NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA

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1 ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en el plno que se mueve de tl mner que el vlor soluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos, llmdos Focos, es siempre igul un constnte positiv, menor que l distnci entre los puntos fijos. Así, si P es un punto del plno, P Hipérol PF - PF = k, con k < F F donde F, F = focos ; k = constnte P P(x,y d d Foco Foco d - d = k Oservción: L hipérol const de dos rms diferentes, cd un de longitud infinit. ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA l L A L D V V F C F R D A R E l.- Eje Focl : Rect que contiene los focos ( l.- Vértices : Puntos de intersección entre el eje focl y el Lugr Geométrico ( Hipérol. ( V ; V 3.- Centro : Punto medio del segmento que une los focos o de l cuerd que

2 une los vértices ( C 4.- Eje norml : Rect perpendiculr l eje focl en el centro de l hipérol ( l 5.- Cuerd : Culquier segmento cuyos extremos pertenezcn l lugr geométrico. Dichos extremos pueden estr mos en un mism rm o ien pertenecer rms distints. ( DE ; V V 6.- Eje Trnsverso : Cuerd contenid en el eje focl, cuyos extremos son los vértices ( V V 7.- Eje conjugdo : Segmento definido en el eje norml, cuyo punto medio es el centro ( A A 8.- Ldos Rectos : Cuerds perpendiculres l eje focl en cd uno de los focos ( LR ; L' R'. El punto medio de dichs cuerds son F y F, respectivmente. 9.- Diámetro : Culquier cuerd que ps por el centro ( D D 0.- Rdio Vector : Segmento que une un punto culquier del lugr geométrico con lguno de los focos ( LF ; LF Tmién en est cónic se definen tres longitudes importntes, ls que son de grn utilidd tnto en l descripción de ls ecuciones como en l construcción de su gráfic. Ells son: Longitud del Eje Trnsverso = VV = A Longitud Eje Conjugdo = AA = c Distnci Focl = F F = c F V (h,k V F A ECUACIONES DE LA HIPERBOLA Teorem. L ecución de l hipérol con eje focl prlelo l eje X u horizontl, centro en C( h, k, distnci focl c y constnte positiv, es de l form : Demostrción. ( x - h ( y - k = ; < c Se P( x, y hipérol F h-c k C h P F h+c X PF - PF = con F ( h + c, k y F ( h c, k PF - PF = ±

3 Aplicndo fórmul de distnci, se tiene que ( x - ( h c + ( y - k ( x - ( h - c + ( y - k + = ± (( x - h - c + ( y - k = ± + (( x - h + c + ( y - k ( x h c( x h + c + ( y k = 4 + ( x h + c( x h + c + m 4 (( x - h c + ( y - k ( y k ± 4 (( x - h + c + ( y - k + = 4 + 4c( x h Simplificndo por 4 y elevndo l cudrdo mos miemros de l iguldd, se tiene que ( ( x h + c( x h + c + ( y k = 4 + c ( x h + c( x h ( x h + c( x h + c + ( y k = 4 + c ( x h + c( x h Reduciendo términos semejntes, socindo convenientemente y efectundo fctorizciones decuds otenemos ( c ( x h - ( y k = ( c ( Pero por hipótesis semos que < c < c, por lo que c - > 0 Definimos, entonces un constnte > 0 tl que = c - Reemplzndo en (, otenemos ( x h - ( y k = Dividiendo l expresión nterior por, otenemos l tesis del teorem; ésto es ( x - h ( y - k = ( Luego, ls coordends de todo punto P( x, y en l hipérol stisfcen l últim ecución. Recíprocmente, si P( x, y es l solución de l ecución (, invirtiendo los psos nteriores se lleg demostrr que el punto P( x, y está sore l hipérol. En form nálog se puede demostrr el : Teorem. L ecución de l hipérol de centro C( h, k, eje focl prlelo l eje Y o verticl, distnci focl c y constnte positiv igul, es de l form ( y - k ( x - h = con < c OBSERVACIONES IMPORTANTES

4 .- De l mism gráfic se desprende que tod hipérol es simétric con respecto sus ejes ( focl y norml, sí como tmién con respecto su centro..- Culquier se l uicción del eje focl ( prlelo l eje X u horizontl ó prlelo l eje Y o verticl se tiene que l longitud de ls cuerds definids como Ldos Rectos, se pueden otener por medio de l fórmul: LR = L R =, teniéndose presente que LF = RF = L' F = R' F = 3.- Otro elemento importnte considerr es l Excentricidd de l cónic ; es decir, l myor o menor ertur de sus rms. L excentricidd se define como un rzón entre c y ; es decir e = c = + ; siendo el vlor de ést siempre myor que l unidd, puesto que c >. 4.- Existen demás, un pr de rects llmds ASINTOTAS de l hipérol. Ests rects son un excelente guí pr trzr l gráfic de l cónic y que ells ncen prtir de l construcción de un rectángulo centrl de ldos y, respectivmente. Si considermos el eje focl prlelo l eje X, entonces ls digonles de este rectángulo tienen pendiente ± ; por lo que l prolongr ests digonles se otienen dos rects cuys ecuciones son y - k = ± ( x h Si por el contrrio, el eje focl es prlelo l eje Y, entonces ls digonles de rectángulo centrl tienen pendiente ± hipérol tienen ecuciones, y en consecuenci, ls síntots de l y k = ± ( x h Ce hcer notr que cd semidigonl del rectángulo centrl mide exctmente c uniddes, equivlente l mitd de l distnci focl, l que comprue l relción pitgóric que existe entre ls constntes, y c, respectivmente; ésto es c = Si =, entonces l cónic recie el nomre de Hipérol Equiláter.

5 ECUACION GENERAL DE LA HIPERBOLA Si A B y AB < 0, entonces l ecución Ax + By + Dx + Ey + F = 0 represent, o ien un hipérol, o ien un pr de rects que se cortn. L form de verificción es trjr lgericmente l ecución con el fin de poder trnsformrl en lgun de ls ecuciones que son descrits por los teorems. RESUMEN Independientemente de que el eje focl de l hipérol se prlelo l eje X o prlelo l eje Y, siempre se cumple que.- Centro = C( h, k.- Longitud del eje trnsverso = V V = 3.- Longitud del eje conjugdo = A A = 4.- Distnci focl = F F = c 5.- Longitud de cd uno de sus ldos rectos = LR = L R = 6.- Ls constntes,, c, están ligds por l relción Pitgóric + = c 7.- L excentricidd e = c = + > 8.- Ls coordends de los vértices son: V( h ±, k si eje focl es prlelo l eje X V( h, k ± si eje focl es prlelo l eje Y 9.- Ls coordends de los focos son : F( h ± c, k si eje focl es prlelo l eje X F( h, k ± c si eje focl es prlelo l eje Y 0.- Ls ecuciones del pr de síntots son : y - k = ± ( x h si eje focl es prlelo l eje X y k = ± ( x h si eje focl es prlelo l eje Y L.A.R. / c.r.n.,007