Contenidos. Tema 1. Geometría Diferencial. Producto Escalar y Vectorial Producto escalar.

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Estefania Espejo Cruz
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Contenidos Tem 1. Geometrí Diferencil Curvs en el espcio Análisis Vectoril y Estdístico Preliminres Operciones con vectores en R 3 Producto esclr Producto Vectoril Deprtmento de Mtemátic Aplicd E.P.S.

1 Contenidos Tem 1. Geometrí Diferencil Curvs en el espcio Análisis Vectoril y Estdístico Preliminres Operciones con vectores en R 3 Producto esclr Producto Vectoril Deprtmento de Mtemátic Aplicd E.P.S. Universidd de Málg 2 o semestre. Curso 211/212 Curvs regulres Longitud de un curv Curvtur y Torsión El triedro de Frenet L geometrí diferencil es l disciplin mtemátic ue, medinte el nálisis, estudi ls propieddes geométrics de los espcios euclidenos y de los subspcios no necesrimente referencidos por plnos, como ls superficies con curvtur (2). Su creción se tribuye los mtemáticos Monge y Riemnn. Monge, en su obr Aplicciones del nálisis l geometrí introdujo los conceptos básicos y fue el primero en empler de form sistemátic ls ecuciones en derivds prciles pr el estudio de ls superficies. Producto Esclr y Vectoril Producto esclr. Un bse B = {~e 1,~e 2,~e 3 } de R 3 es ortonorml si cd cd pr vectores distintos son ortogonles y cd vector es unitrio. Respecto de un bse ortonorml el producto y l norm de un vector tomn l epresión: I h~v,~wi = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = v t w I k~vk = h~v,~vi 1/2 = v1 2 + v v 3 2

$Producto Esclr y Vectoril Producto vectoril El producto vectoril de dos vectores {~,~y} de R 3 es el único vector ~ ^~y ue verific: 1. ~ ^~y es ortogonl mbos vectores, 2.$

2 Producto Esclr y Vectoril Orientción Bses Orientds Elegid un bse diremos ue tiene orientción positiv si está en l clse de l bse cnónic (determinnte positivo) y orientción negtiv en cso contrrio. Producto Esclr y Vectoril Producto vectoril El producto vectoril de dos vectores {~,~y} de R 3 es el único vector ~ ^~y ue verific: 1. ~ ^~y es ortogonl mbos vectores, 2. Si ~,~y son independientes, {~,~y,~ ^~y} es un bse orientd positivmente. 3. k~ ^~yk = k~kk~yk sen. k~yk + h = k~yksen k~k I ~ ^~y = ~y ^~ (ntisimétric). I Si ~ 6= ~ y~y 6= ~, entonces ~ ^~y = ~ )~,~y son linelmente dependientes. Epresión nlític del Producto Vectoril i j k ~ ^~y = y 1 y 2 y 3 2 = 3, y 2 y 3 1 3, 1 2 y 1 y 3 y 1 y 2 Curvs Llmremos curv prmetrizd un función continu : I! R 3 donde I es un intervlo de R. Son funciones de l form: (t)=( 1 (t), 2 (t), 3 (t)), (1, 2,3) ^ ( 2,4, 6)= i j k =(,,) z y Ejemplo: hélice circulr : R! R 3 (t)=(cost,sent,bt)

3 Curvs plns. Un curv es pln si está contenid en un plno. I :(,p)! R 2, definid (t)=(cost,sent) t I b :( 1,1)! R 2, definid b(t)=(t,+ p 1 t 2 ) Un curv ue no es pln se llm lbed. Ejemplo L semicircunferenci de rdio 1 es un curv pln ue se puede epresr medinte dos prmetrizciones : (,p)! R 2 t! (t)=(cost, sent). b : ( 1,1)! R 2 p t! b(t)=(t,+ 1 t 2 ). Obsérvese ue los vectores tngentes en cd punto tienen l mism dirección (están en l mism rect) pero tienen sentido contrrio. Cundo esto ocurre se dice ue mbs curvs recorren su trz en sentido contrrio. Curvs plns. Ejercicio Podrís dr l ecución de l cicloide? P t P Regls de Leibnitz Teorem Si,b : I! R 3 son curvs diferencibles, entonces Corolrio dh,bi (t)=h (t),b(t)i + h(t),b (t)i dt dk(t)k dt = h(t), (t)i k(t)k Solución: (t)=(t sen t, 1 cos t) Teorem Si,b : I! R 3 son curvs diferencibles, entonces ( ^ b) (t)= (t) ^ b(t)+(t) ^ b (t)

