Resuelto por D. Marcelo Rodríguez Vázquez Profesor de Matemáticas del IES El Majurelo, Gies (Sevill. Atoio va de compras dos días de cada cico. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va de compra y la mitad de los días que o va. Elegido u día al azar: (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día? (1 puto) Calcule la probabilidad de que ese día Atoio vaya a la compra o la fruto esté de oferta. Solució Atoio va de compras dos días de cada cico. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va de compra y la mitad de los días que o va. Elegido u día al azar: Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día? Llamemos C, C C, F y F C, a los sucesos siguietes, ir a la compra, "o ir a la compra", "fruta de oferta" y "fruta si oferta ", respectivamete. Datos del problema p(c) = /5; p(f/c) = 1/3 ; p(f/c C ) = 1/,... Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). 6

29 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la fruta este de oferta es: p(f) = p(c).p(f/c) + p(c C ).p(f/c C ) = (/5) (1/3) + (3/5) (1/) = 13/ Calcule la probabilidad de que ese día Atoio vaya a la compra o la fruta esté de oferta. Recordamos que p(a o B) = p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a B) = p(a) p(b/a). Me pide p(vaya a la compra o la fruta esté de ofert = p(c o F) = p(c F) = = p(c) + p(f) - p(c F) = p(c) + p(f) p(c) p(f/c) = /5 + 13/30 (/5) (1/3) = 7/10 = 0 7. EJERCICIO 4 (B) ( 5 putos) U titular de presa afirma que el 70% de los jóvees de ua ciudad utiliza las redes sociales para comuicarse. Para cotrastar la veracidad de tal afirmació se toma ua muestra aleatoria de 500 jóvees de esa ciudad, y se obtiee que 340 de ellos utiliza la red para comuicarse. Aalice mediate u cotraste de hipótesis bilateral, (H 0 : p = 0 7), si se puede aceptar, co u ivel de sigificació del 1%, que dicha afirmació es cierta. Solució Sabemos que la distribució muestral de proporcioes sigue tambié ua distribució ormal: p 0.(1-p 0) N( ˆp, ). Trabajaremos co lo ormal N(0,1) Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Nos dice el problema U titular de presa afirma que el 70% de los jóvees de ua ciudad utiliza las redes sociales para comuicarse. Para cotrastar la veracidad de tal afirmació se toma ua muestra aleatoria de 500 jóvees de esa ciudad, y se obtiee que 340 de ellos utiliza la red para comuicarse. Aalice mediate u cotraste de hipótesis bilateral, (H 0 : p = 0 7), si se puede aceptar, co u ivel de sigificació del 1%, que dicha afirmació es cierta. Es u cotraste bilateral y trabajamos co la ormal N(0,1). Datos del problema: p 0 = 0 7; q 0 = 1 - p 0 = = 0 3; = 500; ˆp = 340/500 = 0 68; ivel sigificació = α = = 1% = 0,01 El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : p 0 = 0 70 (ya os la dá el problem y H 1 : p Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. La prueba es bilateral y para u ivel de sigificació α = 0 01, co lo cual α/ = 0,01/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 995, mirado e las tablas de la N(0,1) observamos que o viee dicha probabilidad, y que las probabilidades mas próximas so y que correspode a 57 y 58, por tato tomamos la media, es decir z 1-α/ = ( )/ = 575, co lo cual teemos por valores críticos z 1-α/ = 575 y z α/ = - z 1-α/ = - 575, que separa las zoas de aceptació y de rechazo. 7

30 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de prueba es Z = ˆp - p0, que sigue ua ormal tipificada, N(0,1), y el p 0.(1-p 0) valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = ˆp - p0 0'68-0'7 = p 0.(1-p 0)/ 0'7 0' Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = está etre z α/ = y z 1-α/ = 575, vemos que se ecuetra e la zoa de aceptació. Por tato, tomamos la decisió de aceptar la hipótesis ula H 0 : p 0 = 0 7 co u ivel de sigificació del 1%. E cosecuecia, aceptamos que los jóvees de esa ciudad utiliza las redes sociales para comuicarse co u ivel de sigificació del 1%. 8

31 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices A = y B = (-1 1). 0 1 (1 5 putos) Calcule el valor del parámetro a para que se verifique (B A) t = A B t. (1 5 putos) Para a =, resuelva la ecuació matricial X A = B. Solució 1 a Sea las matrices A = y B = (-1 1). 0 1 (1 5 putos) Calcule el valor del parámetro a para que se verifique (B A) t = A B t. 1 a De B A = (-1 1) 0 1 = (-1 -a+1), teemos -1 (B A)t = -a+1. 1 a A B t = 0 1 (-1 1 a 1)t = = a-1 1. Igualado miembro a miembro ambas expresioes teemos: -1 = a-1, de dode a = 0. -a+1 = 1, de dode a = 0, por tato a = 0 para que se verifique (B A) t = A B t. Para a =, resuelva la ecuació matricial X A = B. 1 Para a =, teemos A = 0 1. Como det(a) = A = = 1 0 = 1 0, existe la matriz iversa A -1 = (1/ A ) Adj(A t ). 1 0 A t = 1 ; 1 - Adj(At ) = 0 1, luego A = (1/ A ) Adj(A t ) = (1/1) 0 1 = Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I), a la expresió (I B), dode B = A F1 - F (C I) = por tato A = 0 1. Multiplicado la expresió X A = B por la derecha por la matriz iversa A -1, teemos X A A -1 = B A -1 X I = B A -1 X = B A La matriz pedida es X = B A -1 = (-1 1) = (-1 3). 0 1 EJERCICIO (A) Sea la fució f(x) = x 3-3x + 3x. (1 puto) Estudie la mootoía de f y halle los extremos relativos que posea. (0 75 putos) Estudie su curvatura y calcule su puto de iflexió. c) (0 75 putos) Represete la gráfica de la fució f. Solució Sea la fució f(x) = x 3-3x + 3x. Estudie la mootoía de f y halle los extremos relativos que posea. Mootoía. Estudio de la primera derivada f (x). f(x) = x 3-3x + 3x; f (x) = 3x - 6x + 3. De f (x) = 0, teemos 3x - 6x + 3 = 0 = x - x + 1 = (x - 1), de dode x = 1 (doble) será el posible extremo relativo de f. 1

32 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Como f (0) = 3(0) 6(0) + 3 = 3 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (-,1). Como f () = 3() 6() + 3 = 3 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (1,+ ). Por tato f es estrictamete creciete e R y o tiee i máximos i míimos relativos Estudie su curvatura y calcule su puto de iflexió. Curvatura. Estudio de la seguda derivada f (x). f(x) = x 3-3x + 3x; f (x) = 3x - 6x + 3; f (x) = 6x - 6. De f (x) = 0, teemos 6x - 6 = 0, de dode x = 1, que será el posible puto de iflexió. De f (0) = 6(0) - 6 = -6 < 0, teemos que f(x) es cócava ( ) e (-,1). De f () = 6() - 6 = 6 > 0, teemos que g(x) es covexa ( ) e (1,+ ). Por defiició e x = 1 hay u puto de iflexió, que vale f(1) = (1) 3 3(1) + 3(1) = 1. c) Represete la gráfica de la fució f. Teiedo e cueta el apartado ( y (, calculamos los putos de corte de f co los ejes, y vemos su comportamieto e. Cortes: Para x = 0, puto (0,f(0)) = (0,0). De f(x) = 0, x 3-3x + 3x = 0 = x(x - 3x + 3), de dode x = 0 y x - 3x + 3 = 0 x = = -3 ± - 3, que o tiee solucioes reales, luego el úico puto de corte es (0,0). Le damos u par de valores a izquierda y derecha del 0. Para x = -1, f(1) = (-1) 3 3(-1) + 3(-1) = -7, puto (-1,-7) Para x =, f() = () 3 3() + 3() =, puto (,) Como limx->- ( x 3-3x + 3x) = limx->- ( x 3 ) = (- ) 3 = -, e -, f vale - Como limx->+ ( x 3-3x + 3x) = limx->+ ( x 3 ) = (+ ) 3 = +, e +, f vale + U esbozo de la gráfica es: ± -(-3) 3-4(3) = EJERCICIO 3 (A) El 65% de la població española adulta o fuma, el 15% fuma ocasioalmete y el resto fuma habitualmete. Elegidos al azar dos adultos españoles, calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: (1 5 putos) Los dos sea o fumadores. (1 5 putos) Uo de ellos sea o fumador y el otro sea fumador ocasioal. Solució El 65% de la població española adulta o fuma, el 15% fuma ocasioalmete y el resto fuma habitualmete. Elegidos al azar dos adultos españoles, calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: Los dos sea o fumadores.

33 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Llamemos F, Fo y F C, a los sucesos siguietes, fuma, "fuma ocasioalmete" y "o fuma", respectivamete. Vemos que los sucesos so idepedietes. Me pide p(dos o fumadores) = p(f C F C ) = p(f C ) p(f C ) = = Uo de ellos sea o fumador y el otro sea fumador ocasioal. Me pide p(o fumador y fumador ocasioal) = p(f C Fo) = p(f C ) p(fo) = = D. Javier García Gómez me ha idicado que lo correcto es: p(el primero sea o fumador) p(el segudo fumador ocasioal/el primero sea o fumador) + p(el primero sea fumador ocasioal) p(el segudo sea o fumador/el primero sea fumador ocasioal) = = = = EJERCICIO 4 (A) Para estimar la proporció de balaces cotables icorrectos de u baco, se seleccioa aleatoriamete 00 balaces, y se ecuetra que 19 de ellos so icorrectos. (1 5 putos) Obtega u itervalo de cofiaza, al 95%, para la proporció de balaces icorrectos. (1 puto) Cuátos balaces se deberá seleccioar para que, co u ivel de cofiaza del 99%, el error de la estimació o sea superior a 0 0? Solució Sabemos que para la proporció poblacioal p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p ɵ, sigue ua N( p ɵ, p(1 ˆ p) ˆ ), y geeralmete escribimos ɵ p N( ɵ p, p(1 ˆ p) ˆ ) o ɵ p N( ɵ p, p(1 ˆ p) ˆ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció es: p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α /.,p + z 1 α /. = (a, dode z1-α/ y zα/ = - z1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α/) = 1 - α/ Tambié sabemos que la proporció es ɵ p = (a + /, el error máximo de la estimació es E= p(1 ˆ p) ˆ z 1 α /., p(1 ˆ p) ˆ para el itervalo de la proporció. Pero la amplitud del itervalo es b a = z 1 α /. = E, de dode (z ˆ ˆ ˆ ˆ 1- α/ ) p q (z 1- α/ ) p q E = (b /, por tato el tamaño míimo de la muestra es = =. E (b Para estimar la proporció de balaces cotables icorrectos de u baco, se seleccioa aleatoriamete 00 balaces, y se ecuetra que 19 de ellos so icorrectos. Obtega u itervalo de cofiaza, al 95%, para la proporció de balaces icorrectos. Datos del problema: = 00, ɵ p = 19 00, ˆq = 1 - pɵ = = 181, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 00 = 1 - α, de dode α = 0 05, es decir α/ = 0 05/ = De p(z z1-α/) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z1-α/ = 1 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 3

34 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α /.,p + z 1 α /. = - 1' , + 1' (0 0536; ) Cuátos balaces se deberá seleccioar para que, co u ivel de cofiaza del 99%, el error de la estimació o sea superior a 0 0? Datos del problema: ɵ p = , ˆq =, error = E 0 0, ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dode α = 0 01, es decir α/ = 0 01/ = De p(z z1-α/) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 57 y 58, por tato z1-α/ es la media es decir z1-α/ = ( )/ = ˆ ˆ De E = p(1 p) ˆ ˆ (' 575) (z 1- α/ ) p q z 1 α /., teemos = = 145, por tato el tamaño E (0'0) míimo de balaces que hay que seleccioar es = 146. OPCION B EJERCICIO 1 (B) (1 puto) Represete la regió del plao determiada por las siguietes iecuacioes: x + 5y 15; x + y 6; 5x 7y 4; x 0. (1 puto) Halle los vértices de la regió aterior. (0 5 putos) E esta regió, halle el valor míimo de la fució F(x,y) = -x - y + 3 y dode lo alcaza. Solució y c) Dadas las iecuacioes: x + 5y 15; x + y 6; 5x 7y 4; x 0, represete el recito que limita y calcule sus vértices. Halle los vértices de la regió aterior. E esta regió, halle el valor míimo de la fució F(x,y) = -x - -y + 3 y dode lo alcaza. Las desigualdades x + 5y 15; x + y 6; 5x 7y 4; x 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, x + 5y = 15; x + y = 6; 5x 7y = 4; x = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x/5 + 3; y = -x + 6; y = 5x/7-6; x = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 5x/7-6, teemos y = -6 y el vértice es A(0,-6). De y = 5x/7-6 e y = -x + 6, teemos 5x/7-6 = -x + 6 5x-4 = -7x+4 1x = 84, es decir x = 7 e y = -1, y el vértice es B(-1,7). De y = -x+6 e y = -x/5+3, teemos -x+6 = -x/5+3-5x+30 = -x = 3x, de dode x = 5 e y = 1, y el vértice es C(5,1). 4

35 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De x = 0 e y = -x/5+3, teemos y = 3, y el vértice es D(0,3). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito so: A(0,-6), B(-1,7), C(5,1) y D(0,3). Veamos el míimo de fució F(x,y) = -x - y + 3 e el recito aterior, así como el puto dode lo alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,-6), B(-1,7), C(5,1) y D(0,3). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,6) = -(0) - (-6) + 3 = 15; F(-1,7) = -(-1) - (7) + 3 = -9; F(5,1) = -(5) - (1) + 3 = -9; F(0,3) = -(0) - (-3) + 3 = -3. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució f e la regió es -9 (el meor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices B(-1,7) y C(5,1) por tato se alcaza e todo el segmeto BC. EJERCICIO (B) (x + 1) si x 1 Sea la fució f(x) = 4. si x > 1 x (1 5 putos) Estudie la cotiuidad y derivabilidad de la fució e su domiio (0 5 putos) Determie sus asítotas, e caso de que exista. c) (0 5 putos) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x =. Solució (x + 1) si x 1 Sea la fució f(x) = 4. si x > 1 x Estudie la cotiuidad y derivabilidad de la fució e su domiio La fució (x + 1) es ua fució poliómica, por tato cotiua y derivable e todo R, e particular e el itervalo (-,1). La fució 4 x es ua fució racioal, por tato cotiua y derivable e todo R {0} (úmero que aula el deomiador), e particular e el itervalo (1,+ ). Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x = 1. f(x) es cotiua e x = 1 si f(1) = f(1) = lim f(x) = x 1+ f(x) = lim f(x) = x 1 lim x 1+ lim x 1 4 x = 4 1 (x + 1) si x 1 4 x f(x) es derivable e x = 1 si lim f (x) = x 1 lim x 1 (x + 1) = () = 4; lim f(x) = x 1 lim f(x). x 1+ = 4, como so iguales f es cotiua e x = 1, es decir f es cotiua e R. ; teemos f (x) = si x > 1 lim f (x) = x 1 (x + 1) = () = 4; (x + 1) si x < 1-4 si x > 1 x lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x lim f (x) = x 1+ lim x 1+ es derivable e x = 1, luego f es derivable e R {1} Determie sus asítotas, e caso de que exista. x - 60 = (1) = -4, como so iguales teemos que f o La rama (x + 1) es ua fució poliómica, que sabemos o tiee asítotas. La rama de 4/x es u trozo hipérbola, que tiee ua asítota vertical e x = 0 (úmero que aula el 5

36 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua deomiador, pero o está e su domiio) porque y = 0 e +, porque lim x + lim 60/x = 60/0 - = -, y ua asítota horizotal e x 0 4/x = 4/(+ ) = 0 +, y f está por ecima de la asítota. Auque o lo pide u esbozo de la gráfica de f es: c) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x =. El puto x = está e la rama f(x) = 4/x. La recta tagete e x = es y f() = f () (x ). De f(x) = 4/x, teemos f() = 4/ =. De f (x) = -4/x, teemos f () = -4/().= -1. A recta tagete pedida es y = (-1) (x ), de dode y = -x + 4. EJERCICIO 3 (B) Se sabe que el 80% de los visitates de u determiado museo so adaluces y que el 55% so adaluces y adultos. Además, el 17% de los visitates o so adaluces y adultos. Se elige, al azar, u visitate del museo: (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que o sea adulto? (1 puto) Si es adulto, cuál es la probabilidad de que sea adaluz? Solució Se sabe que el 80% de los visitates de u determiado museo so adaluces y que el 55% so adaluces y adultos. Además, el 17% de los visitates o so adaluces y adultos. Se elige, al azar, u visitate del museo: Cuál es la probabilidad de que o sea adulto? Llamamos A y B a los sucesos ser adaluz y ser adulto. Del problema teemos: El 80% de los visitates de u determiado museo so adaluces p(a) = 80% = 0 8., El 55% so adaluces y adultos p(a B) = 55% = El 17% de los visitates o so adaluces y adultos p(a C B) = 17% = ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(o sea adulto) = p(b C ) De p(a B C ) = p(a) - p(a B), teemos 0 17 = p(b A C ) = p(b) - p(a B) = p(b) 0 55, por tato p(b) = = 0 7, por tato p(b C ) = 1 - p(b) = = 0 8. Si es adulto, cuál es la probabilidad de que sea adaluz? Me pide p(si es adulto, sea adaluz) = p(a/b) ( ) Luego p(a/b) = p A B = 0 55/ p(b) EJERCICIO 4 (B) (1 5 putos) Determie todas las muestras de tamaño que, mediate u muestreo aleatorio simple, se puede extraer del cojuto {6,9,1} y calcule la variaza de las medias muestrales. 6

