CLASES DE ESTADÍSTICA II ESPERANZA ABSOLUTA

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1 1 CLASES DE ESTADÍSTICA II CLASE ) ESPERANZA ABSOLUTA. ESPERANZA CONDICIONAL. ESPERANZA ABSOLUTA El cálculo de valores esperados o esperanzas a nivel de dos variables aleatorias es una generalización matemática de la definición dada para una variable. Recordando esta definición, el valor esperado de una función de la variable aleatoria x, g(x), viene dado por la siguiente expresión ; ; ; Es bueno recordar aquí que se debe garantizar la existencia tanto de la suma de las sumatorias involucradas como la convergencia de las integrales involucradas. En consecuencia, definiremos el valor esperado absoluto de una función de las variables aleatorias X e Y, g(x, y), mediante la siguiente expresión,, ;,,,, ;,,, ;, *Recuerde que en el vector cruzado, la variable X se considera discreta y la variable Y se considera continua. Por supuesto, se debe garantizar la existencia tanto de la suma de las sumatorias involucradas como la convergencia de las integrales involucradas.

2 Observaciones: Para cualquiera de los vectores, el valor esperado de g(x, y) es un número real. El valor esperado absoluto también es un operador lineal, es decir, el valor esperado de la suma es la suma de los valores esperado y el valor esperado de una constante por la variable es igual a la constante por el valor esperado de la variable. El valor esperado absoluto incluye todos los valores esperados marginales de cada variable. Como consecuencia de esta definición se desprenden algunos valores esperados absolutos de interés: 1 Sea, (El operador valor esperado es un operador lineal). Sea,. Al valor esperado del producto se le conoce como valor esperado conjunto o Correlación., ;,, ;,, ;, Sea,. A este valor esperado se le conoce como Covarianza entre X e Y,, La definición de Covarianza encierra en su interior los conceptos de las varianzas marginales ya que,, Pero su significado poco tiene que ver con la dispersión de la variable alrededor de su valor esperado, como en el caso unidimensional. Más bien pretende servir de medición de la opción de independencia o no entre las variables. Analizando el signo de la Covarianza, vemos que la variable a la cual se le va a calcular el valor esperado es el producto de dos paréntesis. Estos paréntesis son tales que si generamos unos ejes cartesianos cuyo origen ha sido desplazado al punto (E(X), E(Y)), como en la figura siguiente, la ubicación de los pares (x, y) quedará en alguno de los cuatro cuadrantes que se generan en esos nuevos ejes cartesianos.

3 Y Cuadrante Cuadrante 1 E(Y) Cuadrante E(X) Cuadrante 4 X La covarianza será positiva si el peso de los pares ordenados (x, y) en los cuadrantes 1 y es mayor que el peso de los pares ordenados en los cuadrantes y 4, lo cual es una información de que existe una relación de tipo directamente proporcional entre las variables. En el caso en el cual pos pares ordenados en los cuadrantes y 4 tienen mayor peso que los que están en los cuadrantes 1 y, la Covarianza será negativa; indicio de una relación de tipo inversamente proporcional. Las definiciones anteriores nos permiten emitir otras propiedades que tiene un par de variables aleatorias, además de la propiedad de independencia, a saber, Dos variables aleatorias son ortogonales si su valor esperado conjunto es igual a cero. Dos variables aleatorias son no correlacionadas si su covarianza es cero. Si dos variables aleatorias son independientes entonces su covarianza vale cero. Como conclusión de analizar el signo de la Covarianza se tiene: ó, ó 0 ; í De alguna manera, la Covarianza nos informa de cuán relacionadas están las variables pero esa cuantía cambia debido a que la magnitud de la Covarianza depende de las unidades de medida de ambas variables. Para evitar este hecho se estandariza la Covarianza al dividirla por la raíz cuadrada del producto de las varianzas marginales, consiguiendo lo que llamaremos Coeficiente de Correlación entre X e Y:,, El Coeficiente de Correlación tiene tres propiedades muy interesantes: Mantiene el signo de la Covarianza. Es adimensional. Su magnitud es menor o igual que uno.

