LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Tipos de Discontinuidades en un Punto 1 - Tiene ramas infinitas en un punto
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- Natalia Guzmán Belmonte
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1 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Tipos de Disontinuidades en un Punto - Tiene ramas infinitas en un punto y 5 La reta 5 es una asíntota vertial - Presenta un salto en un punto, si y 5, si - La funión no está definida en ese punto 5 y 5 La funión no está definida en 5 porque el denominador se anula. Es una disontinuidad evitable porque llegaría on añadir ese punto para que la funión fuese ontinua. 5 ( 5) Para 5 podemos simplifiar: y, si Tiene un punto desplazado, si y 5, si La funión está definida en pero el punto está desplazado. También es una disontinuidad evitable. Límite de una funión en un punto ( tiende a por la izquierda) signifia que a le damos valores ada vez más próimos a, pero esos valores son menores que. La seuenia,9;,99;,999;,9999;... está formada por números menores que 5 y ada vez más próimos a 5. Por tanto, 5 ( tiende a por la dereha) signifia que a le damos valores ada vez más próimos a, pero esos valores son mayores que. La seuenia 5,; 5,0; 5,00; 5,000;... está formada por números mayores que 5 y ada vez más próimos a 5. Por tanto, 5 Matemátias º Ba. CC.SS. Tema 6: Límites y Continuidad Pág.
2 ( tiende a ) signifia que a le damos valores ada vez más próimos a. La seuenia,9; 5,0;,999; 5,000;,99999; 5,00000;... está formada por números ada vez más próimos a 5. Por tanto, 5 gnifiado de f() uando, entones a le damos valores variables y, omo onseuenia, f () también toma valores variables. El omportamiento de f () uando epresa de la siguiente forma: f() (límite de f () uando tiende a por la izquierda) Este límite puede tomar los siguientes valores: - Un número real: f() N, se, f () toma valores ada vez más próimos a un número N. f() 5 - Infinito : f(), f () toma valores ada vez más grandes, y llega a superar ualquier valor, por muy grande que sea. f() Infinito : f(), f () toma valores ada vez más negativos. f() gnifiado de f() uando Es similar al anterior Matemátias º Ba. CC.SS. Tema 6: Límites y Continuidad Pág.
3 gnifiado de f() uando f() (límite de f () uando tiende a ), es el omportamiento de la funión uando se aproima a tanto por la dereha omo por la izquierda. f() f() N, deimos que f() N f() f() f() f(), deimos que f(), deimos que f() f() f(), deimos que f() (no eiste f() ) Relaión de la Continuidad en on el límite uando f () es ontinua en si se umplen las siguientes ondiiones: - f () tiene límite finito uando : f() N - f () está definida en : Eiste f () - El límite oinide on el valor de la funión en : f() f() Nota: Esta última igualdad resume las tres ondiiones. Cálulo del límite de una funión en un punto - Cálulo del límite de una funión ontinua en un punto f () es ontinua en f() f() ( 5) Como f() 5 es ontinua en, entones: ( 5) Cálulo del límite de una funión definida a trozos en un punto Sea f() f (), f (), si si on () f y f () ontinuas en. Cálulo del f() en el punto de ruptura Como f () y f () son ontinuas en, f() f() y f() f (). f () f () f() Matemátias º Ba. CC.SS. Tema 6: Límites y Continuidad Pág.
4 () f () f() f () f () f f (), si 5, si 5 Tanto () omo () son ontinuas en 5. f f(5) 0 7 f (5) 5 9 f (),, si si f f() 5 Tanto () omo () son ontinuas en. f f f() f () f() Cálulo del f() en otro punto ualquiera del dominio, distinto del de ruptura f() f (a) a a f() f (b) b b f() 5, si () f () 6, si f Como f() f () 5 Como f() f () Cálulo del límite de una funión raional en un punto P() Sea f() y el punto de estudio. Q() El denominador no se anula en : Q() 0 Q() 0, la funión P() Q() P() Q() P() f() es ontinua en y, por lo tanto, Q() f() Matemátias º Ba. CC.SS. Tema 6: Límites y Continuidad Pág.