37 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua (1 puto) Ua empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elabora diariamete 40, 15, 5 y 10 uidades respectivamete. Si u día se quiere elaborar u muestra de 40 uidades co los productos fabricados, por muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, qué úmero de uidades de cada producto se debe elegir? Solució Determie todas las muestras de tamaño que, mediate u muestreo aleatorio simple, se puede extraer del cojuto {6,9,1} y calcule la variaza de las medias muestrales. Supogo que el muestreo es co reemplazamieto. Hay 9 muestra co reemplazamieto de tamaño. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: MUESTRAS Elemetos Media de la muestra x i La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. xi i i xi i (xi) N = La media de la distribució muestral de medias (media de medias) es: x = k i= 1 x N i i = 81 9 = 4. La desviació variaza de la distribució muestral de medias es: σ X = (x ) i i = 756 N - x 9 - (9) = 3. Ua empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elabora diariamete 40, 15, 5 y 10 uidades respectivamete. Si u día se quiere elaborar u muestra de 40 uidades co los productos fabricados, por muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, qué úmero de uidades de cada producto se debe elegir? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N1, N,..., Nk, y si 1,,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra = 1 +, k y se calcula eligiedo los úmeros 1,,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N1, N,..., Nk, es decir 1 = =... = k = N1 N Nk N 1 E uestro caso 40 = 15 = 3 5 = 4 10 = N 1 De 40 = De 15 = 40 00, teemos 1 = , teemos = = = = 30, luego hay 8 uidades de A. = 8, luego hay 3 uidades de B. 7

38 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua 3 De 5 = De 10 = 40 00, teemos 3 = , teemos 4 = = 4, luego hay 5 uidades de C. = 4, luego hay 4 uidades de D. 8

39 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 014 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió defiida por las siguietes iecuacioes y calcule sus vértices: x + y 3; x - y 1; x 1; y 0. (0 75 putos) Calcule los valores máximo y míimo de la fució objetivo F(x,y) = x + 4y e la regió aterior y los putos dode se alcaza. Solució y Represete gráficamete la regió defiida por las siguietes iecuacioes y calcule sus vértices: x + y 3; x - y 1; x 1; y 0. Calcule los valores máximo y míimo de la fució objetivo F(x,y) = x + 4y e la regió aterior y los putos dode se alcaza. Las desigualdades x + y 3; x - y 1; x 1; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, x + y = 3; x - y = 1; x = 1; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x/ + 3/; y = x - 1; x = -1; y = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = -1 e y = 0, y el vértice es A(-1,0). De y = -x+1 e y = 0, teemos -x+1 = 0 x = 1, y el vértice es B(1,0). De y = -x/+3/ e y = x-1, teemos -x/+3/ = x-1 -x+3 = x- 5 = 3x, de dode x = 5/3 e y = 5/3-1 = /3, y el vértice es C(5/3,/3). De x = -1 e y = -x/+3/, teemos y = 4/ =, y el vértice es D(-1,). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito so: A(-1,0), B(1,0), C(5/3,/3) y D(-1,). Veamos el máximo y el míimo de la fució F(x,y) = x + 4y e el recito aterior, así como los putos dode los alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(-1,0), B(1,0), C(5/3,/3) y D(-1,). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(-1,0) = (-1) + 4(0) = -; F(1,0) = (1) + 4(0) = ; F(5/3,/3) = (5/3) + 4(/3) = 6; F(-1,) = (-1) + 4() = 6. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució F e la regió es - (el meor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(-1,0) y el máximo absoluto de la fució F e la regió es 6 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices C(5/3,/3) y D(-1,) por tato se alcaza e todo el segmeto CD. EJERCICIO (A) Sea la fució dada por f(x) = x + ax si x x + b x - 1. si x > 1

40 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua (1 5 putos) Determie los valores de a y b, sabiedo que dicha fució es derivable. (1 puto) Para a = y b = 3, determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f e el puto de abscisa x = 1. Solució x + ax si x Sea la fució dada por f(x) = x + b. si x > x - 1 Determie los valores de a y b, sabiedo que dicha fució es derivable. Como me dice que la fució es derivable, la fució tambié es cotiua, e particular e x =. Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x =. f(x) es cotiua e x = si f() = f() = lim f(x) = x + lim f(x) = x lim x + lim x x + b x - 1 = lim f(x) = lim f(x). x x + (x + ax) = () + a() = 4 + a; + b - 1 = + b, como so iguales teemos 4 + a = + b. x + ax si x x + a si x x + a si x f(x) = x + b ; teemos f (x) = (x - 1) - (x + = -1 - b si x > si x > si x > x - 1 (x - 1) (x - 1) f(x) es derivable e x = si lim f (x) = lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x x b -1 - b lim f (x) = x lim (x + = () + a = 4 + a; x lim f (x) = x + lim x + (x - 1) = ( - 1) = -1 - b, como so iguales teemos 4 + a = -1 - b, de dode a = -5 - b. De 4 + a = + b, teemos 4 + (-5 - = + b b = + b - 8 = 3b b = -8/3, co lo cual a = -5 - (-8/3) = -7/3. La fució f es derivable para a = -7/3 y b = -8/3. Para a = y b = 3, determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f e el puto de abscisa x = 1. x + x si x x + si x < Para a = y b = 3, teemos f(x) = x + 3 y teemos f (x) = - 4. si x > si x > x - 1 (x - 1) Vemos que x = 1 está es la rama x, dode f(x) = x + x y f (x) = x +. La recta tagete e x = 1 es y f(1) = f (1)(x 1). f(1) = (1) + (1) = 3 y f (1) = (1) + = 4, luego la recta tagete e x = 1 es y 3 = 4(x 1). EJERCICIO 3 (A) E u servicio técico especializado e cámaras fotográficas, el 70% de las cámaras que se recibe so del modelo A y el resto del modelo B. El 95% de las cámaras del modelo A so reparadas, mietras que del modelo B sólo se repara el 80%. Si se elige ua cámara al azar: (1 5 putos) Calcule la probabilidad de que o se haya podido reparar. (1 5 putos) Si se observa que o ha sido reparada, cuál es la probabilidad de que sea del modelo B? Solució E u servicio técico especializado e cámaras fotográficas, el 70% de las cámaras que se recibe so del modelo A y el resto del modelo B. El 95% de las cámaras del modelo A so reparadas, mietras que del modelo B sólo se repara el 80%. Si se elige ua cámara al azar: Calcule la probabilidad de que o se haya podido reparar. Llamemos A, B, R y R C, a los sucesos siguietes, maquia modelo A, " maquia modelo B", "reparar" y "o reparar", respectivamete. Datos del problema p(a) = 70/% = 0 7; p(r/a) = 95/% = 0 95 ; p(r/b) = 80/% = 0 8,...

41 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que o se haya podido reparar es: p(r C ) = p(a).p(r C /A) + p(b).p(r C /B) = (0 7) (0 05) + (0 3) (0 ) = Si se observa que o ha sido reparada, cuál es la probabilidad de que sea del modelo B? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: C C p( B R ) p( B).p(R /B) p(b/r C (0 3) (0 ) ) = = = = (1/19) C C p(r ) p(r ) EJERCICIO 4 (A) Co el fi de estudiar el precio medio del litro de gasolia e ua provicia e u determiado día, se seleccioa al azar ese día 9 estacioes de servicio y se observa los siguietes precios, e euros, de u litro de gasolia: 1 3, 1, 1 4, 1 7, 1 5, 1 3, 1 37, 1 38,1 3. Se sabe que el precio del litro de gasolia se distribuye segú ua ley Normal co desviació típica igual a 0 18 euros. (1 5 putos) Obtega u itervalo de cofiaza, al 95%, para estimar el precio medio del litro de gasolia. (1 puto) Calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el precio medio del litro de gasolia co u error o superior a 0 08 euros, co el mismo ivel de cofiaza. Solució σ Sabemos que para la media poblacioal µ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(µ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, de dode el tamaño míimo de z 1- α/. σ la muestra es = E. Co el fi de estudiar el precio medio del litro de gasolia e ua provicia e u determiado día, se seleccioa al azar ese día 9 estacioes de servicio y se observa los siguietes precios, e euros, de u litro de gasolia: 1 3, 1, 1 4, 1 7, 1 5, 1 3, 1 37, 1 38,1 3. 3

42 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Se sabe que el precio del litro de gasolia se distribuye segú ua ley Normal co desviació típica igual a 0 18 euros. Obtega u itervalo de cofiaza, al 95%, para estimar el precio medio del litro de gasolia. Datos del problema: = 9; x = ( )/9 = 93/5 1 30; σ = 0 18; ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, co la cual α/ = 0 05/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 975, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que viee, y que correspode a z 1-α/ = 1 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = 93 0' '18 1'96, + 1' (1 1846,1 4198) Calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el precio medio del litro de gasolia co u error o superior a 0 08 euros, co el mismo ivel de cofiaza. Datos del problema: Error E 0 08, σ = 0 18, igual ivel de cofiaza = 95% os da z 1-α/ = σ z De E = z1 α /, teemos 1- α / σ 1'96 0'18 = E 0'08 muestra de estacioes de servicio es de = 0. = , es decir el tamaño míimo de la OPCION B EJERCICIO 1 (B) (1 puto) Determie los valores de x e y que hace cierta la igualdad -1 x 1 x 3 = y y (1 5 putos) Resuelva la ecuació matricial: X - = Solució Determie los valores de x e y que hace cierta la igualdad -1 x 1 x 3 = y y x = x+y 3-1 -y 3x+y ; 1 x 3 = 3 y y. Igualado x+y = 3 3x+y 3y, teemos: x + y = 3 x + y = 3 x + y = 3 3x + y = 3y 3x - y = 0 E + E 1 () 7x = 6, de dode x = 6/7 e y = 3 - (6/7) = 9/ Resuelva la ecuació matricial: X - = X - = X = + = = Teemos X = Como det (A) = det 1 3 = = 5-6 = -1 0, existe la matriz iversa A -1 = (1/ A ) Adj(A t ). A t = ; Adj(At ) = , luego A -1 = (1/ A ) Adj(A t 5-3 ) = (1/-1) - 1 = Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I ), a la expresió (I B), dode B = A -1. 4

43 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua F 1-3F (A I ) = por tato F - F F (-1) A -1 = Multiplicado la expresió X = por la derecha por la matriz iversa A -1, teemos X = X I = X = La matriz pedida es X = = EJERCICIO (B) El porcetaje de persoas que sitoiza u programa de radio que se emite etre las 6 y las 1 horas viee dado, segú la hora t, mediate la fució S(t) = t + 7t - t 3, 6 t 1. (0 5 putos) Qué porcetaje de persoas sitoiza el programa al comezar la emisió? Y al cierre? ( putos) A qué hora tiee máxima y míima audiecia? Qué porcetaje de persoas sitoiza el programa a dichas horas? Solució El porcetaje de persoas que sitoiza u programa de radio que se emite etre las 6 y las 1 horas viee dado, segú la hora t, mediate la fució S(t) = t + 7t - t 3, 6 t 1. Qué porcetaje de persoas sitoiza el programa al comezar la emisió? Y al cierre? Al comezar la emisió teemos t = 6, luego para t = 6, S(6) = (6) + 7(6) - (6) 3 = 30, es decir al comezar la emisió el 30% de las persoas está e audiecia. Al fializar la emisió teemos t = 1, luego para t = 1, S(1) = (1) + 7(1) - (1) 3 = 48, es decir al fializar la emisió hay 48% de las persoas está e audiecia. A qué hora tiee máxima y míima audiecia? Qué porcetaje de persoas sitoiza el programa a dichas horas? Sabemos que S(t) es ua fució cotiua y derivable e todo R, e particular es cotiua e 6 t 1, y derivable e 6 < t < 1. Tambié sabemos que los extremos absolutos de S(t) se ecuetra etre las solucioes de B (t) = 0, y los extremos del itervalo t = 6 y t = 1. S(t) = t + 7t - t 3 S (t) = t 3t. De S (t) = 0, teemos -3t + 54t - 31 = 0 t - 18t + 77 = 0 t = 18 ± = 18 ± ± 4 = = 9 ±, de dode t = 7 y t = 11, que será los posibles extremos relativos. Evaluamos la fució S(t) e los valores 6, 7, 11, 1. S(6) = (6) + 7(6) - (6) 3 = 30 S(7) = (7) + 7(7) - (7) 3 = 3 S(11) = (11) + 7(11) - (11) 3 = 55 S(1) = (1) + 7(1) - (1) 3 = 48 Vemos que el máximo de audiecia es de 55% de persoas y se alcaza a las 11 horas (t = 11); y que el míimo de audiecia es de 3% de persoas y se alcaza a las 7 horas (t = 7). EJERCICIO 3 (B) Se elige u úmero, al azar, etre el siguiete cojuto: {5, 01, 16, 10, 180, 17, 156, 193, 18, 167, 176,, 15, 10, 190, 171}. (0 5 putos) Calcule la probabilidad de que el úmero elegido sea impar. (0 75 putos) Si el úmero elegido es múltiplo de 5, cuál es la probabilidad de que sea mayor que 00? c) (0 75 putos) Determie si so idepedietes los sucesos S: el úmero elegido es mayor que 00 y T: el úmero elegido es par. = 5

44 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua d) (0 5 putos) Halle la probabilidad del suceso T S Solució Se elige u úmero, al azar, etre el siguiete cojuto: {5, 01, 16, 10, 180, 17, 156, 193, 18, 167, 176,, 15, 10, 190, 171}. Calcule la probabilidad de que el úmero elegido sea impar. Vemos que hay 16 úmeros de los cuales 6 so impares, luego: p(úmero elegido sea impar) = 6/16 = 3/8 = Si el úmero elegido es múltiplo de 5, cuál es la probabilidad de que sea mayor que 00? Los múltiplos d 5 so los termiados e 0 o e 5, y que además sea mayores de 00 teemos 3, luego: p(úmero múltiplo de 5 y mayor de 00) = 3/16 = c) Determie si so idepedietes los sucesos S: el úmero elegido es mayor que 00 y T: el úmero elegido es par. S y T so idepedietes si p(s T) = p(a) p(b). Como p(s T) = p(º mayor de 00 y par) = 3/16. Como p(s) = p(º mayor de 00) = 6/16. Como p(t) = p(º par) = 10/16. Como p(s) p(t) = (3/16) (10/16) = 15/18 3/16 = p(s T), los sucesos S y T o so idepedietes. d) Halle la probabilidad del suceso T S p(s T) = p(s) + p(t) - p(s T) = 6/ /16 3/16 = 13/16. EJERCICIO 4 (B) 1) E u cetro docete la tercera parte de los alumos estudia el idioma A, la mitad el idioma B y el resto el idioma C (cada alumo estudia sólo uo de estos idiomas). (0 75 putos) Se desea seleccioar ua muestra de 60 alumos, mediate muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal al úmero de los alumos de cada idioma. Cómo debería estar coformada la muestra? (0 75 putos) E otra muestra seleccioada por el procedimieto aterior, el úmero de alumos tomados del idioma A es 14. Determie cuátos se ha elegido de los otros dos idiomas. ) (1 puto) Ua població tiee 5 elemetos. Mediate muestreo aleatorio simple se seleccioa muestras de tamaño 3, siedo la desviació típica de sus medias y la media de las medias muestrales 7. Cuáto vale la media y la variaza de la població? Solució 1) E u cetro docete la tercera parte de los alumos estudia el idioma A, la mitad el idioma B y el resto el idioma C (cada alumo estudia sólo uo de estos idiomas). Se desea seleccioar ua muestra de 60 alumos, mediate muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal al úmero de los alumos de cada idioma. Cómo debería estar coformada la muestra? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N 1, N,..., N k, y si 1,,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra = 1 +, k y se calcula eligiedo los úmeros 1,,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N 1, N,..., N k, es decir 1 = =... = k = N1 N Nk N El idioma A lo estudia 1/3 del total de alumos N, el idioma B 1/, y el resto es decir 1 1/3 1/ = 1/6, por tato c como = 60 y N 1 = N/3, N = N/ y N 3 = N/6, teemos: 60 = N N = 1 N/3 = N/ = 3 N/6 1 De N/3 = 60 N, teemos 1 = 60 N = 0, luego hay 0 alumos que estudia el idioma A. 3 N 6

