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1 Tema - MATEMÁTICAS FINANCIERAS Materal realzado por J. Davd Moreno y María Gutérrez Unversdad Carlos III de Madrd Asgnatura: Economía Fnancera Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez

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3 Tema - MATEMÁTICAS FINANCIERAS Esquema del Tema. EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS Concepto de Interés Captalzacón smple Captalzacón compuesta Valor actual y valor futuro 2. VALOR ACTUAL DE FLUJOS DE TESORERÍA MULTIPLES Valor actual de una anualdad Valor actual de una perpetudad 3. OPERACIONES DE PRÉSTAMOS Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 3

4 Tema - MATEMÁTICAS FINANCIERAS - Objetvos del tema Aprender que el dnero tene un valor temporal Entender qué es el tpo de nterés smple y compuesto, y cómo utlzarlos. Conocer cómo se calcula el valor actual y valor futuro de una determnada cuantía monetara en un momento temporal. Conocer las fórmulas que permten calcular de forma smplfcada el valor actual de una anualdad y de una renta perpetua. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 4

5 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS Para empezar debemos pensar s valen lo msmo hoy o dentro de 0 años. O tambén podemos preguntarnos a cuantos euros estamos dspuestos a renuncar por cobrar esa cantdad de hoy en vez de dentro de 0 años. Todos prefermos recbr esa cantdad monetara hoy a dentro de 0 años porque: S la recbo hoy puedo nvertrla en algún actvo sn resgo y recbr una cantdad mayor dentro de 0 años. S no la cobro hoy, y la voy a cobrar dentro de 0 años exste el resgo de que fnalmente no me la paguen (bancarrota, muerte ) Resgo de nflacón Por tanto, seguramente estamos dspuestos a recbr solo o por cobrar esa cantdad hoy en vez de dentro de 0 años. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 5

6 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS Así, hemos vsto como EL DINERO TIENE UN VALOR TEMPORAL. Por tanto, no es lo msmo hoy que dentro de un año, y necestamos comparar esas dos cantdades en el msmo momento temporal. Esto debe ser conocdo amplamente por el Drector Fnancero (DF) de una empresa. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 6

7 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS El VALOR FUTURO DE UNA INVERSIÓN es la cantdad a la que crecerá una nversón después de añadrle los ntereses. Vamos ahora a analzar cómo pueden ser esos ntereses. INTERÉS: El nterés es la recompensa que recbe el prestamsta t (quen presta el dnero) porque : No puede dsponer de ese captal durante la vda del préstamo Está correndo el resgo de que el prestataro no le devuelva el dnero. Vamos a ver la dferenca entre nterés smple y compuesto, y el cálculo l del valor futuro en cada caso. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 7

8 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS. CAPITALIZACIÓN SIMPLE: En una nversón a captalzacón smple el pago de ntereses se calcula como una proporcón constante de la cantdad nvertda. A esta proporcón se le denomna tpo de nterés nomnal En este caso los ntereses se calculan solo sobre la nversón ncal pero no sobre los ntereses devengados durante la vda de la nversón. El pago de ntereses cada año es gual a C 0. La cantdad total de ntereses pagada durante una nversón de t años será... C0 C0... C0 tc0 Así el Valor Futuro será: C t C0 Intereses C0 tc0 C0( t) Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 8

9 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS Ejemplo: Suponer que el DF de una empresa tene un excedente de tesorería de 2 mllones de euros y decde nvertrlos durante año en un FIAMM que le pagará un tpo de nterés nomnal del 5% anual. Determne el valor de los ntereses y el valor fnal de esta nversón dentro de un año. 2mll (+0.05)= Y s el FIAMM se mantene dos años (suponendo captalzacón smple) 2mll (+0.05*2)= Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 9

10 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS Interés smple fracconado: se defne como el equvalente del nterés smple anual de referenca (). Sería cuando los pagos de ntereses se realzan al fnal de cada semestre o de cada mes. Es ndferente pagar uno u otro pues el montante fnal a pagar es el msmo El tpo de nterés smple fracconado se calcula l como: /m. Donde m es número de veces que se pagan ntereses al año. Provene de: I=nC=nm*C y esto mplca * =/m Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 0

11 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA: Es el nterés ganado sobre el captal ncal y sobre los ntereses que se van devengando durante ese perodo. En una nversón a tpo de nterés compuesto los ntereses devengados son renvertdos para obtener más ntereses En la sguente tabla se muestra cómo evoluconan los ntereses en una nversón de n años a nterés compuesto: Año Captal al prncpo del año Intereses devengados durante el año C 0 C 0. 2 C 0 +C 0. =C 0. (+) C 0. (+). 3 C 0. (+)+ C 0. (+). =C 0. (+) 2 C 0. (+) 2. n C 0. (+) n- C 0. (+) n-. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez

