DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES

Transcripción

1 DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES

2 Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el punto los siguientes límites cundo eistn sen initos: lim +

3 1 Otrs notciones pr ls derivds prciles de un unción de dos vriles son: Tmién se puede utilizr l notción incrementl: Deinición de derivd prcil en un punto D D OBSERVACIONES + lim + lim

4 Deinición de derivd prcil en un punto OBSERVACIONES 3 L derivd prcil en un punto de un unción de dos vriles es l derivd de l unción de un vrile otenid ciendo constnte l otr vrile. En consecuenci se pueden plicr con est interpretción ls regls de derivción de un vrile.

5 Deinición de derivd prcil en un punto OBSERVACIONES 3 L derivd prcil en un punto de un unción de dos vriles es l derivd de l unción de un vrile otenid ciendo constnte l otr vrile. En consecuenci se pueden plicr con est interpretción ls regls de derivción de un vrile. 4 Ls derivds prciles en el punto de coordends de l unción z representn l pendiente de l rect tngente ls curvs C 1 C intersección de l supericie z con los plnos respectivmente. z Plno C 1 rect tngente C 1 en

6 OBSERVACIÓN: Deinición de derivd prcil En unciones de un vrile er suiciente l eistenci de derivd pr segurr l continuidd de l unción. Sin emrgo no es cierto que l eistenci de derivds prciles permit segurr l continuidd de un unción de dos vriles. Teorem: Si l unción tiene derivds prciles continus en el punto entonces es continu en. Teorem Regl de l cden: Se un unción con derivds prciles continus de orm que e son su vez unciones de otr vrile independiente t es decir t t derivles ms respecto t. Entonces z tmién es derivle con respecto t el vlor de l derivd es: dz dt z d dt z d + dt Derivds prciles mits o cruzds

7 Función derivd prcil Deinición: 1 Se : A R R. L derivd prcil con respecto denotd por es l unción que cd punto A donde eist le sign dico vlor. Se : A R R. L derivd prcil con respecto denotd por es l unción que cd punto A donde eist le sign dico vlor. Deinición derivds sucesivs: Al igul que ocurre con ls unciones de un vrile es posile otener derivds prciles de segundo orden o superior medinte sucesivs derivciones. Pr ls derivds prciles segunds tenemos: Derivds prciles mits o cruzds

8 Función derivd prcil Teorem de Scwrz Iguldd de ls prciles cruzds: Consideremos tl que son unciones continus en un conjunto ierto A R entonces pr todo punto de A se tiene que. Grdiente. Interpretción geométric propieddes: Deinición: Se un unción con derivds prciles continus en. Se denomin grdiente de en el punto se escrie grd l vector del plno cus coordends son ls derivds prciles de en es decir grd i + j El vector grdiente veriic: 1 Es perpendiculr l curv de nivel de l supericie en dico punto. Su módulo es igul l rzón máim de crecimiento de en dico punto. 3 Su sentido indic el máimo crecimiento de en dico punto.

9 Plno tngente rect norml un supericie Plno tngente: Consideremos l supericie z tl que son unciones continus el punto P z z. Sen C 1 C ls curvs otenids como intersección de los plnos con l supericie por lo que P pertenecerá ms curvs. Sen r 1 r ls rects tngentes ls curvs C 1 C en el punto P. Entonces se denomin plno tngente l supericie en el punto P l plno π que contiene ls rects r 1 r. Proposición: L ecución del plno tngente l supericie z en P z es: π: + z z

10 Rect norml: Dd l supericie de ecución z tl que son unciones continus el punto P z z. Se llm rect norml l supericie en P l rect t que ps por P es perpendiculr l plno tngente l supericie en el punto P. Plno tngente rect norml un supericie λ λ λ z z t: λ R Ecución de l rect norml

11 Plno tngente rect norml un supericie EJEMPLO: Plno tngente un proloide