LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir

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Gregorio Montero Hidalgo
hace 7 años
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1 PRECONCEPTO. LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la fució F() = X, evalúe la fució para valores de X cercaos a, es decir X se acerca hacia el umero por la izquierda ( - ) X,,7,5,47,68,89,9,96,99,99,995, F() Los valores de la fució se acerca hacia el valor Los valores de la variable se acerca hacia el por la derecha ( + ) X,,,,,4,45,489,5,56,67,78,85 F() Los valores de la fució se acerca al valor de E la tabla de valores observamos que cuado los valores de la variable idepediete X se acerca cada vez más hacia el umero, los valores de la fució F() se acerca mas y mas al umero. Lo cual se epresa mediate : Ejemplo : Sea la fució F() = X, evalúe la fució para valores de X cercaos a. X -, - -,9 -,89 -,7 -,5 -,,,6,75,999, F() X,,,,,,7,489,5,56,67,78,85 F() Observamos que a medida que los valores de fució se acerca hacia el umero cuado los valores de la variable idepediete se acerca hacia el umero. Que se epresa mediate Lïm( X ) X Sea la fució cero ( ). X L í m X X evaluar F() para valores de la fució próimos al X -, -, -,,,, F() Escriba co sus palabras el cocepto de límite de ua fució F() cuado la variable idepediete se acerca hacia el umero a. ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Págia

2 Para las siguietes fucioes, ecuetra el limite cuado la variable idepediete se acerca hacia el valor a. f ( ), a, L í m f X ( ) X -, -, -,,,, F() f 4 ( ), a L í m f ( ) X X,9,99,999,,,, F() DEFINICION INTUITIVO DE LIMITE: Sea f() ua fució real, si f() se hace arbitrariamete próimo a u úico úmero L cuado se aproima hacia u úmero a por ambos lados, decimos que el límite de f(), cuado tiede a a, es L, y se escribe: L ím f ( ) L a e la epresió aterior se sobreetiede: como primero que el límite de la fució dada eiste, y segudo que ese límite es igual a L. Alguos límites básicos so: a ) L í m k a k b ) L í m a a c ) L í m a a Ejemplo: 5 5 ; ; 4 ; ; ( 4) 64 4 ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Págia

3 PROPIEDADES DE LOS LIMITES. f ( ) L Sea a u umero real, f(), g() fucioes reales tales que: a etoces: g( ) L y, a f ( ) g( ) f ( ) g( ) L L a) a a kf ( ) k f ( ) kl b) a a a c) f ( ) f ( ) a a g( ) g( ) L, siempre que L a L f ( ) g( ) f ( ) g( ) L L d) a a f ( ) f ( ) L e) a a a f) f ( ) f ( ) L a a Ejemplo: L ím ( 7 5) L ím ( ) L ím ( 7 ) L ím 5 L ím 7 L ím L ím 5 ( ) 7 ( ) L ím ( ) L ím ( ) * L ím [ L ím L ím ] * L ím L ím [ 4 4 ] * ( 4 ) 6 4 * 8 * 9 * 6 ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Págia

4 4 ACTIVIDAD. Determie el límite de las siguietes fucioes reales. 4 a) 4 5 b) c) d) 4 9 Aaliza las tablas de valores para el par de fucioes dadas: X,5,95,45,65,9999,.5,5 5 6 f ( ) -,5 -,5,45,65,9999?,,5,5 g ( ) -,5 -,5,45,65,9999,,5,5 Se observa que e las fucioes F(X) y G(X) sus valores coicide para todos los valores del domiio ecepto para X =..4 FUNCIONES QUE COINCIDEN SALVO EN UN PUNTO: Sea c u umero real y f()=g() para todos los c e u itervalo abierto que cotiee a c. Si el ite de g() cuado c eiste, etoces tambié eiste el limite de f() y además: L í m f ( ) L í m g ( ) c c De acuerdo al cocepto aterior, se tiee lo siguiete:. Como el ite cuado tiede a de G(X) eiste y es igual a.. Y las fucioes coicide para todos los putos ecepto para X=.. Se tiee que el límite de F(X) cuado X tiede a tambié es igual a. Las fucioes H(X) y R(X) coicide para todos los valores del domiio diferetes de -. El límite de R(X) cuado tiede a, es igual a,485 ( /7). De dode el limite de H(X) cuado tiede a es igual a /7. ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Págia 4

