el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. 1

Transcripción

1 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. VECTORES.- LOS EJES CARTESIANOS Y EL ORIGEN El eje horizontal se llama eje de abscisas y el eje vertical se llama eje de ordenadas. El punto de corte de los ejes se llama origen. COORDENADAS DE LOS PUNTOS DEL PLANO Las coordenadas de un punto del plano vienen dadas por un par ordenado de números. La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas; se llama abscisa del punto. La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas y se llama ordenada del punto..- DEFINICION DE VECTORES Un vector fijo de origen A y extremo B, es un segmento orientado caracterizado por: - Dirección o recta que lo contiene. - Sentido u orientación de la recta. - Módulo o longitud del segmento correspondiente. VECTOR LIBRE Todos los vectores que tienen la misma longitud, la misma dirección y el mismo sentido, se llaman vectores equipolentes. Todos los vectores equipolentes entre sí representan el mismo vector, que llamaremos vector libre. Las coordenadas de un vector libre son las de uno cualquiera de sus representantes vectores fijos. El módulo de un vector libre es el de uno cualquiera de sus representantes vectores fijos. COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO Llamamos coordenadas de un vector fijo AB, de origen A y extremo a,b B a,b, a los números que se obtienen al restar las coordenadas del extremo menos las del origen: AB a a, b b Se llama vector nulo al vector que tiene su origen y su extremo en el mismo punto. Por tanto, sus coordenadas son nulas. MÓDULO DE UN VECTOR FIJO Si A(a, b ) y B(a, b ) son las coordenadas de los puntos A y B, entonces las coordenadas del vector AB son: AB a a, b b. El módulo de un vector fijo AB a a, b b es la distancia entre el origen A a, b ) y el extremo B a, b ). Utilizando el teorema de Pitágoras: ( AB ( a a b b El módulo de un vector es siempre un número positivo o nulo. d A, B AB a a b b

2 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. ARGUMENTO DE UN VECTOR FIJO El argumento de un vector es el ángulo que éste forma con la horizontal:.- OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES tg b a b a PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR Dado un vector libre u y un número real no nulo k, se llama producto de un número real por un vector y se designa por k u al vector que tiene: t u t a, t b - módulo: k u. - dirección: la dirección del vector u. - sentido: el mismo que u, si k es positivo. el opuesto de u,si k es negativo SUMA DE VECTORES Para sumar dos vectores u y v geométricamente, se sitúa un representante de v con su origen sobre el extremo de un representante de u. El vector suma de ambos es el que tiene el origen de u y el extremo de v. Suma de dos vectores analíticamente: la suma de dos vectores u y v de componentes u a,b y v es otro vector de componentes: u v a a b. a,b RESTA DE VECTORES, b Para restar dos vectores se suma el primero con el opuesto del segundo. 4.- COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dados dos vectores: y, y dos números: a y b, el vector se dice que es una combinación lineal de y. Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección. Esta combinación lineal es única.

3 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. Dados los vectores, halla el vector combinación lineal El vector, se puede expresar como combinación lineal de los vectores? Dos vectores y con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos. Las coordenadas del vector respecto a la base son: Los dos vectores que forman una base no pueden ser paralelos. Ejemplos: Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

4 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. 4 Sean los vectores libres = (, ), = (, 4) y = (5, 6). Determina: Si forman una base y. Expresa como combinación lineal de los de la base: 5.- COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO De la figura se tiene: m a AM a AB a b a a b Sustituyendo las coordenadas en la expresión anterior, se tiene: a a x b m ; b y m Consideremos el segmento de extremos A(x, y ) y B(x, y ); sea M x m, y m su punto medio, entonces se verifica que: AM MB AB Las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen como semisuma de las coordenadas de los extremos.

5 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. 5 Dividir un segmento en tres partes iguales: Las coordenadas de los puntos M y M que dividen al segmento AB en tres partes iguales se calculan: M A AB y M A AB 6.- VECTORES PARALELOS. u a,b y Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección. En coordenadas, dos vectores v a,b son paralelos cuando sus componentes son proporcionales: v u u. v Condición para que tres puntos estén alineados: Los puntos A(x, y ), B(x, y ) y C(x, y ) están alineados siempre que los vectores AB y AC tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales: x x y y x x y y 7.- VECTORES PERPENDICULARES Dos vectores son perpendiculares cuando sus direcciones forman un ángulo recto. En general, dado un vector u a, b, un vector perpendicular será v b, a.