CONJUNTOS. Por ejemplo, el E del ejemplo 2 se escribe.

Transcripción

1 CONJUNTOS La teoría de conjuntos nos permite describir de forma precisa conjuntos de números, de personas, de objetos, etc que comparten una propiedad común. Esto puede ser de gran utilidad al establecer las soluciones de cierto tipo de problemas. La palabra conjunto será uno de los términos básicos no definidos, intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos. Los objetos que integran un conjunto se llaman elementos de ese conjunto, generalmente, nombramos los conjuntos con letras mayúsculas A, B, C, y los elementos de los conjuntos se los representa con letras minúsculas a,b,c,x,y, a menos que dichos elementos sean a su vez conjuntos. Para indicar que un objeto a es elemento de un conjunto B se escribe que se lee a pertenece a B o a es elemento de B. Si por el contrario a no es elemento de B o a no pertenece a B se escribe. Ejemplo 1 Sea A el conjunto cuyos elementos son 10, π y. Es claro que 10 es un elemento de A o 10 pertenece a A, es decir. 4 no pertenece o no es un elemento de A, es decir. Ejemplo 2 Sea E el conjunto de los números naturales mayores o iguales a 5, menores que 9 y diferentes de 7. Es claro que los elementos de E son 5, 6,8, en cuyo caso escribiremos. Un conjunto puede definirse por extensión haciendo una lista de los elementos del conjunto, separando los elementos por comas y encerrándolos entre llaves. Así en el ejemplo 1, podemos escribir, Pero si se especifica un conjunto estableciendo la propiedad que deben tener sus elementos, entonces se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se denota, siendo P la propiedad. Se dice que ésta es la forma de definición por comprensión. Por ejemplo, el E del ejemplo 2 se escribe. En el ejemplo 2 hacemos referencia a los elementos del conjunto de los naturales, el cual se llama universal o referencial. 1

2 El conjunto universal depende de la disciplina en estudio, se fija de antemano, y está formado por todos los elementos que intervienen en el tema. En general se denota por. Definición Se llama cardinalidad al número de elementos de un conjunto. La cardinalidad del conjunto del ejemplo 2 es 3 y se indica o Definición Un conjunto se dice unitario si tiene un único elemento, es decir su cardinalidad es 1 Ejemplos es el conjunto de todas las rectas del plano que pasan por dos puntos dados. 5. Definición Un conjunto se dice vacío si no contiene elementos y se denota con el símbolo simbólicamente. Su cardinalidad es cero. Ejemplos de conjuntos vacíos Sea, es vacío. Sea A el conjunto de todas las personas vivas mayores de 200 años, A es vacío. La determinación de conjuntos por extensión no es posible en el caso en que el conjunto contiene infinitos elementos, y hay que limitarse a la definición por comprensión. Ejemplo 6 Sea P el conjunto de los números enteros pares Por comprensión, P es el conjunto de múltiplos de 2. Es imposible determinar P por extensión, a veces por abuso de notación, suele escribirse. P es un conjunto infinito (es imposible terminar de contar sus elementos). INCLUSION - SUBCONJUNTOS Definición: Sean A y B conjuntos. Si todos los elementos de A son también elementos de B, decimos que A está incluido en B o que A es un subconjunto de B y escribiremos. Simbólicamente Se usan como equivalentes a las expresiones anteriores las siguientes 2

3 A es parte de B A está contenido en B B contiene a A B incluye a A En muchas ocasiones se necesitará demostrar una inclusión del tipo, entonces de acuerdo con la definición se toma un elemento y se demuestra que está en, como es arbitrario, lo mismo debe suceder con todo elemento de, el mecanismo de esta demostración se verá en el ejemplo 7 d) y e). Ejemplo 7 a. El conjunto de los números naturales pares es un subconjunto de los números naturales b. El conjunto de las rectas del plano que pasan por un punto P está contenido en el conjunto de todas las rectas del plano. c. Si D es el conjunto de todas las palabras de la lengua castellana, son partes o subconjuntos de D los conjuntos d. El conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos, esto es Sea entonces entonces. Por lo tanto e. El intervalo es un subconjunto del intervalo En efecto, si entonces y como resulta que, con lo cual y por lo tanto. Teorema 1. Para todo conjunto E, se cumple a. b. y entonces c. y entonces a. En efecto, todo elemento de es de E, luego. b. Por ser F un subconjunto de E, resulta que todos los elementos de F están en E. Por otro lado E no puede tener otros elementos distintos de los de F, ya que. Luego E y F tienen los 3

