L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2

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1 Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97

2 d) Deduce los límites de las siguietes fucioes e los putos idicados empleado tablas de valores: f() cuado tiede a y cuado tiede a f() cuado tiede a y cuado tiede a f() f() Luego el ite cuado tiede a es f() f() Luego el ite cuado tiede a es - f() f() Luego el ite cuado tiede a es f() f() Luego el ite cuado tiede a es Determia el límite de a 9 y de b 7 a 9 b 7 Halla el etremo superior el etremo iferior el máimo y el míimo si lo tiee de las siguietes sucesioes: 7 9 7

3 d) 7 8 Etr If = Etr Sup= Mí= o tiee Má= Etr If = Etr Sup= Mí= Má= o tiee Etr If = Etr Sup= Mí= Má= o tiee d) Etr If = Etr Sup= Mí= o tiee Má= 7 Idica si está acotadas (superior e iferiormete) las siguietes sucesioes: a b 8 7 d) Todos los térmios so egativos por lo está acotada superiormete La sucesió es creciete por lo que está acotada iferiormete El umerador es siempre meor que el deomiador por lo que todos los térmios so meores que y por tato está acotada superiormete La sucesió es creciete por lo que está acotada iferiormete El umerador es siempre meor que el deomiador por lo que todos los térmios so meores que y por tato está acotada superiormete Todos los térmios so positivos por lo que está acotada iferiormete d) La sucesió es decreciete por lo que está acotada superiormete Todos los térmios so positivos salvo el primero por lo que está acotada iferiormete 8 Calcula los siguietes límites:

4 - ( ) e ( ) 9 Calcula E() dode E() deota la parte etera de - E() Como Hallar: o es igual a E() etoces o eiste - e Calcula los siguietes límites: - ( ) -() e

5 e ( ) ( ) Calcula los siguietes límites: ( ) - - ( ) - - -

6 Calcula ) )( ( L Calcula los siguietes límites sabiedo que f() g() y () : g f f g f g Como g f : Calcula los siguietes límites: 9 8 8

7 - - - ) ( Calcula los siguietes límites: ) ( (- ) ) ( ) ( 7 Hallar:

8 ) ( 8 Calcula los siguietes límites sabiedo que f() g() y () : g f ) f (g g f Como g f : Calcula:

9 ( ) - e 8 ( ) e Demuestra utilizado la defiició de límite que Dado ε ay que ecotrar k tal que si k ε positivo cuado tiede a ) Por tato ε f() ε se cumpla que es decir ε k ε (Se puede quitar el valor absoluto a + porque es Demuestra utilizado la defiició de límite que δ ε δ Dado ay que ecotrar tal que si se cumpla que ε ε por lo que ε ε Basta tomar etoces f() ε es decir Para suficietemete cercaas a se verifica que δ ε Demuestra que la sucesió a coverge al úmero real ε Dado ay que ecotrar tal que si se cumpla que a ε es decir

10 ε ε ε Por tato ε Calcula: 9 Puede ua fució covergete e u puto o estar defiida e ese puto? E caso afirmativo po u ejemplo Sí por ejemplo la fució f() o está defiida e pero Demuestra que el límite de a es ε Dado ay que ecotrar tal que si ε ε Por tato se cumpla que ε a ε es decir p(t) t Ua població bacteriaa tiee u crecimieto dado por la fució oras Hallar la fució que epresa la velocidad istatáea de crecimieto siedo t el tiempo e

11 Hallar la velocidad de crecimieto istatáeo e t = oras p' (t) t p' () bacterias ora 7 Calcula usado la defiició la seguda derivada de f() f' () f' ' () f( ) f() ( ) f' ( ) f' () 8( ) Halla la ecuació de la recta tagete a la curva de ecuació f() e el puto ( ) f' () f' () y La recta tagete es: y 9 Calcula usado la defiició la derivada de f() e = f' () f( ) f() ( ) 9 Halla usado la defiició la fució derivada de f( ) f() ( ) f' () f() Calcula usado la defiició la derivada de f() e = f( ) f() f' () ( ) ( ) Calcula usado la defiició la seguda derivada de f() 8

