PERÍMETROS ÁREAS - VOLÚMENES

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1 ERÍMETROS ÁREAS - VOLÚMENES 1.- OLÍGONOS olígono: arte del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Lado: Segmento que une dos vértices consecutivos. En un polígono el número de lados y el número de vértices es el mismo. Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos. El número de diagonales de un polígono se puede calcular mediante la n (n ) fórmula: D Ángulo interior: Es el formado por dos lados consecutivos. La suma de todos ellos se calcula mediante la expresión: 180 (n ) Ángulo exterior: Es el formado por un lado y la prolongación de otro consecutivo. La suma de todos es 60º..- CLASIFICACIÓN DE LOS OLÍGONOS Los polígonos se pueden clasificar por diferentes características:.- Según la medida de sus ángulos interiores: - Convexo: todos los ángulos interiores miden menos de 180º. Son los polígonos que estudiaremos habitualmente, no presentan entrantes. - Cóncavo: algún ángulo interior mide más de 180º. No los trabajaremos, presentan entrantes..- Según el número de lados: - Triángulo: tres lados - Cuadrilátero: cuatro lados - entágono: cinco lados - Hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono.- Según su forma: - Equilátero: tiene todos los lados iguales. (El rombo es equilátero pero no es equiángulo) - Equiángulo: tiene todos los ángulos iguales. (El rectángulo es equiángulo pero no es equilátero) - Regular: tiene todos los lados y ángulos iguales. (El cuadrado es equiángulo, es equilátero y por lo tanto es regular) Los polígonos de tres lados, triángulos, y de cuatro lados, cuadriláteros, son los más habituales, por ello es necesario conocer sus nombres y clasificación. TRIÁNGULOS.- Según sus lados: - Triángulo Equilátero: los tres lados iguales. - Triángulo Isósceles: dos lados iguales. - Triángulo Escaleno: los tres lados distintos..- Según sus ángulos: - Triángulo Rectángulo: tiene un ángulo recto (es imposible tener dos ángulos rectos) y dos agudos. - Triángulo Acutángulo: tiene los tres ángulos agudos. - Triángulo Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso (y por lo tanto los otros dos deben ser agudos). CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros se clasifican en: - aralelogramos: tienen dos pares de lados paralelos dos a dos. Estos pueden ser: - Cuadrado: tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales (son ángulos rectos). 1 S n

2 - Rectángulo: tiene los cuatro ángulos iguales (son ángulos rectos), los lados son iguales dos a dos. - Rombo: tiene los cuatro lados iguales, los ángulos son iguales dos a dos (dos agudos y dos obtusos que son suplementarios, suman 180º, entres sí). - Romboide: tiene dos lados y dos ángulos iguales dos a dos (dos agudos y dos obtusos que son suplementarios, suman 180º, entres sí). - Trapecios: tienen un par de lados paralelos. Estos pueden ser: - Trapecio Rectángulo: tiene dos ángulos rectos. Surge al cortar un triángulo rectángulo. - Trapecio Isósceles: tiene iguales los lados no paralelos. Surge al cortar un triángulo isósceles. - Trapecio Escaleno: tiene distintos los lados no paralelos. Surge al cortar un triángulo escaleno. - Trapezoide: no tiene lados paralelos..- ÁREAS DE OLÍGONOS.1 Área del cuadrado Siendo l el lado de un cuadrado su área será: A cuadrado = l. Área del rectángulo Siendo b la base del rectángulo y h la altura del rectángulo su área será: A rectángulo = b h. Área del triángulo Siendo b la base del triángulo y h la altura del triángulo su área será: A triángulo b h.4 Área del rombo Siendo D la diagonal mayor del rombo y d la diagonal menor del rombo su área será:.5 Área del romboide Siendo b la base del romboide y h la altura del romboide su área será: A romboide = b h A rombo D d.6 Área del trapecio Siendo B la base mayor del trapecio, b la base menor del trapecio y h la altura del trapecio su área será: A trapecio (B b) h.7 Área del polígono regular Siendo el perímetro (suma de todos los lados, que son iguales por ser regular) del polígono regular y a p la apotema (segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado) del polígono regular su área será: A polígono a p