45 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De N/ = 60 N, teemos = 60 N = 30, luego hay 30 alumos que estudia el idioma B. N De 3 N/6 = 60 N, teemos 3 = 60 N = 10, luego hay 10 alumos que estudia el idioma C. 6 N E otra muestra seleccioada por el procedimieto aterior, el úmero de alumos tomados del idioma A es 14. Determie cuátos se ha elegido de los otros dos idiomas. Como el procedimieto es 1/3 del idioma A, 1/ del idioma B y 1/6 del idioma C. Al elegir 14 alumos del idioma A, el total de la muestra es 14 3 = 4 =. Del idioma B la muestra tiee 4/ = 1 alumos y del idioma C hay 4/6 = 7 alumos. Resumiedo hay 14 alumos del idioma A, 1 alumos del idioma B y 7 alumos y del idioma C. ) Ua població tiee 5 elemetos. Mediate muestreo aleatorio simple se seleccioa muestras de tamaño 3, siedo la desviació típica de sus medias y la media de las medias muestrales 7. Cuáto vale la media y la variaza de la població? Supogo que el muestreo es co reemplazamieto, co lo cual podemos aplicar que la media de la distribució muestral de medias (media de medias) x coicide co la media de la població µ, es decir: µ = x = 7. Aálogamete la desviació típica muestral coicide co la desviació típica poblacioal dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra es decir: σ X = σ/ (). Como el tamaño de las muestras es = 3, teemos que = σ/ (3), de dode la desviació típica de la població es σ = (3)

46 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 014 MODELO 1 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea las matrices B = y C = (0 5 putos) Determie la dimesió que debe teer ua matriz A para que se verifique la igualdad A B = C t. ( putos) Halle la matriz A aterior, sabiedo que de ella se cooce los elemetos a 31 =, a 1 = -3 y a = 1. Solució Sea las matrices B = y C = Determie la dimesió que debe teer ua matriz A para que se verifique la igualdad A B = C t Como C =, su traspuesta es C t = x3-1 6 Sabemos que para poder multiplicar matrices, el úmero de columas de la 1ª debe coicidir co el úmero de filas de la ª, y el resultado del producto tiee filas de la 1ª y columas de la ª. E uestro caso: A 3x B x = C t 3x. E uestro caso la matriz A tiee de orde 3x. Halle la matriz A aterior, sabiedo que de ella se cooce los elemetos a 31 =, a 1 = -3 y a = 1. x x La ecuació es A B = C t -5 0, es y 1 = -8 3 z 4 6-5y+4 6 = z 6z - 1 Igualado térmio a térmio teemos: -5x - 1 = -; -18 = -18; -5y + 4 = -16; 6 = 6; z = -; 6z = 1. Co lo cual: -5x - 1 = = 5x x = -. -5y + 4 = = 5y y = 4. 6z = 1 z = La matriz pedida es A = 4 1 EJERCICIO (A) Sea la fució f(x) = -x 3 + a e -x + b x - 1. (1 5 putos) Halle los valores de a y b sabiedo que la fució tiee u míimo e x = 0 y que la gráfica de la fució pasa por el puto (0,0). (1 puto) Para a = 0 y b = 1, determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució e el puto de abscisa x = 1. Solució Sea la fució f(x) = -x 3 + a e -x + b x - 1. Halle los valores de a y b sabiedo que la fució tiee u míimo e x = 0 y que la gráfica de la fució pasa por el puto (0,0). Como f pasa por el puto (0,0), teemos f(-4) = -5. Como f tiee u míimo e el puto de abscisa x = 0, teemos f (0) = 0. f(x) = -x 3 + a e -x + b x - 1; f (x) = -6x - a e -x + b. De f (0) = 0 - a e 0 + b = 0 - a + b = 0, de dode a = b. De f(0) = 0 a e 0-1 = 0 a - 1 = 0, luego a = 1 y b = 1. Para a = 0 y b = 1, determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució e el puto de 3x 1

47 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua abscisa x = -1. Para a = 0 y b = 1, f(x) = -x 3 + x - 1; f (x) = -6x + 1 La recta tagete e x = -1 es y - f(-1) = f (-1) (x - (-1)) f(x) = -x 3 + x - 1 f(-1) = -(-1) 3 + (-1) - 1 = - = 0. f (x) = -6x + 1 f (-1) = -6(-1) + 1 = = -5. La recta tagete e x = -1 es y - (0) = -5 (x + 1), de dode y = -5x - 5. EJERCICIO 3 (A) Sea A y B dos sucesos aleatorios idepedietes de los que se cooce que: p(a) = 0 5 y p(b) = 0 3. (0 5 putos) Diga, razoadamete, si A y B so sucesos icompatibles. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que suceda A y o suceda B? c) (1 puto) Calcule p(a/b C ). Solució Sea A y B dos sucesos aleatorios idepedietes de los que se cooce que: p(a) = 0 5 y p(b) = 0 3. Diga, razoadamete, si A y B so sucesos icompatibles. Como so sucesos idepedietes p(a B) = p(a) p(b) = = Sabemos que si A y B so sucesos icompatibles, p(a B) = 0; como p(a B) = 0 15, los sucesos o so icompatibles. Cuál es la probabilidad de que suceda A y o suceda B? Pide p(a y ob) = p(a B C ) = p(a) - p(a B) = = c) Calcule p(a/b C ). p A B C p(a/b C p(a) - p A B ) = ;= 0 35/(1 0 3) = 0 5; C p(b ) 1 - p(b) EJERCICIO 4 (A) Ua paadería produce barras de pa cuya logitud, medida e cetímetros, sigue ua distribució Normal co ua desviació típica de 5 cetímetros. (1 puto) A partir de ua muestra de 100 barras de pa se ha calculado el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, resultado ser (31, 33 4). Halle la media muestral y el error de estimació. (1 5 putos) Para u ivel de cofiaza del 96%, halle el tamaño muestral míimo ecesario para que el error de estimació máximo sea 1 5. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(, ) o X N(, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. ( ) = x z 1 /,x z1 / dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - / Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 /, para el itervalo de la media, de

48 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua dode el tamaño míimo de la muestra es = z 1- /. E. Ua paadería produce barras de pa cuya logitud, medida e cetímetros, sigue ua distribució Normal co ua desviació típica de 5 cetímetros. A partir de ua muestra de 100 barras de pa se ha calculado el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, resultado ser (31, 33 4). Halle la media muestral y el error de estimació. Datos del problema: = 5; = 100; (a, = x z 1 /,x z1 / = (31, 33 4). Vemos que a + b = = x, luego x = 64 6/ = 3 3. Tambié observamos que Error = E = z1 / = b - x = = 1 1. Para u ivel de cofiaza del 96%, halle el tamaño muestral míimo ecesario para que el error de estimació máximo sea 1 5. Datos del problema: Error = E = 1 5, = 5, ivel de cofiaza = 96% = 0 96 = 1 -, de dode = 0 04, co la cual / = 0 04/ = 0 0. De p(z z 1-α/ ) = 1 - / = = 0 98, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0 98 o viee, y la más próxima es , que correspode a z 1-α/ = 05. z De E = z1 /, teemos 1- / E = muestra de libros es de = 47 barras de pa. '05 5 1'5 = 46 69, es decir el tamaño míimo de la OPCION B EJERCICIO 1 (B) U utricioista receta a ua de sus pacietes ua dieta semaal especial basada e lácteos y pescado. Cada kg de lácteos cuesta 6 y proporcioa 3 uidades de proteías y 1 de calorías; cada kg de pescado cuesta 1, aportado 1 uidad de proteías y de calorías. La dieta le exige o tomar más de 4 kg, cojutamete, de lácteos y pescado, y u aporte míimo de 4 uidades de proteías y 3 de calorías. (1 puto) Platee el problema para obteer la combiació de ambos alimetos que tega el coste míimo. (1 5 putos) Dibuje la regió factible y determie la solució óptima del problema Solució U utricioista receta a ua de sus pacietes ua dieta semaal especial basada e lácteos y pescado. Cada kg de lácteos cuesta 6 y proporcioa 3 uidades de proteías y 1 de calorías; cada kg de pescado cuesta 1, aportado 1 uidad de proteías y de calorías. La dieta le exige o tomar más de 4 kg, cojutamete, de lácteos y pescado, y u aporte míimo de 4 uidades de proteías y 3 de calorías. y Platee el problema para obteer la combiació de ambos alimetos que tega el coste míimo. Dibuje la regió factible y determie la solució óptima del problema. Sea x = º de quilos de lácteos. Sea y = º de quilos de pescado. Para determiar las iecuacioes y la fució Beeficio F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Proteía Calorías Precio Lácteos x Pescado y 1 1 Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes, y la fució beeficio: De La dieta le exige o tomar más de 4 kg, de lácteos y pescado x + y 4. 3

49 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De aporte míimo de 4 uidades de proteías 3x + y 4. De aporte míimo de 3 uidades de calorías x + y 3. De se toma algú lácteo y pescado x 0, y 0. De Cada kg de lácteos cuesta 6 y cada kg de pescado cuesta 1, teemos la fució a optimizar es F(x,y) = 6x + 1y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(x,y) = 6x + 1y. Restriccioes: x + y 4; 3x + y 4; x + y 3; x 0; y 0 Las desigualdades x + y 4; 3x + y 4; x + y 3; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, x + y = 4; 3x + y = 4; x + y = 3; x = 0; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x + 4; y = -3x + 4; y = -x/ + 3/; x = 0; y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, que es el polígoo coexo limitado por los vértices de los cortes de dichas rectas, cuyos lados so los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = -3x+4, teemos y = 4, y el vértice es A(0,4). De y = -3x+4 e y = -x/+3/, teemos -3x+4 = -x/+3/ -6x+8 = -x+3 5 = 5x, de dode x = 1 e y = -3(1)+4 = 1, y el vértice es B(1,1). De y = -x/+3/ e y = 0, teemos -x/+3/ = 0 -x+3 = 0 x = 3, y el vértice es C(3,0). De y = -x+4 e y = 0, teemos -x+4 = 0 x = 4, y el vértice es D(4,0). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(0,4), B(1,1), C(3,0) y D(4,0). Veamos la solució óptima de la fució f(x,y) = 6x + 1y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos f e los putos ateriores A(0,4), B(1,1), C(3,0) y D(4,0). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. f(0,4) = 6(0) + 1(4) = 48; f(1,1) = 6(1) + 1(1) = 18; f(3,0) = 6(3) + 1(0) = 18; f(4,0) = 6(4) + 1(0) = 4. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució f e la regió es 18 (el meor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices B(1,1) y C(3,0), por tato el míimo se alcaza e todo el segmeto que ue el vértice B co el vértice C. EJERCICIO (B) x - ax + 5 si x < 0 ( 5 putos) Sea la fució f, defiida por f(x) =. -x + b si x 0 Determie los valores que ha de tomar a y b para que la fució f sea derivable e x = 0. 4

50 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Solució x - ax + 5 si x < 0 Sea la fució f, defiida por f(x) =. Determie los valores que ha de tomar a y b -x + b si x 0 para que la fució f sea derivable e x = 0. Como me dice que la fució es derivable e x = 0, tambié es cotiua e x = 0. Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x = 0. f(x) es cotiua e x = 0 si f(0) = lim f(x) = x 0 f(0) = f(x) = lim x 0 lim x 0 f(x) = lim f(x) = lim f(x). x 0 x 0 (x - ax + 5) = (0) - a(0) + 5 = 5; lim (-x + = -(0) + b = b, como so iguales teemos b = 5. x 0 x - ax + 5 si x < 0 -x + b si x 0 f(x) es derivable e x = 0 si lim f (x) = x 0 lim x 0 x - a si x < 0 ; teemos f (x) = -x si x 0 lim f (x) = lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x 0 x 0 (x - = (0) - a = a; lim f (x) = lim (-x) = (0) = 0, como so iguales teemos a = 0. x 0 x 0 EJERCICIO 3 (B) U estudio estadístico de la producció de ua fábrica de batidoras determia que el 4 5% de las batidoras preseta defectos eléctricos, el 3 5% preseta defectos mecáicos y el 1% preseta ambos defectos. Se escoge al azar ua batidora. (1 puto) Calcule la probabilidad de que o tega iguo de los dos defectos. (1 puto) Calcule la probabilidad de que tega u defecto mecáico sabiedo que tiee u defecto eléctrico. c) (0 5 putos) Justifique si los sucesos teer u defecto eléctrico y teer u defecto mecáico so idepedietes. So icompatibles? Solució U estudio estadístico de la producció de ua fábrica de batidoras determia que el 4 5% de las batidoras preseta defectos eléctricos, el 3 5% preseta defectos mecáicos y el 1% preseta ambos defectos. Se escoge al azar ua batidora. Calcule la probabilidad de que o tega iguo de los dos defectos. Llamamos A y B a los sucesos batidora co defectos eléctricos y batidora co defectos mecáicos. Del problema teemos: p(a) = 4 5% = 0 045, p(b) = 3 5% = y p(a B) = 1% = Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(o tega igú defecto) = p(oa y ob) = p(a C B C ) = {Ley de Morga} = = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B) = = p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 07 Calcule la probabilidad de que tega u defecto mecáico sabiedo que tiee u defecto eléctrico. Me pide p(tega u defecto mecáico. sabiedo que tiee u defecto eléctrico) = p(b/a) Luego p(b/a) = p B A = (0 01)/(0 045) = /9 0. p(a) c) Justifique si los sucesos teer u defecto eléctrico y teer u defecto mecáico so idepedietes. So icompatibles? A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b). Como p(a B) =0 01 p(a) p(b) = = , los sucesos A y B o so idepedietes. A y B so icompatibles si p(a B) = 0. Como p(a B) = , los sucesos A y B o so icompatibles. 5

51 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 4 (B) Queremos estudiar la proporció de persoas de ua població que usa ua determiada marca de ropa; para ello se hace ua ecuesta a 950 persoas y se obtiee que 15 de ellas usa esa marca. Utilizado u cotraste de hipótesis (H 0 : p 0 5): (1 5 putos) Podemos afirmar co estos datos y co u ivel de sigificació del 5% que al meos el 5% de toda la població usa esa marca de ropa? (1 puto) Y co u ivel de sigificació del 1%? Solució Sabemos que la distribució muestral de proporcioes sigue tambié ua distribució ormal: N( ˆp, p 0.(1-p 0 ) ). Trabajaremos co lo ormal N(0,1) Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Queremos estudiar la proporció de persoas de ua població que usa ua determiada marca de ropa; para ello se hace ua ecuesta a 950 persoas y se obtiee que 15 de ellas usa esa marca. Utilizado u cotraste de hipótesis (H 0 : p 0 5): y Podemos afirmar co estos datos y co u ivel de sigificació del 5% que al meos el 5% de toda la població usa esa marca de ropa? Y co u ivel de sigificació del 1%? Nos dice el problema si puede afirmarse que ha al meos el 5% de toda la població usa esa marca de ropa, es decir que el porcetaje de votos o es meor del 5%, por tato la hipótesis ula es H 0 : p a iveles de sigificació de = 0,05 y = 0,01. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(0,1). Tambié se puede hacer co la ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Datos del problema: p 0 = 0 5; = 950; ˆp = 15/950 = 43/ ; regió crítica = = 0,05 = 5% y = 0,01 = 0 1%. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : p (al meos el 4% vot y H 1 : p 0 < 0 4, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del puto crítico z = - z 1-. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 05, luego teemos 1 - α = 0,95. De p(z z 1- ) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o viee dicha probabilidad,y si viee y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato teemos como valor crítico es z = - z 1- = -( ) / = , que separa las zoas de aceptació y rechazo. Para el ivel de sigificació es α = 0 01, luego teemos 1 - α = 0,99. De p(z z 1- ) = 1 - α = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. El valor más próximo es , que correspode al valor crítico es z = - z 1- = - 33 que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: 6

52 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. ˆp - p0 E este caso el estadístico de prueba es Z =, que sigue ua ormal tipificada, N(0,1), y el p 0.(1-p 0 ) ˆp - p0 valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = p.(1-p )/ = 43/190-0'5 = '5 0' Recordamos que los putos críticos era y Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = está e la regió de rechazo para el puto crítico que correspode al ivel de sigificació del 5%. Si embargo está e la regió de aceptació para que el valor crítico z = - z 1- = Resumiedo: 1.- Rechazamos la hipótesis ula H 0 : H 0 : p 0 0 5, y aceptamos la hipótesis alterativa H 1 : p 0 < 0 5, para el ivel de sigificació = Co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 5%, afirmamos que meos del 5% de toda la població usa esa marca de ropa?.- Aceptamos la hipótesis ula H 0 : H 0 : p 0 0 5, para el ivel de sigificació = Co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 1%, afirmamos que al meos u 5% de toda la població usa esa marca de ropa? 7