4 4 Ejemplo.1) Demuestre que el Coeficiente de Correlación entre X e Y es menor o igual que uno en magnitud. Sean dos variables aleatorias Z y W, tales que Z = X E(X) y W = Y E(Y). Sea una función Q(t) = E[ (Z tw) ], tal que Q(t) 0, debido a que (Z tw) 0, entonces 0 El mínimo de Q(t) se obtiene derivando respecto a t e igualando a cero, Entonces, 0 0 De aquí se desprende que Sustituyendo Z y W en términos de X e Y, 0 1, 1 1 Ejemplo.) Calcule el Coeficiente de Correlación entre X e Y si se sabe que entre ellas existe una relación de tipo lineal, es decir, Y = ax b, donde a y b son constantes conocidas. La varianza de Y será. La Covarianza de X e Y será En consecuencia,,,, Ю Ю, 0 1; 1; 0 Ю Ю

5 Ejemplo.) Considere la función de masa de probabilidades conjunta del ejemplo 1.6. Calcule el Coeficiente de Correlación entre X e Y. La tabla siguiente muestra tanto la función de masa conjunta como las funciones de masa marginales de cada variable. (Recuerde que el valor de k es 1/0). X Y 0 1 f X (x) 0 k 4k 6k k 1/0 1 k k k k 6/0 k k k k 11/0 f Y (y) 6/0 7/0 9/0 8/0 Ya que ambas variables son discretas se tiene que, Entonces, la Covarianza, las varianzas marginales y el Coeficiente de Correlación son iguales a,, , , ,0796

6 6, , Ю Ю Ejemplo.4) Considere la función de densidad de probabilidades conjunta del ejemplo 1.9. Calcule la Covarianza y el Coeficiente de Correlación entre X e Y. La función de densidad conjunta y las marginales venían dadas por 8; 01,, 01 0; 41 ; 01 0; 4 ; 0 1 0; Ya que ambas variables son continuas se tiene que, Entonces, la Covarianza, las varianzas marginales y el Coeficiente de Correlación son iguales a,, , , ,078, ,78 0,49,61 Ю Ю

7 7 ESPERANZA CONDICIONAL En la clase se definieron dos tipos de funciones condicionales dependiendo de la forma del evento condicionante. La definición de esperanza condicional, de igual manera, vendrá dada en términos de la forma del evento condicionante. Caso 1: El evento condicionante ocupa un espacio tal que su probabilidad sea distinta de cero. Sea un evento B definido por una cierta región R B tal que P{B} 0. La función de densidad de probabilidades conjunta condicionada resultó ser, ;,, 0;, Y las correspondientes funciones de densidad marginal condicionadas,,, Entonces, definiremos la esperanza conjunta condicionada por un evento B como,, ;,,,, ;,,, ;, De igual manera, se definen las esperanzas marginales condicionadas por un evento B como, (se describen aquí las correspondientes a la variable X, las de Y son similares): ; ; ;

8 8 Por otro lado, las varianzas marginales condicionadas por el evento B serán Caso : El evento condicionante tiene probabilidad cero pero se define como un valor constante de una de las variables. En este caso, son relevantes las funciones de densidad marginales de X dado Y y de Y dado X,,, Por tanto, las esperanzas marginales condicionales se definen como Es interesante observar que ambos valores esperados NO son números sino funciones de la otra variable dado que ambas funciones de densidad marginales dependen de ambas variables. De igual manera, las varianzas marginales condicionales se definen como