3 4.- ÁREAS y LONGITUDES DE FIGURAS CIRCULARES Una circunferencia se define como el lugar geométrico (un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad) de los puntos que están a la misma distancia de uno que llamamos centro C. La distancia se llama radio r. or tanto la circunferencia es la línea (longitud) y el círculo es la superficie (área) en su interior. Otros elementos de la circunferencia son:.- Radio: r une el centro C con cualquier punto de la circunferencia..- Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia..- Arco: arte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma..- Diámetro: d es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia: d = r 4.1 Longitud de la circunferencia Siendo r el radio de la circunferencia su longitud será: L circunferencia = r = d 4. Longitud del arco de circunferencia Siendo r el radio de la circunferencia y n el número de grados que abarca el arco sobre ella, podemos calcular la longitud del arco mediante una proporción directa: 4. Área del círculo Siendo r el radio del círculo su área será: A círculo = r 4.4 Área del sector circular grados 60º nº longitud r L arco L arco π r nº 60º Un sector circular es la superficie del círculo comprendida entre dos radios y el arco correspondiente. Siendo r el radio del círculo y n el número de grados que abarca el sector circular, podemos calcular el área del sector circular mediante una proporción directa: 4.5 Área del segmento circular grados 60º nº superficie r A sector A Un segmento circular es la superficie del círculo comprendida entre una cuerda y su arco. sector π r nº 60º Cuando se traza una cuerda se originan dos arcos, uno menor de 180º y otro mayor de 180º, a la hora de calcular su área esto se debe tener en cuenta. Siendo r el radio del círculo y n el número de grados que abarca el arco:.- podemos calcular el área del segmento circular menor de 180º como: A segmento circular = A sector - A triángulo.- podemos calcular el área del segmento circular mayor de 180º como: A segmento circular = A sector + A triángulo 4.6 Área de la corona circular Una corona circular es la superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas. Siendo R el radio de la circunferencia mayor y r el radio de la circunferencia menor, podemos calcular el área de la corona circular como: A corona circular = A círculo mayor - A círculo menor = R - r = (R - r ) 4.7 Área del trapecio circular Un trapecio circular es la superficie de una corona circular comprendida entre dos radios. Siendo R el radio de la circunferencia mayor, r el radio de la circunferencia menor y n el número de grados que abarcan los dos radios, podemos calcular el área del trapecio circular mediante una proporción directa: grados 60º nº superficie (R A r ) trapecio circular A trapecio circular π (R r ) nº 60º

4 5.- CUEROS GEOMÉTRICOS Un cuerpo geométrico es una figura en tres dimensiones, que tiene volumen. Dentro de los cuerpos geométricos distinguimos:.- oliedros: es un cuerpo geométrico limitado por polígonos..- Cuerpos de revolución: es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar una figura plana sobre un eje. Tienen caras curvas. 6.- OLIEDROS Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos, esto es, sus caras son polígonos de cualquier tipo. odemos hablar de poliedros convexos y de poliedros cóncavos, para los primeros se cumple una relación común a todos ellos: NÚMERO DE CARAS + NÚMERO DE VÉRTICES NÚMERO DE ARISTAS =, que se conoce con el nombre de Fórmula de Euler : C + V = A + Igual que en los polígonos hablábamos de polígonos regulares como aquellos que tenían todos los lados y los ángulos iguales, en poliedros hablamos de poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurren el mismo número de aristas. Solamente existen cinco poliedros regulares: TETRAEDRO CUBO-HEXAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO FORMA DE LAS CARAS TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS CUADRADOS TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS ENTÁGONOS REGULARES TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS NÚMERO DE CARAS NÚMERO DE VÉRTICES NÚMERO DE ARISTAS EULER: C + V A Hay poliedros de muchos tipos pero nosotros nos centramos en el estudio de los prismas y las pirámides. 6.1 risma Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas llamadas bases y varias caras laterales que son paralelogramos. Los prismas que nosotros vamos a estudiar son los prismas rectos y habitualmente regulares (sus bases son polígonos regulares). RISMA RECTO RISMA RECTO RISMA OBLICUO REGULAR NO REGULAR El nombre del prisma depende del polígono que tenga por base, así cuando la base es un triángulo se llamará prisma triangular, cuando la base sea un cuadrilátero se llamará prisma cuadrangular, si además el polígono que forma la base es regular se le añade el calificativo de prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, regular. Hay unos prismas especiales, los paralelepípedos, que son aquellos prismas cuyas caras son todas paralelogramos. Los más conocidos y utilizados son el cubo (todas CUBO ORTOEDRO sus caras son cuadrados) y el ortoedro (todas sus caras son rectángulos). 4