53 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. (0 5 putos) Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece a R. (1 5 putos) Dada I fució objetivo F(x,y) = x - 3y, calcule sus valores extremos e R. c) (0 5) putos) Razoe si hay algú puto de R dode la fució F valga 3 5. Y 7 5? Solució Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. ( y ( Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece a R. Dada Ia fució objetivo F(x,y) = x 3y, calcule sus valores extremos e R. El puto (4 5,1 55) perteece a la regió factible R, si verifica a la vez las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. Como (4 5) 3(1 55) , lo cual es FALSO, por tato el puto (4 5,1 55) o perteece a R. Fució Objetivo F(x,y) = x - 3y. Restriccioes: x 3y, x 5, y 1 El puto (4 5,1 55) perteece a R Las desigualdades x 3y, x 5, y 1, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x = 3y, x = 5, y = 1 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x/3, x = 5, y = 1 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = 1 e y = x/3, teemos 1 = x/3, luego 3 = x, de dode y = 1. Puto de corte A(3,1). De y = 1 y x = 5. Puto de corte B(5,1). De x = 5 e y = x/3, teemos y = 5/3, de dode el puto de corte es C(5,5/3). Vemos que la regió factible es el polígoo limitado por los vértices del recito so: A(3,1), B(5,1) y C(5,5/3). Calculemos los extremos de la fució F(x,y) = x - 3y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(3,1), B(5,1) y C(5,5/3). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(3,1) = (3) - 3(1) = 3; F(5,1) = (5) - 3(1) = 7; F(5,5/3) = (5) - 3(5/3) = 5. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 7 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(5,1) y el míimo absoluto de la fució F e la regió es 3 (el meor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(3,1). c) Razoe si hay algú puto de R dode la fució F valga 3 5. Y 7 5? Cómo el míimo absoluto vale 3 y el máximo absoluto vale 7, el valor 3 5 se alcaza e R, porque está etre 3 y 7, pero el valor 7 5 o se alcaza e R pues mayor que el máximo absoluto de F. gjrubio@hotmail.com 1

54 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO (A) E ua empresa el úmero de motajes diarios realizados por u trabajador depede de los días trabajados 11t + 17 segú la fució M(t) =, t 1, dode t es el úmero de días trabajados. t + 1 (0 5 putos) Cuátos motajes realiza el primer día? Cuátos días ecesitará para realizar cico motajes diarios? (0 75 putos) Qué ocurrirá co el úmero de motajes diarios si trabajara idefiidamete? c) (0 75 putos) El dueño de la empresa cree que el úmero de motajes aumeta co los días de trabajo. Estudiado la fució, justifique si es cierta dicha creecia. d) (0 5 putos) Dibuje la grafica de la fució. Solució E ua empresa el úmero de motajes diarios realizados por u trabajador depede de los días trabajados 11t + 17 segú la fució M(t) =, t 1, dode t es el úmero de días trabajados. t + 1 Cuátos motajes realiza el primer día? Cuátos días ecesitará para realizar cico motajes diarios? 11(1) + 17 Los motajes realizados el primer día so M(1) = = 8/14 =. (1) + 1 Para ver cuatos días se ecesita par realizar 5 motajes diarios hay que resolver la ecuació: 11t =, es decir 5(t + 1) = 11t t + 60 = 11t + 17, de dode 44 = t. Hay esperar 44 días t + 1 para que se realice 5 motajes diarios. Qué ocurrirá co el úmero de motajes diarios si trabajara idefiidamete? 11t + 17 Nos está pidiedo el comportamieto e +, es decir lim M(t) = lim t t t + 1 = lim 11t = 11/ = 5 5. Si se t t trabajará idefiidamete se obtedría 5 5 motajes diarios. c) El dueño de la empresa cree que el úmero de motajes aumeta co los días de trabajo. Estudiado la fució, justifique si es cierta dicha creecia. Vamos a estudiar la mootoía (estudio de M (t) ) para t 1. 11t (t+1)- (11t+17) +98 M(t) = M (t) = = t + 1 (t+1) (t+) Como M (t) > 0, para cual valor de t > 1, la fució M(t) siempre es estrictamete creciete por tato el dueño de la empresa lleva razó. d) Dibuje la grafica de la fució. La gráfica es u trozo de hipérbola. Ya sabemos que es estrictamete creciete. La recta y = 5 5 es ua asítota horizotal e +, porque lim M(t) = 5 5. t + La recta t = -6 (o está e el domiio) es ua asítota vertical. Teemos el puto (1,), por tato u esbozo de la gráfica es: EJERCICIO 3 (A) Se cree que hay ua vuelta hacia estilos de bailes más populares, por Io que se realiza ua ecuesta a gjrubio@hotmail.com

55 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua estudiates de bachillerato, resultado que al 40% les gusta la salsa, al 30% le gusta el meregue y al 10% les gusta tato la salsa como el meregue. (0 75 putos) Cual es la probabilidad de que a u estudiate le guste el meregue si le gusta la salsa? (0 75 putos) Y la de que a u estudiate le guste el meregue si o le gusta la salsa? c) (1 puto) So idepedietes Ios sucesos "gustar la salsa" y "gustar el meregue"? So compatibles? Solució Se cree que hay ua vuelta hacia estilos de bailes más populares, por Io que se realiza ua ecuesta a estudiates de bachillerato, resultado que al 40% les gusta la salsa, al 30% le gusta el meregue y al 10% les gusta tato la salsa como el meregue. Cuál es la probabilidad de que a u estudiate le guste el meregue si le gusta la salsa? Llamemos A y B, a los sucesos siguietes, les gusta la salsa y les gusta el meregue ", respectivamete. Del problema teemos: p(a) = 40% = 0 4, p(b) = 30% = 0 3 y p(a y B) = p(a B) = 10% = 0 1. p A B Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a y ob) = p(a B C ) = p(a) - p(a B); p(a/b) = ( ) p(b) A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); A y B so compatibles si p(a B) 0; p(a C ) = 1 - p(a). p( A B ) Me pide p(b/a) = = 0 1/0 4 = 1/4. p(a) Y la de que a u estudiate le guste el meregue si o le gusta la salsa? C p( B A ) Me pide p(b/a C p(b) - p(a B) 0'3-0'1 ) = = = = 0 /0 6 = 1/3. C p(a ) 1 - p(a) 1-0'4 c) So idepedietes Ios sucesos "gustar la salsa" y "gustar el meregue"? So compatibles? ; Como p(a B) = 0 1 0, los sucesos A y B so compatibles. Como p(a B) = = p(a) p(b), los sucesos A y B so depedietes. EJERCICIO 4 (A) ( 5 putos) E ua bodega utiliza ua maquia que debe evasar el vio e botellas co u coteido de 750 ml. Para comprobar si esa máquia fucioa correctamete, se toma ua muestra de 36 botellas y se observa que el coteido medio de las mismas es de 748 ml. Supoiedo que la variable "coteido" sigue ua distribució Normal co variaza 5, aalice mediate u cotraste de hipótesis bilateral (H o : µ = 750) si se puede aceptar, co u ivel de sigificació de 0 05, que la maquia evasadora fucioa correctamete. Solució Sabemos que si teemos ua població que sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: σ N(µ, ). Trabajaremos co lo ormal N(0,1) Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestra y es parecido a los itervalos de cofiaza. E ua bodega utiliza ua maquia que debe evasar el vio e botellas co u coteido de 750 ml. Para comprobar si esa máquia fucioa correctamete, se toma ua muestra de 36 botellas y se observa que el coteido medio de las mismas es de 748 ml. Supoiedo que la variable "coteido" sigue ua distribució Normal co variaza 5, aalice mediate u cotraste de hipótesis bilateral (H o : µ = 750) si se puede aceptar, co u ivel de sigificació de 0 05, que la maquia evasadora fucioa correctamete. Este problema os platea u cotraste bilateral. Datos dados: µ 0 = 750; = 36; variaza = σ = 5, desviació típica = σ = 5; x = 748; ivel de sigificació = α = El problema la dividimos e cico etapas: gjrubio@hotmail.com 3

56 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : µ 0 = 750 ml y H 1 : µ ml. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. La prueba es bilateral y co u ivel de sigificació α = 0 05, co lo cual α/ = 0,05/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 975, mirado e las tablas de la N(0,1) obteemos z 1-α/ = 1 96, co lo cual le correspode por valores críticos z 1-α/ = 1 96 y z α/ = - z 1-α/ = -1 96, que separa las zoas de aceptació y de rechazo. Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ 0 E este caso el estadístico de prueba es Z =, que sigue ua ormal tipificada N(0,1), y el valor σ / x - µ observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = = σ / 5/ 36 = - 4, Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = - 4 es meor que el valor crítico z α/ = = -1 96, vemos que os ecotramos e la zoa de rechazo. Por tato, tomamos la decisió de rechazar la aceptar hipótesis ula H 0 : µ 0 = 750 ml, a este ivel de sigificació. E cosecuecia, podemos rechazar la hipótesis ula H 0 y aceptar la hipótesis alterativa H 1 : µ ml. Es decir máquia evasadora o fucioa correctamete, pues al estar e la zoa de rechazo evasa meos de 750 ml al ivel de sigificació 0 05, pudiedo haber cometido u error del tipo I. OPCION B EJERCICIO 1 (B) 1/5 0 Sea las matrices A = -/5 3/5, B = 3/ y C = 4/5 4/ (1 5 putos) Resuelva la ecuació matricial (A + B) X = 3A B. (1 puto) Determie e cada caso las dimesioes de la matriz D para que se pueda realizar las siguietes operacioes: C D + A, C t D C, D C t, C D C t. Solució 1/5 0 Sea las matrices A = -/5 3/5, B = 3/ y C = 4/5 4/ Resuelva la ecuació matricial (A + B) X = 3A t B. 1/5 0 3A - B = 3 -/5 3/5-3/5-1 4/5 4/5 = 3/5 0-6/5 9/5-3/5-1 4/5 4/5 = = E 1/5 0 A + B = -/5 3/5 + 3/5-1 4/5 4/5 = /5 0-4/5 6/5 + 3/5-1 4/5 4/5 = = F. La matriz F tiee iversa si, mediate trasformacioes elemetales, podemos pasar de la matriz (F I ) a la matriz (I F -1 ) F1 + F / (F I ) = F / / / = (I F -1 ), por tato F / = 0 1/. Tambié podemos calcular F -1 por la fórmula F -1 = (1/ F ) Adj(F t ). F = = - 0 = 0; 1 0 Ft = -1 ; 1 Adj(Ft ) = 0 1 ; F-1 = (1/ F ) Adj(F t 1 ) = (1/) 0 1 = 1 1/ 0 1/. Como vemos sale lo mismo. De (A + B) X = 3A B, es decir F X = E, multiplicado por la izquierda por la iversa de F, F -1, teemos: F -1 F X = F -1 E I X = F -1 E X = F -1 E gjrubio@hotmail.com 4

57 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua La matriz pedida es X = F -1 E 1 = (1/) = (1/) = -1 3/ -1 1/. Determie e cada caso las dimesioes de la matriz D para que se pueda realizar las siguietes operacioes: C D + A, C t D C, D C t, C D C t. Para que tega setido el producto de matrices, el úmero de columas de la matriz de la izquierda tiee que coicidir co el úmero de filas de la matriz de la derecha, y el producto tie porfilas la de la 1ª matriz y columas la de la ª matriz. Para que tega setido la suma tiee que teer la misma dimesió. C x3 D + A x, luego la operació tiee setido si D 3x. C t 3x D C x3, luego la operació tiee setido si D x. D C t 3x, luego la operació tiee setido si D x3. Siedo cualquier º atural. C x3 D C t 3x, luego la operació tiee setido si D 3x3. EJERCICIO (B) Sea la fució f(x) = x - bx + 1 si x x + a si x > (1 5 putos) Determie los valores de a y b para que dicha fució sea cotiua e x = y, además, tega u míimo e x = 1. (1 puto) Para a = y b = 6, determie Ia ecuació de la recta tagete a la grafica de la fució e el puto de abscisa x = -. Solució Sea la fució f(x) = x - bx + 1 si x x + a si x > Determie los valores de a y b para que dicha fució sea cotiua e x = y, además, tega u míimo e x = 1. Veamos la cotiuidad e x = f(x) es cotiua e x = si f() = f() = lim f(x) = x lim f(x). x + f(x) = lim f(x) = lim (x bx + 1) = 5 - b; lim lim x x x + x + e x =, ambas expresioes so iguales, es decir 5 b = 4 + a. ( x + = 4 + a, por tato como f(x) es cotiua Como tiee u míimo e x = 1, sabemos que f (1) = 0. Vemos que x = 1 está e la rama x, por tato f(x) = x bx + 1 f (x) = x b. De f (1) = 0, teemos (1) b = 0, luego b =. Etrado e 5 b = 4 + a co b =, teemos 1 = 4 + a, de dode a = -3. Para a = y b = 6, determie Ia ecuació de la recta tagete a la grafica de la fució e el puto de abscisa x = -. x - 6x + 1 si x Para a = y b = 6, la fució es f(x) = x + si x > Vemos que x = - está e la rama x, por tato f(x) = x 6x + 1 f (x) = x 6. La recta tagete e x = - es y f(-) = f (-)(x (-)) Teemos f(-) = (-) 6(-) + 1 = 17; f (-) = (-) 6 = -10. La recta tagete pedida es y - 17 = (-10)(x + ), o bie y = -10x - 3. EJERCICIO 3 (B) El 50% de los préstamos que cocede u baco so para vivieda, el 30% para idustria y el 0% para cosumo. No se paga el 0% de los préstamos para vivieda, el 15% de los préstamos para idustria y el 70% de los préstamos para cosumo. (1 puto) Si se elige al azar u préstamo, calcule la probabilidad de que se pague. gjrubio@hotmail.com 5

58 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua (0 75 putos) Se elige u préstamo al azar que resulta impagado, cuál es la probabilidad de que sea u préstamo para cosumo? c) (0 75 putos) Ate u préstamo impagado el director del baco afirma que es más probable que sea para vivieda que para cosumo, lleva razó el director? Solució El 50% de los préstamos que cocede u baco so para vivieda, el 30% para idustria y el 0% para cosumo. No se paga el 0% de los préstamos para vivieda, el 15% de los préstamos para idustria y el 70% de los préstamos para cosumo. Llamemos V, I, C, N y S, a los sucesos siguietes, préstamo para vivieda, préstamo para idustria, " préstamo para cosumo ", o se paga el préstamo y " si se paga el préstamo ", respectivamete. Además teemos p(v) = 50% = 0 5, p(i) = 30% = 0 3, p(c) = 0% = 0, p(n/v) = 0% = 0, p(n/i) = 15% = = 0 15 y p(n/c) = 70% = 0 7. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Si se elige al azar u préstamo, calcule la probabilidad de que se pague. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que se pague el préstamo es: p(s) = p(v).p(s/v) + p(i).p(s/i) + p(c).p(s/c) = (0 5) (0 8) + (0 3) (0 85) + (0 ) (0 3) = Se elige u préstamo al azar que resulta impagado, cuál es la probabilidad de que sea u préstamo para cosumo? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( C N ) p( C) p(n/c ) (0') (0'7) p(c/n) = = = = 8/ p(n) 1 - p(s) 1-0'715 c) Ate u préstamo impagado el director del baco afirma que es más probable que sea para vivieda que para cosumo, lleva razó el director? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( V N ) p( V) p(n/v ) (0'5) (0') p(v/n) = = = = 0/ p(n) 1 - p(s) 1-0'715 Comparado el apartado ( y el apartado (c) vemos que la probabilidad de préstamo impagado es mayor para el cosumo, luego el director o lleva rezó. EJERCICIO 4 (B) El gasto mesual de las familias de u muicipio se distribuye segú ua variable Normal co desviació típica igual a 180 euros. Seleccioadas 30 familias al azar, ha teido u gasto medio mesual de 900 euros. (1 5 putos). Calcule u itervalo de cofiaza para el gasto medio mesual de las familias de ese muicipio co u ivel de cofiaza del 98%. (1 5 putos) Calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el medio mesual de las familias gjrubio@hotmail.com 6

59 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua co u error o superior a 60 euros, co el mismo ivel de cofiaza. Solució σ Sabemos que para la media poblacioal µ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(µ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α /,x + z1 α / dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media, de z 1- α/. σ dode el tamaño míimo de la muestra es = E. El gasto mesual de las familias de u muicipio se distribuye segú ua variable Normal co desviació típica igual a 180 euros. Seleccioadas 30 familias al azar, ha teido u gasto medio mesual de 900 euros. Calcule u itervalo de cofiaza para el gasto medio mesual de las familias de ese muicipio co u ivel de cofiaza del 98%. Datos del problema: σ = 180; = 30; x = 900; ivel de cofiaza = 98% = 0 98 = 1 - α, de dode α=0 0, co la cual α/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0 99 vemos que o viee, la probabilidad más próxima que viee es y correspode a z 1-α/ = 33 (Iterpolado z 1-α/ = 3667), por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = ' 33,900 ' (83 48,976 57) Calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el medio mesual de las familias co u error o superior a 60 euros, co el mismo ivel de cofiaza. Datos del problema: σ = 180; Error = E < 60; igual ivel de cofiaza, luego z 1-α/ = 33. z 1- α/. σ ' De > = E , es decir el tamaño míimo es = 49 familias. gjrubio@hotmail.com 7

