Sintonización de controladores por ubicación de polos y ceros

Transcripción

1 Sintonización de controladores por ubicación de polos y ceros Leonardo J. Marín, Víctor M. Alfaro Departamento de Automática, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica Apartado postal -, 6 UCR, San José, Costa Rica {leomarin, valfaro}@eie.ucr.ac.cr Resumen Se presenta el método de sintonización por ubicación de polos y ceros, el cual permite calcular los parámetros de los controladores PI y PID para procesos de primer y segundo orden, de manera de logar una respuesta del servo control con las características dinámicas deseadas. La efectividad del procedimiento propuesto se compara con la del método tradicional de ubicación de polos, utilizando varios ejemplos. Index Terms ubicación de polos, sintonización, controladores PID I. INTRODUCCIÓN Un procedimiento utilizado en la sintonización de los controladores PID para procesos simples, consiste en la localización de los polos de lazo cerrado en una posición especifica, procedimiento que se conoce normalmente como método de ubicación de polos de Persson [] y popularizado por Aström y Hägglund []. Si bien los parámetros del controlador determinados con este procedimiento, garantizan lograr la ubicación deseada de los polos de lazo cerrado, esta no puede asociarse directamente con las características dinámicas de la respuesta del sistema de control, por no tomar en consideración la posición resultante de los ceros del controlador. Se supondrá en adelante el lazo de control mostrado en la Fig., en donde G p (s) es la función de transferencia del proceso controlado y G c (s) la del controlador. En este sistema las entradas son el valor deseado r(s) y la perturbación z(s), y la salida la variable controlada y(s). Se presentará más adelante un procedimiento sistemático para la sintonización de los controladores PI y PID para el control de procesos de primer y segundo orden, que contempla la influencia de los ceros del controlador sobre la respuesta del sistema de control, denominado método de sintonización de controladores por ubicación de polos y ceros, el cual tiene como base el procedimiento desarrollado por Marín [3]. II. MÉTODO DE UBICACIÓN DE POLOS A continuación se presentan en forma resumida las ecuaciones para la determinación de los parámetros de los controladores PI y PID, necesarios para ubicar los polos de lazo cerrado en una posición determinada. II-A. Proceso de primer orden, controlador PI Si un proceso de primer orden dado por la función de transferencia G p (s) = () τs + Figura. Sistema de control realimentado se controla con un controlador PI ( G c (s) = K c + ) T i s la función de transferencia de lazo cerrado del servo control está dada por la expresión M yr (s) = y(s) r(s) = K c (T i s + ) T i τs + T i ( + K c )s + K c (3) siendo el polinomio característico del sistema de control ( ) + p(s) = s Kc + s + K c τ T i τ Si se desea que este sea de la forma general () (4) p(s) = s + ζω n s + ω n () de manera que los polos de lazo cerrado se encuentren localizados en λ, = ζω n ± jω n ζ (6) igualando (4) y (), se obtiene que los parámetros requeridos del controlador son K c = ζω nτ (7) T i = ζω nτ ω nτ Con estos parámetros en el controlador, la función de transferencia de lazo cerrado resultantes es M yr (s) = (ζω n /τ)s + ω n s + ζω n s + ω n El sistema de control obtenido tiene los polos en la posición especificada y un cero en s = ω n/(ζω n /τ). (8) (9)

