2.1. Concepto Monto, capital, tasa de interés y tiempo.

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1 Cocepto El iterés compuesto tiee lugar cuado el deudor o paga al cocluir cada periodo que sirve como base para su determiació los itereses correspodietes. Así, provoca que los mismos itereses se covierta e u capital adicioal, que a su vez producirá itereses (es decir, los itereses se capitaliza para producir más itereses). Cuado el tiempo de la operació es superior al periodo al que se refiere la tasa, los itereses se capitaliza: os ecotramos ate u problema de iterés compuesto y o de iterés simple. E la práctica, e las operacioes a corto plazo, au cuado los periodos a que se refiere la tasa sea meores al tiempo de la operació y se acuerde que los itereses sea pagaderos hasta el fi del plazo total, si cosecuecias de capitalizacioes, la iversió se hace a iterés simple. Por eso, es importate determiar los plazos e que va a vecer los itereses, para que se pueda especificar las capitalizacioes, y, e cosecuecia, establecer el procedimieto para calcular los itereses (simple o compuesto). NOTA: cuado o se idica los plazos e que se debe llevar a cabo las capitalizacioes, se da por hecho que se efectuará de acuerdo co los periodos a los que se refiere la tasa. E caso de que la tasa o especifique su vecimieto, se etederá que ésta es aual, y las capitalizacioes, auales Moto, capital, tasa de iterés y tiempo. Para calcular el moto de u capital a iterés compuesto, se determia el iterés simple sobre u capital sucesivamete mayor, como resultado que e cada periodo los itereses se va sumado al capital iicial. Por ejemplo, el caso de u préstamo de $10,000.00, a 18% aual e 6 años; para cofrotar el fucioamieto respecto del iterés simple, se compara ambos tipos de iterés e la siguiete tabla: 1

2 2 Iterés Iterés simple compuesto Capital iicial $ 10, $ 10, Itereses e el 1.º año $ 1, $ 1, Moto al fi del 1.º año $ 11, $ 11, Itereses e el 2.º año $ 2, $ 1, Moto al fi del 2.º año $ 13, $ 13, Itereses e el 3.º año $ 2, $ 1, Moto al fi del 3.º año $ 16, $ 15, Itereses e el 4.º año $ 2, $ 1, Moto al fi del 4.º año $ 19, $ 17, Itereses e el 5.º año $ 3, $ 1, Moto al fi del 5.º año $ 22, $ 19, Itereses e el 6.º año $ 4, $ 1, Moto al fi del 6.º año $ 26, $ 20, Como se puede ver, el moto a iterés compuesto es mayor por la capitalizació de los itereses e cada uo de los plazos establecidos de atemao. Si se sigue este procedimieto, podemos ecotrar el moto a iterés compuesto; si embargo, cuado el tiempo de operació es demasiado largo, esta misma solució puede teer errores. Teemos la fórmula que os da el moto de u capital a iterés compuesto e "" periodos: M = C (1 + i) (19) NOTA: para estudiar el iterés compuesto, se utiliza las mismas literales del iterés simple. Pero cabe hacer alguas observacioes importates: 2

3 3 E este caso, el tiempo se mide por periodos de capitalizació (úmero de veces que los itereses se covierte o suma al capital e todo el plazo que dura la operació), cambiado la literal (t) por la variable (). Se debe tomar e cueta, uevamete, que tato la variable tiempo que de aquí e adelate se le puede llamar periodo de capitalizació () como la de tasa de iterés (i) se maeje e la misma uidad de tiempo. E la tasa de iterés puede aparecer las palabras covertible, compuesto, omial o capitalizable, que se toma como sióimos e idica el úmero de veces que se capitalizará los itereses e u año (frecuecia de coversió). Ejemplo: El 18% covertible mesualmete idica que el 18% que está e forma aual debe ser covertido a forma mesual. Esto se realiza dividiedo el porcetaje etre 12 (úmero de meses del año): 0.18/12. Si es capitalizable trimestralmete, el resultado es 0.18/4, etcétera. Para la solució del problema debemos sujetaros a la uidad de tiempo (frecuecia de coversió) que se mecioe e la tasa de iterés. Si aplicamos la fórmula 20 a los datos del problema que resolvimos aritméticamete, teemos: Ejercicio 15. Cuál es el moto (M) de u capital de $10, (C), impuesto a iterés compuesto a la tasa del 18% aual (i) e 6 años? M = C (1 + i)..... (19) 6 M =? M = ( ) C = 10,000 i = 18% aual = = 6 años M = (1.18) M = $343, El resultado aterior es el mismo que obtuvimos aritméticamete e la tabla aterior. (Observa que la tasa o fue covertida e ua uidad de tiempo meor, ya que o se idicaba e ella). 3