5 5 LIMITES INDETERMINADOS. Si al calcular los limites de maera directa de ua fució racioal ecotramos como resultado ua epresió de la forma cero sobre cero ( / ). Para determiar el limite se debe teer e cueta.. Si la fució racioal costa de dos poliomios. Aplicamos las propiedades de los límites para determiar si eiste. Por ejemplo, ecotrar el limite de: L í m 6 6 ( 6) ( ) ( ) ( ) Como el límite es de la forma /, buscamos ua epresió equivalete mediate la factorizació de los poliomios y la simplificació de térmios semejates co el fi de elimiar la idetermiació. 6 ( )( ) ( ) 5 Luego el límite de fució dada es igual a 5. Ejemplo. 8 ( 8) ( ) ( 4) ( ) ( )( 4) - ( )( ) factorizado tato el umerador como el deomiador 4 ( 4) ( ) ( ) ( ) ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Págia 5

6 6.6 ACTIVIDAD. HALLE EL LÍMITE DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES: a) 4 4 c) e) g) i) b) y - 9 y 7y 8 d) - 4 bt hg t ( 4) 4 f) h h s ( ) 7 h) 5 m ( a ) a j) a a y. Si la fució costa de térmios radicales, se racioaliza el umerador, el deomiador o ambos co el fi de elimiar la idetermiació. Calculado el limite e forma directa, teemos: Observamos que el limite esta e la forma idetermiada cero sobre cero. Por lo que debemos racioalizar el umerador co el fi de ecotrar el limite. ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Págia 6

7 7.6. ACTIVIDAD. Halle el limite de las fucioes. a) b) c) s s - 7 e) t t d) - s 7 f) t h h) + 4 i) h l) - - m) h h j) - 5 k) a 7 7 a a ) - o) -8 p) - b a b q) 8 a a 9 DEFINICION FORMAL DE LIMITE DE UNA FUNCION. Se dice que ua fució F(), defiida e el domiio < a <, tiede al límite L cuado tiede al valor a, y se escribe L ím F ( ) L a si, dado cualquier úmero positivo, eiste otro umero positivo tal que los valores de la fució F() satisface a la desigualdad F() L < siempre que satisfaga a < a < F(X ) L F(X ) X a X ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Págia 7

8 8 LIMITE DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Para estudiar el limite de las fucioes trigoométricas, aalicemos el comportamieto de las siguietes fucioes, tomado el águlo e radiaes: L í m S e -, -, -, -,,,, Se ? E la tabla de valores se observa que a medida que tiede a cero la fució seo de sobre, tiede a, luego: L í m S e S e k ó L í m k Aaliza la siguiete tabla de valores, e la cual el águlo está dado e radiaes. -, -, -, -,,,, Cos ? Cos Observamos que a medida que se acerca a cero, los valores de más próimos a cero ( ), es decir: se hace cada vez Cos Al calcular el limite de las fucioes trigoométricas, por lo geeral, cosiste e epresar la fució dada e ua epresió equivalete a los límites coocidos. Se Se Se a) Se4 Se4 4Se4 4 Se4 4 4 b) Se Se Se Se 4 ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Págia 8

9 9 ACTIVIDAD. Ecuetre los siguietes limites. a) -Se +Se c) Ta -Cos e) Ta-Se Cos g) Csc-Cot Se i) -Cos k) Sec- Sec m) Ta-Se Se o) Se-Sea -a q) Se(+h)-Se h Cos b) d) Sem Sek f) Ta Ta h) j) a a h h Se Se Se Se Ta l) Cos Se ) Se Cos Se Cos p) Cos Cosa a r) Cos(+h) -Cos h ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Págia 9

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