2 IEEE CONESCAPAN XXVI, -4 setiembre, 7, San José, Costa Rica II-B. Proceso de segundo orden, controlador PID Si un proceso de segundo orden dado por la función de transferencia G p (s) = (τ s + )(τ s + ) = (τs + )(aτs + ) () donde τ > τ, τ = τ y a = τ /τ, se controla con un controlador PID ( G c (s) = K c + ) T i s + T ds () el polinomio característico del sistema de control sería en este caso ( ) ( ) p(s) = s 3 τ + τ + K c T d + + s Kc + s+ K c τ τ τ τ τ τ T i () Si se desea que este tenga la forma general p(s) = (s + αω n )(s + ζω n s + ω n) (3) de manera que los polos de lazo cerrado se encuentren localizados en λ, = ζω n ± jω n ζ (4) λ 3 = αω n () igualando () y (3), se obtiene que los parámetros requeridos del controlador son: K c = τ τ ω n( + αζ) (6) T i = τ τ ω n( + αζ) τ τ αω 3 n T d = τ τ ω n (α + ζ) τ τ τ τ ω n( + αζ) (7) (8) La función de transferencia de lazo cerrado del servo control tendrá ahora tres polos y dos ceros. III. MÉTODO DE UBICACIÓN DE POLOS Y CEROS Es práctica usual asociar la ubicación de los polos dominantes del sistema de control con las características dinámicas de la respuesta a un cambio escalón en el valor deseado, suponiendo que esta es similar a la de un sistema de segundo orden subamortiguado con ganancia unitaria de la forma ω n M yro (s) = s + ζω n s + ωn En este caso el sobrepaso máximo de la respuesta (9) M p = e πζ/ ζ () depende solamente de la razón de amortiguamiento ζ y el tiempo de asentamiento al % de la constante de amortiguamiento ζω n. t a 4 ζω n () Dcp III-A. 8 ζ =,4 ζ=,4 6 ζ =,4 ζ =, ζ =, 4 ζ =,6 ζ =,6 ζ =,7 ζ =,7 ζ=,6 ζ =,8 ζ =,8 ζ =,9 ζ =,9 ζ=,9 mínimo cero ω * = τ ω n Figura. Distancia entre el cero y el polo vrs ω Proceso de primer orden, controlador PI Para lograr que la respuesta del servo control (3) sea similar a la del sistema de segundo orden (9), la influencia del cero del controlador sobre la respuesta del sistema debe ser mínima. Esto es cierto solo si este cero se encuentra muy alejado hacia la izquierda de los polos dominantes en el plano complejo. Se utilizará la constante de tiempo del proceso τ para normalizar la escala de tiempo del sistema y se emplearán en adelante los siguientes parámetros normalizados: ω = ω n τ () K cn = K c = ζω (3) T in = T i τ = ζω (4) ω III-A. Distancia entre el cero y los polos: La distancia entre el cero del controlador y la parte real de los polos de lazo cerrado, está dada por la expresión D cp = ζω = ω ζω (ζω ) T in ζω () De () se puede obtener que la distancia entre el cero y los polos crece cuando ζω y la influencia del cero disminuye. Como se observa en la Fig., el cero se encuentra alejado solo para valores bajos de ω, por lo que en general no es posible suponer que su influencia es despreciable. III-A. Características de desempeño del sistema de control de lazo cerrado: Para evaluar la influencia del cero del controlador sobre las características dinámicas del sistema de control realimentado, se determinó el sobrepaso máximo M p, el tiempo al que este ocurre o tiempo al pico t p, y el tiempo de asentamiento al % t a, para, ω, y,4 ζ,9. En la Fig. 3 se muestra la variación del sobrepaso máximo M p, el cual, como se aprecia, depende de la razón de amortiguamiento ζ y de la frecuencia natural ω. Además, se puede observar que la influencia de ω es mayor cuando esta tiene valores bajos.