60 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 4 Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO 4 RESERVA OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea las matrices A =, B =, C = , D =. 0 3 (1 puto) Calcule A 3. (1 5 putos) Determie la matriz X para que A X + B C = D. Solució Sea las matrices A =, B =, C = , D =. 0 3 Calcule A 3. A = A A A = = = Determie la matriz X para que A X + B C = D. Si la matriz A tiee matriz iversa A -1, (podemos pasar de (A I ) mediate trasformacioes elemetales a la matriz (I A -1 )), podemos multiplicar la expresió matricial A X + B C = D por la izquierda por la matriz A Cambio (A I ) = F- F F 1 por F F- F F 1+ F = (I A -1 ), por tato A = (-1)F Tambié la podíamos ver por la fórmula A -1 = 1/( A ) Adj(A t ). A = det(a) = = 10 9 = 1 0, luego existe A-1 ; A t 3 =, Adj(A t 5-3 ) =, luego A = De A X + B C = D, teemos A X = D B C, luego A -1 A X = A -1 (D B C) I X = A -1 (D B C) X = A -1 (D B C) Luego X = A -1 (D B C) = = - = = = EJERCICIO (A) Calcule las derivadas de las siguietes fucioes: ( x - 5 (0 75 putos) f (x) = )3 3 - x (0 75 putos) g(x) = e 7x (x - 5x ). x.l(1 - x ) c) (1 puto) h(x) = x - 3 Solució Calcule las derivadas de las siguietes fucioes: ( x - 5 f(x) = )3 ; g(x) = e 7x (x - 5x ) x.l(1 - x ) ; c) h(x) = 3 - x x - 3 Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié algo sobre extremos absolutos / f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); ( f(x) g(x)) = f (x) g(x)+ f(x) g (x); = ; g(x) (g(x)) germa.jss@gmail.com 1

61 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 4 Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua ( (f(x) k ) = k.f(x) k-1.f (x); ( a x ) = a x.l(; ( e kx ) = k.e kx ; (x k ) = k.x k-1 ; (l(f(x)) = f'(x) ; (k) = 0. f(x) ( x - 5 f(x) = )3 ; 3 - x f (x) = ( ) ( ) ( ) (x) x (3 - x ) + ( x - 5) ( ) 3 3 x - 5 x (3 - x ) - x - 5 (-x) (x) x - 5 ( - x + 4) = = (3 - x ) (3 - x ) (3 - x ) g(x) = e 7x (x - 5x ) ; g (x) = e 7x (7) (x - 5x ) + e 7x (x - 5x ) (1 10x) = e 7x (7) (x - 5x ) [7 (x - 5x ) + (1 10x)] = = 7 e 7x (x - 5x ) [-35x 13x + ] c) x.l(1 - x ) h(x) = x - 3 -x [1 l(1 - x ) + x ].(x - 3) - x l(1 - x ) 1 [(1- x ) l(1 - x ) - x ].(x - 3) - (1 - x ) x l(1 - x ) h (x) = 1 - x = (x - 3) (1 - x ) (x - 3) EJERCICIO 3 (A) U Cetro de Salud propoe dos terapias, A y B, para dejar de fumar. De las persoas que acude al Cetro para dejar de fumar, el 45% elige la terapia A, y el resto la B. Después de u año el 70% de los que siguiero la terapia A y el 80% de los que siguiero la B o ha vuelto a fumar. Se elige al azar u usuario del Cetro que siguió ua de las dos terapias: (1 puto) Calcule la probabilidad de que después de u año o haya vuelto a fumar. (0 75 putos) Si trascurrido u año esa persoa sigue si fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A. c) (0 75 putos) Si trascurrido u año esa persoa ha vuelto a fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A. Solució U Cetro de Salud propoe dos terapias, A y B, para dejar de fumar. De las persoas que acude al Cetro para dejar de fumar, el 45% elige la terapia A, y el resto la B. Después de u año el 70% de los que siguiero la terapia A y el 80% de los que siguiero la B o ha vuelto a fumar. Se elige al azar u usuario del Cetro que siguió ua de las dos terapias: Llamemos A, B, F y F C, a los sucesos siguietes, seguir la terapia A, "seguir la terapia B", "seguir fumado" y "dejar de fumar ", respectivamete. Datos del problema p(a) = 45% = 0 45; p(f C /A) = 70% = 0 7; p(f C /B) = 80% = 0 8. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Calcule la probabilidad de que después de u año o haya vuelto a fumar. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que o haya vuelto a fumar es: p(f C ) = p(a).p(f C /A) + p(b).p(f C /B) = (0 45) (0 7) + (0 55) (0 8) = (3/5) = Si trascurrido u año esa persoa sigue si fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia germa.jss@gmail.com

62 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 4 Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua A. Aplicado el teorema de Bayes, teemos: C C p( A F ) p( A).p(F /A) p(a/f C ) = = = (0 45) (0 7):(0 755) C C p(f ) p(f ) c) Si trascurrido u año esa persoa ha vuelto a fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A. Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( A F ) p( A).p(F/A ) p(a/f) = = = (0 45) (0 3):( ) C p(f) 1 - p(f ) EJERCICIO 4 (A) Se cooce que la acidez de ua solució es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal co desviació típica 0. Se ha tomado ua muestra aleatoria de cico solucioes y se ha obteido las siguietes medidas de la acidez: (1 5 putos) Halle el itervalo de cofiaza, al 99%, para la media poblacioal. (0 5 putos) Qué error máximo se ha cometido e el itervalo aterior? c) (0 75 putos) Para el mismo ivel de cofiaza, calcule el tamaño míimo muestral que permita reducir el error aterior a la mitad. Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = b - a dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Sabemos que la amplitud del itervalo es b a = E = z1 α / σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media, de z 1- α/. σ dode el tamaño míimo de la muestra es = E. Se cooce que la acidez de ua solució es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal co desviació típica 0. Se ha tomado ua muestra aleatoria de cico solucioes y se ha obteido las siguietes medidas de la acidez: Halle el itervalo de cofiaza, al 99%, para la media poblacioal. Datos del problema: σ = 0 ; = 5; x = ( )/5 = 7 94; ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dode α = 0 01, es decir α/ = 0 01/ = germa.jss@gmail.com 3

63 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 4 Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 57 y 58, por tato z 1-α/ es la media es decir z 1-α/ = ( )/ = 575. El itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = 0' 0' 7'94 '575,7'94 + ' ( ,8 1543) Qué error máximo se ha cometido e el itervalo aterior? σ Sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α / = ( 575) (0 )/( 5) c) Para el mismo ivel de cofiaza, calcule el tamaño míimo muestral que permita reducir el error aterior a la mitad. z 1- α/. σ '575 0' Sabemos que el tamaño míimo de la muestra es = E 0' , por tato el tamaño míimo es = 5. OPCIÓN B EJERCICIO 1 (B) Se desea maximizar la fució F(x,y) = 14x + 8y e el recito dado por: y +3x 9; y -4x/7 + 14; 5x - y 15; x 0. (1 puto) Represete la regió factible del problema. (1 puto) Cuál es el valor máximo de F y la solució óptima del problema? c) (0 5 putos) Obtega u puto de la regió factible que o sea el óptimo. Solució Se desea maximizar la fució F(x,y) = 14x + 8y e el recito dado por: y +3x 9; y -4x/7 + 14; 5x - y 15; x 0. Represete la regió factible del problema. Las desigualdades y + 3x 9; y -4x/7 + 14; 5x - y 15; x 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, y + 3x = 9; y = -4x/7 + 14; 5x - y = 15; x = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -3x + 9; y = -4x/7 + 14; y = 5x/ - 15/; x = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = -3x + 9, teemos y = 9 y el vértice A(0,9). De y = -3x+9 e y = 5x/ 15/, teemos -3x+9 = 5x/ - 15/ -6x+18 = 5x - 15, 33 = 11x, de dode x=3 e y = 0, y el vértice es B(3,0). germa.jss@gmail.com 4

64 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 4 Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De y = 5x/ 15/ e y = -4x/7 + 14, teemos 5x/ 15/ = -4x/ x 105 = -8x x = 301 x = 7, de dode y = 10, y el vértice es C(7,10). De y = -4x/ y x = 0, teemos y = 14, y el vértice es D(0,14). Vemos que la regió factible es el polígoo covexo limitado por los vértices del recito so: A(0,9), B(3,0), C(7,10) y D(0,14). Cuál es el valor máximo de F(x,y) = 14x + 8y, y la solució óptima del problema? El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,9), B(3,0), C(7,10) y D(0,14). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,9) = 14(0) + 8(9) = 7; F(3,0) = 14(3) + 8(0) = 4; F(7,10) = 14(7) + 8(10) = 178; F(0,14) = 14(0) + 8(14) = 11 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 178 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(7,10). c) Obtega u puto de la regió factible que o sea el óptimo. U puto de la regió factible que o sea el óptimo podría ser el vértice B(3,0), pues e él la fució F vale 4. EJERCICIO (B) 3 x - 1 si x < 1 Se cosidera la fució f(x) =. -x + 4x - 3 si x 1 (0 75 putos) Determie el domiio y estudie la cotiuidad de la fució. (1 puto) Obtega los extremos de la fució. c) (0 75 putos) Estudie su curvatura. Solució 3 x - 1 si x < 1 Se cosidera la fució f(x) =. -x + 4x - 3 si x 1 Determie el domiio y estudie la cotiuidad de la fució. El domiio de la fució f es todo R, os lo idica el problema, x 3 1 es ua fució cotiua y derivable e R, e particular e x < 1. -x + 4x 3 es ua fució cotiua y derivable e R, e particular e x 1. Sabemos que si ua fució es derivable etoces tambié es cotiua. Veamos la cotiuidad de f e x = 1. f(x) es cotiua e x = 1 si f(1) = lim f(x) = x 1 x 1 f(1) = lim f(x) = + x 1 lim (x 3-1 ) = (1) 3-1 = 0; lim f(x) = x 1 lim f(x). x + 1 lim (-x + 4x - 3) = -(1) + 4(1) - 3 = 0, por tato f(x) es cotiua e x = 0. x + 1 Recapitulado f es cotiua e R. Obtega los extremos de la fució. Sabemos que la mootoía es el estudio de la primera derivada f (x) = Si x < 1, f (x) = 3x. De f (x) = 0, teemos 3x = 0, de dode x = 0 (doble). Posible extremo. Como f (-1) = 3(-1) = 3 > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (-,0) 3x si x < 1. -x + 4 si x > 1 germa.jss@gmail.com 5

65 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 4 Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Como f (0 5) = 3(0 5) = 0 75 > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (0,1) E x = 0, la fució es estrictamete creciete, luego o es u extremo. Si x > 1, f (x) = -x + 4 De f (x) = 0, teemos -x + 4 = 0, de dode x =. Posible extremo. Como f (1 1) = -(1 1) + 4 = 1 8 > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (1,) Como f (3) = -(3) + 4 = - < 0, f es estrictamete decreciete ( ) e (,+ ) Por defiició x = es u máximo relativo y vale f() = -() + 4() 3 = 1. c) Estudie su curvatura. Nos está pidiedo los itervalos de cocavidad, covexidad y los putos de iflexió; es decir el estudio de la seguda derivada. 6x si x < 1 f (x) =. - si x > 1 Si x < 1, f (x) = 6x. De f (x) = 0, teemos 6x = 0, de dode x = 0. Posible puto de iflexió. Como f (-1) = 6(-1) = - 6 < 0, f(x) es cócava ( ) e el itervalo (-,0). Como f (0 5) = 6(0 5) = 3 > 0, f(x) es covexa ( ) e el itervalo (0,1) Por defiició x = 0 es u puto de iflexió y vale f(0) = (0) 3 1 = -1. Si x > 1, f (x) = - < 0, luego f(x) es cócava ( ) e el itervalo (1,+ ). Por defiició x = 1 es u puto de iflexió y vale f(1) = -(1) + 4(1) 3 = 0. EJERCICIO 3 (B) De los sucesos idepedietes A y B se sabe que p(a C ) = 0 4 y p(a B) = 0 8. (1 5 putos) Halle la probabilidad de B. (0 75 putos) Halle la probabilidad de que o se verifique B si se ha verificado A. c) (0 5 putos) So icompatibles los sucesos A y B? Solució De los sucesos idepedietes A y B se sabe que p(a C ) = 0 4 y p(a B) = 0 8. Halle la probabilidad de B. ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); A y B so idepedietes p(b) si p(a B) = p(a) p(b); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(b) De p(a C ) = p(a) = 0 4, de dode p(a) = 0 6. De p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = p(a) + p(b) - p(a) p(b), teemos 0 8 = p(b) 0 6 p(b), luego 0 = 0 4 p(, por tato p(b) = 0 /0 4 = 0 5. Halle la probabilidad de que o se verifique B si se ha verificado A. C pb ( A ) Me pide p(b C /A) = p(a) De A y B idepedietes teemos p(a B) = p(a) p(b) = = 0 3. C pb ( A ) ( ) ( ) Luego p(b C p A - p A B /A) = = = ( )/(0 6) = 0 3/0 6 = 0 5. p(a) p(a) c) So icompatibles los sucesos A y B? A y B so icompatibles si A B = φ, es decir p(a B) = 0, pero hemos visto que p(a B) = 0 3, luego los suceso A y B so compatibles. germa.jss@gmail.com 6

66 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 4 Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 4 (B) (1 5 putos) Se cosidera la població {,4,6}. Escriba todas las posibles muestras de tamaño dos elegidas mediate muestreo aleatorio simple y determie la desviació típica de las medias muestrales. (1 5 putos) E ua ciudad se seleccioó ua muestra aleatoria de 500 alumos de Bachillerato a los que se les pregutó si poseía ua determiada marca de teléfoo móvil, resultado que 80 de ellos cotestaro afirmativamete. Obtega u itervalo de cofiaza, al 9%, para estimar la proporció de estudiates de Bachillerato que posee esa marca de teléfoo móvil. Solució Se cosidera la població {,4,6}. Escriba todas las posibles muestras de tamaño dos elegidas mediate muestreo aleatorio simple y determie la desviació típica de las medias muestrales. Supogo que el muestreo es co reemplazamieto. Hay 9 muestra co reemplazamieto de tamaño. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: MUESTRAS Elemetos Media de la muestra x i La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. x i i i x i i (x i ) N = La media de la distribució muestral de medias (media de medias) es: µ = x = k i= 1 x N i i = 36 9 = 4. La desviació típica de la distribució muestral de medias es: σ = (x ) i i = N - x (4) 9 = E ua ciudad se seleccioó ua muestra aleatoria de 500 alumos de Bachillerato a los que se les pregutó si poseía ua determiada marca de teléfoo móvil, resultado que 80 de ellos cotestaro afirmativamete. Obtega u itervalo de cofiaza, al 9%, para estimar la proporció de estudiates de Bachillerato que posee esa marca de teléfoo móvil. Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q = 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ) germa.jss@gmail.com 7

67 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 4 Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = (b- dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1-α/. Trabajamos co la ormal N(0,1) tipificada de la ormal muestral. p(1 ˆ p) ˆ El error cometido es E < z 1 α /. = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es > ˆˆ. (z 1-α/ ).p.q E E ua ciudad se seleccioó ua muestra aleatoria de 500 alumos de Bachillerato a los que se les pregutó si poseía ua determiada marca de teléfoo móvil, resultado que 80 de ellos cotestaro afirmativamete. Obtega u itervalo de cofiaza, al 9%, para estimar la proporció de estudiates de Bachillerato que posee esa marca de teléfoo móvil. Datos del problema: p = 80/500 = 0 16, q = = 0 84, = 500, ivel de cofiaza 1 α = 9% = = 0 9, de dode α = 0 08 = 8% como ivel de sigificació. De α = 0 08 teemos α/ = 0 04 De la igualdad p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 96, probabilidad que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 96 o viee e la tabla y uo de los valores más próximos es , que correspode a z 1-α/ = = 1 75 (Iterpolado z 1-α/ = ). Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. ( ; ) p q ˆ ˆ = 0'16 0'84 0'16 0'84 0'16-1'75,0'16 + 1' germa.jss@gmail.com 8