4 Curvs regulres Dd un curv diferencible se dice ue un punto t es singulr si (t)= ~. Un curv diferencible se dice ue es regulr si no tiene puntos singulres, es decir, (t) 6= ~ pr cd t 2 I. Ejercicio: Es regulr? L curv pln :(,)! R 2 definid (t)=(t 2 1,t 3 t) p (t)= t 2 + 1,t 3 (t)=(sen 2 t,cost), t 2 ( P. singulr en t = P. singulr en t = p/2,p) Solución: Sí, pesr de no ser inyectiv. Cmino entre dos puntos es culuier curv definid sobre un intervlo cerrdo [, b]. I Si ()=(b) se dice ue es un cmino cerrdo, en cso contrrio se dice ue es un cmino bierto. I Algunos cminos están definidos como curvs trozos y tiene sentido, entonces, hblr del vector tngente (t), siempre ue t se del interior de uno de los intervlos ue define un trozo. Si es un curv diferencible definid en un intervlo (bierto o cerrdo), l vector (t) lo llmmos vector tngente en t. En un intervlo cerrdo, l función k k es continu en el intervlo, por tnto, eisten (y se lcnzn) el máimo M y el mínimo m de k k en dicho intervlo.

5 Longitud de un curv (t 4 ) (t 5 ) (t 3) (t 2 ) (t ) (t 1 ) Se :[,b]! R 3 un curv regulr. Clculemos l longitud de un circunferenci (t)=(r cost,r sent), t 2 [,2p] Por tnto: `(P)= n Â i=1 Z b k(t i ) (t i 1 )k! k (t)kdt Z b Longitud de l curv = L = k (t)kdt L = (t)=( Z 2p r sent,r cost) p r 2 sen 2 t + r 2 cos 2 t dt = 2pr Clculemos l longitud del stroide ue se premetriz como (t)=((t),y(t)), con t 2 [,2p] (t)=cos 3 t y(t)=sen 3 t Clculemos l longitud de un hélice premetrizd como (t)=((t),y(t),z(t)), con t 2 [,2p] (t)=cost, y(t)=sent, z(t)=bt y y 2 3 = 2 3 L = Z 2p (t) 2 + y (t) 2 dt Solución: L = 6 z y L = R p 2p 2 sen 2 t + 2 cos 2 t + b 2 dt = = R p 2p 2 + b 2 dt = 2 p 2 + b 2 p

6 Longitud de un función L gráfic de un función f : R! R en un intervlo [,b] se prmetriz (t)=(t, f (t)) por tnto tiene longitud Z b 1 + f (t) 2 dt Longitud de un curv en polres Si un curv regulr pln se epres medinte su ecución en polres r = r() en el intervlo [, 1 ], su longitud es Z 1 r 2 +(r ) 2 d Clculo de l longitud de l ctenri Ddo un cble ue cuelg de dos postes l mism ltur, y ddo el cociente entre l tensión en el vértice de l ctenri y el peso totl del cble, se tiene l ecución y = cosh 1 1 Puesto ue l curv se epres como l gráfic de un función tenemos ue Z 1 Z r 1 L = 1 + f 2 dt = 1 + sinh d = 2sinh 1 Ejercicio Clcul l longitud de n vuelts de l espirl de Aruímedes ue tiene por ecuciones polres Solución: Z 2np r =, 2 [,2np] 2 p d = 4 rcsen + p = rcsen(2n p)+2np p 4n 2 p y 2np = Reprmetrizción (Reprmetrizción) Se : I! R 3 y se j : J! I, un función derivble con continuidd, sobreyectiv con j () 6=, 8 2 J. Entonces g dd por: g : J! R 3! g()=[j()] recibe el nombre de reprmetrizción de, ue tmbién será un cmino regulr.

7 Prmetrizción por longitud de rco Se l semicircunferenci prmetrizd :(,p)! R 2 como (t)=(cost,sent). Vmos reprmetrizrl prtir de j :(,1)! (,p) j(t)=pt Se :(,b)! R 3 un curv regulr y t 2 (,b). Vmos reprmetrizrl prtir de s(t)= k ()kd con s :(,b)! J = s(,b) t A l reprmetrizción b = s 1 Como j(t)=pt tenemos ue g :(,1)! R 2 g(t)=[j(t)] = (cos(pt), sen(pt)) es otr prmetrizción de l semicircunferenci. se le llm prmetrizción por longitud de rco de l curv desde el punto (t )=b(). En ests condiciones es sbido ue s es derivble en (,b) y s (t)= (t), 8t 2 (,b). Teorem Un curv regulr está prmetrizd por longitud de rco si y solo si los vectores tngentes en cd punto son unitrios. (t ) b() Demostrción Se b un reprmetrizción de respecto de l longitud de rco, es decir, b()=[s 1 ()]. Entonces b ()=[s 1 ()] ( ) = (t) (s 1 ) ()= 1 (t) s (t) Curv NO prmetrizd por long. de rco Curv prmetrizd por long. de rco ( )s 1 ()=t Si un curv regulr está prmetrizd por longitud de rco, entonces el vlor del prámetro nos d l longitud de l curv desde un punto inicil (t ). Tomndo módulos se obtiene el resultdo.