3 IEEE CONESCAPAN XXVI, -4 setiembre, 7, San José, Costa Rica Mp ζ=,4 ζ=, ω * = τ ω n ζ=,9 ζ =,4 ζ =,4 ζ =, ζ =, ζ =,6 ζ =,6 ζ =,7 ζ =,7 ζ =,8 ζ =,8 ζ =,9 ζ =,9 límite Mp ζ=,4 ζ=,6 ζ =,4 ζ =,4 ζ =, ζ =, ζ =,6 ζ =,6 ζ =,7 ζ =,7 ζ =,8 ζ =,8 ζ =,9 ζ =,9. ζ=, t = t /τ pn p Figura 3. Sobrepaso máximo vrs ω Figura. Sobrepaso máximo vrs tiempo al pico Mp ζ=,9 ζ=,6 ζ=,4 ζ =,4 ζ =,4 ζ =, ζ =, ζ =,6 ζ =,6 ζ =,7 ζ =,7 ζ =,8 ζ =,8 ζ =,9 ζ =, t = t / τ an a Figura 4. Sobrepaso máximo vrs tiempo de asentamiento En la Fig. 4 se muestra como se relaciona el sobrepaso máximo M p con el tiempo de asentamiento normalizado t an, y en la Fig. la relación de este con el tiempo al pico normalizado t pn. Las Fig. 3 a se pueden emplear como parte de un procedimiento de diseño de controladores, para lograr un sistema de control con, por ejemplo, un sobrepaso máximo y un tiempo de asentamiento deseados. III-B. Proceso de segundo orden, controlador PID Como se indicó anteriormente, en este caso el sistema de control de lazo cerrado tiene dos ceros y tres polos. Si se escoge en (3) α = τ /(τ ω ) se logra que un cero del controlador cancele el polo real, reduciéndose la función de transferencia de lazo cerrado del control PID de la planta de segundo orden a (9). Los parámetros requeridos del controlador PID son: K cn = K c = ζω + ω a (6) T in = T i τ = ζω + ω a ω (7) IV. T dn = T d τ = ζω a a ζω + ω a PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO (8) A continuación se presentan los pasos a seguir para diseñar los sistemas de control para logar el comportamiento dinámico deseado utilizando el método de ubicación de polos y ceros. IV-A. Proceso de primer orden, controlador PI. Determinar la ganancia y la constante de tiempo τ del proceso controlado. Establecer las especificaciones de diseño: sobrepaso máximo M p y tiempo de asentamiento t a o sobrepaso máximo y tiempo al pico t p. 3. Utilizar las especificaciones de diseño con la Fig. 4 o la Fig. según corresponda, para determinar la razón de amortiguamiento ζ 4. Emplear M p y ζ con la Fig. 3 para obtener la frecuencia natural normalizada ω. Calcular los parámetros del controlador PI (K c, T i ), con (3) y (4) 6. Verificar el cumplimiento de las especificaciones de diseño a partir de la respuesta del sistema de control con los parámetros determinados. IV-B. Proceso de segundo orden, controlador PID. Determinar la ganancia y las constante de tiempo τ y τ del proceso controlado (con τ > τ ). Hacer τ = τ y a = τ /τ 3. Establecer las especificaciones de diseño: sobrepaso máximo M p y tiempo de asentamiento t a o sobrepaso máximo y tiempo al pico t p. 4. Utilizar las especificaciones de diseño con la Fig. 4 o la Fig. según corresponda, para determinar la razón de amortiguamiento ζ. Emplear M p y ζ con la Fig. 3 para obtener la frecuencia natural normalizada ω 6. Calcular los parámetros del controlador PID (K c, T i, T d ), con (6) a (8) 3

4 IEEE CONESCAPAN XXVI, -4 setiembre, 7, San José, Costa Rica 7. Verificar el cumplimiento de las especificaciones de diseño a partir de la respuesta del sistema de control con los parámetros determinados..4. y y V. EJEMPLOS En los siguientes ejemplos, se muestra como es posible lograr el desempeño dinámico deseado del sistema de control con el procedimiento de ubicación de polos y ceros propuesto y la diferencia entre la respuesta lograda con este y la que se obtendría con el método de ubicación de polos tradicional. Ejemplo V.. Considérese un proceso controlado con la función de transferencia G p (s) =,,8s + Se desean determinar los parámetros de un controlador PI de manera que la respuesta del sistema de control a un cambio escalón en el valor deseado tenga un sobrepaso máximo M p = % y un tiempo de asentamiento t a = 3 segundos. Método de ubicación de polos Utilizando () y () se obtiene que la razón de amortiguamiento debería ser ζ =,46 y la frecuencia natural ω n =,64. Empleando (7) y (8) los