12 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS De esta forma, el montante al fnal del año n será: C ) n n n n C 0 ( ) C 0( ) C 0( ) Así, la fórmula para calcular el VALOR FUTURO de una nversón a nterés compuesto durante n años es n C n C0( ) (+) n Se le denomna como factor de captalzacón. Y es la cantdad fnal que recbmos al prestar euro hoy hasta dentro de n años. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 2

13 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS A partr de la fórmula anteror se puede calcular el VALOR ACTUAL de una nversón a nterés compuesto a n años: C 0 C n ( ) n Se le denomna factor de descuento a /(+) n. Y se corresponde con el valor actual de recbdo dentro de n años. S multplcamos el factor de descuento por la una cantdad monetara obtenemos el valor actual de esa cuantía. (+) -n debe ser sempre una cantdad menor que la undad para que se cumpla la ley del valor del dnero. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 3

14 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS Ejemplo: Supongamos que el DF de una empresa debe decdr entre dos proyectos de nversón con el msmo coste ncal pero con dferentes flujos de caja futuros. El proyecto ASIRIS le reportará un benefco de dentro de 5 años y el proyecto GARCA un benefco de.900 dentro de 7 años. S el tpo de nterés compuesto de referenca para esta empresa es del 6,5% determne qué proyecto debe elegr. Solucón: Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 4

15 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS Tpo de nterés compuesto fracconado (semestral, trmestral, mensual, ) : Queremos calcular el tpo de nterés equvalente (mensual, semestral,...) a un tpo de nterés nomnal anual (), y poder después trabajar con perodos mensuales, semestrales. La dea es que debemos encontrar un tpo de nterés equvalente que de el msmo resultados en una nversón a un año al tpo de nterés nomnal, que en una nversón en dos semestres a su tpo de nterés equvalente semestral. Así: C n 0( ) C0( m ). n. m Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 5

16 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS Ejemplo: Determne el tpo de nterés equvalente mensual de un tpo de nterés en captalzacón compuesta anual del 8%. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 6

17 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS Podemos suponer que el número de subperodos en los que se dvde el año muy elevado, y por tanto, que se devengan ntereses de forma contnua en el tempo. En este caso el factor de captalzacón es gual a: lm m ( m n * m Donde es el tpo de nterés nomnal anual con captalzacón contnua, m es el tpo de nterés equvalente cuando se captalza m veces al año y n es el número de años que se mantene la nversón. ) e * * n Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 7

18 - EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERÉS Ejemplo: Supongamos que el tpo compuesto con captalzacón contnua es del 8%. Calcular el valor actual de un pago de que se dará dentro de 2 años. Solucón: Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 8

19 2- VALOR ACTUAL DE FLUJOS DE TESORERÍA MÚLTIPLES Generalmente en una nversón no exste un únco pago, sno que exsten más. Estos pagos o flujos de caja pueden ser: crecente, decrecentes, constantes o aleatoros. El valor actual total de una sere de pagos en dferentes momentos temporales, tenemos que calcular el valor actual de cada uno de ellos y luego sumarlos. VA VA ( FC ) VA ( FC )... VA ( FC FC (+ ) FC (+ ) FC (+ ) n n n ) Exsten algunos casos especales donde podemos calcular fórmulas más sencllas para el cálculo del valor actual de pagos múltples. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 9

20 2. Valoracón de anualdades Denomnamos anualdad a una sere de pagos peródcos (A, A 2, A N ) crecentes hasta vencmento según una regla A t =A t- (+f). El valor actual de una anualdad será: V 2 3 N 0 A ( ) A2 ( ) A3 ( )... A N ( ) V 0 A ( ) A ( f )( ) 2 A ( f ) 2 ( ) 3... A ( f ) N ( ) N V 2 2 N ( N ) 0 A ( ) ( f )( ) ( f ) ( )... ( f ) ( ) El trata de la suma de una sere geométrca Sere de N elementos tales que el elemento jotaésmo es gual al elemento j- multplcado por una constante o razón q<, sendo el prmer elemento el uno.) Sendo la constante en este caso q= (+f)(+) ) N V0 A ( ) q q q... q Qué ocurre s q>? 20 Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 20

21 2.4 Valoracón de anualdades Sumar una sere geométrca de N elementos es muy sencllo: sólo tenemos que multplcar la suma orgnal por la razón y sustraer de la suma orgnal esta suma modfcada. d S q q qs q q 2 2 q q S qs q N q... q N N S q q N 2 Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 2

22 2.4 Valoracón de anualdades Ejemplo: Cuánto vale la suma de la sere geométrca de5 elementos, devalor ncal y razón 3/4? Y s la sere tuvese nfntos elementos? Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 22