4 4 Desde este mometo, siempre que se mecioe la palabra iterés, deberá etederse que se hace referecia al iterés compuesto. Ejercicio 16. Cuál es el moto (M) de u capital (C) de $85,000.00, impuesto a u iterés compuesto a la tasa del 22% (i) durate 12 años ()? 12 M =? M = ( ) C = $85, i = 22% aual = 0.22 M = ( ) = 12 años M = $924, FÓRMULA DEL INTERÉS COMPUESTO Cuado se ecesite coocer el iterés, basta co calcular el moto y de éste deducir el capital. Si embargo, vamos a deducir la fórmula que os proporcioe directamete el iterés: I = M C (20) Co base e lo aterior, al sustituir por M su valor, teemos: I = C (1 + i) C Teiedo como factor comú a C: I = C [(1 + i) 1] (21) Ejercicio 17. Apliquemos la fórmula aterior: cuál es el iterés (I) de u capital (C) de $85,000.00, impuesto a u iterés compuesto a la tasa del 22% (i), durate 12 años ()? 4

5 5 Teemos: 12 I =? I = [( ) 1] C = $85, i = 22% aual = 0.22 I = ( ) = 12 años I = $839, A cotiuació, comprobemos el resultado aterior: Moto segú el ejercicio , Meos capital propuesto 85, Iterés segú resolució aterior 839, ========== CÁLCULO DEL CAPITAL EN FUNCIÓN DE LA FÓRMULA DEL MONTO Nos basamos e la fórmula del moto al iterés compuesto: M = C(1 + i)......(19) Luego, despejamos la variable C: M C = = M (1 + i)......(22) (1 + i) Comprobemos la fórmula aterior sirviédoos de los datos del ejercicio 17. 5

6 6 Ejercicio 18. Cuál es el capital (C) de u valor acumulado de $924, (M), ivertido durate 12 años () al 22% aual (i)? M = $924, C =? i = 22% aual = 0.22 aual = 12 años C = = $85, ( ) Ejercicio 19. Qué capital (C) produce u moto de $379, (M) a los 6 años (), si la tasa es del 3.5% trimestral (i)? 24 M = $379, C = ( ) C =? i = trimestral C = ( ) = 6 años = 24 trimestres C = $166, CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Y DE TIEMPO Cálculo del tiempo e fució de la fórmula del moto Despejemos de la fórmula del moto: M = C (1 + i) M/C = (1 + i) log M/C = * log (1 + i) log M/C 6

7 = (23) log (1 + i) E los ejercicios siguietes, comprobaremos la fórmula aterior. Ejercicio 20. Detro de cuáto tiempo (), u capital de $25, (C) a la tasa del 2.5% trimestral (i) valdrá $31, (M)? M = $31, log ( /25600) C = $25,600 = i = trimestral log (1.025) =? trimestres = = 9 trimestres Ejercicio 21. Detro de cuáto tiempo () ua persoa que ivirtió $115, (C) obtedrá $139,179.87, como moto (M) a la tasa (i) del 1.75% bimestral? log ( /115000) M = $139, = C = $115, log ( ) i = 1.75% bimestral = bimestral =? Semestres = = 11 bimestres Cálculo de la tasa e fució de la fórmula del moto: E este caso, partimos de la fórmula del moto: 7

8 8 M = C (1 + i) (19) 1/ M/C = (1 + i) (M/C) = 1 + i 1/ (M/C) -1 = i (24) Comprobemos la fórmula aterior sirviédoos e los ejercicios siguietes: Ejercicio 22. U capital de $18, (C) ha estado ivertido durate 3 años (), luego de los cuales dio u moto de $26, (M), a qué tasa (i) se celebró la operació? M = $26, /3 C = $18, i = (26000 / 18000) 1 i =? aual i = = 3 años i = = % aual Ejercicio 23. Co u capital de $9, (C) se formó u moto de $13, (M) a los 2 años (), a qué tasa (i) se hizo la iversió? M = $13, /10 C = $ 9, i = (13290 / 9500) 1 = 2 años i = i =? aual i = = % aual Cálculo del capital e fució del iterés De la fórmula del iterés (I): I = C [(1 + i) 1] (21) 8