8 Prmetrizción de l hélice por longitud de rco Ls funciones: I (t)=(cost,sent) con t 2 (,2p) y I b(u)=(cosu,senu) con u 2 ( p,p) son prmetrizciones (distints) de l circunferenci, mbs por longitud de rco. Se (t)=(cost,sent,bt). Por tnto (t)=( sent,cost,b). Entonces: s(t) = = (u) du = p 2 + b 2 du = ( senu) 2 +(cosu) 2 + b 2 du = c du = ct ) s 1 ()= c siendo c = p 2 + b 2. Podrís dr otrs prmetrizciones por longitud de rco? Luego, como s 1 ()=, l hélice circulr ued c prmetrizd respecto de l longitud de rco en l form: b()=(s 1 ()) = (cos( c ),sen( c ),b c ) Prmetrizción de l ctenri por longitud de rco Curvtur y torsión (t)=(t,cosht), L función longitud de rco en t = es s(t)= de donde s 1 ()=log p t 2 [,] 1 + senh 2 d = senht = et e t, luego p p b()=(s 1 ()) = log( ),coshlog( ) con 2 (,senh). 2 Supongmos ue un curv dmite un número suficiente de derivds,,,... (Curvtur) Si es un curv regulr prmetrizd por longitud de rco en el intervlo (,b), llmmos curvtur de l función k :(,b)! R definid k(s)=k (s)k L regl de Liebnitz plicd l propiedd h (s), (s)i = 1 nos d ue (s)? (s)

9 Ejemplo: vectores tngentes y normles s 5 s s k(s) 4 s 6 s 1,91 s 3 s 2 s 1 s 2,51 s 3, s 4,21 s 5 3,46 s 6,64 Si un punto tiene k = se dice ue es llno. Dd un curv sin puntos llnos, llmmos rdio de curvtur l inverso de l curvtur: R(s)= 1 k(s) Ejercicio Comprueb ue l circunferenci de rdio r tiene curvtur k = r Tenemos los siguientes vectores unitrios ~t(s)= (s) ~n(s)= (s) k(s) Vector tngente Vector norml Ejercicio Estos vectores dependen de l orientción de l curv. Clcul los vectores tngentes y normles de un esfer en ls dos orientciones. Ddo ue cd punto de l curv está contenido en el plno definido por los vectores unitrios~t(s) y ~n(s), este plno lo llmremos plno osculdor. Llmremos vector binorml ~ b(s)= ~t(s) ^~n(s) ue es unitrio y ortogonl mbos vectores. Llmmos torsión l función ue relcion el vector norml y l derivd del vector binorml d ~ b ds =~ b (s)= t(s)~n(s) ) t(s)= k ~ b (s)k Un curv es pln si y solo si t(s)=.

10 El triedro de Frenet. En cd punto de l curv tres plnos l crcterizn. Ls ecuciones (diferenciles) de Frenet-Serret definen l curv ue contiene los vectores. ~n ~ b ~t I Plno osculdor (~t,~n) I Plno rectificnte (~t, ~ b) I Plno norml (~n, ~ b) Ecuciones de Frenet-Serret ~t = k~n ~n = t ~ b k~t ~ b = t~n Teorem (Fundmentl de l geometrí) Dds dos funciones reles derivbles en un intervlo bierto I, k(s) > y t(s) eiste un curv prmetrizd regulr por longitud de rco definid en dicho intervlo I ue verific ue su curvtur es k y su torsión es t. Además est curv es únic slvo movimientos rígidos en el espcio. El triedro de Frenet en un prmetrizción rbitrri Si : I! R 3 es un curv prmetrizd, entonces: I ~t = 1 k k I k = k ^ k k k 3 I ~ b = ^ k ^ k I ~n = ~ b ^~t = ( ^ ) ^ k( ^ ) ^ k I t = h ^, i k ^ k 2 = det(,, ) k ^ k 2 Pr curvs plns... Si (t)=((s), y(s)) (no necesrimente prmetrizd por longitud de rco) tenemos: k = y y k k 3 = y y ( ) 2 +(y ) 2 3 2

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