parámetros del controlador serían K c =,6 T i =,9 y la función de transferencia de lazo cerrado resultante es,7(,9s + ) M yr (s) = s +,s +,7 Esta muestra que el cero del controlador está alejado de los polos de lazo cerrado, por lo que se espera que su influencia en la respuesta del sistema sea despreciable. Método de ubicación de polos y ceros El tiempo de asentamiento normalizado es t an = 3/,8 = 3,7. Si se emplea la Fig. 4 con M p = y t an = 3,7, se selecciona una razón de amortiguamiento ζ =,. Con esta y el sobrepaso máximo, de la Fig. 3 se obtiene que la frecuencia natural normalizada debe ser ω =,. Utilizando (3) y (4), se determina que los parámetros normalizados son K cn =, T in =, de donde se obtienen los parámetros requeridos para la sintonización del controlador K c =, T i =, La función de transferencia de lazo cerrado resultante es M yr (s) =,98(,s + ) s +,8s +,98 En la Fig. 6 se muestran las curvas de respuesta de los dos sistemas. y(t) tiempo (s) Figura 6. Respuestas del ejemplo En este caso, el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento obtenidos con el método de ubicación de polos fueron M p =,33% y t a = 3,9s, y con el controlador determinado mediante la técnica de ubicación de polos y ceros M p = 9,63% y t a =,73s. En ambos casos se logran respuestas con las característcas deseadas. Ejemplo V.. Considérese ahora un proceso diez veces más lento dado por la función de transferencia G p (s) =, 8s + Se desea que la respuesta del sistema de control a un cambio escalón en el valor deseado tenga un sobrepaso máximo M p = % y un tiempo de asentamiento t a = segundos. Método de ubicación de polos De () y () se obtiene que ζ =,9 y ω n =,6 y con (7) y (8) los parámetros K c = 3,47 T i =,7 La función de transferencia de lazo cerrado resultante es M yr (s) =,3(,7s + ) s +,67s +,3 En este caso el cero del controlador se encuentra relativamente cerca de los polos de lazo cerrado, por lo que se puede esperar que influya sobre las características de la respuesta del sistema. Método de ubicación de polos y ceros Para este caso el tiempo de asentamiento normalizado es t an =,. Si se emplea la Fig. 4 con este tiempo y M p = se puede seleccionar ζ =,8. Con esta y M p = de la Fig. 3 se obtiene ω = 3,. Utilizando (3) y (4), se obtiene que los parámetros del controlador son y K cn = 4, T in =,4 K c = 3,3 T i = 3, 4

5 IEEE CONESCAPAN XXVI, -4 setiembre, 7, San José, Costa Rica.4. y y.4. y y.8.8 y(t) y(t) tiempo (s) tiempo (s) Figura 7. Respuestas del ejemplo Figura 8. Respuestas del ejemplo 3 En este caso la función de transferencia de lazo cerrado resultante es,6(3,s + ) M yr (s) = s +,64s +,6 En la Fig. 7 se muestran las curvas de respuesta de los dos sistemas. Ahora, el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento obtenidos con el método de ubicación de polos fueron M p = 9,3% y t a = 8,66s, y con el controlador determinado mediante la técnica de ubicación de polos y ceros M p =,% y t a =,s. En este caso, solo la respuesta obtenida con el procedimiento de diseño propuesto, cumple con las especificaciones de diseño. Ejemplo V.3. Se empelará ahora un controlador PID para controlar un proceso cuya función de transferencia es G p (s) = (s + )(s + ) Se desea que la respuesta del sistema de control a un cambio escalón en el valor deseado tenga un sobrepaso máximo M p = % y un tiempo de asentamiento t a = segundos. Método de ubicación de polos De () y () se obtiene que los polos dominantes deben tener una razón de amortiguamiento ζ =,7 y una frecuencia natural ω n =,774. Para la ubicación del polo real se selecciona α =. Entre mayor sea α, menor será la influencia de este tercer polo, sin embargo como se ve en (6) la ganancia del controlador aumenta y por lo tanto también el cambio en la salida del controlador cuando se varíe el valor deseado. Empleando (6) a (8) se obtienen los parámetros requeridos del controlador K c =,9 T i =, T d =,37 y la función