9 9 despejamos C: I C = (25) (1 + i) - 1 Comprobemos la fórmula aterior e los ejercicios siguietes. Ejercicio 24. Qué capital (C) producirá u iterés compuesto de $139, (I) a los 4 años () y a la tasa del 2% bimestral (i)? I = $139, C =? i = 2% bimestral = 0.02 bimestral = 4 años = 24 bimestres C = = = $230, ( ) 1 (1.02) 1 Cálculo del tiempo e fució de la fórmula del iterés De la fórmula del iterés (I): I = C [ (1 + i) 1]....(21) despejamos : 9

10 10 I I --- = (1 + i) = (1 + i) C C log (I/C + 1) = log (1 + i) Por tato: log (I/C + 1) = (26) log (1 + i) Comprobemos la fórmula aterior e los ejercicios siguietes. Ejercicio 25. E cuáto tiempo () u capital de $78, (C) produce itereses de $26,901.33, co ua tasa de iterés del 2.5% trimestral (i)? I = $26, C = $78, i = 2.5% trimestral = trimestral =? log [( /78000) + 1] = = = 12 trimestres = 3 años log ( ) Cálculo de la tasa e fució de la fórmula de iterés De la fórmula de iterés (I): 10

11 11 I = C [ (1 + i) 1]... (21) despejamos i: I I --- = (1 + i) = (1 + i) C C 1/ ( I/C + 1 ) = 1 + i Por tato: 1/ (I/C + 1) 1 = i......(27) Comprobemos la fórmula aterior e el ejercicio siguiete: Ejercicio 26. A qué tasa de iterés cuatrimestral se ivirtió (i) u capital de $97, (C), que produjo itereses de $41, (I) e u lapso de cuatro años ()? I = $41, C = $97, = 4 años = 12 cuatrimestres i =? 1/12 i = [( /97000) + 1] 1 = 0.03 = 3% cuatrimestral 11

12 Tasa omial, tasa efectiva y tasas equivaletes. E el iterés simple, la tasa del 12% aual es proporcioal al 6% semestral, al 3% trimestral y al 1% mesual. Además de la proporcioalidad de las tasas ateriores ya que e ellas existe la misma relació etre sus valores y los periodos a que se refiere, so a su vez equivaletes: a pesar de referirse a distitos periodos e igual tiempo, produce u mismo moto. Así, vemos que $100, al 12% e u año geera u moto de $112, Y si ivertimos el mismo capital al 6% semestral e 2 semestres, formará exactamete el mismo moto: Capital $100, Itereses e el 1er. semestre 6, Itereses e el 2o. semestre 6, Moto e 2 semestres $112, ========== Por tato, $100, al 1% mesual e 12 meses llegará a covertirse e el mismo moto aterior. E coclusió: a iterés simple, las tasas proporcioales so tambié equivaletes; pero o e el iterés compuesto, debido a la capitalizació de los itereses. Lo aterior se puede corroborar mediate los cálculos siguietes: Préstamo de $100, a las tasas capitalizables que se mecioa: 12 % aual 6% semestral 3% trimestral 1% mesual Capital 100, , , ,000 Iterés del periodo 12,000 6,000 3,000 1,000 Moto 112, , , ,000 Iterés del periodo 6,360 3,090 1,010 Moto 112, , ,010 12

13 13 Iterés del periodo 3, ,020.1 Moto 109, ,030.1 Iterés del periodo 3, , Moto 112, , Iterés del periodo 1, Suma 105, Iterés 6.º periodo 1, Suma 106, Iterés 7.º periodo 1, Suma 107, Iterés 8.º periodo 1, Suma 108, Iterés 9.º periodo 1, Suma 109, Iterés 10.º 1, periodo Suma 110, Iterés 11.º 1, periodo Suma 111, Iterés 12º periodo 1, Moto 112, TOTAL 112, , , , Si a cada uo de los totales le restamos lo ivertido al iicio (el capital), teemos: M C 12,000 12,360 12, , Y si este iterés lo dividimos etre lo que se ivirtió (C = $100,000.00), os da: 13