5 El denominador se anula y el numerador no se anula en P() P() 0 y Q() 0, entones Q() límites laterales para ver si es, o P(). Q() y habría que alular los 7 5 f() f() El denominador y el numerador se anulan en P() 0 y Q() 0, simplifiamos dividiendo el numerador y el numerador entre P() Q() ( ) P () ( ) Q () P () Q () Para alular este nuevo límite, analizamos en uál de los tres asos nos enontramos. () f 5 5 ( ) ( ) ( ) ( 5) 5 6 Comportamiento de una funión uando f(), los valores de f () reen ada vez más. ( ) Matemátias º Ba. CC.SS. Tema 6: Límites y Continuidad Pág. 5
6 f(), los valores de f () son ada vez más negativos. ( ) f() N, los valores de f () son ada vez más próimos a un número N. En este aso, se die que la reta y n es una asíntota horizontal de la urva. 0 y 0 5 es una asíntota horizontal. f(), los valores de f () ni reen ni dereen indefinidamente, ni se aproiman ada vez más a ningún número Sen() (toma valores entre - y ) Cálulo de límites uando - Límites de funiones polinómias El límite uando de una funión polinómia es o, según sea positivo o negativo el signo del oefiiente del término de mayor grado. ( 5 ) ( 5 ) - Límites de funiones inversas de polinómias P () es una funión polinómia, entones 0 P() Límites de funiones raionales: P() Q() Sea f() P() Q() a b m n Matemátias º Ba. CC.SS. Tema 6: Límites y Continuidad Pág. 6
7 grado de P > grado de Q (es deir, si m > n), entones: f() Q() P() a (el signo es el de ) b 5 grado de P < grado de Q (es deir, si m < n), entones: f() grado de P = grado de Q (es deir, si m = n), entones: f() a b Ramas infinitas. Asíntotas - Ramas infinitas en. Asíntotas vertiales En una funión hay una asíntota vertial en si f() P() f() es una funión raional simplifiada (oiente de dos polinomios Q() sin raíes omunes), las asíntotas vertiales se enuentran en los valores de que son raíes del denominador y se determinan resolviendo la euaión Q() 0. es una asíntota vertial es una asíntota vertial Matemátias º Ba. CC.SS. Tema 6: Límites y Continuidad Pág. 7
8 ( ) ( ) ( ) no es una asíntota vertial. es una asíntota vertial. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Ramas infinitas uando Asíntota Horizontal funión. f() n, entones la reta y n es una asíntota horizontal de la 8 y es una asíntota horizontal. 0 y 0 7 es una asíntota horizontal. Asíntota Obliua, uando, la funión f () se aproima muho a la reta y m n, on m 0, esta reta es una asíntota obliua. y es una asíntota obliua. y es una asíntota obliua. Ramas Parabólias f() y la urva no tiene asíntota obliua, entones la urva presenta una rama parabólia. 5 rama parabólia haia arriba. Matemátias º Ba. CC.SS. Tema 6: Límites y Continuidad Pág. 8
9 rama parabólia haia abajo. - Ramas infinitas uando en Funiones Raionales Sea f() P() Q() - Grado de P () Grado de Q () f() P() Q() 0 la reta y 0 es una asíntota horizontal. 6 0 y 0 5 es una asíntota horizontal. - Grado de P () Grado de Q () f() P() Q() n la reta y n es una asíntota horizontal. Para determinar la posiión de la urva respeto de la asíntota, estudiamos el signo de la diferenia P() Q() n para un valor grande de. y es una asíntota horizontal. 7 Posiión de la urva respeto de la asíntota: La diferenia es negativa para grande. Por lo tanto, la urva se aproima a la asíntota por abajo. - Grado de P () Grado de Q() P() Q() m n R() Q() y m n R() Q() La reta y m n es una asíntota obliua. Para determinar la posiión de la urva respeto de la asíntota, estudiamos el signo de R() Q() para un valor grande de. 9 la reta y es una asíntota obliua. Matemátias º Ba. CC.SS. Tema 6: Límites y Continuidad Pág. 9
10 Posiión de la urva respeto de la asíntota: 9 El oiente es positivo para grande. Por lo tanto, la urva se aproima a la asíntota por arriba. - Grado de P () Grado de Q() En este aso hay una rama parabólia, ara arriba o ara abajo según si P() Q() es o. rama parabólia haia abajo. Comportamiento de una funión uando En general, todos los límites uando se resuelven de forma similar a uando. La obtenión de las asíntotas horizontales y obliuas para la urva respeto a ellas, es similar al ya visto., y la posiión de la funión es oiente de dos polinómia y tiene asíntota horizontal u obliua para, tiene la misma asíntota para. Matemátias º Ba. CC.SS. Tema 6: Límites y Continuidad Pág. 0
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