68 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 3 Reserva 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO 3 RESERVA 1 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) (1 5 putos) Se cosidera las matrices A = y B =. 5 3 Determie la matriz X que verifica B X = 3A + A t. 5 6 (1 5 putos) Calcule la matriz Y que verifica 1-5 Y = Solució Se cosidera las matrices A = y B =. 5 3 Determie la matriz X que verifica B X = 3A + A t. S la matriz B tiee matriz iversa B -1, (podemos pasar de (B I ) mediate trasformacioes elemetales a (I C), la matriz C es B -1 ), podemos multiplicar la expresió matricial B X = 3A + A t por la izquierda por la matriz B Cambio (B I ) = F- F F 1 por F F- F F 1+ F = (I B -1 ), por tato B -1-1 = (-1)F Tambié la podíamos ver por la fórmula B -1 = 1/( B ) Adj(B t ). B = det(b) = 1 3 = 4 3 = 1 0, luego existe B-1. B t 3 =, Adj(B t -1 ) =, luego B -1-1 = De B X = 3A + A t, teemos B -1 B X = B -1 (3A + A t ) I X = B -1 (3A + A t ) X = B -1 (3A + A t ) Luego X = B -1 (3A t + A t ) = 3 + = = = = Calcule la matriz Y que verifica 1-5 Y = Sabemos que el producto de matrices es posible si el º de columas de la 1ª coicide co el º de filas de la ª, y el resultado es filas de la 1ª y columas de la ª; es decir A mxp B px = C mx. 5 6 E uestro caso 1-5 Y = -1, por tato Y tiee que ser de orde x1, es decir Y x1, es decir x 3x1 a Y =. b 5 De 1-5 a 6 a+5b 6 a + 5b = 6 = -1-1 b a-5b = -1 a - 5b = a-b -6 a - b = -6 Resolvemos las dos primeras ecuacioes y vemos si la solució verifica la tercera ecuació. a + 5b = 6 (F 1 -F ) 15b = 30, de dode b =. a - 5b = -1 a - 5b = -1. Sustituyedo b = teemos a = () = -. Comprobamos que a = - y b = verifica a b = -6 (-) () = -6, lo cual es cierto. - La matriz pedida es Y =. germa.jss@gmail.com 1

69 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 3 Reserva 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO (A) Sea la fució f(x) = x - 1 si x < -3 -x + 3 si -3 x x - 1 si x > (1 puto) Estudie la cotiuidad y derivabilidad de f(x) e su domiio. (1 puto) Determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto. c) (0 5 putos) Calcule los extremos relativos. Solució Sea la fució f(x) = x - 1 si x < -3 -x + 3 si -3 x x - 1 si x > Estudie la cotiuidad y derivabilidad de f(x) e su domiio. Sabemos que si ua fució es derivable etoces tambié es cotiua. x 1 es ua fució cotiua y derivable e R, e particular e x < -3. -x + 3 es ua fució cotiua y derivable e R, e particular e -3 < x <. x 1 es ua fució cotiua y derivable e R, e particular e x >. Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x = -3 y x =. lim f(x) = x 3 (x - 1 ) = (-3) - 1 = 6; f(x) es cotiua e x = -3 si f(-3) = lim f(x) = x 3 f(-3) = lim x 3+ lim x 3 f(x) = f(x) es cotiua e x = si f() = f() = lim x + lim f(x) = x f(x) = lim x + lim x lim f(x). x 3+ lim (-x + 3) = -(-3) + = 6, por tato f(x) es cotiua e x = -3. x 3+ lim f(x) = x (-x + 3 ) = -() + 3 = 1; lim f(x). x + (x - 1) = () 1 = 1, por tato f(x) es cotiua e x = 1. Recapitulado f es cotiua e R. x - 1 si x < -3 De f(x) = -x + 3 si -3 x, teemos f (x) = x - 1 si x > f(x) es derivable e x = -3 si lim f (x) = x 3 lim f (x) = x 3 lim (4x) = 4(-3) = -1; x 3 es derivable e x = -3. f(x) es derivable e x = si lim f (x) = x lim x (-1) = -1; lim f (x) = x lim f (x) = + x 4x si x < -3-1 si -3 < x < 1 si x > lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x 3 + lim f (x) = x 3 + lim x 3 + (-1) = -1. Como los resultados o so iguales, f(x) o lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x + (1) = 1. Como los resultados o so iguales, f(x) o es derivable lim x + e x =. Recapitulado f es derivable e R {-3,}. Determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto. Sabemos que la mootoía es el estudio de la primera derivada f (x) = Si x < -3, f (x) = 4x. De f (x) = 0, teemos 4x = 0, de dode x = 0, que o está e el domiio x < -3. Como f (-4) = 4(-4) = -16 < 0, f es estrictamete decreciete ( ) e (-,-3) Si -3 < x <, f (x) = -1 < 0, luego f es estrictamete decreciete ( ) e (-3,). 4x si x < -3-1 si -3 < x <. 1 si x > germa.jss@gmail.com

70 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 3 Reserva 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Si x >, f (x) = 1 > 0, luego f es estrictamete creciete ( ) e (,+ ). c) Calcule los extremos relativos. Observado el apartado ( vemos que e x = hay u míimo relativo que vale f() = -() + 3 = 1 Auque o lo pide, u esbozo de la gráfica de f es: E x < -3, la gráfica de x 1 es u trozo de parábola co las ramas hacia arriba ( ), pues el º que multiplica a x es positivo, y vértice e V(0,-1), que o está e ese domiio. E -3 < x <, f(x) = -x + 3, cuya gráfica es u trozo de segmeto co la pediete egativa. E x >, f(x) = x - 3, cuya gráfica es u trozo de segmeto co la pediete positiva. EJERCICIO 3 (A) E ua ura A hay 10 bolas verdes y 10 rojas, y e otra ura B hay 15 verdes y 5 rojas. Se laza u dado, de forma que si sale múltiplo de 3 se extrae ua bola de la ura A y e el resto de casos se extrae ua bola de la ura B. (1 5 putos) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja. (1 puto) Si la bola extraída resulta ser de color verde, cuál es la probabilidad de que proceda de la ura B? Solució E ua ura A hay 10 bolas verdes y 10 rojas, y e otra ura B hay 15 verdes y 5 rojas. Se laza u dado, de forma que si sale múltiplo de 3 se extrae ua bola de la ura A y e el resto de casos se extrae ua bola de la ura B. Llamemos A, B, V y R =, a los sucesos siguietes, sacar ua bola de la ura A, " sacar ua bola de la ura B", " sacar ua bola verde " y " sacar ua roja ", respectivamete. Múltiplos de 3 = {3,6} Datos del problema p(a) = /6 = 1/3; p(b) = 4/6 = /3; p(v/a) = p(r/a) = 1/; p(v/b) = 15/0 y p(r/b) = 5/0. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída sea roja (R) es: p(r) = p(a).p(r/a) + p(b).p(r/b) = (1/3) (1/) + (/3) (5/0) = (3/5) = 1/3. Si la bola extraída resulta ser de color verde, cuál es la probabilidad de que proceda de la ura B? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: germa.jss@gmail.com 3

71 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 3 Reserva 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua p(b/v) = ( ) ( ) p B V p B).p(V/B (/3) (15/0) = = = (15/0) = p(v) 1 - p(r) 1-1/3 EJERCICIO 4 (A) El peso de los sobres de café que fabrica ua empresa sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 0 3 g. Se quiere costruir u itervalo de cofiaza para estimar dicha media, co u ivel de cofiaza del 98%, y para ello se toma ua muestra de 9 sobres. (1 puto) Qué amplitud tedrá dicho itervalo? (0 5 putos) Cómo afectaría a dicha amplitud u aumeto del tamaño de la muestra, mateiedo el mismo ivel de cofiaza? c) (1 puto) Obtega el itervalo de cofiaza sabiedo que los pesos, e gramos, de los sobres de la muestra so: Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = b - a dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Sabemos que la amplitud del itervalo es b a = E = z1 α / σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media, de z 1- α/. σ dode el tamaño míimo de la muestra es = E. El peso de los sobres de café que fabrica ua empresa sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 0 3 g. Se quiere costruir u itervalo de cofiaza para estimar dicha media, co u ivel de cofiaza del 98%, y para ello se toma ua muestra de 9 sobres. Qué amplitud tedrá dicho itervalo? Datos del problema: σ = 0 3; = 9; ivel de cofiaza = 98% = 0 98 = 1 - α, de dode α = 0 0, co la cual α/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0 99 vemos que o viee, la mas próxima que viee es , que correspode a z 1-α/ = 33(Iterpolado z 1-α/ = 3667). σ Luego la amplitud del itervalo es b a = z1 α / = ( 33) (0 3)/ (9) = 4 66 (0 1) = Cómo afectaría a dicha amplitud u aumeto del tamaño de la muestra, mateiedo el mismo ivel de cofiaza? σ Observamos que la amplitud del itervalo es z1 α /, y tambié sabemos que al dividir por ua catidad mayor dismiuye el cociete. Como el tamaño de la muestra,, está e el deomiador, si aumetamos, dismiuye el cociete y por tato la amplitud del itervalo es meor al cotrario si dismiuimos, germa.jss@gmail.com 4

72 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 3 Reserva 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua aumeta el cociete y por tato la amplitud del itervalo es mayor. c) Obtega el itervalo de cofiaza sabiedo que los pesos, e gramos, de los sobres de la muestra so: Datos del problema: σ = 0 3; = 9; z 1-α/ = 33; x = ( )/ El itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = 0'3 0'3 6'96 '33,6'96 + ' (6 79,7 195) OPCIÓN B EJERCICIO 1 (B) Se cosidera el recito R del plao determiado por las siguietes iecuacioes: 5x - 4y 0; x + 8y 48; x ; y 0. (1 5 putos) Represete gráficamete el recito R y calcule sus vértices. (0 5 putos) Halle los valores máximo y míimo que alcaza la fució F(x,y) = x + 1y e este recito e idique dóde se alcaza. c) (0 5 putos) Razoe si existe valores (x,y) perteecietes al recito para los que F(x,y) = 100. Solució Se cosidera el recito R del plao determiado por las siguietes iecuacioes: 5x - 4y 0; x + 8y 48; x ; y 0. Represete gráficamete el recito R y calcule sus vértices. Las desigualdades 5x - 4y 0; x + 8y 48; x ; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, 5x - 4y = 0; x + 8y = 48; x = ; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = 5x/4-5; y = -x/8 + 6; x = ; y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = e y = 0, teemos vértice A(,0). De y = 0 e y = 5x/4 5, teemos 0 = 5x/4 5 5x/4 = 5 x = 4, y el vértice es B(4,0). De y = 5x/4 5 e y = -x/8 + 6, teemos 5x/4 5 = -x/ x 40 = -x x = 88 x = 8, de dode y = 5, y el vértice es C(8,5). De y = -x/8 + 6 y x =, teemos y = -1/4 + 6 = 5 75, y el vértice es D(,5 75). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito so: A(,0), B(4,0), C(8,5) y D(,5 75). Halle los valores máximo y míimo que alcaza la fució F(x,y) = x + 1y e este recito e idique dóde se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que germa.jss@gmail.com 5

73 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 3 Reserva 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua evaluamos F e los putos ateriores A(,0), B(4,0), C(8,5) y D(,5 75). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(,0) = () + 1(0) = 4; F(4,0) = (4) + 1(0) = 8; F(8,5) = (8) + 1(5) = 76; F(5,5/3) = () + 1(5 75) = 73 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 76 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(8,5) y el míimo absoluto de la fució F e la regió es 4 (el meor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(,0). c) Razoe si existe valores (x,y) perteecietes al recito para los que F(x,y) = 100. Cómo el míimo absoluto de la fució F vale 4 y el máximo absoluto de la fució F vale 76, el valor 100 o se alcaza e el recito R, porque es superior al valor máximo de F que es 76. EJERCICIO (B) Sea la fució f(x) = x 3-4x + 4x. (1 5 putos) Halle los itervalos de cocavidad y covexidad y los putos de iflexió. (0 75 putos) Obtega la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f(x) e el puto de abscisa x = -. c) (0 5 putos) E el puto de abscisa x = 1, la fució es creciete o decreciete? Solució Sea la fució f(x) = x 3-4x + 4x. Halle los itervalos de cocavidad y covexidad y los putos de iflexió. Nos está pidiedo el estudio de la seguda derivada. Como f(x) = x 3-4x + 4x es ua fució poliómica, sabemos que es cotiua y derivable e R las veces que ecesitemos. Calculamos f (x) y resolvemos la ecuació f (x) = 0. f(x) = x 3-4x + 4x; f (x) = 3x - 48x + 4; f (x) = 6x De f (x) = 0 6x - 48 = 0, luego x = 8, que será el posible puto de iflexió. Como f (0) = -48 < 0, f(x) es cócava ( ) e el itervalo (-,8). Como f (10) = 1 > 0, f(x) es covexa ( ) e el itervalo (8,+ ). Por defiició x = 8 es u puto de iflexió y vale f(8) = (8) 3 4(8) + 4(8) = -99. Obtega la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f(x) e el puto de abscisa x = -. La recta tagete a la gráfica de f e x = - es y f(-) = f (-)(x - (- )). f(x) = x 3-4x + 4x, luego f(-) = (-) 3 4(-) + 4(-) = f(x) = 3x - 48x + 4, luego f () = 3(-) 48(-) + 4 = 11. La recta tagete pedida es y + 11 = 11 (x + 11). c) E el puto de abscisa x = 1, la fució es creciete o decreciete? Estudiamos u poco la mootoía de f, es decir hacemos el estudio de la primera derivada f (x). Calculamos f (x) y resolvemos la ecuació f (x) = 0. f(x) = x 3-4x + 4x; f (x) = 3x - 48x + 4. De f (x) = 0 3x (3)(4) - 48x + 4 = 0. Resolviedo la ecuació sale x 1 = = 8-6 x = (3)(4) 6 = , que será los posibles extremos. Como f (1) = 3(1) 48(1) + 4 = -41< 0, f(x) es estrictamete decreciete ( ) e el itervalo ( , ), e particular es estrictamete decreciete e x = 1. (Lo podíamos hacer realizado viedo solamete el sigo de f (1) = -41 < 0, luego es ( ) e x = 1 ) y germa.jss@gmail.com 6

74 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 3 Reserva 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3 (B) E ua empresa, el 65% de sus empleados habla iglés, y de éstos, el 40% habla tambié alemá. De los que o habla iglés, el 5% habla alemá. Se escoge u empleado al azar: (1 puto) Cuál es la probabilidad de que hable ambos idiomas? (1 puto) Cuál es la probabilidad de que hable alemá? c) (0 5 putos) Cuál es la probabilidad de que, sabiedo que habla alemá, hable tambié iglés? Solució E ua empresa, el 65% de sus empleados habla iglés, y de éstos, el 40% habla tambié alemá. De los que o habla iglés, el 5% habla alemá. Se escoge u empleado al azar: Cuál es la probabilidad de que hable ambos idiomas? Llamamos A y B a los sucesos empleado habla iglés y empleado habla iglés. Del problema teemos: El 65% de sus empleados habla iglés p(a) = 65% = 0 65, Habla iglés, y de éstos, el 40% habla tambié alemá p(b/a) = 40% = 0 4. De los que o habla iglés, el 5% habla alemá p(b/a C ) = 5% = 0 5. ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(hable ambos idiomas) = p(a y B) = p(a B) p( A B ) De p(b/a) = 0 4 =, teemos p(a B) = 0 4 p(a) = = 0 6. p(a) Cuál es la probabilidad de que hable alemá? Me pide p(hable alemá) = p(b) C pb ( A ) ( ) De p(b/a C p(b) - p B A ) = 0 5 = =, teemos p(b) - p(a B) = 0 5 (1 - p(a)), es decir: C p(a ) 1 - p(a) p(b) = p(a B) (1 - p(a)) = (1 0 65) = c) Cuál es la probabilidad de que, sabiedo que habla alemá, hable tambié iglés? Me pide p(hable iglés, sabiedo que habla alemá) = p(a/b) p( A B ) p(a/b) = = 0 6/ p(b) EJERCICIO 4 (B) ( 5 putos) Los represetates de u partido político cree que la proporció de sus votates será al meos del 35%. Para cofirmarlo elige ua muestra al azar de 100 votates y obtiee que 336 de ellos so partidarios de votarles. Mediate u cotraste de hipótesis, co H 0 : p 0 35, y a u ivel de sigificació del 0 01, se puede admitir como cierta la creecia de los represetates del partido político? Solució Sabemos que la distribució muestral de proporcioes sigue tambié ua distribució ormal: p 0.(1-p 0) N( ˆp, ). Trabajaremos co lo ormal N(0,1) Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Nos dice el problema que la proporció de sus votates será al meos del 35%, por tato la hipótesis ula es H 0 : p (lo dá el problem, co u ivel de sigificació de α = 0,01. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(0,1). Tambié se puede hacer co la ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Datos del problema: p 0 = 0 35; = 100; ˆp = 336/100 = 0 8; regió crítica = α = 0,01 = 1%. germa.jss@gmail.com 7

75 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo 3 Reserva 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : p (al meos el 35% vot y H 1 : p 0 < 0 35, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del puto crítico z α = - z 1-α. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 01, luego teemos 1 - α = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. El valor más próximo es , que correspode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 33 que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de prueba es Z = ˆp - p0, que sigue ua ormal tipificada, N(0,1), y el valor p 0.(1-p 0) observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = ˆp - p0 0'8-0'35 = p 0.(1-p 0)/ 0'35 0' Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = está e la regió de rechazo para el puto crítico z α = - z 1-α = - 33, pues < - 33, rechazamos la hipótesis ula H 0 : H 0 : p , y aceptamos la hipótesis alterativa H 1 : p 0 < 0 35, co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 1%, afirmamos que meos del 35% votará a dicho partido político. germa.jss@gmail.com 8