14 14 I / C 0.12 = 12% = 12.36% = % = % Lo aterior demuestra que la tasa efectiva equivalete a ua tasa del 12% aual capitalizable semestralmete es de 12.36%. Asimismo, la tasa efectiva equivalete al 12% aual capitalizable por trimestre es %. De la misma maera, la tasa del 12% aual capitalizable por mes es equivalete al % efectivo. E coclusió, la tasa efectiva se puede obteer dividiedo el iterés geerado etre el capital iicial. FÓRMULAS DE LAS TASAS EQUIVALENTES E las fórmulas, teemos las equivalecias siguietes: e = Tasa real o efectiva aual. J = Tasa omial aual. m = Número de capitalizacioes por año (frecuecia de coversió de "j") i = Tasa omial aual. p = Número de capitalizacioes por año (frecuecia de coversió de i ) De tasa omial a tasa omial Cuado busquemos ua tasa omial (j) co frecuecia de coversió (m), y se cooce otra tasa omial (i) co frecuecia de coversió (p), teemos: p/m J = [(1 + i/p) 1]m..... (28) 14

15 15 Ejercicio 27. Cuál es la tasa omial (J) covertible mesualmete (m), equivalete al 18% (i) covertible semestralmete (p)? J =? m = 12 i = 18% = 0.18 p = 2 2/12 J = [( /2) - 1]12 = = % covertible mesualmete. Lo aterior sigifica que la tasa del % covertible mesualmete equivale al 18% covertible semestralmete. De tasa efectiva a tasa omial Cuado busquemos ua tasa omial (j) co frecuecia de coversió (m), y se cooce ua tasa efectiva (e), teemos: 1/m J = [(1 + e) 1]m....(29) Ejercicio 28. Cuál es la tasa omial (J) covertible mesualmete (m), equivalete al 18.81% efectivo (e)? J =? m = 12 e = 18.81% = /12 J = [( ) 1]12 = = % covertible mesualmete 15

16 16 Lo aterior sigifica que la tasa del % covertible mesualmete equivale al 18.81% efectivo. De tasa omial a tasa efectiva Cuado busquemos ua tasa efectiva (e), y se cooce ua tasa omial (J) co frecuecia de coversió (m), teemos: m e = (1 + J/m) (30) Apliquemos la fórmula aterior a u caso práctico: Ejercicio 29. Cuál es la tasa efectiva (e) equivalete al 18% (J), covertible semestralmete (m)? e =? J = 18% = 0.18 m = 2 2 e = ( /2) 1 = = 18.81% efectivo Esto quiere decir que la tasa del 18% covertible semestralmete equivale al 18.81% efectivo. A cotiuació, comprobemos que las tres tasas so equivaletes. Para ello, utilizaremos el mismo ejercicio para las tres tasas: Ejercicio 30. Cuál es el moto de $10, depositados durate u año si se tiee tres opcioes: 1. a ua tasa del 18% covertible semestralmete; 2. a ua tasa del % covertible mesualmete; 3. a ua tasa del 18.81% efectivo. 16

17 17 1 M =? C = $10, = 1 año = 2 semestres i = 18% covertible semestralmete = 0.18/2 = 0.09 semestral M = C (1 + i) (19) 2 M = ( ) = $11, M =? C = $10, = 1 año = 12 meses i = % covertible mesualmete = /12 = mesual M = C (1 + i) (19) 12 M = ( ) = $11, M =? C = $10, = 1 año i = 18.81% efectivo = M = C (1 + i) (19) 1 M = ( ) = $11,