9 9 Ejemplo.) Considere las variables aleatorias del ejemplo.. Calcule el valor esperado de Y dado que X es menor o igual a 1/. En el ejemplo. se obtuvo que Entonces el valor esperado solicitado será ; 0 1 0; ,18 7 Ю Ю Ejemplo.6) Considere las variables aleatorias del ejemplo.. Calcule el valor esperado de Y dado X y el valor esperado de X dado Y. En el ejemplo.7 se consiguieron las funciones de densidad marginales de Y dado X y de X dado Y, respectivamente,, ; 01 0;, ; ; Entonces los valores esperados condicionales solicitados serán ; 0 1 ; 0 1 0; 0; ; ; ; 0 1 0; Ю Ю

10 Ejemplo.7) Considere dos variables aleatorias discretas X e Y cuya función de masa de probabilidades conjunta viene dada por la tabla siguiente. Calcule el valor esperado de X dado que la suma de las variables es menor de tres, el valor esperado de Y dado X y la varianza de Y dado X. X Y k k k 1 k k k 0 k k k k k Sumando por filas se consigue la marginal de X y sumando por columnas la marginal de Y. La celda inferior de la columna a la derecha muestra el valor de k. X Y 0 1 f X (x) 0 7k k k k 1 k k k k 0 k k 4k k k k k f Y (y) 1k 6k k 4k = 1 k = 1/4 Sea el evento B X + Y <, entonces Por tanto, la tabla siguiente representa la función de masa conjunta de( X,Y) dado el evento B la cual se consigue al dividir solo las celdas donde se cumple B, entre la probabilidad de B. En la fila inferior y última columna se muestran las correspondientes marginales. X Y 0 1 f X (x/b) 0 7/14 /14 1/14 /14 1 /14 1/14 4/ f Y (y/b) /14 /14 1/14 Para calcular los valores esperados de X dado B y de Y dado B se consideran la columna de la derecha y la fila inferior, respectivamente,

11 11 Para conocer el valor esperado y varianza de Y dado X, consideremos la tabla que muestra el valor de k = 1/4. Allí vamos a dividir cada fila entre el valor de la columna que muestra la marginal de X X Y 0 1 f X (x) 0 7k/k = 7/ / 1/ k 1 k/k = / 1/ 1/ k 0/4k = 0 /4 /4 4k k/k = / 1/ 1/ k Cada fila sombreada representa la f Y (y/x) por lo que el valor esperado y varianza de Y dado X vienen dados por 1 1 ; 0 4 ; ; 1 ; ; ; ; ; 0; 0; ; 0 6 ; ; 1 ; ; ; ; ; 0; 0; ; 0 11 ; 0 ; 1 16 ; 1 1 ; 4 16 ; 0; ; ; 0; Ю Ю

12 1 Ejemplo.8) Considere dos variables aleatorias continuas X e Y cuya función de densidad de probabilidades conjunta viene dada por la expresión siguiente. Calcule el valor esperado de X dado que módulo de Y es menor o igual a 1/ y el valor esperado de Y dado X. 1 ; 1, 0, 0 1, ; 1, 0, 0 1 ; 0, ; El dominio donde la función de densidad conjunta es distinta de cero será Y 1 1/ X + Y = X X + Y = 1 1/ 1 Sea el evento, entonces Por tanto, la conjunta condicionada será ; 1, 0, 0 1, ; 1, 0, ; 0, 1 0 0;

13 1 La región donde esta conjunta condicionada es distinta de cero será Y 1/ X + Y = / X + Y = 1 1/ X La correspondiente marginal de x condicionada por el evento B viene dada por 1, 1 Resolviendo las integrales, 84 7 ; ; ; ; ; 1 0; ; ; 1 0 1, ; ; ; 1 7 0;

14 14 Entonces, el valor esperado de X dado B será , Para conocer el valor esperado de Y dado X hay que calcular previamente la marginal de X 1 ; ; ; 1 0; Entonces,, 61 ; ; ; 1 4 0; ; 1 1 0, 1, 0 48 ; , 1, 0 ; , 1 0 1; 1, 1 0 0;

15 1 Finalmente, el valor esperado de Y dado X será Resolviendo las integrales, ; ; 0 1 ; 1 0; 1; ; ; 1 0; Ю Ю