76 IES Fco Ayala de Graada Juio de 013 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 013 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea las matrices A = y B =. a b 3 0 (1 5 putos) Obtega a y b sabiedo que A 5 - =. Es A simétrica? - 1 (1 5 putos) Para los valores a = 3 y b = 1 calcule la matriz X talque A B = (X - 3I ). Solució Sea las matrices A = y B =. a b 3 0 Obtega a y b sabiedo que A 5 - =. Es A simétrica? - 1 A = = A A = - 1 a b -1 -a+4 -b- =. Igualado teemos: a b ab+a -a+b 5 = -a + 4, de dode a = = -b -, de dode b = 0. - = ab + a, lo cual es cierto para a = -1 y b = 0. 1 = -a + b, lo cual es cierto para a = -1 y b = Para a = -1 y b = 0, teemos A = la cual es simétrica pues A = A t, y además se observa que los -1 0 elemetos simétricos respecto a la diagoal pricipal so iguales (el -1). Para los valores a = 3 y b = 1 calcule la matriz X talque A B = (X - 3I ) Para a = 3 y b = 1 teemos A = y B = De A B = (X - 3I ), teemos A B = X - 6I es decir (1/) A B + 3I = X La matriz pedida es X = (1/) A B + 3I = (1/) / / 1 1 = + = = (1/). 0 3/ / = (1/) = EJERCICIO (A) Los beeficios de ua empresa e sus 8 años viee dados, e milloes de euros, por la fució 3 t B(t) = 4-3t + 9t, 0 t 8; dode la variable t idica el tiempo trascurrido, e años, desde su fudació. (1 5 putos) Estudia la mootoía y los extremos de B(t). (1 puto) Dibuje la gráfica de B(t) e el itervalo [0,8] y explique, a partir de ella la evolució de los beeficios de esta empresa e sus 8 años de existecia. Solució Los beeficios de ua empresa e sus 8 años viee dados, e milloes de euros, por la fució 3 t B(t) = 4-3t + 9t, 0 t 8; dode la variable t idica el tiempo trascurrido, e años, desde su fudació. Estudia la mootoía y los extremos de B(t). La mootoía es el estudio de la 1ª derivada, como B(t) es ua cúbica sabemos que es cotiua y derivable e todo R, es particular e su domiio 0 t 8. Por tato los extremos absolutos se ecotrará etre los valores que aule la 1ª derivada B (t), y los extremos del itervalo t = 0 y t = 8. 1

77 IES Fco Ayala de Graada Juio de 013 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De B(t) = 3 t 4-3t + 9t, teemos B (t) = 3t 4-6t t De B (t) = 0 4-6t + 9 = 0 3t - 4t + 36 = 0 t - 8t + 1 = 0 t = de dode t = 6 y t =. 8 ± ± 4 =, Como B (1) = Como B (3) = Como B (7) = 3(1) 4 3(3) 4 3(7) 4-6(1) + 9 = 15/4 > 0, B(t) es estrictamete creciete ( ) e (0,). - 6(3) + 9 = - 9/4 < 0, B(t) es estrictamete decreciete ( ) e (,6). - 6(7) + 9 = 15/4 > 0, B(t) es estrictamete creciete ( ) e (6,8). Por defiició t = es u máximo relativo de B(t) que vale B() = 4-3() + 9() = Por defiició t = 6 es u míimo relativo de B(t) que vale B(6) = 4-3(6) + 9(6) = 0. 3 t Falta evaluar B(t) = 4-3t + 9t e los valores t = 0 y t = 8, para ver los extremos absolutos (teiedo e cueta los resultados ya obteidos) 3 0 B(0) = 4-3(0) + 9(0) = B(8) = 4-3(8) + 9(8) = 8. Vemos que el máximo absoluto de B(t) es 8 y se alcaza e t = y t = 8. Vemos que el míimo absoluto de B(t) es 0 y se alcaza e t = 0 y t = 6. Dibuje la gráfica de B(t) e el itervalo [0,8] y explique, a partir de ella la evolució de los beeficios de esta empresa e sus 8 años de existecia. La gráfica de la fució B(t) es ua cúbica. Teiedo e cueta los resultados del apartado ( podemos dibujarla e [0,8], y podemos tambié decir la evolució de sus beeficios si teer que observar su gráfica. Teemos B(t) es estrictamete creciete ( ) e (0,), B(t) es estrictamete decreciete ( ) es estrictamete creciete ( ) e (6,8), B(0) = 0, B() = 8, B(6) = 0 y B(8) = 8. U esbozo de la gráfica de B(t) es: 3 e (,6), B(t) Observado la gráfica los beeficios crece e los años (0,) (6,8), y decrece e (,6).

78 IES Fco Ayala de Graada Juio de 013 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3 (A) El 55% de los alumos de u cetro docete utiliza e su desplazamieto trasporte público, el 30% usa vehículo propio y el resto va adado. El 65% de los que utiliza trasporte público so mujeres, el 70% de los que usa vehículo propio so hombres y el 5% de los que va adado so mujeres. (1 5 putos) Elegido al azar u alumo de ese cetro, calcule la probabilidad de que sea hombre. (1 puto) Elegido al azar u hombre, alumo de ese cetro, cuál es la probabilidad de que vaya adado Solució El 55% de los alumos de u cetro docete utiliza e su desplazamieto trasporte público, el 30% usa vehículo propio y el resto va adado. El 65% de los que utiliza trasporte público so mujeres, el 70% de los que usa vehículo propio so hombres y el 5% de los que va adado so mujeres. Elegido al azar u alumo de ese cetro, calcule la probabilidad de que sea hombre. Llamemos A, B, C, H y M, a los sucesos siguietes, utiliza trasporte público, utiliza su vehículo, "va adado", es hombre y "es mujer", respectivamete. Además teemos p(a) = 55% = 0 55, p(b) = 30% = 0 3, p(m/a) = 65% = 0 65, p(h/b) = 70% = 0 7 y p(m/c) = 5% = 0 5 Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Elegido al azar u alumo de ese cetro, calcule la probabilidad de que sea hombre. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que sea hombre es: p(h) = p(a).p(h/a) + p(b).p(h/b) + p(c).p(h/c) = = (0 55) (0 35) + (0 3) (0 7) + (0 15) (0 48) = Elegido al azar u hombre, alumo de ese cetro, cuál es la probabilidad de que vaya adado Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( C H ) p( C) p(h/c ) (0'15) (0'48) p(c/h) = = = = 144/ p(h) p(h) 0'4745 EJERCICIO 4 (A) Se quiere estimar la proporció de hembras etre los peces de ua piscifactoría; para ello se ha tomado ua muestra aleatoria de 500 peces, y e ella hay 175 hembras. (1 5 putos) Calcule u itervalo de cofiaza para la proporció de hembras e esta població de peces, co u ivel de cofiaza del 94%. (1 puto) A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiecia para coseguir u itervalo de cofiaza co el mismo ivel y u error máximo de 0 0, cuál es el tamaño que debe teer la ueva muestra? Solució 3

79 IES Fco Ayala de Graada Juio de 013 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q = 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = (b- dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1-α/. p(1 ˆ p) ˆ El error cometido es E < z 1 α /. = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es > ˆˆ. (z 1-α/ ).p.q E Se quiere estimar la proporció de hembras etre los peces de ua piscifactoría; para ello se ha tomado ua muestra aleatoria de 500 peces, y e ella hay 175 hembras. Calcule u itervalo de cofiaza para la proporció de hembras e esta població de peces, co u ivel de cofiaza del 94%. Datos del problema: p = 175/500 = 0 35, q = = 0 65, = 500, ivel de cofiaza 1 α = 94% = = 0 94, de dode α = 0 06 = 6% como ivel de sigificació. De α = 0 06 teemos α/ = 0 03 De la igualdad p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 97, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 97 o viee e la tabla y el valor más próximo es , que correspode a z 1-α/ = 1 88 (Iterpolado z 1-α/ = ). Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ 0'35 0'65 0'35 0'65 I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = 0'35-1'88,0'35 + 1' ( ; ) A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiecia para coseguir u itervalo de cofiaza co el mismo ivel y u error máximo de 0 0, cuál es el tamaño que debe teer la ueva muestra? Datos: z 1-α/ = 1 88, p = 0 35, q = 0 65; error máximo = E 0 0. (z ˆ ˆ 1 α /) p q (1'88) 0'35 0'65 De = , teemos que el tamaño míimo de la muestra es E 0'0 = 011. OPCION B EJERCICIO 1 (B) U fabricate de tapices dispoe de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 5 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se ecesita 1 kg de hilo de seda y kg de hilo de plata, y para los del tipo B, kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vede a 00 euros y cada tapiz del tipo B a 3000 euros. Si se vede todo lo que se fabrica, 4

80 IES Fco Ayala de Graada Juio de 013 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua ( putos) Cuátos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beeficio sea máximo y cuál es ese beeficio? (0 5 putos) Qué catidad de hilo de cada clase quedará cuado se fabrique el úmero de tapices que proporcioa el máximo beeficio? Solució U fabricate de tapices dispoe de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 5 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se ecesita 1 kg de hilo de seda y kg de hilo de plata, y para los del tipo B, kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vede a 000 euros y cada tapiz del tipo B a 3000 euros. Si se vede todo lo que se fabrica, Cuátos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beeficio sea máximo y cuál es ese beeficio? x = Número de tapices tipo A. y = Número de tapices tipo B. Fució Objetivo F(x,y) = 000x y. (vede el tipo A a 000 y el tipo A a 3000 ) Restriccioes: Tipo A Tipo B Catidad Hilo de seda Hilo de plata Hilo de oro Mirado la tabla teemos: x + y 500; x + y 400; y 5 Si se vede todo lo que se fabrica: x 0, y 0 Las desigualdades x + y 500; x + y 400; y 5; x 0, y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x + y = 500; x + y = 400; y = 5; x = 0, y = 0, Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x/ + 50; y = -x + 400; y = 5; x = 0, y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0. Puto de corte A(0,0). De y = 0 e y = -x+400, teemos 0 = -x+400, luego x = 00. Puto de corte B(00,0). De y = -x e y = -x/ + 50, teemos -x = -x/ + 50, de dode 4x+800 = -x+500, es decir 300 = 3x, luego x = 100 e y = 00, y el puto de corte es C(100,00) De y = 5 e y = -x/ + 50, teemos 5 = -x/ + 50, de dode 450 = -x+500, es decir x = 50, luego x = 50 e y = 5, y el puto de corte es D(50,5) De x = 0 e y = 5. Puto de corte es E(0,5) 5

81 IES Fco Ayala de Graada Juio de 013 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Vemos que los vértices del recito so: A(0,0), B(00,0), C(100,00), D(50,5) y E (0,5). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 000x y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(00,0), C(100,00), D(50,5) y E (0,5). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 000(0)+3000(0) = 0; F(00,0) = 000(00)+3000(0) = ; F(100,00) = 000(100) (00) = ; F(50,5) = 000(50)+3000(5) = ; F(0,5) = 000(0) (5) = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(100,00). Es decir el máximo beeficio se alcaza vediedo 100 tapices tipo A y 00 tapices tipo B Qué catidad de hilo de cada clase quedará cuado se fabrique el úmero de tapices que proporcioa el máximo beeficio? 100 tapices de tipo A equivale a = 100 kg de hilo de seda y 100 = 00 kg de hilo de plata. 00 tapices de tipo B equivale a 00 = 400 kg de hilo de seda, 1 00 = 00 kg de hilo de plata y 1 00 = 00 kg de hilo de oro.. Hilo de seda gastado = = 500. Queda = 0 kg de hilo de seda. Hilo de plata gastado = = 400. Queda = 0 kg de hilo de plata. Hilo de oro gastado = 00. Queda 5 00 = 5 kg de hilo de oro. EJERCICIO (B) Sea f(x) ua fució cuya fució derivada, f (x), tiee por gráfica ua parábola que corta al eje OX e los putos (-1,0) y (5,0) y co vértice (,-4) (1 puto) Estudie razoadamete la mootoía de f(x). (0 5 putos) Determie las abscisas de los extremos relativos de la fució f(x). c) (1 puto) Halla la ecuació de la recta tagete a la grafica de f(x) e el puto de abscisa x =, sabiedo que f() = 5. Solució Sea f(x) ua fució cuya fució derivada, f (x), tiee por gráfica ua parábola que corta al eje OX e los putos (-1,0) y (5,0) y co vértice (,-4) Estudie razoadamete la mootoía de f(x). Co los datos ateriores la gráfica de f (es ua parábola, que tiee el vértice debajo de los cortes co el eje OX, luego tiee las ramas hacia arrib, es parecida a: Observado la gráfica de f (x) vemos que f (x) > 0 (ecima del eje OX) e el itervalo (-,-1), es decir f estrictamete creciete ( ) e el itervalo (-,-1). Observado la gráfica de f (x) vemos que f (x) < 0 (debajo del eje OX) e el itervalo (-1,5), es decir f estrictamete decreciete ( ) e el itervalo (-1,5). Observado la gráfica de f (x) vemos que f (x) > 0 (ecima del eje OX) e el itervalo (5,+ ), es decir f 6

82 IES Fco Ayala de Graada Juio de 013 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua estrictamete creciete ( ) e el itervalo (5,+ ). Por defiició x = -1 es u máximo relativo. Por defiició x = 5 es u míimo relativo. (este es el apartado () c) Halla la ecuació de la recta tagete a la grafica de f(x) e el puto de abscisa x=, sabiedo que f()=5. La ecuació de la recta tagete e x = es y f() = f () (x ) Me ice que f() = 5, y que la gráfica de f pasa por (,-4), es decir me da f () = - 4. La recta tagete pedida es y 5 = -4(x ), es decir y = -4x EJERCICIO 3 (B) De los sucesos aleatorios idepedietes A y B se sabe que p(a) = 0 3 y que p(b C ) = 0 5. Calcule las siguietes probabilidades. (0 75 putos) p(a B). (0 75 putos) p(a C B C ). c) (1 puto) p(a/b C ). Solució De los sucesos aleatorios idepedietes A y B se sabe que p(a) = 0 3 y que p(b C ) = 0 5. Calcule las siguietes probabilidades. p(a B). Del problema teemos: p(a) = 0 3 y p(b C ) = 0 5; A y B idepedietes es decir p(a B) = p(a) p(b). ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) p(b) = 1 - p(b C ); p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B). Me pide p(a B). De p(b C ) = 0 5, teemos p(b) = 1 - p(b C ) = = De p(a B) = p(a) p(b), teemos p(a B) = = 0 5. Luego p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = p(a C B C ). Me pide p(a C B C ) = p(a B) C = 1 - p(a B) = = c) p(a/b C ). ( C p A B ) Me pide p(a/b C p(a) - p(a B) 0'3-0'5 ) = = = = 0 3. C p(b ) 0'5 0'5 EJERCICIO 4 (B) El tiempo que los españoles dedica a ver la televisió los domigos es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació típica 75 miutos. Elegida ua muestra aleatoria de españoles se ha obteido, para la media de esa distribució, el itervalo de cofiaza (188 18, 08 8), co u ivel del 99%. (1 5 putos) Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra. (1 puto) Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado ua muestra de 500 y u ivel de cofiaza del 96%. Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) 7

83 IES Fco Ayala de Graada Juio de 013 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ Vemos que x = (a + / σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. σ Pero la amplitud del itervalo es b a = z1 α / = E, de dode E = (b /, por tato el tamaño z 1- α/. σ míimo de la muestra es = E. El tiempo que los españoles dedica a ver la televisió los domigos es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació típica 75 miutos. Elegida ua muestra aleatoria de españoles se ha obteido, para la media de esa distribució, el itervalo de cofiaza (188 18, 08 8), co u ivel del 99%. Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra. Datos del problema: Itervalo = (188 18, 08 8) = (a,, σ = 75, x = (a + /, E = (b /; ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dode α = 0 01, es decir α/ = 0 01/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 57 y 58, por tato z 1-α/ es la media es decir z 1-α/ = ( )/ = 575. Hemos visto que la media muestral es x = (a + / = ( )/ = Teemos que el error = E = (b / = ( )/ = 10 3, luego el tamaño de la muestra es: z 1- α/. σ ' > = E 10' , es decir el tamaño míimo es = 351. Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado ua muestra de 500 y u ivel de cofiaza del 96%. Datos del problema: = 500, σ = 75, ivel de cofiaza = 96% = 0 96 = 1 - α, de dode α = 0 04 De 1 α = 0 96, teemos α = = 0 04, de dode α/ = 0 04/ = 0 0 De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 98 o viee, y la mas próxima es que correspode a z 1-α/ = 05 (Iterpolado z 1-α/ = 054). σ De E = z 1 α /, teemos E < muestra de 500 es de ' , es decir el error máximo admisible para la 500 8

84 IES Fco Ayala de Graada Juio de 013 (Reserva Modelo 1) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 013 MODELO 1 (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) ( 5 putos) U fabricate elabora dos tipos de aillos a base de oro y plata. Cada aillo del primer tipo precisa 4 g de oro y de plata, mietras que cada uo del segudo ecesita 3 g de oro y 1 de plata. Sabiedo que dispoe de 48 g de oro y 0 de plata y que los precios de veta de cada tipo de aillo so 150 euros el primero y 100 euros el segudo, cuátos aillos de cada tipo tedría que producir para obteer los igresos máximos? A cuáto ascedería estos igresos? Solució U fabricate elabora dos tipos de aillos a base de oro y plata. Cada aillo del primer tipo precisa 4 g de oro y de plata, mietras que cada uo del segudo ecesita 3 g de oro y 1 de plata. Sabiedo que dispoe de 48 g de oro y 0 de plata y que los precios de veta de cada tipo de aillo so 150 euros el primero y 100 euros el segudo, cuátos aillos de cada tipo tedría que producir para obteer los igresos máximos? A cuáto ascedería estos igresos? x = Número de aillos primer tipo. y = Número de aillos segudo tipo. Fució Objetivo F(x,y) = 150x + 100y. (los precios de veta de cada tipo de aillo so 150 el primero y 100 el segudo) Restriccioes: De dispoe de 48 g de oro, el primer tipo precisa 4 g de oro, el segudo ecesita 3 g de oro, teemos 4x + 3y 48 De dispoe de 0 g de plata, el primer tipo precisa g de plata, el segudo ecesita 1 g de plata, teemos x + y 0 Se fabrica algú aillo x 0, y 0 Resumiedo teemos las desigualdades: 4x + 3y 48, x + y 0, x 0, y 0 Las desigualdades 4x + 3y 48, x + y 0, x 0, y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, 4x + 3y = 48, x + y = 0, x = 0, y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y, y teemos: y = -4x/3 + 16, y = -x + 0, x = 0, y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas, que es la regió factible que sabemos es u polígoo covexo. Resolveremos las ecuacioes de las recta y obtedremos los vértices de dicho polígoo covexo. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, luego el vértice A es el puto A(0,0) De y = 0 e y = -x + 0, teemos 0 = -x + 0, luego x = 10. El vértice B es el puto B(10,0). De y = -x+0 e y = -4x/3+16, teemos -x+0 = -4x/3+16, es decir -6x+60 = -4x+48, luego 1 = x por tato x = 6 e y = 8. El vértice C es el puto C(6,8). De x = 0 e y = -4x/3 + 16, teemos y = 16. El vértice D es el puto D(0,16). Vemos que los vértices del recito so: A(0,0), B(10,0), C(6,8) y D(0,16). La regió factible es el polígoo covexo dibujado ateriormete co sus bordes y co vértices e los putos germa.jss@gmail.com 1

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A ( putos) Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de care. Además, el

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua fábrica de muebles dispoe de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3 estates.