12 f' () f' '() f( ) f() ( ) f' ( ) f' () ( ) 8 ( ) 8 Calcula usado la defiició las derivadas de las siguietes fucioes e = : f() g() () f( ) f() ( ) f' () g( ) g() ( ) 9 8 g'() ( ) () ( ) 7 9 '() Puede aber dos fucioes co la misma fució derivada? Po u ejemplo Sí siempre que su diferecia sea ua costate ya que éstas tiee derivada ula f() g() 7 Por ejemplo: y tiee ambas derivada 9 7 Observa si so derivables las siguietes fucioes e los putos de abscisa que se idica y eplica por qué: f() g() e = e = f() o es derivable e = porque o es cotiua g() sí es derivable e = porque es composició de fucioes derivables para = E qué puto o putos o so derivables las siguietes fucioes? 8 f() g() Es derivable e todos los putos de su domiio por ser cociete de fucioes derivables y el deomiador o R ser ulo Por tato o es derivable e Es derivable e todos los putos de su domiio por ser composició de fucioes derivables Por tato o es derivable e 7 Calcula la velocidad para t = segudo de los movimietos dados por (uidades e metros): e(t) t t e(t) t t e(t) t t e' (t) t e'() m s

13 e' (t) t e'() m s e'(t) t e'() m s 8 Observa si so derivables las siguietes fucioes e los putos de abscisa que se idica y eplica por qué: f() g() e = e = f() o es derivable e = porque o es cotiua e = g() sí es derivable e = porque es ua fució poliómica (que siempre so derivables) 9 Cuál es la ecuació de la recta tagete a ua recta e cualquiera de sus putos? Si la recta es y = m + la pediete de la recta tagete e cualquiera de sus putos Por tato la recta tagete es: (m ) m( ) ym m m y m y m es f' () m Hallar el puto de la gráfica e que la fució Qué puto de la parábola es ese? f() a b c tiee tagete paralela al eje de abscisas La pediete de la recta tagete es f' () a b b a f' () y es paralela al eje de abscisas si es ula b ac y a Este puto es el vértice de la parábola E qué puto o putos o so derivables las siguietes fucioes? f() g() f() o es derivable e = porque o es cotiua E el resto de úmeros reales sí es derivable por ser cociete de fucioes derivables y el deomiador o ser ulo g() o es derivable fuera de su domiio es decir o es derivable e E el resto sí es derivable por ser composició de fucioes derivables e(t) t t Calcula la aceleració del movimieto defiido por para los tiempos (uidades e metros): t = segudos t = segudos t = segudos e'(t) t Como e' ' () m s e' ' () m s e' '(t) t

14 e' ' () m s Halla la ecuació de la recta tagete a f() e = f() ; f' () f' () y y La recta tagete es: Halla la pediete de la recta tagete a la curva y 7 e el puto P( ) f' () 7 f' () 7 Hallar las derivadas sucesivas de la fució f() f' () ; f' '() ; f' ' '() ; f ) () ; ; f ) () para toda Halla la ecuació de la recta tagete a f() e = f() ; f' () f' () y La recta tagete es: y 7 E qué putos de las siguietes curvas la tagete es orizotal? f() g() () f' () g'() '() 8 Por el puto = se traza la tagete a cada curva represetada por las siguietes fucioes Qué águlo forma cada tagete co el eje de abscisas? f() g() 7 La pediete de la recta tagete es arctg( ) 7º'' ' La pediete de la recta tagete es arctg( 7) 8º'' ' f' () g' () f' () 8 ( ) Por tato el águlo co el eje de abscisas es 7 g' () 7 ( ) Por tato el águlo co el eje de abscisas es

