Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial Respuesta: :Solución Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011

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1 Matrícula: Nombre: Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial Respuesta: : Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo Suponga que tiene una empresa que produce tres tipos de productos (P i) que vende a granel. Estos productos están basados en 4 tipos de materias primas (MP j). El personal de operación ha hecho el modelo que ha resuelto y se tiene el reporte de LINDO, el cual se muestra a continuación. LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST P P P ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES MP1) MP2) MP3) MP4) NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE P P INFINITY P RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE MP INFINITY MP MP MP INFINITY a) Suponga que la utilidad del producto 2 aumenta 6 unidades. Describa, si es posible, cuál es el plan productivo óptimo. Si no es posible determinarlo, indique sus razones. Respuesta: El aumento está abajo del aumento máximo para el coeficiente de esa variable que es 7. Por tanto, la solución, es decir, el plan productivo sigue siendo el óptimo: producir 2 unidades de P1 y 8 unidades de P3. b) Suponga que la utilidad del producto 1 aumenta 20 %, la utilidad del producto 2 disminuye en 2 unidades de capital y que la utilidad del producto 3 aumenta 1 unidad de capital; Qué debe hacer la empresa para si quiere maximizar sus ganancias? Respuesta: Para aplicar la regla del 100 % determinamos el porcentaje de aumento total: / + 1/2.5 = 0.6 < 1 Así el plan óptimo se preserva. La empresa debe seguir lo acordado. c) Suponga que le ofrecen a la empresa un paquete de que incluye dos unidades de la materia prima 1 y 3 unidades de la materia prima 2 a un costo de 10 unidades de capital, le conviene comprar? Respuesta: Mientras que la materia prima 1 sobra, cada unidad de materia prima 3 tiene un beneficio de 10 unidades. Una sola unidad de materia prima 3 paga el precio de compra: La compañía debe comprar. d) Suponga que desafortunadamente se ha dañado en bodega un lote con una unidad de cada tipo de materia prima que la ha dejado inservible. Diga usted si acaso puede calcular el impacto sobre la utilidad neta, y de ser posible, diga en cuántas unidades monetarias se estima la pérdida. Respuesta: Para aplicar la regla del 100 % estimamos el cambio porcentual total: 1/21 + 1/4 + 1/ /50 = 1.26 > 1 La regla no aplica y por tanto, no es posible estimar el impacto en las utilidades. 2. Utilice el método de Ramificación y Acotamiento para resolver el siguiente problema: Maximizar z = 2 x x 2 sujeto a x x x x 2 25

2 TC3001, segundo examen parcial semestre enero-mayo y x 1, x 2 0 y x 1 y x 2 enteros. Desarrolle completo el árbol de búsqueda indicando en cada nodo los resultados del simplex y en cada rama indique la desigualdad que se va sumando al problema. P 1 : z = 17.3, x = 5.8, y = 1.9. Ramificar P ila = [P 2, P 3 ] P 2 = P 1 + x 6: z = 17.25, x = 6, y = Ramificar P ila = [P 4, P 5, P 3] P 4 = P 2 + y 2: Región factible vacía. Acotar. P ila = [P 5, P 3] P 5 = P 2 + y 1:z = 17, x = 7, y = 1. Aspiración: mejorar z = 17. P ila = [P 3] P 3 = P 1 + x 5:z = 16.9, x = 5, y = 2.3. No mejora el nivel de aspiración ya encontrado (b = 17). Por tanto, en cualquier subproblema siguiente a esta rama no encontraremos una solución mejor;, NO debemos ramificar. Acotar. P ila = []. Pila vacía; termina el algoritmo. z = 17, x = 7, y = 1 3. Hay doce proyectos disponibles para inversión. Los proyectos requieren recursos y proporcionan utilidades que se muestran en la tabla siguiente (las cantidades están en millones). Se tienen las siguientes restricciones. No se puede invertir en los proyetos 2 y 10 a la vez. Proyecto Recursos Utilidad Si se invierte en el proyecto 1, será obligación invertir en los proyectos 4 y 5. Los proyectos 6, 7, 8, 9 y 10 constituyen un portafolio de riesgo alto, y por tanto, a lo más 3 de estos proyectos se podrán aprobar. Entre los proyectos 8, 11 y 12 habrá que aprobar al menos uno. Del portafolio formado por los proyectos 4, 7, 9 y 11; si se invierte en al menos dos de ellos habrá que aprobar al menos un proyecto del portafolio formado por los proyectos 1, 2 y 3. Si se disponen de 20 millones para inversión, encuentre el plan de inversión que maximiza la utilidad. Esta es una aplicación directa del problema de la mochila. Variables de decisión y i de i = 1, 2,..., 12 que indica si se invierte en el proyecto i, Objetivo maximizar la utilidad Restricciones 12 Max z = U i y i i=1