5 El teorema de itágoras llevado al espacio (tres dimensiones) nos permite calcular el valor de la diagonal del ortoedro (cubo cuando las tres dimensiones son iguales) según la siguiente expresión: En este triángulo se cumple : D En este triángulo se cumple : d d a b c En el caso del cubo como a = b = c se cumple: D d d a a a D a a a D D a a a c a b D D a a c b D a Los elementos más utilizados en los problemas de un prisma son:.- Bases: suelen ser polígonos regulares iguales, pentágono en este caso..- Cara lateral: suelen ser rectángulos..- Arista básica: las aristas o lados de las bases..- Arista lateral: las aristas o lados de las caras laterales, coinciden con la altura del prisma..- Altura h : línea que une los dos centros de las bases..- Apotema de la base A p base : cuando la base es un polígono regular, su apotema. 6. irámide Una pirámide es un poliedro que tiene una cara llamada base y varias caras laterales que son triángulos que concurren (se juntan) en un vértice común (vértice de la pirámide). Las pirámides que nosotros vamos a IRÁMIDE RECTA IRÁMIDE IRÁMIDE RECTA REGULAR OBLICUA NO REGULAR estudiar son las pirámides rectas y habitualmente regulares (su base es un polígono regular, de tal forma que habitualmente las caras serán triángulos isósceles, rara vez son equiláteros como el tetraedro). El nombre de la pirámide depende del polígono que tenga por base, así cuando la base es un triángulo se llamará pirámide triangular, cuando la base sea un cuadrilátero se llamará pirámide cuadrangular, si además el polígono que forma la base es regular se le añade el calificativo de pirámide triangular, cuadrangular, regular. Los elementos más utilizados en los problemas de una pirámide son:.- Base: suele ser un polígono regular, hexágono en este caso..- Cara lateral: suelen ser triángulos isósceles..- Cúspide: vértice superior donde se unen todas las caras laterales..- Arista básica: las aristas o lados de la base..- Arista lateral: las aristas o lados de las caras laterales, no coinciden con la altura de la pirámide, ni con la altura de una cara o apotema de la pirámide..- Altura de la pirámide h : línea perpendicular desde la cúspide hasta el centro de la base..- Altura de una cara h c o apotema de la pirámide A p pir : línea perpendicular desde la cúspide hasta el punto medio de una arista básica. En la pirámide se cumplen una serie de relaciones aplicando el teorema de itágoras que nos permiten calcular los elementos desconocidos de diferentes formas: h p + A pb = h c h p + R = y h c + x = y Siendo: R: radio de la base y: arista lateral x: la mitad de la arista básica 5

6 7.- CUEROS DE REVOLUCIÓN Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar una figura plana sobre un eje. Tienen caras curvas. Nosotros estudiaremos tres de ellos, el cilindro, el cono y la esfera. 7.1 Cilindro Un cilindro es un cuerpo de revolución que se origina al girar un rectángulo sobre uno de sus lados (eje de giro), el lado paralelo al eje de giro se llama generatriz por ser la recta que genera la cara lateral del cilindro. Los elementos más utilizados en los problemas de un cilindro son:.- Bases: son dos círculos iguales y paralelos..- Altura h : línea perpendicular que une los dos centros de las bases..- Generatriz g : coincide con la altura..- Radio r : es el radio de la base (círculo). 7. Cono Un cono es un cuerpo de revolución que se origina al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos (eje de giro), el otro cateto es el radio de giro y la hipotenusa es la generatriz que genera la cara lateral del cono. En un cono se cumple por tanto: h + r = g Los elementos más utilizados en los problemas de un cono son:.- Base: solamente tiene una y es un círculo..- Altura h : línea perpendicular que une la cúspide con el centro de la base, es un cateto del triángulo rectángulo..- Generatriz g : no coincide con la altura, es la hipotenusa del triángulo rectángulo..- Radio r : es el radio de la base (círculo), es el otro cateto del triángulo rectángulo..- Radio r : es el radio de la base (círculo). 7. Esfera Una esfera es un cuerpo de revolución que se origina al girar un semicírculo sobre su diámetro, la generatriz que genera la superficie de la esfera es la semicircunferencia asociada al semicírculo. El elemento utilizado en los problemas de esferas es:.- Radio r : es el radio de la esfera. Dentro de la esfera se pueden encontrar distintas figuras:.- Casquete esférico: cada una de las partes de la superficie esférica determinadas por un plano secante. Cuando el plano pasa por el centro de la esfera se denomina hemisferio. La parte interior del hemisferio se llama semiesfera..- Zona esférica: parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos..- Segmento esférico: parte interior de la esfera comprendida entre dos planos paralelos..- Huso esférico: parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos que se cortan en su diámetro..- Cuña esférica: parte interior de la esfera comprendida entre dos planos que se cortan en su diámetro. 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUEROS GEOMÉTRICOS ara cada uno de los cuerpos estudiados, prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera vamos a determinar las fórmulas de sus áreas y volúmenes que utilizaremos en los problemas 6

7 ÁREA BASE _ AB ÁREA LATERAL _ AL ÁREA TOTAL _ AT VOLUMEN _ V RISMA AB A B p base (1) AL B hprisma AT = AB + AL V = AB h prisma B: perímetro de la base Ap base: apotema de la base (recordar solamente tienen apotema los polígonos regulares, un rectángulo no tiene) IRÁMIDE AB A B p base (1) AL AL B B A h p pirámide cara () AT = AB + AL V AB h pirámide hprisma: altura del prisma Ap pirámide: apotema de la pirámide, coincide con la altura de la cara hcara hcara: altura de una cara de la pirámide (suponemos que la base es un polígono regular y todas sus caras son triángulos isósceles iguales) CILINDRO AB = π r AT = AB + AL V = AB h cilindro = AB g AL = π r h () AT = π r + π r g V = π r g () AL = π r g () AT = π r (r + g) () V = π r h () AT = AB + AL CONO AB = π r AL = π r g (4) AT = π r + π r g AT = π r (r + g) V AB h cono ESFERA V = 4 π r 4 π r V (1) La fórmula se aplica cuando la base es un polígono regular, triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular Cuando la base sea otra figura (triángulo no equilátero o rectángulo, normalmente) debemos aplicar su fórmula particular del área de estas figuras. () En la pirámide la altura de una cara h c, también de denomina como apotema de la pirámide A ppir. () En el cilindro la altura h y la generatriz g coinciden y pueden aparecer en las fórmulas de manera indiferente. (4) En el cono la altura h y la generatriz g no coinciden y no pueden aparecer en las fórmulas de manera indiferente, debemos respetar esta diferencia. EJEMLO_ Calcula el AT y el V de una pirámide cuadrangular regular (la base es un cuadrado) sabiendo que la arista básica mide 16 cm y que la apotema de la pirámide mide 17 cm..- ara calcular el AT, necesitamos el AB y el AL:.- AB: Como es un cuadrado y nos dan el valor de la arista básica (es el lado del cuadrado que hace de base), tan solo debemos aplicar su fórmula A cuadrado = l = 16 = 56 cm..- AL: Necesitamos el perímetro de la base, como tenemos el lado será: b = 4l = 4 16 = 64 cm. Necesitamos la altura de la cara o apotema de la pirámide, la da el enunciado: h c = A pp = 17 cm. Aplicando la fórmula: AL B h cara cm.- AT = AB + AL = = 800 cm..- ara calcular el V, necesitamos la altura de la pirámide h que debemos calcular aplicando itágoras al triángulo: h + 8 = 17 h + 64 = 89 h h 5 h 15 cm Calculada h aplicamos la fórmula: V AB hpirámide cm V = 1.80 cm 7

