Fracciones parciales

Transcripción

1 Fraccioes parciales Ua fució racioal puede ser llevada a otra equivalete depediedo del divisor 0de la misma, de tal modo que el divisor puede presetar térmios que permita factorizarlo atediedo a : a) Factores lieales distitos. b) Factores lieales repetidos o iguales. c) Factores cuadráticos distitos. d) Factores cuadráticos repetidos. Cada caso de los idicados permite formar ua fracció racioal equivalete a la dada del modo siguiete: a) Factores lieales distitos. O sea que: a b a b a b... a b a b a b a b... a. b Vamos a formar varias fraccioes, ua para cada factor distito de de la fracció tedrá ua costate a determiar: A,B,C,,N A B C N... a b a b a b a b I. El umerador Multiplicado la epresió aterior por el míimo comú múltiplo a b a b. a b... a b formamos ua epresió si deomiadores: Aa b a b... a b Ba b a b... a b C a b a b... a b N a b a b a b... a b +. E éste caso, determiamos A, B, C,, N mediate igualdad de poliomios, previa multiplicació de los biomios idicados. odemos utilizar la parte derecha A B C N de la fució racioal I :... como a b a b a b a b equivalete de la dada. Fraccioes arciales. RCDO & TAMD Eero del 0

2 b) Factores lieales repetidos. a b a b a b... a b a b a b a b... a b a b Formamos varias fraccioes, ua para cada factor de fracció tedrá ua costate a determiar: A,B,C,,N A B C N... I a b ( a b) ( a b) ( a b). El umerador de la Multiplicado la epresió aterior por el míimo comú múltiplo formamos ua epresió si deomiadores: a b A a b B a b Ca b... N E la epresió aterior, determiamos A,B, C,, N mediate igualdad de poliomios, previo desarrollo de los biomios. Ahora podemos utilizar la parte derecha de la fució racioal I como equivalete de la dada. c) Factores cuadráticos distitos. Ahora: a b c a b c a b c a b c... a b c a b c a b c... a b c Formamos varias fraccioes, ua para cada factor de. El umerador de la fracció tedrá dos costates a determiar: A,B,C,,N, M A B a b c C D a b c E F a b c... N M a b c Fraccioes arciales. RCDO & TAMD Eero del 0

3 Multiplicado la epresió aterior por el míimo comú múltiplo a b c a b c a b c... a b c formamos ua epresió si deomiadores: A B a b c a b c... a b c C D a b c a b c... a b c E F a b c a b c... a b c + N M a b c a b c... a ( ) b( ) c Ecotramos A,B, C,, N,M mediate igualdad de poliomios, previa multiplicació de los factores plateados e (). Ahora podemos utilizar la parte derecha de la fució racioal I como equivalete de la dada. d) Factores cuadráticos repetidos. a b c a b c a b c a b c... Siedo: a b c a b c a b c... a b c b c a Formamos varias fraccioes, ua para cada factor de. El umerador de la fracció tedrá dos costates a determiar: A,B,C,,N, M A B a b c C D a b c a E F b c... a N M b Multiplicado la epresió aterior por el míimo comú múltiplo a b c a b c a b c... a b c a b c formamos ua epresió si deomiadores: () (A+B) b c + + (N+M) a (C+D) b c c a (E+F)a b c I Hallamos A,B, C,, N,M mediate igualdad de poliomios, previo desarrollo de los factores idicados. Utilizamos la parte derecha de la fució racioal I como equivalete de la epresió dada. Fraccioes arciales. RCDO & TAMD Eero del 0

4 Ejemplos de Fraccioes arciales rimer Caso. Factores de primer grado distitos. 5 Sea la fució racioal Esta fució racioal puede ser llevada a otra equivalete, depediedo del divisor 0 de la misma, de tal modo que el divisor preseta dos factores lieales distitos y. A partir de la fracció dada podemos costruir dos fraccioes cuya suma 5 A B sea equivalete a la fracció coocida: 5 A B Multiplicado ésta ecuació por el míimo comú múltiplo, teemos: 5 A B Multiplicado a la derecha de la igualdad os queda: 5 A A B B Asociado e la derecha los térmios semejates: 5 A B A B Igualado los térmios semejates: E : 5 A B ( I ) Térmios idepedietes: - - A + B ( II ) De I Dividiedo etre la epresió: 5 A + B ( I ) - - A + B ( II ) Resolviedo simultáeamete las ecuacioes I y II mediate reducció: Multiplicado la ecuació I por : 5 A+ B - -A+ B Sumado las dos ecuacioes ateriores 4B B B 4 Sustituyedo B e la ecuació I: 5 A + A 5- A Co los valores de A, B ecotrados teemos: 5 La suma de las dos fraccioes de la derecha so equivaletes a la fracció iicial coocida. Fraccioes arciales. RCDO & TAMD Eero del 0 4