4 mismos elementos, es decir. c. ejercicio Observación: El punto b del teorema anterior da un criterio de igualdad de conjuntos y un procedimiento para demostrar que dos conjuntos tienen los mismos elementos. Por ejemplo, si queremos demostrar la igualdad de los conjuntos E y F se toma un elemento arbitrario y se prueba que, luego se toma un elemento arbitrario y se prueba que ; con esto se demuestra la doble inclusión y que es equivalente por a y b del teorema anterior a. Simbólicamente: Ejemplo 8 a. Los conjuntos y son iguales, ya que cada uno de los elementos 1, 2, 3, 4 de A pertenece a B y cada uno de los elementos 1, 2, 4, 3 de B pertenece a A. Obsérvese, que un conjunto no cambia al reordenar sus elementos. b. Los conjuntos y son iguales, ya que cada elemento de A pertenece a B y cada elemento de B pertenece a A. Obsérvese, que un conjunto no cambia si se repiten sus elementos. c. Sean, y. Resulta Propiedades del conjunto vacío a) El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Vamos a probar que para todo conjunto A, Sea x, (Antecedente falso implicación verdadera) De acuerdo a la definición de inclusión, se tiene que. Observación: La propiedad es válida cualquiera sea A; en particular, A puede ser vacío. b) El conjunto vacío es único Supongamos que tenemos dos conjuntos vacios, esto es sean y conjuntos vacios Por a) y, luego por b. del teorema 1 resulta. 4

5 Diagramas de Venn Existe una representación de los conjuntos dada por diagramas llamados de Venn. En este sentido el conjunto universal suele representarse por un rectángulo y cualquier otro conjunto (excepto el conjunto vacío) por recintos cerrados. Sea subconjuntos de, como indica el diagrama En este caso se verifica que. CONJUNTO DE PARTES Definición Dado un conjunto A, se llama conjunto de partes de A al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Se designa con al conjunto partes de A. Simbólicamente. Por lo visto anteriormente en teorema 1 a. y la propiedad a) del conjunto vacío, se tiene que y A son elementos de. Ejemplo 8 a. Si, entonces b. Si resulta c. El conjunto de partes del vacío es OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS UNION Definición Sean A y B dos conjuntos, se llama unión de A y B al conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B. Se designa con a la unión de los conjuntos A y B, en símbolos 5

6 De acuerdo a la definición podemos decir que: Su diagrama correspondiente es: es la parte sombreada. Ejemplo 9 a. Sean y, entonces b. La unión del conjunto de los números naturales pares con el conjunto de los números naturales impares es el conjunto de los números naturales. c. La unión del conjunto de los números naturales con el conjunto de los números enteros es el conjunto de los números enteros. Es decir Propiedades de la Unión Sean A y B conjuntos, se cumplen las siguientes propiedades a) (Conmutativa) b) y (Todo conjunto está incluido en su unión con cualquier otro) c) (Asociativa) d) (Idempotencia) e) (Elemento neutro para la unión) f) siendo el conjunto universal g) y entonces La demostración de las propiedades c), d), f) y g) se dejan como ejercicio. Se demostrará a), b) y e). a) 6

7 En 1 y 3 aplicamos la definición de unión y en 2 propiedad conmutativa de la disyunción. b) En 1 aplicamos la implicación lógicamente equivalente y en 2 la definición de unión. se demuestra de manera análoga. e) Para probar la igualdad probaremos que i) i) Por la propiedad b) ii) Sea y ii) Por definición de unión 2 por ser falso Observemos que la recíproca de g) no se verifica, puede ocurrir que y y sin embargo Ejemplo 10 Sean, y entonces Es claro que y sin embargo y, el diagrama de Venn correspondiente es -1 A INTERSECCION Definición Sean A y dos conjuntos, se llama intersección de A y al conjunto cuyos elementos pertenecen a A y a B. Se designa con a la intersección de los conjuntos A y B, en símbolos De acuerdo a la definición podemos decir que: 7