18 Ecuació de valor Por diversas causas, a veces el deudor decide cambiar sus obligacioes actuales por otras. Para realizar lo aterior, deudor y acreedor debe llegar a u acuerdo e el cual cosidere las codicioes para llevar a cabo la ueva operació, e fució de ua tasa de iterés y de la fecha cuado se va a llevar a cabo (fecha focal). Para resolver estos problemas, se utiliza gráficas (de tiempo valor) e las que se represeta las fechas de vecimieto de las obligacioes origiales y de pagos, respectivamete. (Se puede utilizar tato el iterés simple como el compuesto). Para resolver estos problemas, se efectúa el procedimieto siguiete: a. Etapa 1. Calcular el moto a pagar de cada ua de las obligacioes origiales a su vecimieto. b. Etapa 2. Hacer la gráfica de tiempo-valor que cosidere las fechas de vecimieto. Sobre la misma, se coloca los motos e el mometo de su vecimieto. c. Etapa 3. Debajo de la gráfica de tiempo, se coloca los pagos parciales, al igual que las deudas, co sus fechas respectivas. d. Etapa 4. Se determia e la gráfica la fecha focal (de preferecia e dode coicida co algú pago; es recomedable que sea ua icógita, co el fi de realizar el meor úmero de operacioes). e. Etapa 5. Se realiza la solució. Para ello, se traslada todas las catidades a la fecha focal (se debe tomar e cueta que la suma de todos los pagos debe cubrir la suma de las deudas). f. Etapa 6. Se resuelve las operacioes. Ejercicio 31. El día de hoy ua persoa tiee las obligacioes siguietes: 18

19 19 a. U préstamo de $30,000.00, otorgado hace 6 meses, co vecimieto el día de hoy, e impuesto co ua tasa del 30% covertible mesualmete. C = $30, t = Hace 6 meses co vecimieto el día de hoy i = 30% covertible mesualmete = 0.30/ 12 = mesual b. Ua seguda deuda por $15, cotraída hace tres meses, co vecimieto detro de 9 meses y u tipo de iterés del 36% capitalizable mesualmete. C = $5, t = Hace 3 meses co vecimieto detro de 9 meses. I = 36% capitalizable mesualmete = 0.36/12 = 0.03 mesual c. U tercer compromiso por $50, cotratado hace cuatro meses, co ua tasa del 24% omial mesual y co u vecimieto detro de 6 meses. C = $50, t = Hace 4 meses co vecimieto detro de 6 meses i = 24% omial mesual = 0.24/12 = 0.02 mesual d. Ua cuarta deuda por $10, cotratada hace u mes, co vecimieto detro de 7 meses y ua tasa del 42% compuesto mesual. C = $10, t = Hace u mes co vecimieto detro de 7 meses i = 42% compuesto mesual = 0.42/12 = mesual Hoy mismo, decide reegociar sus obligacioes co u redimieto, e las uevas operacioes, del 30% aual covertible mesualmete mediate 3 pagos: 19

20 20 $40,000.00, el día de hoy. $35,000.00, detro de 6 meses. El saldo, detro de 12 meses. Calcula el importe del saldo utilizado como fecha focal el mes 12. Solució co iterés compuesto Etapa 1 Fórmula: M = C (1 + i) (19) DEUDA (D) OPERACIÓN M = C (1 + i) MONTO DE LA DEUDA Da 6 $34, ( ) Db 12 $7, ( ) Dc 10 $60, ( ) Dd 8 $13, ( ) TOTAL EN VALORES ABSOLUTOS $116,

21 21 Etapa 2 Da Dc Dd Db MESES Da Dc Dd Db

22 22 Etapa 3 Da Dc Dd Db X P1 P2 P3 22

23 23 Etapa 4 Da Dc Dd Db ff X P1 P2 P3 23

24 24 Etapa 5 Da Dc Dd Db ff X P1 P2 P3 Suma de las deudas = Suma de los pagos 24

25 25 Σ DEUDAS = Σ PAGOS NOTA: observa que todas las operacioes está avazado e el tiempo, por tato, se buscará el moto (M). E cambio, si ua catidad regresa e el tiempo, se buscará el capital (C). Etapa 6 i = 30% = mesual DEUDA OPERACIÓN RESULTADO a 12 $ 46, M = ( ) b 3 $ 7, M = ( ) c 6 $ 70, M = ( ) d 5 $ 14, M = ( ) SUMA DE DEUDAS $140, PAGO OPERACIÓN RESULTADO a 12 $53, M = 40000( ) b 6 $40, M = 35000( ) c X X SUMA DE PAGOS $94, X Σ DEUDAS = Σ PAGOS = X 25

26 = X = X Etoces, el saldo se liquidaría co ua catidad igual a $ 45, NOTA: e el iterés compuesto, o importa la fecha focal que se elija para obteer el resultado, será siempre el mismo. Pero e el iterés simple, hay ua variació. 26

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