Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 2. Límites de funciones

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1 Apuntes Tema 2 Límites de funciones

2 2.1 Límites de funciones Def.: Dada una función f(), diremos que su límite cuando tiende hacia a es el número L, y lo escribiremos, lim f() L si eisten los límites laterales cuando tiende hacia a a y ambos son iguales: lim f() lim f() L. a + a En caso contrario, diremos que no eiste el límite en a. 17

3 A continuación repasamos una serie de conceptos que hemos trabajado en años anteriores: K ± si 1 < a ± a { IND 1 si a 1 K si < < 1 A la hora de resolver los límites, deberíamos tener claro si se trata o no de una indeterminación, ya que sólo estas últimas las tendremos que operar. Trabajaremos con las siguientes indeterminaciones: - Ejemplos: ( ) 1 1 ( ) 18

4 lim lim ( ) Ejercicios (3 2 ) ( 2 + ) 4. lim ( )5 5. lim + 5 ( ) 6. lim ( )5 7. lim lim ( )

5 9. lim ( ) 2.2 Infinitésimos equivalentes Def.: Una función f() se dice que es un infinitésimo cuando a si se cumple: lim f () a. Ejemplo: f() sen es un infinitésimo cuando. Ejemplo: f() tg es un infinitésimo cuando. Ejemplo: f() 9 2 es un infinitésimo cuando 3. Ejemplo: f() 1 sen NO es un infinitésimo cuando. Def.: Dos infinitésimos f() y g() se dicen equivalentes cuando a, si el límite de los cocientes entre ambas es la unidad: lim f() a g() 1 Error! Marcador no definido. f() g() Tabla reducida de infinitésimos: Ejemplos: sen Infinitésimos Equivalentes sen tg arcsen 1 cos n n 1 ln 1 sen (1 cos ) ln 3 (+1) 2

6 1 cos ln (cos ) 21

7 2.3 Límites por L Hôpital Este método sirve para resolver indeterminaciones del tipo e. Si f() y g() son derivables en un entorno de a, f () f () tenemos que lim lim. a g() a g () Antes de aplicar L Hôpital sustituiremos, si es posible, algún infinitésimo por otro equivalente más sencillo. Ejemplos: e 1 1 cos2 2 sen cos (1 cos) Ejercicios e 2 ln (e + ) ln(cos 2) 2 22

8 2.4 IND Cuando tengamos IND intentaremos convertirla en e para poder aplicar L Hôpital. Ejemplos ( ln ) + 1 ( 1 1 ) 1 e e e Ejercicios e 2 e ( 2)ln ( 2) 4. lim π 2 5. lim tg 3 tg

9 6. lim Resolución de indeterminaciones del tipo 1, e Para resolver este tipo de indeterminaciones, tomaremos logaritmos, como se muestra en los ejemplos a continuación. Ejemplos (1 + sen ) 2 tg sen 1 Ejercicios (1 + 2cos ) 1 π cos 2 + ( 1 2)tg 24

10 (cos 2) Definición de límite Def.: lim f() L f(a) ε > δ > : a < δ f() f(a) < ε a Coloquialmente diríamos que una función f() tiene por límite L f(a) cuando tiende a a, cuando para cualquier valor de tan próimo a a se encontrará siempre un valor f() tan próimo a L f(a) como se desee. Es decir, podremos elegir siempre una franja roja tan estrecha como queramos que por cada una de ellas tendremos siempre una franja azul en torno a a, de forma que sus valores estarán dentro de la franja roja, por tanto, se aproimarán a los de L. 25

11 Ejercicios Calcula los siguientes límites: ( +3 ) lim Ln(1+) 5. lim 1 6. lim 1 tg sen 7. lim ( tg ( π )) 8. lim Ln(1+e ) 9. lim e 1. lim e ( ) tg3 ( π) π 3(sen( π)) (1 cos( π)) 14. lim 3( 1)2 1 (Ln 3 ) arcsen( 1) (prueba sumando y restando 1 dentro de la raíz) 15. lim e e e +e 16. lim 17. lim

12 18. lim (cotg) sen 19. lim tg e e 2. lim sen (Ln) (tg 1) sec π sen e arctg 24. lim π+ 2 ( π 2 ) tg 1. Resuelve el siguiente límite: lim 2. Resuelve el siguiente límite: lim Ejercicios PAU sen (1 cos ) ln 3 ( + 1) (Junio de 213) (Junio de 212) 27

13 Ficha de repaso del tema 2 sen 2 3 (Sol.: 1) (Sol.: - 6) 2 1 (Sol.: 1) 1 Ln e 4. lim e 3 sen 5. lim 7 6. lim Ln ( 2 6 6) e Ln ( + 1) (Sol.: - 2/3) (Sol.: 5/8) (Sol.: ) 7. lim ( e) (Sol.: - ) 8. lim (Sol.: 1) 9. lim (cos + sen )1 (Sol.: e) e 1. lim cos (Sol.: 1) sen 2 e 1 e 2 (Sol.: 1) sen 1 Ln cotg (Sol.: 1) 1 (e ) 1 (Sol.: 1) 14. lim ( 1 1 ) (Sol.: ½) 1 Ln lim (cos 2)sen 2 (Sol.: e 2 ) 16. lim tg ( π 2 ) Ln (4 2 ) (Sol.: - /4) 3 arcsen ( 1) (Ln 17. lim 2 ) 3 (Sol.: 96) 1 (1 cos( 1)) 2 28