15 9 Para qué valores de la tagete a las curvas dadas por las siguietes fucioes formará u águlo de º co la orizotal? f() - g() f' () La pediete de la recta tagete es (respectivamete tgº orizotal cuado la pediete es f' () g' () g' () ) y la recta forma u águlo de º co la Para qué valores de la tagete a las curvas dadas por las siguietes fucioes formará u águlo de º co la orizotal? f() g() 8 f' () La pediete de la recta tagete es (respectivamete tgº orizotal cuado la pediete es 7 f' () g' () g' () ) y la recta forma u águlo de º co la Hallar u puto de la gráfica de y e el que la tagete sea paralela a la recta y f' () La pediete de la recta tagete es y la recta es paralela a la recta y = - si tiee la misma pediete es decir f' () y Por el puto = se traza la tagete a cada curva represetada por las siguietes fucioes Qué águlo forma cada tagete co el eje de abscisas? f() g() La pediete de la recta tagete es arctg( ) 78º'' ' La pediete de la recta tagete es arctg º f' () g' () f' () ( ) Por tato el águlo co el eje de abscisas es g' () ( ) Por tato el águlo co el eje de abscisas es

16 Hallar u poliomio p() de grado meor o igual que tal que p() = p() = p() a b p() f p' () p' '() e d p() a b c p' '() c d e f ab c a b c p' () p' ' () p' ' () Por ejemplo: a b c p() Cómo so respecto del eje OX las rectas tagetes e u puto de dos fucioes opuestas? Po u ejemplo f() So opuestas Por ejemplo tagete y = - + e = tiee tagete y = - y su opuesta f() e = tiee Calcula las derivadas sucesivas asta orde de: 8 f() 9 f' () g'() f''() 9 g() g''() Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() g() () f() f' () Como g() g'() Operado () '() Como f'' '() f'' '() 8 7 Calcula la derivada de las siguietes fucioes: a g() f() 7 a - ()

17 f() 7 Operado a a a g'() a a '() f'() 8 8 Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() a g() a b c d f' () a g'() a b c () '() Como () ( ) 9 Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() f' () g' () Como () '() 8 g() 8 () Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() f() f'() Operado g'() '() - g() () Calcula la derivada de las siguietes fucioes: ( )( ) f() g() ( ) ()

18 Operado Operado Operado f() g() f'() g'() () '() Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() g() () f() f'() Como Como g() () g'() 7 '() 7 Como Calcula la derivada de las siguietes fucioes: g() se f() se 7 () f' () l cos g'() cos 7 7 '() Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() f'() g() ()

19 g'() '() Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() se( ) g() cos 9 f' () cos g' () 8 se 9 '() () l Hallar la aceleració la velocidad y el istate e que ésta se aula del movimieto de ecuació s(t) t t v(t) t t a(t) t (la solució egativa o tiee setido) 7 Hallar las tagetes a la parábola y 8 e los putos e que corta a los ejes Corta a los ejes e Las tagetes será: y ( ) y f' () f'() f'() y ( ) y 8 8 Hallar la fució derivada y el domiio de derivabilidad de: f() f() E() f() si si f'() si si E = o es derivable porque tiee derivadas laterales distitas ( y -) Como E() es el úmero etero imediatamete meor a es costate e todos los itervalos co etero Por tato su derivada es e los itervalos y o es derivable e los eteros por o ser cotiua 9 U cuerpo se mueve sobre ua recta de acuerdo co la ley istate e que la velocidad es ula e(t) t t t Hallar la aceleració e el

20 v(t) t 8 t t t a(t) t 8 a() (la solució egativa o tiee setido) 7 Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() g() () f' () g'() 8 '() 7 Determia m co la codició de que la pediete de la recta tagete a la curva y = sea paralela a m y m e el puto La codició es equivalete a que m f'() f' () m m m m m f'() m m m m m m 7 Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() log7cos f' () g'() se cos l7 l l l g() ()

21 '() 7 Calcula a para que la derivada de a f() sea si = a a a f'() 9 f' () 8 a a 8 7 Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() f' () l g'() ' () l g() se () cos 7 Calcula la derivada de las siguietes fucioes: f() l f' () l g' () se 8 ' () cos g() cos () se

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