8 Su diagrama correspondiente es es la parte sombreada, es decir el conjunto formado por los elementos comunes a y a Ejemplo 11 a) Sean y, entonces b) Sean y, entonces c) Sean y intervalos, Representemos la intersección sobre la recta Propiedades de la Intersección Sean A y B conjuntos, se cumplen las siguientes propiedades a) (Conmutativa) b) y (La intersección está contenida en cada conjunto que la determina) c) (Asociativa) d) (Idempotencia) e) para todo conjunto f) siendo el conjunto universal (Elemento neutro para la intersección) g) y entonces La demostración de las propiedades a), b), c), d) y f) se dejan como ejercicio. Se demostrará e), y g) e) Por la propiedad b) podemos decir que (i) 8

9 Probemos que Sea, luego (ii) 1 antecedente falso, implicación verdadera De (i) y (ii) podemos decir que se cumple g) y entonces Sea 1. Por definición de intersección 2. Por hipótesis y subconjuntos de 3. Luego. Se verifica la recíproca de g), es decir se cumple que si entonces y? Definición Dos conjuntos A y B son disjuntos si Ejemplo 12 a) Son disjuntos los conjuntos y del ejemplo 11 b) b) El conjunto vacío es disjunto con cualquier conjunto (ver propiedad e) de intersección) Teorema Dados tres conjuntos, valen las siguientes propiedades, llamadas distributivas Sea Esta ley se la denomina distributiva de la unión respecto de la intersección 2. ejercicio DIFERENCIA DE CONJUNTOS Definición Sean A y B conjuntos, se llama diferencia de A y B al conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B. Se denota la diferencia de A y B por, y se lee diferencia o menos en símbolos 9

10 De la definición podemos decir que B A es la parte rayada. Ejemplo 13 a) b) c) El conjunto de los números naturales menos el conjunto de los números naturales pares es el conjunto de los números naturales impares. Esto es d) La diferencia de los intervalos reales y es el intervalo. Propiedades de la diferencia a) b) c) d) e) f) Si entonces. ejercicio COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Sea un subconjunto del conjunto universal Definición Se llama complemento de al conjunto de elementos de que no pertenecen a. Se designa el complemento de por o 10

11 De acuerdo a la definición En símbolos es el conjunto sombreado. También podemos considerar el complemento de un conjunto respecto de otro conjunto, tal que y se simboliza. Cuando no hay lugar a confusión y no interesa el conjunto respecto del cual se toma el complemento se escribe simplemente, o Propiedades del Complemento a) b) c) d) e) ejercicio Observación Si 11

12 Sean A y B conjuntos, vamos a relacionar el complemento con la unión y la intersección a través de las siguientes leyes, llamadas leyes de De Morgan Teorema a. El complemento de la unión es igual a la intersección de los complementos b. El complemento de la intersección es igual a la unión de los complementos a. Se utiliza la definición de complemento, la observación 2 y la definición de intersección b. Se utiliza la definición de complemento, la observación 2 y la definición de unión DIFERENCIA SIMETRICA Definición Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia simétrica de A y B al conjunto Se designa con a la diferencia simétrica de y, por definición A B La diferencia simétrica de y es el conjunto de puntos que pertenecen a o a, pero no ambos a la vez. El siguiente resultado permite expresar la diferencia simétrica en términos de la unión, intersección y el complemento. 12

13 Teorema a. b. a. Resulta inmediato de la definición y del hecho que b. = Propiedades de la Diferencia Simétrica a) Conmutativa b) Asociativa c) d) e) Distributiva de la intersección respecto de la diferencia simétrica. a) c) por propiedad b) y c) de la diferencia d) por propiedad a) de la diferencia b) y e) quedan como ejercicio. 13