3 TC3001, segundo examen parcial semestre enero-mayo No exceder el presupuesto: 12 r i y i 20 i=1 No se puede invertir en los proyetos 2 y 10 a la vez: y 2 + y 10 1 Si se invierte en el proyecto 1, será obligación invertir en los proyectos 4 y 5: y 1 y 4 y y 1 y 5 Los proyectos 6, 7, 8, 9 y 10 constituyen un portafolio de riesgo alto, y por tanto, a lo más 3 de estos proyectos se podrán aprobar: y 6 + y 7 + y 8 + y 9 + y 10 3 Entre los proyectos 8, 11 y 12 habrá que aprobar al menos uno: y 8 + y 11 + y 12 1 Del portafolio formado por los proyectos 4, 7, 9 y 11; si se invierte en al menos dos de ellos habrá que aprobar al menos un proyecto del portafolio formado por los proyectos 1, 2 y 3: y i binarias. Si y 4 + y 7 + y 9 + y 11 > 1 entonces y 1 + y 2 + y 3 1 Debe invertir en los proyectos 1, 4, 5, 8, 10 y 11. Esto le dará una utilidad de 19.5 millones. Existen varias soluciones óptimas. La referencia es el valor de la utilidad. 4. La empresa X produce 3 tipos de productos que distribuye a granel: A, B y C. Estos artículos requieren materia prima, mano de obra y tiempo en un horno de procesamiento. En la siguiente tabla se muestran los recursos requeridos y las ganancias por cada tipo de producto. Cada semana se cuenta con 400 kilogramos de materia prima, 160 horas de mano de obra y 60 horas de tiempo de procesamiento en el horno. La empresa reconoce que para sea factible la producción de sus productos debe procesar al menos 10 kilogramos del producto A, 15 kilogramos de B y 12 kilogramos de C. Formule y resuelva un modelo PLE para maximizar las utilidades semanales de X. A B C Materia prima (kg) Trabajo requerido 2 horas 4 horas 3 horas Tiempo de procesamiento 10 minutos 20 minutos 15 minutos Utilidad obtenida (por kg) 400 dólares 600 dólares 500 dólares Variables de decisión x 1 = total de kilogramos de A a producir x 2 = total de kilogramos de B a producir x 3 = total de kilogramos de C a producir Función objetivo Maximizar la utilidad: Restricciones Maximizar z = 400 x x x 3 Recurso: Materia prima 2 x x x 3 400

4 TC3001, segundo examen parcial semestre enero-mayo Recurso: Horas de trabajo Recurso: Minutos de horno Condiciones de fabricación 2 x x x x x x 3 3, 600 x 1 = 0 ó x 1 10 x 1 M y 1 y 10 x 1 M (1 y 1 ) x 2 = 0 ó x 2 15 x 2 M y 2 y 15 x 2 M (1 y 2 ) x 3 = 0 ó x 3 12 x 3 M y 3 y 12 x 3 M (1 y 3 ) Codificación en LINGO model: sets: n /1..3/:x,y,u,mp,mo,ho; endsets data: u = 400, 600, 500; mp = 2, 3, 3; mo = 2, 4, 3; ho = 10, 20, 15; enddata <= <= <= 3600; x(1) <= 10000*y(1); 10-x(1) <= 10000*(1-y(1)); x(2) <= 10000*y(2); 15-x(2) <= 10000*(1-y(2)); x(3) <= 10000*y(3); 12-x(3) <= end Salida de LINGO Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 5 Variable Value Reduced Cost X( 1) X( 2) X( 3) Y( 1) Y( 2) Y( 3) Conclusión El plan óptimo consiste en elaborar sólo 80 kilogramos del producto A: este plan dará una utilidad de 32,000 dólares. 5. Una compañía debe entregar 7 tipos de paquetes y hay tres paquetes de cada tipo. La compañía puede rentar 5 camiones diferentes cuyas capacidades son 7, 5, 6, 5, y 4 paquetes, respectivamente. Suponga que el costo de rentar tales camiones es de 100, 50, 55, 55 y 45 dólares, respectivamente. Indique qué camiones rentar y cómo distribuir la mercancía si la compañía quiere

5 TC3001, segundo examen parcial semestre enero-mayo minimizar el costo del transporte total con el requisito de que cada camión puede llevar a lo más 2 paquetes de cada tipo. El total de paquetes es de 21(= 7 3) y sólo las siguientes selecciones de camiones tienen una capacidad total no menor que 21: Camiones: 1, 2, 3, y 5; Costo: 250 Camiones: 1, 2, 4, y 5; Costo: 250 Camiones: 1, 3, 4, y 5; Costo: 255 Camiones: 1, 2, 3, y 4; Costo: 260 Camiones: 1, 2, 3, 4, y 5; Costo: 305 Debemos revisar las alternativas una a una en orden creciente de costos. Observamos que la primera alternativa es factible y se pueden acomodar los paquetes de la siguiente forma: Camión 1 (capacidad 7): paquetes tipo 1,2,3,4,5,6,7 Camión 2 (capacidad 5): paquetes tipo 1,2,3,4,5 Camión 3 (capacidad 6): paquetes tipo 1,2,3,4,5,6 Camión 5 (capacidad 4): paquetes tipo 7,7,6