de transferencia de lazo cerrado resultante es M yr (s) = 4,s +,8s +,9,98s 3 + 7,9s + 3,38s +,9 Método de ubicación de polos y ceros Para este caso el tiempo de asentamiento normalizado es t an =,. Si se emplea la Fig. 4 con este tiempo y M p = % se puede seleccionar ζ =,6. Con esta razón de amortiguamiento y M p = % de la Fig. 3 se obtiene ω = 3,. Utilizando (6) a (8), se obtiene que los parámetros del controlador deben ser y K cn = 4,7 T in =, T dn =, K c = 4,7 T i =,6 T d =,6 En este caso la función de transferencia de lazo cerrado resultante es M yr (s) = 7,7s,7s + 4,7 3,6s 3 + 3,4s + 4,88s + 4,7 En la Fig. 8 se muestran las curvas de respuesta de los dos sistemas. Con el método de ubicación de ceros y polos se obtiene una respuesta con un sobrepaso M p = 4,4% y un tiempo de asentamiento t a = 8,37s cumpliéndose con las especificaciones, mientras que con el método de ubicación de polos tradicional la respuesta tiene un sobrepaso M p = 4,%, el cual excede el valor especificado en un 9%, y un tiempo de asentamiento t a = s. Si en el método de ubicación de polos se trata de disminuir la influencia del polo real, utilizando por ejemplo α =,6, el valor de la ganancia del controlador se eleva a K c =,4 con lo que se duplicaría el cambio escalón que se produce en

6 IEEE CONESCAPAN XXVI, -4 setiembre, 7, San José, Costa Rica la señal de salida del controlador cuando se cambie el valor deseado, pudiendo llevarse el elemento final de control a una posición extrema. VI. CONCLUSIONES El método tradicional de sintonización de controladores por ubicación de los polos del sistema de control de lazo cerrado, permite localizarlos en la posición deseada. Sin embargo, esta posición no puede asociarse directamente con las características dinámicas de la respuesta del sistema, ya que no considera la influencia de los ceros del controlador. El método de ubicación de polos y ceros propuesto, al tomar en cuenta la influencia de los ceros del controlador, relaciona la ubicación requerida de los polos y ceros del sistema de control con las características dinámicas de su respuesta. El nuevo procedimiento determina los parámetros requeridos de los controladores PI y PID, para controlar procesos de primer y segundo orden, de manera de lograr que la respuesta del sistema de control a un cambio escalón en el valor deseado (servo control) cumpla con las especificaciones de diseño. La distancia ente el cero y los polos de lazo cerrado mostrada en la Fig., es una indicación de su influencia sobre la respuesta. Cuando esta distancia es grande, la influencia del cero es baja y el método de ubicación de polos tradicional permite obtener resultados satisfactorios. Sin embargo, cuando esta es pequeña, la influencia del cero es grande y no puede despreciarse. Por esta razón el procedimiento de ubicación de polos no permite obtener una respuesta con las características deseadas. En el procedimiento de sintonización propuesto, las Fig. 3 a muestran la relación de las especificaciones de diseño (M p, T a y T p ) con la ubicación requerida de los polos y ceros del sistema (ω n, ζ). Los ejemplos presentados ilustran claramente las ventajas de utilizar el procedimiento de ubicación de polos y ceros de lazo cerrado propuesto, en vez del método tradicional que solamente ubica los polos. Nota: Copias ampliadas de las curvas para el diseño mediante el procedimiento de ubicación de polos y ceros (Fig. 3 a ), se pueden obtener directamente de los autores. REFERENCIAS [] P. Persson, Towards autonomous pid control, Ph.D. dissertation, Department of Automatic Control, Lund Institute of Technology, 99. [] K. J. Aström and T. Hägglund, PID Controllers - Theory, Design and Tuning. Instrumentation Society of America, 99. [3] L. J. Marín, Método de ubicación de polos y ceros para la sintonización de controladores PID. Proyecto Eléctrico (Bachillerato), Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica,. 6