23 Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez Valoracón de anualdades La fórmula general para calcular el valor actual de una anualdad es: q q q q A V N... ) ( q q A V q q q q A V N N ) (... ) ( 0 0 f f A V N ) ( 0 f f A V N N ) ( ) ( 0 23

24 2.4 Valoracón de anualdades Ejemplo: S el tpo de nterés es del 5%, calcular el valor actual de una renta anual que crece un 3% cada año, s el prmer pago de 000 euros se produce dentro de un año y tene una duracón total de 0 años. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 24

25 2.4 Valoracón de anualdades Esta fórmula se smplfca mucho para casos partculares como por ejemplo: Anualdad constante y perpetua: Anualdad constante: A V 0 ( ) V0 A N Tambén es fácl calcular el valor fnal de una anualdad: V V N N V 0 ( ) A N ( ) ( f N f ) N Ejemplo: S el tpo de nterés es del 3%, calcular el valor actual de una renta anual constante, s el prmer pago de 500 euros se produce dentro de un año y la duracón total de 20 años. 25 Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 25

26 3 Amortzacón de préstamos Hasta ahora hemos hablado cas sempre de depóstos. Podemos entender un depósto tambén como un préstamo que le hacemos al banco. En general un préstamo es un contrato por el cual: Un agente (prestataro o deudor) obtene durante un determnado perodo de tempo la dsposcón de un captal pertenecente a otro agente (prestamsta o acreedor), quedando oblgado el agente que dspondrá del captal a devolver al fnal del perodo el captal más unos ntereses. Cuando se debe pagar o amortzar un préstamo es frecuente que el captal prestado ncalmente se vaya pagando o amortzando durante la vda del msmo, y no sólo en la fecha fnal de vencmento. En general podemos dstngur entre dos tpos de prestamos: Con cuotas de amortzacón constantes Con anualdades constantes Un ejemplo son las típcas hpotecas (EURIBOR+spread) Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 26

27 3 Amortzacón de préstamos. Prestamos con cuotas de amortzacón constantes: En cada perodo se amortza la msma cantdad del captal total. Vamos a realzar el cuadro de amortzacón de un préstamos de euros al 6% de nterés compuesto anual y que se va a amortzar en 5 cuotas anuales. Como la cuota de amortzacón es constante, esta será gual a: 0.000/5=2000. Lo prmero que rellenamos en el cuadro de amortzacón será la cuota de amortzacón, después el total amortzado, luego el captal por amortzar. Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 27

28 3 Amortzacón de préstamos Año Anualdad Intereses Cuota de amortzacón Total Amortzado Captal por amortzar Paso 5: Cuota de Amortzacón + Cuota de ntereses = = = Paso 4: (Captal por amortzar)* = = * 0.06 = 600 Paso Paso 2 Paso 3 Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 28

29 3 Amortzacón de préstamos Prestamos con anualdades constantes: En este caso, cada año la cuota total pagada debe ser constante. Es decr, que la cuota de amortzacón del prncpal más los ntereses deben ser constantes en el tempo. Lo prmero que debemos calcular es la cuota constante que se va a pagar cada año. Para ello debemos gualar el valor actual de todos los pagos que realza el prestataro a la cantdad ncalmente prestada por el prestamsta (recordar como hemos calculado el valor de una anualdad constante):, ( ) Captal ncal C En el ejemplo, anteror sería: ( 0.06) 06) C T C Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 29

30 3 Amortzacón de préstamos A contnuacón vamos a desarrollar el cuadro de amortzacón de este préstamo con cuotas constantes. Lo prmero que rellenamos es la columna de las anualdades constantes. Luego los ntereses (Captal por amortzar * ) Después la cuota de amortzacón (Cuota anual Intereses) Después calculamos el captal por amortzar (Captal ncal Captal total amortzado) Et Este proceso se calcula l para cada año del dlpréstamo. ét Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 30

31 3 Amortzacón de préstamos Año Anualdad Intereses Cuota de amortzacón Total Amortzado Captal por amortzar , , , , , , , , Paso Paso 4: Paso 2: (Captal por amortzar)* = = * 0.06 = 600 Paso 3: Cuota anual - Intereses = = =.774 Paso 5: Captal por amortzar (t-) Cuota de amortzacón Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 3

32 Bblografía. Grnblatt, M. y S.Ttman, Mercados Fnanceros y Estratega Empresaral, McGraw-Hll TEMA 9 2. Brealey, R., S. Myers y Allen, Prncpos de Fnanzas Corporatvas 8ª edcón, Mcgraw-Hll 2006 TEMA 3 3. Navarro, E. y Nave, J., Fundamentos de Matemátcas Fnanceras, Anton Bosch Edtor, SA. 200 TEMAS y Apuntes realzados por J. Davd Moreno y María Gutérrez 32

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