SISTEMA GENERAL DE COORDENADAS RECTANGULARES

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1 átedra: Topografía II Pág. SISTEM GENERL DE OORDENDS RETNGULRES LOLIZIÓN DE PUNTOS EN EL PLNO Localizar puntos de la superficie terrestre en el plano, significa dar la referencia de ellos respecto a un espacio de dos dimensiones llamado plano topográfico, utilizando el sistema de proyección ortogonal. Los sistemas de referencia usados en topografía son los conocidos como: Sistema artesiano Ortogonal Monométrico (cartesiano por Descartes, ortogonal por la condición de perpendicularidad y monométrico por utilizar la misma unidad de medida en los ejes) Sistema Polar Para localizar puntos en cualquiera de estos sistemas, necesitamos conocer las posiciones de los ejes e en el plano. DISPOSIIÓN DE EJES UDRNTES Supondremos siempre, según el uso universalmente establecido, un sistema tal que la rama positiva del eje de las ordenadas quede a 90 de la rama positiva del eje de las abscisas, contando esta magnitud angular en el sentido del movimiento de las agujas del reloj. Es entonces arbitraria todavía la dirección de la rama positiva del eje de la. En la práctica topográfica, geodésica y catastral, es costumbre general hacer coincidir el eje de las con el meridiano de origen del sistema de coordenadas, estando entonces dirigido el eje de las positivas hacia el Norte, el eje de las positivas hacia el Este, las negativas, en consecuencia, hacia el Sur y las negativas hacia el Oeste. Se llama Sistema artesiano Ortogonal Indirecto o Retrógrado, es aquel en que los 90 que tiene que girar el eje para superponerse con el eje lo hace en sentido de las agujas del reloj. Mediante los dos ejes de coordenadas el plano se divide en 4 partes llamadas cuadrantes. Los signos que corresponden a las abscisas y ordenadas se muestran en la figura, también se indica la distribución de los cuadrantes y el signo de las funciones. + - IV III I II + - SISTEMS LOLES DE OORDENDS parte de los sistemas generales de coordenadas se emplean a menudo con fines especiales sistemas locales que pueden ser orientados de cualquier modo conveniente, por ejemplo, el eje de las o de las coincidente con el primer lado más largo de un polígono, con la dirección principal de un camino, canal, tangente a una curva, etc. Pero también en estos casos es conveniente orientar los ejes de tal modo que se pase del de las positivas al de las positivas por un movimiento giratorio de 90 en el sentido de la marcha de las agujas del reloj. Documento de átedra preparado por el Ing. Guillermo N. ustos

2 átedra: Topografía II Pág. SISTEM DE OORDENDS POLRES Se apoya en los ejes ortogonales ya descriptos, y para localizar un punto en este sistema necesitamos conocer el valor del rumbo (R) y la distancia (d). Definimos la distancia (d), como la medida de la longitud OP, o como el módulo del vector OP. En estos sistemas un punto P queda localizado en el plano como P (d, R). RUMO Se define como rumbo de una dirección, en el sistema de coordenadas planas, al ángulo que dicha recta forma con una paralela al eje de las, o en otros términos más precisos: Siendo y dos puntos del plano, el rumbo R de la línea, que designaremos también como (), es el ángulo por el cual la paralela a la rama positiva del eje de las trazada por el punto de arranque, debe ser girada en el sentido del movimiento de las agujas del reloj, hasta llegar a la coincidencia con el lado. () () Este ángulo puede tomar cualquier valor entre 0º y 360º. De la definición se desprende lo siguiente: las dos direcciones que pueda tener una recta corresponden dos rumbos, el rumbo directo y el inverso, también llamado recíproco o contrarumbo, los que se diferencian en 80. () = () ±80º Si se gira la recta 360º alrededor de, cambiará sólo el número de grados ( R+ 360 ), pero no el significado del rumbo, volviendo el rayo móvil a ocupar exactamente la misma posición que tuvo antes de su giro. Un rumbo mayor de 360 se transforma, por lo tanto, en otro equivalente, restándole 360. l ser el rumbo un ángulo orientado, nunca podrá ser negativo, por lo tanto si al calcularlo por algún método diera un valor negativo, se le sumará 360º TRNSFORMIÓN DE OORDENDS POLRES RTESINS RETNGULRES Dados y, dos puntos que tienen por coordenadas,,, referidos a un sistema de ejes coordenados ortogonales retrógrados O, O. Se define como: = - = - De la figura obtenemos lo siguiente: Documento de átedra preparado por el Ing. Guillermo N. ustos

3 átedra: Topografía II Pág. 3 () O Si por se traza la paralela al eje y por la paralela al eje se obtiene el triángulo rectángulo en por lo que: cos () = ; de lo que se obtiene: = cos() () = sen () = ; de donde: = sen() () = onocidas las coordenadas del punto se obtienen las de : = = + + = = + + cos() sen() Las (), () y (3) son las fórmulas fundamentales no solamente del cálculo de coordenadas sino de la Topografía práctica, en las que están basadas la mayor parte de las determinaciones de nuevos puntos en el sistema de coordenadas. TRNSFORMIÓN DE OORDENDS RTESINS RETNGULRES POLRES Dados y, dos puntos que tienen por coordenadas,,, y referidos a un sistema de ejes coordenados ortogonales retrógrados O, O, encontrar el rumbo () y l (longitud del lado ). Dividiendo () en (): - tg () = = (4) - Elevando al cuadrado () y (), sumando y sacando raíz cuadrada: ) + ( ) l = = ( (5) De las fórmulas (4) y (5) se deduce que: Signo de = Signo de cos () Signo de = Signo de sen () pues es siempre (+) por ser una distancia. on esto último se elimina la ambigüedad que presenta la (4) respecto del cuadrante correspondiente al rumbo (). Llamando rumbo de cálculo Rc (el valor que nos da la máquina de calcular, que varía de 90º a +90º), al rumbo verdadero Rv reducido al primer cuadrante, las relaciones entre ellos son las siguientes. (3) Documento de átedra preparado por el Ing. Guillermo N. ustos

4 átedra: Topografía II Pág. 4 Primer cuadrante Segundo cuadrante Rv=Rc Rv Rc Rv=Rc+80º Tercer cuadrante uarto cuadrante Rv=Rc+360º Rc Rv Rv=Rc+80º Rc Rv EJEMPLOS NUMÉRIOS ) Dadas las coordenadas rectangulares de dos puntos y, expresar la especificación polar del vector Punto = = - - = (-7.43) = = (-.3) = tg () = = = = ( segundo cuadrante ) Luego: () = 90º 3 6 (La máquina de calcular arrojó un resultado 89º 36 44, pero como el rumbo pertenece al º cuadrante debe sumársele 80º) = ( ) + ( ) = = 7.63 m ( ) + (7.66) = Documento de átedra preparado por el Ing. Guillermo N. ustos

5 átedra: Topografía II Pág. 5 ) onocido el rumbo de la dirección y la distancia, dadas las coordenadas del punto determinar las del punto () 90º = + = + = + cos() = cos() = -8.9m = + sen() = sen() = 6.44m 3) Determinar los rumbos de los lados, D y DE, dado el rumbo del lado y los ángulos medidos 60º 65º 00º D 30º E ( ) = ( ) + 80º + ˆ = 65º + 80º + 60º = 505º ( ) = 505º 360º = 45º ( D) = ( ) + 80º + ˆ = 45º + 80º + 00º = 45º ( D) = 45º 360º = 65º ( DE) = ( D) + 80º + Dˆ = 65º + 80º + 30º = 475º ( D) = 475º 360º = 5º EJERIIOS PROPUESTOS ) Dado el rumbo () = 0º, determinar los rumbos (), (D), (DE), (EF), (FG). G 85º D 30º E 30º 00º F Documento de átedra preparado por el Ing. Guillermo N. ustos

6 átedra: Topografía II Pág. 6 ) onocidas las coordenadas de los puntos, determine los siguientes rumbos y distancias: (), (3), (34), (45), (56), (6), d -5 y d 3-6. PUNTO ) Se tienen dos puntos cuyas coordenadas se conocen: PUNTO alcular la distancia D y el rumbo (D) D Datos: DISTNIS m 58.6 m 9.56 m D 03. m NGULOS 95º º º º 0 40 Documento de átedra preparado por el Ing. Guillermo N. ustos