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 3 (1 puto) Sea las matrices A= 0 1 y B = 1-1 - 0 1 1 De las siguietes operacioes, alguas o se puede

Más detalles

Sobrantes de 2004 (Septiembre Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

Sobrantes de 2004 (Septiembre Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua pastelería elabora dos tipos de trufas, dulces y amargas Cada trufa dulce lleva 20 g de cacao, 20 g de ata y 30 g de azúcar y se vede a 1 euro la uidad Cada trufa amarga

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 0-1 2 1 ( putos) Resuelva la siguiete ecuació matricial: A X - 2 B C, siedo A 1 0 1, B -2, C. 1

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Modelo 2 del 2015 (Soluciones) Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 2 DEL 2015 OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Modelo 2 del 2015 (Soluciones) Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 2 DEL 2015 OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Modelo del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO DEL 015 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1-1 Sea las matrices A = 0 1-1, B = 1 1, C = ( 1),

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( putos) Dibuje el recito defiido por las siguietes iecuacioes: + y 6; 0 y; / + y/3 ; 0; ( puto) Calcule

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2015 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2015 MODELO 4

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2015 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2015 MODELO 4 IES Fco Ayala de Graada Juio de 015 (Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 015 MODELO 4 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) ( 5 putos) Co motivo de su iauguració,

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 0 2

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 0 2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 0 - Sea las matrices A, B - 1 0 5 (1 5 putos) Calcule B.B t - A.A t (1 5 putos) Halle la matriz

Más detalles

Calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

Calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 008 (MODELO 6) OPIÓN A EJERIIO 1_A (3 putos) Ua empresa produce botellas de leche etera

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 2015 MODELO 3 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 8-4 1 2 Sea las matrices A = -1 2, B = 1 2 2-1 -1 2, C = 12 8. -8 4 (0 5 putos) Calcule A 2. (1 7 putos) Resuelva

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x 1 0 1

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x 1 0 1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x 1 0 1 Sea las matrices A = y B =. 1 x+1 (1 puto) Ecuetre el valor o valores de x de forma

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 6 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Sea las matrices A= y B = (1 1). -5-4 Eplique qué dimesió debe teer la matriz X para

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -5 0

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -5 0 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 014 MODELO 1 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -5 0-1 -8-1 Sea las matrices B =

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A 0 2-4 (A I 2 ) B = A A A = -

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A 0 2-4 (A I 2 ) B = A A A = - IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A - 0 0 - - - Sea las matrices A=, B= y C= - 0 0 - ( puto) Calcule (A I ) B, siedo I la matriz idetidad

Más detalles

-6-2 1 15 5-6 10 1-4 15 5-6 10 1-4

-6-2 1 15 5-6 10 1-4 15 5-6 10 1-4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 6 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 2 1-1 Sea la matriz A = 0 m-6 m+1 2 0 (1 puto) Calcule los valores de m para que dicha

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)

Más detalles

Sobrantes de 2004 (Junio Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

Sobrantes de 2004 (Junio Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2004 (Juio Modelo 5) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x+y 6 3x-2y 13 Sea el sistema de iecuacioes. x+3y -3 x 0 (2 putos) Dibuje el recito cuyos

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 x -1 Se cosidera la matriz A = 1 1 1. x x 0 (1 5 putos) Calcule los valores de x para los que o existe

Más detalles

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Dibuje el recito

Más detalles

0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1

0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A JRCICIO 1 ( putos) Sea las matrices: -1 4-1 - 1 5 - -6 A ; B 0-1 y C 0-1 1 0 1-0 -1 Determie X e la ecuació matricial

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A -1-6 -1 1 2 a 0 1 Sea las matrices A

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 5 putos) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes:

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 4)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 4) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 8 (MODELO 4) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U joyero fabrica dos modelos

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Se quiere orgaizar u puete aéreo etre dos ciudades, co plazas suficietes de pasaje y carga,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 1) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U cliete de u supermercado ha pagado u total de 156 euros por 24 litros de leche,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. (0 5 putos) Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece

Más detalles

Calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

Calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 1 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua impreta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico ecesita u cartucho de

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 01 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -1-1 1 Sea las matrices A =

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A ( 5 putos) Resuelva el siguiete sistema y clasifíquelo atediedo al úmero de solucioes: x + y + z = 0 x +

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices A = y

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 007-008 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN A

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A = IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)

Más detalles

Ejercicios de intervalos de confianza en las PAAU

Ejercicios de intervalos de confianza en las PAAU Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU 2008 1 1.-El úmero de días de permaecia de los efermos e u hospital sigue ua ley Normal de media µ días y desviació típica 3 días. a)determiar u itervalo de

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+ IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 009 (MODELO 3) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea la igualdad A X + B = A, dode

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 5) SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 01 (MODELO 5) OPIÓN A EJERIIO 1_A ( 5 putos) U comerciate dispoe de 100 euros para comprar dos tipos de mazaas A y B. Las del tipo A las compra a 0 60 euros/kg

Más detalles

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 5 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 5 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A (3 putos) Para fabricar tipos de cable, A y B, que se vederá a 50 y 00 pts el metro, respectivamete,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Modelo 6 del 2015 (Soluciones) Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 6 DEL 2015 OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Modelo 6 del 2015 (Soluciones) Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 6 DEL 2015 OPCIÓN A SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 6 DEL 015 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 (1 5 putos) Resuelva la ecuació matricial 1 X + 1-1 0 = I. 0 1 a b (1 puto) Dadas las matrices M = y A =, calcule los

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 0 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A ( 5 putos) Halle la matriz X que verifique la ecuació

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció A Juio, Ejercicio 4, Opció B Reserva 1, Ejercicio 4, Opció

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES (2007)

IES Fco Ayala de Granada Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES (2007) IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) jercicio 1- Tomada, al azar, ua muestra de 10 estudiates de ua Uiversidad, se ecotró que 54 de ellos

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 2012 (COMÚN MODELO 3) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 2012 (COMÚN MODELO 3) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Septiembre Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 01 (COMÚN MODELO 3) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A ( 5 putos) U empresario

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2016 MODELO

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2016 MODELO IES Fco Ayala de Graada Juio de 016 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 016 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Las filas de la matriz P idica los respectivos

Más detalles

Sobrantes de 2004 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

Sobrantes de 2004 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fc Ayala de Graada Sbrates de 004 (Mdel 6) Slucies Germá-Jesús Rubi Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 put) Dibuje la regió del pla defiida pr las siguietes iecuacies: x 3y -13; x + 3y 17, x + y 11; y 0.

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. CURSO 8-9 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder

Más detalles

12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS)

12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS) 12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS) 1 Supogamos que ua variable aleatoria X sigue ua ley N(µ; =,9). A partir de ua muestra de tamaño = 1, se obtiee ua media muestral

Más detalles

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL. (a) Las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media y desviación típica,

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL. (a) Las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media y desviación típica, 1 MAJ04 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL 1. E u servicio de ateció al cliete, el tiempo de espera hasta recibir ateció es ua variable ormal de media 10 miutos y desviació típica 2 miutos. Se toma muestras

Más detalles

Hacia la universidad Probabilidad y estadística

Hacia la universidad Probabilidad y estadística Hacia la uiversidad Probabilidad y estadística OPCIÓN. Se laza u dado cargado cuyas caras co úmeros múltiplos de tres tiee triple probabilidad de salir que cada ua de las otras. Halla la probabilidad de

Más detalles

Prueba A = , = [ 7.853, 8.147]

Prueba A = , = [ 7.853, 8.147] PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 5-6 - CONVOCATORIA: Septiembre MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe

Más detalles

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) = Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar

Más detalles

MUESTREO Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

MUESTREO Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA 1 MUESTREO Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA Muestreo. Métodos de muestreo Se llama població al cojuto de idividuos que posee cierta característica. Ua muestra es ua parte de esa població. Muestreo es el proceso

Más detalles

Para estimar su media poblacional (µ) se toma una muestra de 20 cigarrillos, las medias de la. σ 20

Para estimar su media poblacional (µ) se toma una muestra de 20 cigarrillos, las medias de la. σ 20 Modelo 04. Problema 5A.- (Calificació máxima: putos) El coteido e alquitrá de ua determiada marca de cigarrillos se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ descoocida

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

Muestreo e Intervalos de Confianza

Muestreo e Intervalos de Confianza Muestreo e Itervalos de Cofiaza PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD RESUELTOS MUESTREO E INTERVALOS DE CONFIANZA 1) E ua població ormal co variaza coocida se ha tomado ua muestra de tamaño 49 y se ha calculado su

Más detalles

Intervalos de Confianza basados en una muestra. Instituto de Cálculo

Intervalos de Confianza basados en una muestra. Instituto de Cálculo Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky Hay dos razoes por las cuales el itervalo (6.63,.37) tiee mayor logitud que el obteido ateriormete (7.69, 0.3). la variaza

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

Ejercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6.

Ejercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6. Materiales producidos e el curso: Curso realizado e colaboració etre la Editorial Bruño y el IUCE de la UAM de Madrid del 1 de marzo al 30 de abril de 013 Título: Curso Moodle para matemáticas de la ESO

Más detalles

Tema 4. Estimación de parámetros

Tema 4. Estimación de parámetros Estadística y metodología de la ivestigació Curso 2012-2013 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Tema 4. Estimació de parámetros 1. Estimació putual 1 1.1. Estimació de la proporció e la distribució Bi(m, p).......................

Más detalles

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza.

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza. Tema 9. Iferecia Estadística. Itervalos de cofiaza. Idice 1. Itroducció.... 2 2. Itervalo de cofiaza para media poblacioal. Tamaño de la muestra.... 2 2.1. Itervalo de cofiaza... 2 2.2. Tamaño de la muestra...

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (General Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (General Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 011 (COMÚN MODELO) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A -5 Sea las matrices A = 1-3, B = 3-1 0 1 1, C = 1 3-1 5 3. a) (1 puto) Calcule A B.C t. b) (1 5 putos) Resuelva la

Más detalles

Relación de Ejercicios de Contrastes de Hipótesis. Ponencia Andaluza de Matemáticas Aplicadas a las CCSS II del año 2009.

Relación de Ejercicios de Contrastes de Hipótesis. Ponencia Andaluza de Matemáticas Aplicadas a las CCSS II del año 2009. IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Ejercicio 1. La altura e cm. de

Más detalles

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Técicas Cuatitativas II 2012-2013 Muestra y Estadísticos Muestrales TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Ídice Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media Cocepto de muestra

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció B Reserva 1, Ejercicio 4, Opció B Reserva, Ejercicio 4,

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS. t +

EJERCICIOS RESUELTOS. t + BXX5744_07 /6/09 4: Págia 49 EJERCICIOS RESUELTOS Calcula la tasa de variació media de la fució f() = + e los itervalos [, 0] y [0, ], aalizado el resultado obteido y la relació co la fució. La fució f()

Más detalles

Estadística Teórica II

Estadística Teórica II tervalos de cofiaza Estadística Teórica NTERVALOS DE CONFANZA Satiago de la Fuete Ferádez 77 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE NTERVALOS DE CONFANZA PARA LA MEDA CON DESVACÓN TÍPCA POBLACONAL CONOCDA Y DESCONOCDA.

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:

Más detalles

Intervalos de confianza para la media

Intervalos de confianza para la media Itervalos de cofiaza para la media Ejercicio º 1.- Las vetas diarias, e euros, e u determiado comercio sigue ua distribució N(950, 200). Calcula la probabilidad de que las vetas diarias e ese comercio:

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS, HISTOGRAMA, POLIGONO Y ESTADÍSITICOS DE TENDENCIA CENTRAL, DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y CURTOSIS. Prof.: MSc. Julio R. Vargas I. Las calificacioes fiales

Más detalles

Distribuciones de probabilidad

Distribuciones de probabilidad Distribucioes de probabilidad 1. Variable aleatoria real: Ejemplo: Ua variable aleatoria X es ua fució que asocia a cada elemeto del espacio muestral E u úmero X: E ú Cosideremos el experimeto aleatorio

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

Importancia de las medidas de tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central. UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.001-.00 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella,

Más detalles

MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN. MEDIDA DE DIPERIÓN. Las medidas de tedecia cetral solamete da ua medida de la localizació del cetro de los datos. Co mucha frecuecia, es igualmete importate describir la forma e que las observacioes está

Más detalles

CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES

CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES Uo de los objetivos de la estadística es coocer acerca del comportamieto de parámetros poblacioales tales como: la media ( μ ), la variaza ( ) o la proporció ( p ).

Más detalles

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 1999-2. - CONVOCATORIA: Juio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo

Más detalles

INTERVALOS DE CONFIANZA

INTERVALOS DE CONFIANZA Gestió Aeroáutica: Estadística Teórica Facultad Ciecias Ecoómicas y Empresariales Departameto de Ecoomía Aplicada Profesor: Satiago de la Fuete Ferádez NTERVALOS DE CONFANZA Gestió Aeroáutica: Estadística

Más detalles

Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD. X- μ. f(x) = e para - < x < Z 2. . e para - < z <

Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD. X- μ. f(x) = e para - < x < Z 2. . e para - < z < Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD La distribució ormal: La distribució ormal, campaa de Gauss o, curva ormal, tambié defiida por De Moivre. Características y propiedades: La siguiete fórmula

Más detalles

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 010 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 a 1 1 1 3 Sean las matrices

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD INTRODUIÓN L PROBBILIDD EXPERIMENTOS LETORIOS Y DETERMINISTS Los experimetos o feómeos cuyo resultado o puede coocerse hasta haber realizado la experiecia se llama aleatorios o estocásticos. uado el resultado

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 3, Parte II, Opció A Juio, Ejercicio 3, Parte II, Opció B Reserva

Más detalles

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Muestreo. Tipos de muestreo. Iferecia Itroducció Nota.- Puede decirse que la Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida

Más detalles

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES. Ua fució de variable es u cojuto de pares ordeados de la forma

Más detalles

PRUEBAS DE HIPOTESIS

PRUEBAS DE HIPOTESIS PRUEBAS DE HIPOTESIS Es posible estimar u parámetro a partir de datos muestrales, bie sea ua estimació putual o u itervalo de cofiaza. Pero: Si mi objetivo o es estimar u parámetro, sio determiar el cumplimieto

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y,

Más detalles

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

Problemas de Estimación de Una y Dos Muestras. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Problemas de Estimación de Una y Dos Muestras. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras UCR ECCI CI-35 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviaa Ramírez Beavides Iferecia Estadística La teoría de la iferecia estadística cosiste e aquellos

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció A Reserva, Ejercicio 4, Opció A Reserva, Ejercicio 4, Opció

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles