De esta forma, el problema de encontrar la mejor recta se concentra en calcular los valores de la pendiente (m) y de la ordenada al origen (b)

Transcripción

1 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS E muchos de los experimetos que se realiza e Física, se obtiee u cojuto de parejas de úmeros (abscisa, ordeada) por los cuales ecesitamos, para obteer u modelo matemático que relacioe a las variables del feómeo estudiado, pasar la mejor recta que cumpla co la ecuació: ordeada = pediete (abscisa) + ordeada al orige ordeady = pedmetm (X) + ordeadab al orige E ésta, las abscisas represeta los valores de la variable idepediete que se cosidera exactos, es decir, si icertidumbres; las ordeadas represeta los valores correspodietes de la variable depediete los cuales sí tiees icertidumbre De esta forma, el problema de ecotrar la mejor recta se cocetra e calcular los valores de la pediete (m) y de la ordeada al orige (b) E la figura 1 se muestra u cojuto de =4 putos experimetales y la mejor recta ajustada co el criterio de los míimos cuadrados, el cual cosiste e lo siguiete;} Llamaremos d 1 a la distacia, paralela al eje Y, que existe etre el puto (x 1,y 1 ) y la recta (puto (x 1,y r1 )), de forma aáloga, d será la distacia, paralela al eje Y, que existe etre el puto (x,y ), y la recta, al puto (x 1,y r ) y así sucesivamete hasta el eésimo puto Si la recta que hemos cosiderado la mejor recta cumple co que d i Es u míimo, la recta se obtuvo aplicado el criterio de míimos cuadrados i=1 Datos Experimetales X i Y i Dode i=1,,, 4, es decir 1 i 4

2 El criterio de elevar al cuadrado las diferecias d i se prefiere al de sumar simplemete las diferecias que podría evetualmete resultar cero y o ayudar e la determiació de m, y de b Si i=1 d i es u míimo, se hace la míima dispersió de los putos experimetales e toro de la recta Llamaremos S a la suma de las distacias al cuadrado S = d i (1) i=1 De aquí e adelate, co i=1 d i deomiaremos la suma i=1 d i por simplicidad y claridad La iésima distacia es Dode d i = Y i Y ri () Y ri = mx i + b (3) Al sustituir la ordeada Y ri de la mejor recta e la ecuació () se obtiee la iésima distacia Al elevar la ecuació aterior al cuadrado d i = Y i (mx i + b) () d i = Y i (mx i + b)y i + m X i + bmx i + b (5) Esta ecuació represeta el cuadrado de la distacia iésima d i = Y i (mx i + b)y i + m X i + bmx i + b Co el cálculo diferecial de fucioes de ua variable idepediete, hemos apredido que para ecotrar el míimo o máximo de ua fució, se deriva ésta y el resultado se iguala co cero; se resuelve la ecuació resultate para obteer los valores de la variable que hace míima o máxima la fució E el caso que aalizamos, se tiee ua fució que se desea hacer míima pero que depede de dos variables idepedietes, m y b E este caso el procedimieto es derivar la fucioa parcialmete co respecto a cada ua de las variables e igualar a cero cada derivada Co esto se obtiee u sistema de dos ecuacioes algebraicas e las icógitas m y b Recordemos la ecuació (1) S = d i La diferecial Total de la fució S es: i=1

3 ds = dm + db (6) m b Como deseamos que ds=0 e el míimo y dado que m y b so idepedietes, se debe cumplir simultáeamete las derivadas parciales siguietes m = 0 b = 0 (7) Por lo tato, al derivar parcialmete la ecuació (1), teiedo e cueta que la distacia iésima está desarrollada e la ecuació (5), se tiee: m = ( X iy i + m X i + bx i ) = 0 Y empleado el símbolo de sumatoria e cada térmio Al derivar parcialmete co respecto a b: Y co el símbolo de sumatoria e cada térmio m X i X i Y i + b X i = 0 (8) b = ( Y i + m X i + b) = 0 m X i Y i + b = 0 (9) Ahora resolvemos simultáeamete las ecuacioes (8) y (9) para obteer los valores de la pediete (m) y de la ordeada al orige (b) Al despejar b de la ecuació o se tiee b = Y i m X i (9 ) Sustituyedo e la ecuació (8) m X i X i Y i + [ Y i m X i ] X i = 0 m X i X i Y i + [ Y i X i m [ X i X i m X i X i ] = 0 + X i ] X i Y i + Y i X i = 0

4 m = X iy i + Y i X i ( X i) + X i X i Y i + ( Y i X i ) ( 1 m = ) X i (( X i ) ) ( 1 ) m = X iy i + ( Y i X i ) X i (( X i ) ) (10) Al sustituir (10) e 9 b = Y i X i ( X iy i + ( Y i X i ) X i (( X i ) ) ) Co u deomiador comú b = Y i ( X i ( X i ) ) [ X i Y i X i Y i X i ] ( X i ( X i ) ) b = Y i X i Y i ( X i ) [ X i Y i X i Y i X i ] ( X i ( X i ) ) b = ( Y i X i X i Y i ) ( X i ( X i ) ) b = Y i X i X i Y i X i ( X i ) (11) La aplicació del método de míimos cuadrados requiere de la costrucció de ua tabla como la siguiete X Y XY X X 1 Y 1 X 1 Y 1 X 1 X Y X Y X X Y X Y X i Y i X i Y i X i Tabla 1 Como u ejemplo de ilustració, ecotraremos la mejor recta para el cojuto de datos experimetales mostrados e la figura 1 X

5 Procedimieto a) Costruir la tabla de valores como la tabla 1 = 4 putos experimetales X Y XY X A B C D X i b) Co las ecuacioes (10) y (11) calculamos m y b, respectivamete m = X iy i + ( Y i X i ) X i (( X i ) ) m = 4(90) 33(3) 4(96) (3) = 065 b = Y i X i X i Y i (33)(96) 3(90) X i ( X i ) b = 4(96) (3) = 305 c) La ecuació de la mejor recta buscada es Y = 065x d) Dibujamos los putos experimetales y la recta obteida Para trazar la recta Puto X Y α β

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