8 NOTAS_ TRIGONOMETRÍA * SÍMBOLOS: _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de izquierda a derecha. _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de derecha a izquierda. _ Doble implica, la relación es cierta en ambos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproximado _ ertenece _ No pertenece / _ Tal que Π _ Tal que _ Existe _ No existe α _ Alfa β _ Beta _ Gamma > _ Mayor que _ Mayor o igual que < _ Menor que _ Menor o igual que \ _ Menos de conjuntos _ Conjunto vacío * NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Dada la ecuación: ax + bx + c = 0 se tiene: x b b 4ac, puede tener dos, una o cero soluciones a dependiendo del valor del discriminante = b 4ac de la ecuación: - Si >0 b 4ac > 0 Dos soluciones. - Si =0 b 4ac = 0 Una solución (solución doble). - Si <0 b 4ac < 0 Ninguna solución. * ECUACIONES INCOMLETAS DE SEGUNDO GRADO Dada la ecuación ax + bx + c = 0 se dice incompleta cuando: - a=0 bx + c = 0, no es una ecuación de segundo grado, es una ecuación de primer grado. - c=0 ax + bx = 0, se puede resolver aplicando factor común: x (ax + b) = 0 y el siguiente resultado: A 0 A B 0 ó B 0 Si, supone que x ax b x 0 0 ó - b ax b 0 x c - b=0 ax + c = 0, se puede resolver despejando x x c a - b=0 y c=0 ax = 0, se puede resolver despejando x x = 0 * EXRESIONES NOTABLES: a) (a+b) = a + ab + b b) (a b) = a ab + b c) (a+b) (a b) = a b 8

9 * UNTOS Y RECTAS NOTABLES EN TRIÁNGULOS Mediatrices y circuncentro.- MEDIATRIZ: es la recta perpendicular a un lado por su punto medio..- CIRCUNCENTRO: es el punto de corte de las mediatrices, está situado a la misma distancia de los tres vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita. Bisectrices e incentro.- BISECTRIZ: es la recta que divide a un ángulo por la mitad..- INCENTRO: es el punto de corte de las bisectrices, está situado a la misma distancia de los tres lados, y es el centro de la circunferencia inscrita. Medianas y baricentro.- MEDIANA: es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto..- BARICENTRO: es el punto de corte de las medianas. Es el punto de equilibrio del triángulo. Se cumple que desde el baricentro a un vértice hay el doble de distancia que del baricentro al punto medio de lado opuesto. Alturas y ortocentro.- ALTURA: es la recta perpendicular desde un vértice hasta su lado opuesto o su prolongación..- ORTOCENTRO: es el punto de corte de las alturas. No cumple nada particular. En un triángulo equilátero los cuatro puntos coinciden. Las circunferencias inscritas y circunscritas son concéntricas. Mediatriz, bisectriz, mediana y altura son la misma recta. 9

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