5 Segudo Caso. Factores de primer grado repetidos. 6 7 Sea la fució racioal Esta fució racioal puede ser llevada a otra equivalete depediedo del divisor 0de la misma, de tal modo que el divisor preseta dos factores lieales iguales. 6 7 A partir de la fracció dada podemos costruir dos fraccioes cuya suma sea equivalete a la fracció coocida : A B 6 7 A B Multiplicado ésta ecuació por el míimo comú múltiplo, teemos: 6 7 A B Multiplicado a la derecha de la igualdad os queda: 6 7 A (A B) Igualado térmios semejates: E : 6 A Dividiedo etre, teemos que : A 6 Térmios idepedietes: 7 A B 7 (6) +B Despejado B: B B 5 Sustituyedo los valores de A y B e la fracció iicial: La suma de las dos fraccioes de la derecha so equivaletes a la fracció iicial coocida. Fraccioes arciales. RCDO & TAMD Eero del 0 5

6 Tercer Caso. Factores de segudo grado distitos. Sea la fució racioal Esta fució racioal puede ser llevada a otra equivalete depediedo del divisor 0 de la misma, de tal modo que el divisor preseta dos factores de segudo grado diferetes. A partir de la fracció dada podemos costruir dos fraccioes cuya suma sea equivalete a la fracció coocida : A B C D comú múltiplo, A B C Teemos: A B C D Multiplicado a la derecha de la igualdad os queda: A A B B C C D D Multiplicado ésta ecuació por el míimo D Factorizado a la derecha de la igualdad: ( A C) ( B D) (A C) (B D) Igualado térmios semejates: E : ( A C) Dividiedo etre, teemos que : A + C E : ( B D) Dividiedo etre, teemos que : B + D (II) E : (A C) Dividiedo etre, teemos que : A + C (III) Térmios idepedietes: (B D) o sea que: B + D (IV) Resolviedo simultáeamete las ecuacioes I, II, III, IV : De I: A + C multiplicado por - - -A - C Sumado co III: A + C A A Sustituyedo A e I teemos que + C por tato C 0 Seleccioado ahora las ecuacioes II y IV B + D multiplicado por - - -B - D Sumado co IV: B + D 0 B por tato B 0 (I) Fraccioes arciales. RCDO & TAMD Eero del 0 6

7 7 E la Ecuació II ecotramos a D: B+ D 0 + D D Sustituyedo los valores de A, B, C, D e la fracció iicial: (0) 0 () Efectuado la operació e la epresió de la derecha os queda: La suma de las dos fraccioes de la derecha so equivaletes a la fracció iicial coocida. Fraccioes arciales. RCDO & TAMD Eero del 0

8 Cuarto Caso. Factores de segudo grado repetidos. Sea la fució racioal 9 9 Esta fució racioal puede ser llevada a otra equivalete depediedo del divisor 0de la misma, de tal modo que el divisor preseta dos factores de segudo grado repetidos 9 9. A partir de la fracció dada 9 podemos costruir dos fraccioes cuya suma 9 sea equivalete a la fracció coocida : 9 A B C D A B C D 9 9 Multiplicado la ecuació aterior por el míimo comú múltiplo teemos: 9 A B 9 C D 9 A 9A B 9B C D Completado el poliomio de tercer grado e la derecha y factorizado los térmios semejates a la izquierda: 0 9 A B (9A C) (9B D) Igualado térmios semejates. E : 0 A A 0 E : B B E : ( 9A C) - 9 A + C - 9(0) + C C - Térmios idepedietes: 9 9B + D 9 9() + D D 0 E la epresió: 9 9 Sustituyedo A, B, C y D teemos: 9 9 A B C D 9 9 (0) ( ) Efectuado la operació e la epresió de la derecha os queda: La suma de las dos fraccioes de la derecha so equivaletes a la fracció iicial coocida. 9 Fraccioes arciales. RCDO & TAMD Eero del 0 8